신념 논리

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1. 개요

신념 논리는 신념 집합의 속성을 설명하기 위해 다양한 추론자 유형을 정의하고, 추론자의 합리성이 증가하는 수준과 자기 충족적 믿음, 안정성에 대한 믿음의 모순 등을 다루는 논리 체계이다. 정확한 추론자, 부정확한 추론자, 일관된 추론자, 정상적인 추론자 등 다양한 유형의 추론자를 정의하고, 각 유형의 특징과 수학적 표현을 제시한다. 또한, 명제 논리에 대한 지식, 전건 긍정의 원리 등을 기반으로 추론자의 합리성 수준을 분류하고, 자기 충족적 믿음과 안정성에 대한 믿음의 모순과 같은 흥미로운 개념들을 설명한다.

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신념 논리
신념 논리
유형	양상 논리
연구 분야	인공지능, 컴퓨터 과학, 철학, 논리학
주요 개념	신념, 지식, 대리인, 공리
관련 개념	인식 논리, 의무론적 논리
역사
창시자	예르요 힌티카
개발 연도	1962년
주요 인물
철학자	예르요 힌티카 로버트 스탈네이커 데이비드 루이스 존 페리
컴퓨터 과학자	요람 모제스 조셉 할페른 로널드 파테레크 파히르 사브리
응용
활용 분야	멀티 에이전트 시스템 분산 컴퓨팅 시스템 암호 프로토콜 게임 이론

2. 추론자의 유형

레이먼드 스멀리언은 신념 집합의 속성을 설명하기 위해 다양한 유형의 추론자를 정의했다.^[1]^[2]^[3]^[4] 각 추론자 유형은 믿음과 관련된 논리적, 심리적 특징을 나타낸다. 스멀리언이 정의한 추론자 유형은 다음과 같다.

유형	설명
정확한 추론자	거짓 명제를 결코 믿지 않는다.
부정확한 추론자	적어도 하나의 거짓 명제를 믿는다.
일관된 추론자	명제와 그 부정을 동시에 믿지 않는다.
정상적인 추론자	$p$ 를 믿으면서, 자신이 $p$ 를 믿는다고 믿는다.
특이한 추론자	명제 $p$ 를 믿으면서 동시에 자신이 $p$ 를 믿지 않는다고 믿는다.
규칙적인 추론자	$p \to q$ 를 믿으면서, $\mathcal{B}p \to \mathcal{B}q$ 를 믿는다.
반사적인 추론자	모든 명제 $p$ 에 대해 $q \equiv ( \mathcal{B}q \to p)$ 를 믿는 명제 $q$ 를 갖는다.
자만심이 강한 추론자	자신의 신념이 결코 부정확하지 않다고 믿는다.
불안정한 추론자	어떤 명제를 믿는다고 믿지만, 실제로 그것을 믿지 않는다.
안정적인 추론자	불안정하지 않다. 즉, $\mathcal{B}p$ 를 믿으면, $p$ 를 믿는다.
겸손한 추론자	$\mathcal{B}p \to p$ 가 오직 그들이 $p$ 를 믿는 경우에만 참이다.
이상한 추론자	자신이 비일관적이라고 믿지만, 실제로는 그렇지 않은 유형 G 추론자이다.
소심한 추론자	$p$ 를 믿는 것이 모순된 믿음으로 이어진다고 믿으면, $p$ 를 믿지 않는다.

2. 1. 정확한 추론자

정확한 추론자는 거짓 명제를 결코 믿지 않는다.^[1]^[2]^[3]^[4] (모달 공리 '''T''')

::

\forall p: \mathcal{B}p \to p

2. 2. 부정확한 추론자

부정확한 추론자는 적어도 하나의 거짓 명제를 믿는 사람이다.^[1]^[2]^[3]^[4]

::

\exists p: \neg p \wedge \mathcal{B}p

2. 3. 일관된 추론자

일관된 추론자는 명제와 그 부정을 동시에 믿지 않는다.^[1]^[2]^[3]^[4] (모달 공리 '''D''')

:

\neg\exists p: \mathcal{B}p \wedge \mathcal{B}\neg p  \quad \text{or} \quad  \forall p: \mathcal{B}p \to \neg\mathcal{B}\neg p

2. 4. 정상적인 추론자

정상적인 추론자는

p

를 믿으면서, 자신이

p

를 믿는다고 믿는 사람이다. 이는 모달 공리 '''4'''로 표현된다.^[1]^[2]^[3]^[4]

::

\forall p: \mathcal{B}p \to \mathcal{BB}p

이것의 변형으로,

p

를 믿지 않으면서, 자신이

p

를 믿지 않는다고 믿는 경우가 있을 수 있다. 이는 모달 공리 '''5'''로 표현된다.^[1]^[2]^[3]^[4]

::

\forall p: \neg\mathcal{B}p \to \mathcal{B}(\neg \mathcal{B}p)

2. 5. 특이한 추론자

특이한 추론자는 명제 p를 믿으면서 동시에 자신이 p를 믿지 않는다고 믿는 사람이다.^[1]^[4] 이는 이상한 심리적 현상처럼 보일 수 있지만(무어의 역설), 반드시 부정확한 것은 아니지만 반드시 비일관적인 것은 아니다.

::

\exists p: \mathcal{B}p \wedge \mathcal{B\neg B}p

2. 6. 규칙적인 추론자

규칙적인 추론자는

p \to q

를 믿으면서,

\mathcal{B}p \to \mathcal{B}q

를 믿는 추론자이다.^[1]^[2]^[3]^[4] 즉, 어떤 명제 p가 q를 함의한다고 믿으면, p를 믿는 것은 q를 믿는 것으로 이어진다고 믿는다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

::

\forall p \forall q : \mathcal{B}(p \to q) \to \mathcal{B} (\mathcal{B}p \to \mathcal{B}q)

2. 7. 반사적인 추론자

반사적인 추론자는 모든 명제

p

에 대해

q \equiv ( \mathcal{B}q \to p)

를 믿는 명제

q

를 갖는 추론자이다.^[1]^[4] 즉, 다음이 성립한다.

:

\forall p \exists q: \mathcal{B}(q \equiv ( \mathcal{B}q \to p))

유형 4의 반사적인 추론자(자신이 믿는 것을 믿는다고 믿는 추론자, 정상적인 추론자 참조)가

\mathcal{B}p \to p

를 믿으면, p를 믿게 된다. 이것은 뢰브의 정리와 유사하다.^[1]^[4]

2. 8. 자만심이 강한 추론자

자만심이 강한 추론자는 자신의 신념이 결코 부정확하지 않다고 믿는다.^[1]^[4] 즉, 자신이 어떤 명제를 믿는다면 그 명제는 반드시 참이라고 생각한다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\mathcal{B}[\forall p( \mathcal{B}p \to p) ]

드 레 형식으로 논리적 동치로 다시 작성하면 다음과 같다.

:

\forall p[\mathcal{B} ( \mathcal{B}p \to p) ]

이는 다음을 의미한다.

:

\forall p(\mathcal{B} \mathcal{B}p \to \mathcal{B}p )

이는 자만심이 강한 추론자가 항상 안정적인 추론자임을 보여준다.

2. 9. 불안정한 추론자

어떤 명제를 믿는다고 믿지만, 실제로 그것을 믿지 않는 추론자이다.^[1]^[4] 즉,

\exists p: \mathcal{B}\mathcal{B}p \wedge \neg\mathcal{B}p

가 성립한다. 이는 특이한 심리적 현상으로 보일 수 있지만, 불안정한 추론자가 반드시 비일관적인 것은 아니다.

2. 10. 안정적인 추론자

안정적인 추론자는 불안정하지 않은 추론자이다. 즉, 모든

p

에 대해, 만약

\mathcal{B}p

를 믿는다면,

p

를 믿는다.^[1]^[4] 안정성은 정규성의 반대이다. 추론자가 모든 명제

p

에 대해

\mathcal{BB}p \to \mathcal{B}p

를 믿는다면("만약 내가

p

를 믿는다고 믿는다면, 나는 정말

p

를 믿을 것이다"라고 믿음) 자신이 안정적이라고 믿는다고 말할 수 있다. 이것은 크립키 의미론에서 조밀한 접근성 관계에 해당하며, 정확한 추론자는 항상 안정적이다.^[1]^[4]

::

\forall p: \mathcal{BB}p\to\mathcal{B}p

2. 11. 겸손한 추론자

겸손한 추론자는 모든 믿는 명제

p

에 대해,

\mathcal{B}p \to p

가 오직 그들이

p

를 믿는 경우에만 참인 사람이다.^[1]^[4] 즉, 겸손한 추론자는 자신이

p

를 믿지 않으면

\mathcal{B}p \to p

를 결코 믿지 않는다. 유형 4의 모든 반사적인 추론자는 겸손하다.(뢰브의 정리)^[1]^[4]

::

\forall p: \mathcal{B}(\mathcal{B}p \to p) \to \mathcal{B}p

2. 12. 이상한 추론자

이상한 추론자는 자신이 비일관적이라고 믿지만, 실제로는 그렇지 않은 유형 G 추론자를 말한다.^[4] 즉, 모순되는 믿음을 가지고 있다고 스스로 생각하지만, 사실은 모순되지 않는 믿음을 가진 경우이다.

2. 13. 소심한 추론자

Timid reasoner^영어는

p

를 믿는 것이 모순된 믿음으로 이어진다고 믿으면,

p

를 믿지 않는 추론자이다.^[4] 즉, 어떤 명제에 대한 믿음이 모순을 야기한다고 생각하면 그 명제를 믿지 않는다는 것이다. 이는 다음 식으로 표현된다.

::

\forall p: \mathcal{B}(\mathcal{B}p \to \mathcal{B}\bot) \to \neg\mathcal{B}p

3. 합리성의 증가하는 수준

신념 논리에서 추론자의 합리성은 여러 단계를 거쳐 발전할 수 있다. 각 유형은 추론자가 자신의 믿음과 추론 과정에 대해 얼마나 더 잘 인식하고 있는지를 나타낸다.

유형 1 추론자: 명제 논리에 대한 완전한 지식을 가지고 있으며, 믿음이 논리적으로 닫혀 있다.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]
유형 1* 추론자: 유형 1보다 약간 더 자기 인식을 가진다.^[1]^[2]^[3]^[4]
유형 2 추론자: 자신의 믿음이 전건 긍정의 원리에 따라 닫혀 있다는 것을 안다.^[1]^[2]^[3]^[4]
유형 3 추론자: 유형 2의 일반적인 추론자이다.^[1]^[2]^[3]^[4]
유형 4 추론자: 자신이 정상이라고 믿는다.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]
유형 G 추론자: 자신이 겸손하다고 믿는 유형 4의 추론자이다.^[1]^[4]

3. 1. 유형 1 추론자

명제 논리에 대한 완전한 지식을 가진 추론자이다.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] 즉, 모든 항진명제/정리(공식 진리표)를 증명할 수 있는 모든 명제를 믿는다.

:

\vdash_{PC} p \Rightarrow\  \vdash \mathcal{B}p

:기호

\vdash_{PC}p

는

p

가 명제 계산에서 증명 가능한 항진명제/정리임을 의미한다. 또한, 믿음의 집합(과거, 현재 및 미래)은 논리적으로 닫혀 있으며 전건 긍정의 원리를 따른다. 만약

p

와

p \to q

를 믿는다면, (조만간)

q

를 믿을 것이다.

:

\forall p \forall q : ( \mathcal{B}p \wedge  \mathcal{B}( p \to q)) \to \mathcal{B} q

:이 규칙은 또한 믿음이 함의에 분배된다는 것을 나타내는 것으로 볼 수 있는데, 이는 다음과 논리적으로 동등하기 때문이다.

:

\forall p \forall q : \mathcal{B}(p \to q) \to (\mathcal{B}p \to \mathcal{B}q )

:참고로, 현실에서는 유형 1 추론자의 가정도 일부 경우(예: 복권 역설)에는 너무 강할 수 있다.

3. 2. 유형 1* 추론자

유형 1* 추론자는 모든 항진명제를 믿는다. 이들의 믿음 집합(과거, 현재, 미래)은 전건 긍정의 원리에 따라 논리적으로 닫혀 있다. 모든 명제

p

와

q

에 대해, 이들이

p \to q

를 믿는다면, 만약

p

를 믿을 경우

q

를 믿을 것이라고 믿는다. 유형 1* 추론자는 유형 1 추론자보다 "약간 더" 자기 인식을 가지고 있다.^[1]^[2]^[3]^[4]

:

\forall p \forall q : \mathcal{B}(p \to q) \to \mathcal{B} (\mathcal{B}p \to \mathcal{B}q )

3. 3. 유형 2 추론자

유형 2 추론자는 유형 1 추론자이면서, 모든 명제

p

와

q

에 대해 "만약 내가

p

와

p \to q

를 모두 믿게 된다면, 나는

q

를 믿을 것이다."라고 (올바르게) 믿는 추론자이다.^[1]^[2]^[3]^[4] 유형 1 추론자이므로, 이들은 논리적 동치인 명제

\mathcal{B}(p \to q) \to (\mathcal{B}p \to \mathcal{B}q)

를 믿는다. 즉, 유형 2 추론자는 자신의 믿음이 전건 긍정의 원리에 따라 닫혀 있다는 것을 알고 있다.

:

\forall p \forall q : \mathcal{B}(( \mathcal{B}p \wedge  \mathcal{B}( p \to q)) \to \mathcal{B} q )

3. 4. 유형 3 추론자

유형 3 추론자는 유형 2의 일반적인 추론자이다.^[1]^[2]^[3]^[4]

:

\forall p: \mathcal{B} p \to \mathcal{B} \mathcal{B}p

3. 5. 유형 4 추론자

유형 4 추론자는 유형 3 추론자이며, 자신이 정상이라고 믿는다.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] 이는 다음과 같이 표현된다.

:

\mathcal{B}[ \forall p ( \mathcal{B} p \to \mathcal{B} \mathcal{B}p )]

3. 6. 유형 G 추론자

유형 G 추론자는 자신이 겸손하다고 믿는 유형 4의 추론자이다.^[1]^[4]

:

\mathcal{B}[ \forall p ( \mathcal{B}(\mathcal{B}p \to p) \to \mathcal{B}p ) ]

4. 자기 충족적 믿음

시스템의 경우, 임의의 $p$ (시스템의 언어)에 대해 $q \equiv \mathcal{B}q \to p$ 가 시스템에서 증명 가능하다면 $q$ 가 존재한다는 것을 반사성이라고 정의한다. 뢰브의 정리(일반적인 형태)는 모든 유형 4의 반사 시스템에 대해, $\mathcal{B}p \to p$ 가 시스템에서 증명 가능하다면 $p$ 도 그렇다는 것이다.

5. 안정성에 대한 믿음의 모순

4형식의 일관적인 반사적 추론자가 자신이 안정적이라고 믿으면 불안정해지는 이유는 다음과 같다.

안정적인 4형식의 반사적 추론자가 자신이 안정적이라고 가정할 때, 이 추론자는 임의의 명제 $p$ 에 대해 $p$ 를 믿게 되어 모순에 빠진다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다.

1. 추론자는 $\mathcal{B}\mathcal{B}p \to \mathcal{B}p$ 를 믿는다.

2. 뢰브의 정리에 의해, 추론자는 $\mathcal{B}p$ 를 믿게 된다. (이는 추론자가 $\mathcal{B}r \to r$ 를 믿고, 여기서 $r$ 은 $\mathcal{B}p$ 이므로, 결국 $r$ , 즉 $\mathcal{B}p$ 를 믿게 되기 때문이다.)

3. 추론자는 안정적이므로, $\mathcal{B}p$ 를 믿으면 $p$ 를 믿게 된다.^[1]^[4]

따라서 안정적인 4형식의 반사적 추론자가 자신이 안정적이라고 믿으면, 모든 명제를 믿게 되어 모순에 빠지게 된다.

참조

_[1] 논문 Logicians who reason about themselves http://portal.acm.or[...] Morgan Kaufmann Publishers Inc. 1986
_[2] 웹사이트 Belief, Knowledge and Self-Awareness https://web.archive.[...] 2016-06-01
_[3] 웹사이트 Modal Logics https://web.archive.[...] 2016-06-01
_[4] 서적 Forever Undecided Alfred A. Knopf Inc. 1987
_[5] 서적 Possible Worlds McGill-Queen's University Press 2003

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