슈바르츠 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 다중지표 표기법
- 2.2. 슈바르츠 공간의 정의
3. 성질
- 3.1. 해석적 성질
- 3.2. 위상적 성질
4. 예시
5. 역사
6. 응용
참조

1. 개요

슈바르츠 공간은 매끄러운 함수이면서 모든 노름이 유한한 슈바르츠 함수의 집합이며, 푸리에 변환에 의해 자기 동형인 프레셰 공간이다. 슈바르츠 공간은 다중지표를 사용하여 정의되며, 함수와 그 도함수가 무한대에서 빠르게 0으로 수렴하는 함수들을 포함한다. 이 공간은 분포의 푸리에 변환을 정의하기 위해 로랑 슈바르츠에 의해 도입되었으며, 양자장 이론, 편미분 방정식 등 다양한 분야에 응용된다.

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슈바르츠 공간

2. 정의

다중지표를 사용하면, $n$ 차원 공간에서 '''슈바르츠 함수'''(Schwartz函數, Schwartz function}})는 매끄러운 함수이며 모든 $(\alpha,\beta)$ -노름이 유한한 함수이다. 다중지표 $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)$ 는 $n$ 개의 음이 아닌 정수의 순서쌍 ( $\mathbb N^n$ 의 원소)이다.

임의의 $x\in\mathbb R^n$ 에 대해,

: $x^\alpha=x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}$ 이고,

: $\partial^\alpha=\frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}}\frac{\partial^{\alpha_2}}{\partial x_2^{\alpha_2}}\cdots\frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n$ ^영어이다.

(편미분 연산은 가환한다고 가정한다.)

임의의 매끄러운 함수 $f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$ 에 대하여, $(\alpha,\beta)$ -노름은 다음과 같이 정의된다.

: $\lVert f\rVert_{\alpha,\beta}=\sup_{x\in\mathbb R^n}|x^\alpha\partial^\beta f(x)|$ .

'''슈바르츠 공간''' $\mathcal S(\mathbb R^n)$ 은 슈바르츠 함수의 집합이다. 슈바르츠 공간은 벡터 공간이며, 곱셈에 대해 닫혀 있다. 슈바르츠 공간은 프레셰 공간을 이룬다.

$(\alpha,\beta)$ -노름을 통해 슈바르츠 공간에 위상을 정의할 수 있다. 함수열 $f_i\in\mathcal S(\mathbb R^n)$ 가 $f\in\mathcal S(\mathbb R^n)$ 으로 수렴하려면, 모든 $(\alpha,\beta)$ 에 대하여 $\lim_{i\to\infty}\lVert f_i-f\rVert_{\alpha,\beta}=0$ 이어야 한다.

푸리에 변환은 슈바르츠 공간에 유니타리 연산자이며, 슈바르츠 공간의 선형 자기 동형이다.

2. 1. 다중지표 표기법

2. 2. 슈바르츠 공간의 정의

편의상 다중지표를 사용하자.

n

차원 공간에서, '''다중지표'''란

\mathbb N^n

의 원소다. 즉,

n

개의 음이 아닌 정수의 순서쌍이다. 다중지표

\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)

가 주어지면, 다음을 정의한다. 임의의

x\in\mathbb R^n

에 대해,

:

x^\alpha=x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}

이다.

또한,

:

\partial^\alpha=\frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}}\frac{\partial^{\alpha_2}}{\partial x_2^{\alpha_2}}\cdots\frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}}

이다.

(편미분 연산은 가환한다고 가정한다.)

임의의 매끄러운 함수

f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R

에 대하여 다음과 같은 노름을 정의한다. 임의의 다중지표

\alpha

와

\beta

에 대하여,

:

\lVert f\rVert_{\alpha,\beta}=\sup_{x\in\mathbb R^n}|x^\alpha\partial^\beta f(x)|

이다.

'''슈바르츠 함수'''(Schwartz函數, Schwartz function^영어)란 매끄럽고 모든

(\alpha,\beta)

-노름이 유한한 함수다. '''슈바르츠 공간'''

\mathcal S(\mathbb R^n)

은 슈바르츠 함수의 집합이다. 슈바르츠 공간은 자명하게 벡터 공간을 이루며, 또한 곱셈에 대해 닫혀 있다. 이에 따라, 푸리에 변환은 슈바르츠 공간에 유니타리 연산자임을 보일 수 있다. 즉, 푸리에 변환은 슈바르츠 공간의 선형 자기 동형이다.

(\alpha,\beta)

-노름을 통하여 슈바르츠 공간에 위상을 정의할 수 있다. 즉 함수열

f_i\in\mathcal S(\mathbb R^n)

가

f\in\mathcal S(\mathbb R^n)

으로 수렴하려면, 모든

(\alpha,\beta)

에 대하여

:

\lim_{i\to\infty}\lVert f_i-f\rVert_{\alpha,\beta}=0

이어야 한다. 자명하게, 슈바르츠 공간은 프레셰 공간을 이룬다.

이 정의를 일반적인 언어로 표현하면, 급감하는 함수는 기본적으로, '''R''' 상의 모든 곳에서 ''f'' (''x''), ''f'' '(''x''), ''f'' ''(''x''), ...의 모든 것이 존재하는 함수 ''f''(''x'')이며, 또한 ''x'' → ±∞로 갈 때 ''x''의 임의의 음수 거듭제곱보다 빠르게 0으로 수렴하는 것이다. 특히, ''S''('''R'''^''n'')는 무한 번 미분 가능한 함수 공간 ''C''^∞('''R'''^''n'')의 부분 공간이다.

3. 성질

1 ≤ ''p'' ≤ ∞이면, ''S''('''R'''^''n'')/''S''('''R'''^''n'')^영어 ⊂ ''L''^''p''('''R'''^''n'')이다.
1 ≤ ''p'' < ∞이면, ''S''('''R'''^''n'')/''S''('''R'''^''n'')^영어는 에서 조밀하다.
모든 bump 함수의 공간은 ''S''('''R'''^''n'')/''S''('''R'''^''n'')^영어에 포함된다.
''S''('''R'''^''n'')/''S''('''R'''^''n'')^영어는 복소수 상의 프레셰 공간이다.
라이프니츠 법칙에 따라, ''S''('''R'''^''n'')/''S''('''R'''^''n'')^영어는 곱셈에 대해 닫혀 있다. 즉, ''f'', ''g'' ∈ ''S''('''R'''^''n'')/''S''('''R'''^''n'')^영어이면, ''fg'' ∈ ''S''('''R'''^''n'')/''S''('''R'''^''n'')^영어이다.
푸리에 변환은 선형 동형 ''S''('''R'''^''n'')/''S''('''R'''^''n'')^영어 → ''S''('''R'''^''n'')/''S''('''R'''^''n'')^영어이다.
''f'' ∈ ''S''('''R''')/''S''('''R''')^영어이면, ''f''는 '''R'''상에서 균등 연속이다.

Å(R^''n'')는 분별 가능한 국소 볼록 프레셰 슈바르츠 TVS이다.

Å(R^''n'') '''''와''''' 그 강한 쌍대 공간은 또한 다음과 같다:

#완비 하우스도르프 국소 볼록 공간,

#핵 몽텔 공간

::알려진 바에 따르면, 모든 몽텔 공간의 쌍대 공간에서 수열은 강한 쌍대 위상에서 수렴하는 것과 약* 위상에서 수렴하는 것은 동치이다.

#초볼록 공간

#반사 배럴 매키 공간

3. 1. 해석적 성질

라이프니츠 법칙에 따르면, 슈바르츠 공간 Å(R^''n'')는 점별 곱셈에 닫혀 있다. 만약 ''f'', ''g'' ∈ Å(R^''n'')이면, 곱 ''fg'' ∈ Å(R^''n'')이다. 특히, 이것은 Å(R^''n'')가 R-대수임을 의미한다. 더 일반적으로, ''f'' ∈ Å(R)이고 ''H''가 모든 차수에 대해 유계인 도함수를 가진 유계 매끄러운 함수이면, ''fH'' ∈ Å(R)이다.

푸리에 변환은 선형 동형사상 F:Å(R^''n'') → Å(R^''n'')이다.

만약 ''f'' ∈ Å(R)이면, ''f''는 R에서 균등 연속이다.

Å(R^''n'')는 분별 가능한 국소 볼록 프레셰 슈바르츠 TVS이다.

Å(R^''n'') '''''와''''' 그 강한 쌍대 공간은 또한 다음과 같다:

#완비 하우스도르프 국소 볼록 공간,

#핵 몽텔 공간

::알려진 바에 따르면, 모든 몽텔 공간의 쌍대 공간에서 수열은 강한 쌍대 위상에서 수렴하는 것과 약* 위상에서 수렴하는 것은 동치이다.

#초볼록 공간

#반사 배럴 매키 공간

''S''('''R'''^''n'')는 복소수 상의 프레셰 공간이다.

1 ≤ ''p'' ≤ ∞에 대해, ''S''('''R'''^''n'') ⊂ ''L''^''p''('''R'''^''n'')이다.

모든 융기 함수로 구성된 공간 C_c^∞('''R'''^''n'')는 ''S''('''R'''^''n'')에 포함된다.

3. 2. 위상적 성질

슈바르츠 공간은 복소수 상의 프레셰 공간이다. 라이프니츠 법칙에 따라, 슈바르츠 공간은 곱셈에 대해 닫혀 있다. 즉, ''f'', ''g'' ∈ ''S''('''R'''^''n'')이면, ''fg'' ∈ ''S''('''R'''^''n'')이다.

만약 1 ≤ ''p'' ≤ ∞이면, ''S''('''R'''^''n'') ⊂ ''L''^''p''('''R'''^''n'')이다. 만약 1 ≤ ''p'' < ∞이면, ''S''('''R'''^''n'')는 에서 조밀하다.

모든 bump 함수의 공간은 ''S''('''R'''^''n'')에 포함된다. 푸리에 변환은 선형 동형 ''S''('''R'''^''n'') → ''S''('''R'''^''n'')이다.

만약 ''f'' ∈ ''S''('''R''')이면, ''f''는 '''R'''상에서 균등 연속이다.

4. 예시

$\boldsymbol{\alpha}$ 가 다중 지수이고, ''a''가 양의 실수라면, $\boldsymbol{x}^\boldsymbol{\alpha} e^{-a |x|^2} \in \mathcal{S}(\mathbf{R}^n)$ 이다.
콤팩트 지지 집합을 갖는 임의의 매끄러운 함수 ''f''는 ''S''('''R'''^''n'')에 속한다. 이는 ''f''의 임의의 도함수가 연속 함수이고 ''f''의 지지 집합 내에서 지원되므로, ( $\boldsymbol{x}^\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{D}^\boldsymbol{\alpha})f$ 가 최대값 정리에 의해 '''R'''^''n''에서 최댓값을 갖기 때문에 자명하다.
슈바르츠 공간은 벡터 공간이므로, 임의의 다항식 $\phi(\boldsymbol{x}^\boldsymbol{\alpha})$ 에 실수 상수 $a > 0$ 에 대한 인자 $e^{-ax^2}$ 을 곱하여 슈바르츠 공간의 원소를 얻을 수 있다. 특히, 슈바르츠 공간 내에 다항식의 매장이 존재한다.
''i''를 다중 지수, ''a''를 양의 실수라고 하면 다음이 성립한다.

::

x^i e^{-a |x|^2} \in S(\mathbf{R}^n).

콤팩트 지지(compact support, 컴팩트 집합)를 갖는 임의의 매끄러운 함수 ''f''는 슈바르츠 공간 ''S''('''R'''^''n'')에 포함된다. 이는 다음 사실로부터 분명하다. ''f''의 임의의 도함수는 연속이고, ''f''의 지지 밖에서는 0이므로, 최대값 정리에 의해 (''x''^''α''''D''^β) ''f''는 '''R'''^''n'' 내에서 최대값을 갖는다.

5. 역사

로랑 슈바르츠가 분포의 푸리에 변환을 정의하기 위하여 도입하였다.

6. 응용

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