아다마르 행렬

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 표준형 아다마르 행렬
- 2.2. 아다마르 설계
3. 성질
4. 연산
- 4.1. 실베스터 구성
- 4.2. 페일리 구성
5. 일반화
6. 특수한 경우
7. 응용
8. 역사
참조

1. 개요

아다마르 행렬은 모든 성분이 +1 또는 -1로 이루어진 정사각 행렬로, 행렬의 크기가 n일 때, M/√n이 직교 행렬이 되는 특징을 갖는다. 아다마르 행렬은 모든 행 벡터 또는 열 벡터가 서로 직교하며, 행렬식의 절댓값은 n^(n/2)이다. 아다마르 행렬의 차수는 1, 2 또는 4의 배수여야 하며, 이러한 조건을 만족하는 행렬의 존재 여부는 아다마르 추측으로 알려진 미해결 문제이다. 아다마르 행렬은 실베스터 구성, 페일리 구성과 같은 방법으로 생성될 수 있으며, 가중 행렬, 복소 아다마르 행렬, 순환 아다마르 행렬 등 다양한 일반화된 형태가 존재한다. 또한, 비대칭 아다마르 행렬, 정칙 아다마르 행렬, 순환 아다마르 행렬과 같은 특수한 경우도 연구되고 있다. 아다마르 행렬은 올리비아 MFSK, 균형 반복 복제, 코드 조리개 분광법, 압축 감지, 양자 게이트 등 다양한 분야에 응용된다.

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아다마르 행렬
개요
4x4 아다마르 행렬의 예
유형	정사각 행렬
성분	또는
상세 정보
관련 항목	월시 행렬

2. 정의

실수 성분으로 구성된 $n \times n$ 정사각 행렬 $M$ 에 대해 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족하는 $M$ 을 '''아다마르 행렬'''이라고 한다.

모든 성분이 $\pm 1$ 이며, $M/\sqrt{n}$ 은 직교 행렬이다.
모든 성분이 $\pm 1$ 이며, 모든 행벡터가 서로 직교한다. 즉, 임의의 $i, i' \in \{1, \dotsc, n\}$ 에 대하여 $\textstyle \sum_{j=1}^n M_{ij}M_{i'j} = n\delta_{ij}$ 이다. 이는 $MM^\top = n1_{n \times n}$ 와 같다.
모든 성분이 $\pm 1$ 이며, 모든 열벡터가 서로 직교한다. 즉, 임의의 $j, j' \in \{1, \dotsc, n\}$ 에 대하여 $\textstyle \sum_{i=1}^n M_{ij}M_{ij'} = n\delta_{jj'}$ 이다. 이는 $M^\top M = n1_{n \times n}$ 와 같다.
모든 성분이 절댓값 1 이하의 실수이며, $\det M = \pm n^{n/2}$ 이다.

여기서

\delta

는 크로네커 델타이다.

H

를 차수가

n

인 아다마르 행렬이라고 하면,

H

의 전치 행렬은 역행렬과 밀접하게 관련되어 있다.

:

HH^{\textsf{T}} = nI_n

여기서

I_n

은

n \times n

단위 행렬이고,

H^T

는

H

의 전치 행렬이다.

H

의 행들은 모두 실수의 체에서 직교 벡터이고 각각의 길이는

\sqrt{n}

이다. 따라서, 행렬식은 다음과 같다.

:

\operatorname{det}(H) = \pm n^{n/2}

M

이 각 항목의 절댓값이 1 이하인

n

차 복소수 행렬이라고 가정하면, 아다마르 부등식에 의해 다음이 성립한다.

:

|\operatorname{det}(M)| \le n^{n/2}

실수 행렬

M

에 대해, 위 부등식에서 등호가 성립하는 것과

M

이 아다마르 행렬인 것은 동치이다.

아다마르 행렬의 차수는 1, 2 또는 4의 배수여야 한다.^[1]

2. 1. 표준형 아다마르 행렬

첫째 행과 첫째 열이 모두 +1만으로 구성된 아다마르 행렬을 '''표준형 아다마르 행렬'''(standard Hadamard matrix^영어)이라고 한다. 모든 아다마르 행렬은 행 및 열의 순열 및 -1을 곱하는 것을 통해 표준형으로 만들 수 있다.

n\times n

표준형 아다마르 행렬

M_{n\times n}

이 주어졌을 때,

# 첫째 행과 첫째 열을 제거하고,

# 성분을

(+1,-1)\mapsto (+1,0)

으로 치환한다.

그러면 성분이 0 또는 1인

(n-1)\times(n-1)

정사각 행렬을 얻는다.

만약

n

이 4의 배수일 경우, 이

(n-1)\times(n-1)

행렬은

(t=2,n/2-1,n-1)

-블록 설계의 결합 행렬을 이루며,

:

\lambda_0=n-1

:

\lambda_1=n/2-1

:

\lambda_2=n/4-1

이다. 즉,

$n-1$ 개의 블록이 있으며,
모든 점은 $n/2-1$ 개의 블록에 속하며,
서로 다른 임의의 두 점은 $n/4-1$ 개의 블록에 공통적으로 속한다.

이를 '''아다마르 설계'''(Hadamard design^영어)라고 한다.

반대로,

\lambda_0=n-1

인

(2,n/2,n-1)

-블록 설계가 주어졌을 때, 위와 같이 표준형 아다마르 행렬을 재구성할 수 있다.

2. 2. 아다마르 설계

표준형 아다마르 행렬을 이용하여 블록 설계를 구성할 수 있으며, 이를 아다마르 설계라고 한다.

n\times n

표준형 아다마르 행렬

M_{n\times n}

이 주어졌을 때, 첫째 행과 첫째 열을 제거하고 성분을

(+1,-1)\mapsto (+1,0)

으로 치환하면, 성분이 0 또는 1인

(n-1)\times(n-1)

정사각 행렬을 얻는다.

만약

n

이 4의 배수일 경우, 이

(n-1)\times(n-1)

행렬은

(t=2,n/2-1,n-1)

-블록 설계의 결합 행렬을 이룬다.

:

\lambda_0=n-1

:

\lambda_1=n/2-1

:

\lambda_2=n/4-1

즉, 다음이 성립한다.

$n-1$ 개의 블록이 있다.
모든 점은 $n/2-1$ 개의 블록에 속한다.
서로 다른 임의의 두 점은 $n/4-1$ 개의 블록에 공통적으로 속한다.

반대로,

\lambda_0=n-1

인

(2,n/2,n-1)

-블록 설계가 주어졌을 때, 위와 같이 표준형 아다마르 행렬을 재구성할 수 있다.

3. 성질

H^영어를 차수 n의 아다마르 행렬이라고 하자. H^영어의 전치 행렬은 그 역행렬과 밀접한 관련이 있다.

: $H H^\textsf{T} = n I_n$

여기서 $I_n$ 은 n × n 단위 행렬이고, $H^T$ 는 H의 전치 행렬이다. H의 행은 모두 실수의 체에서 직교 벡터이고 각각의 길이는 $\sqrt{n}$ 이다. 이 길이로 H를 나누면 전치 행렬이 역행렬인 직교 행렬이 된다. 길이를 다시 곱하면 위의 등식이 성립한다. 결과적으로,

: $\operatorname{det}(H) = \pm\, n^{n/2},$

여기서 det(H)는 H의 행렬식이다.

M이 차수 n의 복소수 행렬이고, 각 항목이 |''M_ij'' | ≤ 1로 경계가 져 있다고 가정하자. 1과 n 사이의 각 i, j에 대해 아다마르 부등식은 다음과 같다.

: $|\operatorname{det}(M)| \leq n^{n/2}.$

이 경계에서 등호는 실수 행렬 M에 대해 만약 그리고 오직 만약 M이 아다마르 행렬일 때 성립한다.

아다마르 행렬의 차수는 1, 2 또는 4의 배수여야 한다.^[1]

3. 1. 존재

임의의 자연수

n\in\mathbb N

에 대하여,

n\times n

아다마르 행렬이 존재할 필요 조건은

n\in\{1,2\}

이거나, 또는

n

이 4의 배수인 경우이다. 이 조건이 필요 충분 조건이라는 추측은 '''아다마르 추측'''이라고 하며, 아직 증명되거나 반증되지 못했다.^[3] 다만, 적어도

n<668

에 대해서는 위 조건이 필요 충분 조건이다.

아다마르 행렬의 존재성에 대한 가장 중요한 미해결 질문은 모든 양의 정수 ''k''에 대해 4''k''차 아다마르 행렬이 존재하는지에 대한 것이다.

1867년, 실베스터는 1, 2, 4, 8, 16, 32 등(차)의 아다마르 행렬을 생성하는 방법을 제시하였다.^[18]
1893년, 아다마르는 12차 및 20차 아다마르 행렬을 구성했다.^[4]
1933년, 레이먼드 팔레이는 팔레이 구성을 발견했는데, 이는 유한체를 사용하여 다음과 같은 아다마르 행렬을 생성한다.^[5]
''q''가 4를 법으로 3과 합동인 모든 소수 거듭제곱일 때 ''q'' + 1차 아다마르 행렬
''q''가 4를 법으로 1과 합동인 소수 거듭제곱일 때 2(''q'' + 1)차 아다마르 행렬
1962년, JPL에서 바우메르트, 골롬, 홀은 윌리엄슨의 구성을 사용하여 컴퓨터로 92차 아다마르 행렬을 발견했다.^[6]^[7]
2004년, 하디 카라가니와 베루즈 타이페-레자이는 428차 아다마르 행렬의 구성을 발표했다.^[8]

2014년까지, 2000 미만의 4의 배수 중 해당 차수의 아다마르 행렬이 알려지지 않은 것은 12개였다.^[9]

알려지지 않은 아다마르 행렬 차수
668, 716, 892, 1132, 1244, 1388, 1436, 1676, 1772, 1916, 1948, 1964

현재 아다마르 행렬이 알려지지 않은 가장 작은 차수는 668이다.

3. 2. 행렬식

n \times n

아다마르 행렬의 행렬식은

\pm n^{n/2}

이다. 아다마르 부등식에 따르면, 모든 항목의 절댓값이 1 이하인 행렬의 행렬식의 절댓값은 아다마르 행렬일 때 최대가 된다.^[1]

차수가 ''n''인 아다마르 행렬 ''H''의 전치 행렬은 역행렬과 밀접하게 관련되어 다음이 성립한다.

:

H H^\textsf{T} = n I_n

여기서 ''I_n''은 ''n''×''n'' 단위 행렬이고, ''H''^T는 ''H''의 전치 행렬이다. ''H''의 행은 모두 실수의 체에서 직교 벡터이고 각각의 길이는

\sqrt{n}

이다. 이 길이로 ''H''를 나누면 전치 행렬이 역행렬인 직교 행렬이 된다. 길이를 다시 곱하면 위의 등식이 성립한다. 결과적으로,

:

\operatorname{det}(H) = \pm\, n^{n/2},

여기서 det(''H'')는 ''H''의 행렬식이다.

''M''이 차수 ''n''의 복소수 행렬이고, 각 항목이 |''M_ij''| ≤ 1로 경계가 져 있다고 가정하자. 1과 ''n'' 사이의 각 ''i'', ''j''에 대해 아다마르 부등식은 다음과 같다.

:

|\operatorname{det}(M)| \leq n^{n/2}.

이 경계에서 등호는 실수 행렬 ''M''에 대해 만약 그리고 오직 만약 ''M''이 아다마르 행렬일 때 성립한다.

3. 3. 초과량과 정칙 아다마르 행렬

n\times n

아다마르 행렬

H

의 '''초과량'''(超過量, excess^영어)은 그 모든 성분들의 합이다.

:

\operatorname E(H)=\sum_{i,j}H_{i,j}\in\mathbb Z

이는 다음과 같은 상계를 갖는다.

:

|\operatorname E(H)|\le n^{3/2}

n\times n

아다마르 행렬

H

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아다마르 행렬을 '''정칙 아다마르 행렬'''(regular Hadamard matrix^영어)이라고 한다.

$\operatorname E(H)= n^{3/2}$
각 행의 합과 각 열의 합이 각각 일정하다. 즉, 임의의 $i,i'\in\{1,2,\dotsc,n\}$ 에 대하여, $\textstyle\sum_{j=1}^n(M_{i,j}-M_{i',j})=\sum_{j=1}^n(M_{j,i}-M_{j,i'})=0$ 이다.

정칙 아다마르 행렬의 크기는 항상 제곱수이다. 즉,

1\times1

또는

4m^2\times 4m^2

의 꼴이다.

정규 아다마르 행렬은 행과 열의 합이 모두 같은 실수 아다마르 행렬이다. 정규 ''n'' × ''n'' 아다마르 행렬의 존재에 대한 필요 조건은 ''n''이 제곱수여야 한다는 것이다. 순환 행렬은 명백히 정규 행렬이므로 순환 아다마르 행렬은 제곱 차수를 가져야 한다. 또한, ''n'' > 1인 ''n'' × ''n'' 순환 아다마르 행렬이 존재한다면 ''n''은 반드시 4''u''² 형태여야 하며 ''u''는 홀수여야 한다.^[13]^[14]

4. 연산

$H$ 가 아다마르 행렬이라면, $-H$ 역시 아다마르 행렬이다. 일반적으로, 아다마르 행렬에 다음 연산을 가해도 아다마르 행렬을 이룬다.

임의의 한 열에 −1을 곱하기
임의의 한 행에 −1을 곱하기
열의 순서를 뒤바꾸기
행의 순서를 뒤바꾸기

4. 1. 실베스터 구성

임의의 두 아다마르 행렬의 크로네커 곱은 역시 아다마르 행렬이다. 특히, 다음과 같은 2x2 아다마르 행렬을 사용한다.

:

H_{2\times2}=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

이 행렬을 이용하여 크기

2^k

의 아다마르 행렬들을 구성할 수 있는데, 이를 '''실베스터 구성'''(Sylvester’s construction^영어)이라고 한다.^[2]

이에 따라, 1x1 행렬

:

H_{1\times 1}=\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}

로부터 시작하여

2^k\times 2^k

크기의 아다마르 행렬들을 구성할 수 있다.

제임스 조지프 실베스터는 1867년에 다음과 같은 방법으로 아다마르 행렬을 처음 구성하였다.^[17] ''H''를 ''n''차 아다마르 행렬이라고 하면, 다음 분할 행렬은 2''n''차 아다마르 행렬이 된다.

:

\begin{bmatrix}H &  H\\H & -H\end{bmatrix}

이러한 과정은 반복적으로 적용될 수 있으며, 이는 다음과 같은 월시 행렬로 이어진다.

:

\begin{align}H_1 &= \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}, \\H_2 &= \begin{bmatrix}1 &  1 \\1 & -1\end{bmatrix}, \\H_4 &= \begin{bmatrix}1 &  1 &  1 &  1\\1 & -1 &  1 & -1\\1 &  1 & -1 & -1\\1 & -1 & -1 &  1\end{bmatrix},\end{align}

그리고

:

H_{2^k} = \begin{bmatrix}H_{2^{k-1}} &  H_{2^{k-1}}\\H_{2^{k-1}} & -H_{2^{k-1}}\end{bmatrix} = H_2 \otimes H_{2^{k-1}},

여기서

2 \le k \in N

이고,

\otimes

는 크로네커 곱을 나타낸다.

이러한 방식으로 실베스터는 모든 음이 아닌 정수 ''k''에 대해 2^''k'' 차수의 아다마르 행렬을 구성했다.^[17]

실베스터 행렬은 대칭적이며, ''k'' ≥ 1 (2^''k'' > 1)일 때, 대각합이 0이다. 첫 번째 열과 첫 번째 행의 모든 요소는 양수이다. 다른 모든 행과 열의 요소는 양수와 음수로 균등하게 나뉜다. 실베스터 행렬은 월시 함수와 밀접하게 관련되어 있다.

4. 2. 페일리 구성

'''페일리 구성'''(Paley construction^영어)은 유한체를 사용하여 아다마르 행렬을 구성하는 방법이다.

q

가 홀수 소수의 거듭제곱이라고 하자. 이제, 함수

:

\chi\colon\mathbb F_q\to \{-1,0,1\}

:

\chi\colon a\mapsto\begin{cases}0&a=0\\1&a\in\{a^2\colon a\in \mathbb F_q^\times\}\\

1&a\not\in\{a^2\colon a\in \mathbb F_q\}

\end{cases}

를 정의하자. (여기서

\mathbb F_q

는 유한체이다.)

이제, 임의의 전단사 함수

:

\{1,2,\dotsc,q\}\to\mathbb F_q

:

i\mapsto a_i

를 고르자. 그렇다면,

q\times q

행렬

:

Q_{ij}=\chi(a_i-a_j)

를 정의할 수 있다. 이를 '''야콥스탈 행렬'''(Jacobsthal matrix^영어)이라고 한다. 만약

q\equiv1\pmod4

일 경우

-1\in\mathbb F_q

은 제곱수이며,

Q

는 대칭 행렬이다 (

Q_{ij}=Q_{ji}

). 반면, 만약

q\equiv3\pmod4

일 경우

-1

은 제곱수가 아니며,

Q

는 반대칭 행렬이다 (

Q_{ij}=-Q_{ji}

).

이제,

(q+1)\times(q+1)

행렬

:

M_{(q+1)\times(q+1)}=\begin{pmatrix}0&j_{1\times q}\\

j_{q\times1}&Q_{q\times q}

\end{pmatrix}

을 정의할 수 있다. 여기서

:

j_{1\times q}=\begin{pmatrix}1&1&\dotsm&1\end{pmatrix}

:

j_{q\times1}=\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}

이다.

만약

q\equiv3\pmod4

일 경우,

:

H_{(q+1)\times(q+1)}=1_{(q+1)\times(q+1)}+M_{(q+1)\times(q+1)}

는

(q+1)\times(q+1)

아다마르 행렬이다.

만약

q\equiv1\pmod4

일 경우,

M

의 각 성분을

:

0\mapsto \begin{pmatrix}1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}

:

\pm1\mapsto \pm\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

로 치환하면,

2(q+1)\times2(q+1)

아다마르 행렬을 얻는다.

레이먼드 팔레이는 팔레이 구성을 발견했는데, 이 구성은 ''q''가 4를 법으로 3과 합동인 모든 소수 거듭제곱일 때 ''q'' + 1차 아다마르 행렬을 생성하고, ''q''가 4를 법으로 1과 합동인 소수 거듭제곱일 때 2(''q'' + 1)차 아다마르 행렬을 생성한다.^[5] 그의 방법은 유한체를 사용한다.

5. 일반화

가중 행렬은 요소가 0일 수도 있고, $WW^\textsf{T} = wI$ 를 만족하는 정사각 행렬이며, 여기서 w는 가중치이다. 가중치가 차수와 같은 가중 행렬은 아다마르 행렬이다.^[16]

또 다른 일반화는 복소 아다마르 행렬인데, 이는 요소가 크기가 1인 복소수이고 ''H H^* = n I_n''를 만족하는 행렬이다. 여기서 ''H^*''는 ''H''의 켤레 전치 행렬이다. 복소 아다마르 행렬은 작용소 대수 및 양자 컴퓨터 이론 연구에서 발생한다. 벗슨형 아다마르 행렬은 요소가 ''q''번째 단위근인 복소 아다마르 행렬이다. 일부 저자는 ''복소 아다마르 행렬''이라는 용어를 특히 ''q'' = 4인 경우를 지칭하는 데 사용한다.

6. 특수한 경우

수학 문헌에서는 아다마르 행렬의 여러 특수한 경우에 대해 연구해 왔다.

가중 행렬: 일반화된 형태로, 요솟값으로 0을 포함할 수 있으며, 모든 행과 열에서 0이 아닌 요소는 행렬 내에서 동일한 상수여야 한다.
복소 아다마르 행렬: 각 요소가 절댓값이 1인 복소수이며, ('''''H'''''는 '''''H'''''의 수반 행렬)을 만족한다. 작용소환론이나 양자 계산 이론 연구에서 응용된다.
배트슨형 복소 아다마르 행렬: 복소 아다마르 행렬의 특수한 경우로, 요소가 1의 ''q''승근이다. 일부 문헌에서는 인 경우로 한정하기도 한다.
순환 아다마르 행렬: 첫 행을 기준으로, 나머지 행은 이전 행을 1칸 순환 시프트하여 얻는다. 1차와 4차 순환 아다마르 행렬은 알려져 있으나, 그 외 차수에서는 존재하지 않는다는 추측이 있다.
정규 아다마르 행렬: 행의 합과 열의 합이 각각 같은 실수 아다마르 행렬이다.

6. 1. 비대칭 아다마르 행렬

아다마르 행렬 ''H''가

H^\textsf{T} + H = 2I

를 만족하면 '비대칭'이라고 한다. 비대칭 아다마르 행렬은 어떤 행과 그에 해당하는 열에 -1을 곱해도 비대칭 아다마르 행렬로 유지된다. 예를 들어, 이를 통해 비대칭 아다마르 행렬을 정규화하여 첫 번째 행의 모든 원소가 1이 되도록 만들 수 있다.^[12]

1972년 리드와 브라운은 차수 ''n''의 토너먼트가 이중 정규인 것은 차수 ''n'' + 1의 비대칭 아다마르 행렬이 존재하는 것과 필요충분조건임을 보였다. 차수 ''n''의 수학적 토너먼트에서, ''n''명의 각 선수는 다른 각 선수와 한 번씩 경기를 치르며, 각 경기에서 한 선수가 승리하고 다른 선수가 패배한다. 토너먼트는 각 선수가 동일한 수의 경기를 이기면 정규이다. 정규 토너먼트는 두 개의 서로 다른 선수 쌍에 대해 두 선수 모두에게 패배한 상대의 수가 동일하면 이중 정규이다. 치러진 ''n''(''n'' − 1)/2 경기가 각 선수의 승리로 끝나기 때문에, 각 선수는 (''n'' − 1)/2 경기를 이긴다 (그리고 같은 수의 경기를 진다). 주어진 선수에게 패배한 (''n'' − 1)/2명의 각 선수도 (''n'' − 3)/2명의 다른 선수에게 패배하기 때문에, ''j''가 ''i''와 주어진 선수 모두에게 패배하는 선수 쌍 (''i'', ''j'')의 수는 (''n'' − 1)(''n'' − 3)/4이다. 동일한 결과는 쌍을 다르게 세어서 얻어야 한다. 즉, 주어진 선수와 ''n'' − 1명의 다른 선수 중 어느 한 명도 함께 동일한 수의 공통 상대를 패배시킨다. 따라서 이 공통적인 패배한 상대의 수는 (''n'' − 3)/4여야 한다. 비대칭 아다마르 행렬은 모든 원래 선수를 이기는 추가 선수를 도입한 다음, 행 ''i'', 열 ''j''가 ''i'' = ''j''이거나 ''i''가 ''j''를 이기면 1을 포함하고 ''j''가 ''i''를 이기면 −1을 포함하는 규칙에 따라 선수로 레이블이 지정된 행과 열이 있는 행렬을 형성하여 얻는다. 이 반대 방향의 대응 관계는 비대칭 아다마르 행렬이 첫 번째 행의 모든 원소가 1이 되도록 정규화되었다고 가정하면 비대칭 아다마르 행렬로부터 이중 정규 토너먼트를 생성한다.^[12]

6. 2. 정칙 아다마르 행렬

n\times n

아다마르 행렬

H

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아다마르 행렬을 '''정칙 아다마르 행렬'''(regular Hadamard matrix|레귤러 해더마드 매트릭스^영어)이라고 한다.

$\operatorname E(H)= n^{3/2}$
각 행의 합과 각 열의 합이 각각 일정하다. 즉, 임의의 $i,i'\in\{1,2,\dotsc,n\}$ 에 대하여, $\textstyle\sum_{j=1}^n(M_{i,j}-M_{i',j})=\sum_{j=1}^n(M_{j,i}-M_{j,i'})=0$ 이다.

정칙 아다마르 행렬의 크기는 항상 제곱수이다. 즉,

1\times1

또는

4m^2\times 4m^2

의 꼴이다.

정규 아다마르 행렬은 행과 열의 합이 모두 같은 실수 아다마르 행렬이다. 정규 ''n'' × ''n'' 아다마르 행렬의 존재에 대한 필요 조건은 ''n''이 제곱수여야 한다는 것이다. 순환 행렬은 명백히 정규 행렬이므로 순환 아다마르 행렬은 제곱 차수를 가져야 한다. 또한, ''n'' > 1인 ''n'' × ''n'' 순환 아다마르 행렬이 존재한다면 ''n''은 반드시 4''u''² 형태여야 하며 ''u''는 홀수여야 한다.^[13]^[14]

6. 3. 순환 아다마르 행렬

순환 아다마르 행렬 추측은 알려진 1×1 및 4×4의 사례 외에는 그러한 행렬이 존재하지 않는다고 주장한다. 이는 10⁴ 미만의 26개의 ''u'' 값을 제외한 모든 값에 대해 확인되었다.^[15]

7. 응용

올리비아 MFSK는 단파 대역에서 낮은 신호 대 잡음비 및 다중 경로 전파와 같이 어려운 조건에서 작동하도록 설계된 아마추어 무선 디지털 프로토콜이다.
균형 반복 복제(BRR)는 통계학자들이 통계적 추정량의 분산을 추정하는 데 사용하는 기술이다.
코드 조리개 분광법은 빛의 스펙트럼을 측정하는 기기이다. 코드 조리개 분광계에 사용되는 마스크 요소는 종종 아다마르 행렬의 변형이다.
피드백 지연 네트워크는 샘플 값을 혼합하기 위해 아다마르 행렬을 사용하는 디지털 잔향 장치이다.
일부 측정량의 여러 독립 변수에 대한 의존성을 조사하기 위한 플라켓-버먼 설계 실험에 사용된다.
응답에 대한 노이즈 요인의 영향을 조사하기 위한 강건한 파라미터 설계(RPD)에 사용된다.
신호 처리 및 과소 결정 선형 시스템(역 문제)을 위한 압축 감지에 활용된다.
양자 아다마르 게이트는 양자 컴퓨터 및 양자 알고리즘을 위한 아다마르 변환이다.

8. 역사

1867년 제임스 조지프 실베스터가 $2^k\times2^k$ 크기의 아다마르 행렬을 최초로 구성하였다.^[23] 이후 1893년 자크 아다마르가 행렬의 행렬식의 절댓값의 최댓값의 상계를 발표하였으며,^[24] 이 때문에 이를 포화시키는 행렬이 “아다마르 행렬”이라고 불리게 되었다.

1933년 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(Raymond Edward Alan Christopher Paley|레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리^영어, 1907~1933)가 유한체를 사용한 페일리 구성을 발견하였다.^[25]

참조

_[1] 웹사이트 Hadamard Matrices and Designs http://math.ucdenver[...] UC Denver 2023-02-11
_[2] 논문 Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton's rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers.
_[3] 논문 Hadamard matrices and their applications
_[4] 논문 Résolution d'une question relative aux déterminants
_[5] 논문 On orthogonal matrices
_[6] 논문 Discovery of an Hadamard Matrix of Order 92
_[7] 논문 Hadamard's determinant theorem and the sum of four squares
_[8] 논문 A Hadamard matrix of order 428
_[9] 논문 Some new orders of Hadamard and Skew-Hadamard matrices
_[10] 논문 Permanents of matrices of signed ones
_[11] 논문 Geometric search for Hadamard matrices
_[12] 논문 Doubly regular tournaments are equivalent to skew hadamard matrices
_[13] 논문 Character sums and difference sets
_[14] 서적 Error Correcting Codes Wiley
_[15] 논문 Cyclotomic integers and finite geometry
_[16] 논문 Families of weighing matrices https://ro.uow.edu.a[...] Cambridge University Press (CUP)
_[17] 논문 Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton's rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers.
_[18] 논문 Résolution d'une question relative aux déterminants.
_[19] 논문 On orthogonal matrices.
_[20] 저널 Hadamard matrices and their applications https://projecteucli[...] 1978-11
_[21] 서적 Hadamard matrices and their applications Springer-Verlag 1985
_[22] 서적 Contemporary design theory: a collection of surveys http://www.wiley.com[...] Wiley 1992-06
_[23] 저널 Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton’s rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers 1867
_[24] 저널 Résolution d’une question relative aux déterminants 1893
_[25] 저널 On orthogonal matrices 1933-04

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