아이디얼 몫

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 기본 성질
- 3.2. 추가 성질
4. 계산
5. 기하학적 해석
- 5.1. 대수다양체
- 5.2. 예시
참조

1. 개요

아이디얼 몫은 가환환의 두 아이디얼에 대해 정의되는 아이디얼이며, $(\mathfrak i:\mathfrak j) = \{r \in R\colon r\mathfrak j \subseteq \mathfrak i\}$ 로 표현된다. 아이디얼 몫은 덧셈에 대해 가환 모노이드, 아벨 군, 가군을 이루는 조건을 만족하며, $(\mathfrak{i}:R) = \mathfrak{i}$ , $(R:\mathfrak{j}) = R$ , $(0:\mathfrak{j}) = \operatorname{Ann}_R(\mathfrak{j})$ 등의 성질을 갖는다. 또한, 아이디얼 몫은 분배 법칙을 따르며, 대수기하학에서 집합의 차이와 관련된다. 다항식환에서 아이디얼 몫을 계산하는 방법과 정수환에서의 예시, 그리고 대수적 정수론과 스킴 이론에서의 응용을 찾아볼 수 있다.

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아이디얼 몫
일반 정보
분야	추상대수학
정의	두 집합의 몫
기호	(I : J)
관련 개념	아이디얼, 환, 나눗셈
연산
정의	환 R의 두 아이디얼 I와 J에 대해, (I : J) = {r ∈ R \| rJ ⊆ I}는 R의 아이디얼이다.
성질	(I : J)는 I ⊆ (I : J)인 R의 아이디얼이다. ((I : J) : K) = (I : JK)이다. (I : J + K) = (I : J) ∩ (I : K)이다. ((I ∩ J) : K) = (I : K) ∩ (J : K)이다. (I : (b)) = {r ∈ R \| rb ∈ I} (0 : a) = {r ∈ R \| ra = 0} = Ann(a) (a의 소멸자)

2. 정의

가환환 $R$ 의 아이디얼 $\mathfrak{i}, \mathfrak{j} \subseteq R$ 가 주어졌을 때, '''몫 아이디얼''' $(\mathfrak{i}:\mathfrak{j})$ 은 $r\mathfrak{j} \subseteq \mathfrak{i}$ 를 만족하는 모든 $r \in R$ 의 부분집합이다. 이는 $R$ 의 아이디얼을 이룬다.

3. 성질

아이디얼 몫은 여러 유용한 성질들을 가지며, 이를 통해 계산 및 기하학적 해석이 용이하다. 특히, 아이디얼 몫은 '분배 법칙'과 유사한 성질을 만족시켜, 대수다양체의 교집합 및 합집합과 관련된 연산에 유용하게 활용된다.

아이디얼 몫은 기하학적으로, $J \supseteq I$ 일 때 $I \setminus J = \varnothing$ 임을 나타낸다.

아이디얼의 합은 대략 부분 대수다양체의 교집합에 해당하며, 아이디얼의 교집합은 대략 부분 대수다양체의 합집합에 해당한다. 따라서 이는 집합론적 항등식 $I \setminus (J \cap K) = (I \setminus J) \cup (I\setminus K)$ 에 대응된다.

또한, 아이디얼 몫은 다항식 환에서 주어진 생성원을 갖는 아이디얼의 몫을 계산하는 데 사용될 수 있다.^[1]

3. 1. 기본 성질

다음이 성립한다.^[1]

$(\mathfrak{i}:R) = \mathfrak{i}$
$(R:\mathfrak{j}) = R$
$(0:\mathfrak{j}) = \operatorname{Ann}_R(\mathfrak{j})$ (소멸자)
$(\mathfrak{i}:0) = R$

만약

\mathfrak{j} \subseteq \mathfrak{i}

라면, 다음이 성립한다.^[1]

:

(\mathfrak{i}:\mathfrak{j}) = R

아이디얼 몫은 다음과 같은 ‘분배 법칙’을 따른다.^[1]

:

(\mathfrak{i}:(\mathfrak{j}+\mathfrak{k})) = (\mathfrak{i}:\mathfrak{j}) \cap (\mathfrak{i}:\mathfrak{k})

아이디얼 몫은 다음 속성을 만족한다.^[1]

$(I :J)=\operatorname{Ann}_R((J+I)/I)$ ( $R$ -가군. 여기서 $\mathrm{Ann}_R(M)$ 은 $R$ -가군 $M$ 의 소멸자.)
$J \subseteq I \Leftrightarrow (I : J) = R$ (특히, $(I : I) = (R : I) = (I : 0) = R$ )
$(I : R) = I$
$(I : (JK)) = ((I : J) : K)$
$(I : (J + K)) = (I : J) \cap (I : K)$
$((I \cap J) : K) = (I : K) \cap (J : K)$
$(I : (r)) = \frac{1}{r}(I \cap (r))$ (단, ''R''이 정역일 경우)

3. 2. 추가 성질

다음이 성립한다.^[1]

$(I :J)=\mathrm{Ann}_R((J+I)/I)$ . 여기서 $\mathrm{Ann}_R(M)$ 은 $R$ -가군 $M$ 의 소멸자를 나타낸다.
$J \subseteq I \Leftrightarrow (I : J) = R$ (특히, $(I : I) = (R : I) = (I : 0) = R$ )
$(I : R) = I$
$(I : (JK)) = ((I : J) : K)$
$(I : (J + K)) = (I : J) \cap (I : K)$
$((I \cap J) : K) = (I : K) \cap (J : K)$
$(I : (r)) = \frac{1}{r}(I \cap (r))$ (단, ''R''이 정역일 경우)

위 성질은 다항식 환에서 주어진 생성원을 갖는 아이디얼의 몫을 계산하는 데 사용될 수 있다.^[1] 예를 들어 ''I'' = (''f''₁, ''f''₂, ''f''₃) 및 ''J'' = (''g''₁, ''g''₂)가 ''k''[''x''₁, ..., ''x''_''n'']의 아이디얼이면, 다음이 성립한다.

:

I : J = (I : (g_1)) \cap (I : (g_2)) = \left(\frac{1}{g_1}(I \cap (g_1))\right) \cap \left(\frac{1}{g_2}(I \cap (g_2))\right)

그러면 elimination theory를 사용하여 ''I''와 (''g''₁) 또는 (''g''₂)의 교집합을 계산할 수 있다.

:

I \cap (g_1) = tI + (1-t)(g_1) \cap k[x_1, \dots, x_n], \quad I \cap (g_2) = tI + (1-t)(g_1) \cap k[x_1, \dots, x_n]

사전식 순서에 대해 ''tI'' + (1-''t'')(''g''₁)의 그뢰브너 기저를 계산하면, ''t''를 갖지 않는 기저 함수는

I \cap (g_1)

를 생성한다.

4. 계산

위 속성을 이용하면 생성자가 주어졌을 때 다항식환에서 아이디얼의 몫을 계산할 수 있다. 예를 들어, ''I'' = (''f''₁, ''f''₂, ''f''₃)이고 ''J'' = (''g''₁, ''g''₂)가 ''k''[''x''₁, ..., ''x''_''n'']의 아이디얼이면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $I : J = (I : (g_1)) \cap (I : (g_2)) = \left(\frac{1}{g_1}(I \cap (g_1))\right) \cap \left(\frac{1}{g_2}(I \cap (g_2))\right)$

그런 다음 소거 이론을 사용하여 ''I''와 (''g''₁) 및 (''g''₂)의 교집합을 계산할 수 있다.

: $I \cap (g_1) = tI + (1-t) (g_1) \cap k[x_1, \dots, x_n], \quad I \cap (g_2) = tI + (1-t) (g_2) \cap k[x_1, \dots, x_n]$

사전식 순서에 따라 $tI+(1-t)(g_1)$ 에 대한 그뢰브너 기저를 계산한다. 그러면 ''t''가 없는 기저 함수는 $I \cap (g_1)$ 을 생성한다.

5. 기하학적 해석

아이디얼 몫은 대수기하학에서 집합의 차, 특히 대수다양체의 차집합과 밀접하게 관련되어 있다.^[5] 자리스키 위상에서의 폐포 개념을 사용하여, 아이디얼 몫이 기하학적으로 어떤 의미를 갖는지 설명할 수 있다.

아이디얼 몫은 다음과 같은 성질을 갖는다.

''W''가 아핀 대수다양체이고, ''V''가 아핀 공간의 부분 집합(반드시 다양체일 필요는 없음)이라면,

:

I(V) : I(W) = I(V \setminus W)

:여기서

I(\bullet)

는 부분 집합에 관련된 아이디얼을 취하는 것을 나타낸다.

''I''와 ''J''가 다항식환의 아이디얼이고, ''I''가 근기 아이디얼이면,

:

Z(I : J) = \operatorname{cl}(Z(I) \setminus Z(J))

:여기서

\operatorname{cl}(\bullet)

는 자리스키 위상에서의 폐포를 나타내고,

Z(\bullet)

는 아이디얼에 의해 정의된 다양체를 취하는 것을 나타낸다.

만약 ''I''가 근기 아이디얼이 아니라면, 아이디얼 ''J''를 포화시키면 동일한 성질이 유지된다.

:

Z(I : J^{\infty}) = \operatorname{cl}(Z(I) \setminus Z(J))

:여기서

(I : J^\infty )= \cup_{n \geq 1} (I:J^n)

이다.

5. 1. 대수다양체

대수적으로 닫힌 체

K

위의 다항식환

K[x_1,\dotsc,x_n]

의 두 아이디얼

\mathfrak i,\mathfrak j \subseteq K[x_1,\dotsc,x_n]

에 대하여,

\mathfrak i

가 소근기와 일치하는 근기 아이디얼(

\mathfrak i=\sqrt{\mathfrak i}

)이면 다음이 성립한다.

:

Z(\mathfrak i:\mathfrak j) = \operatorname{cl}(Z(\mathfrak i) \setminus Z(\mathfrak j))

여기서

$\operatorname{cl}(-)$ 은 자리스키 위상에서 부분 집합의 폐포이다.
$Z(\mathfrak j)$ 는 $\mathfrak j$ 에 대응하는 부분 대수다양체의 점들이다.

예를 들어,

\mathbb C[x,y,z]

(복소수 3차원 아핀 공간) 속의 아이디얼

(xyz)

(

x

평면·

y

평면 ·

z

평면의 합집합)와

(xy)

(

x

평면과

y

평면의 합집합)를 생각하면,

:

((xyz):(xy)) = (z)

이다. 즉, 아이디얼 몫은 집합의 차이에 해당함을 알 수 있다.

일반적으로, ''W''가 (반드시 기약일 필요는 없는) 아핀 대수다양체이고, ''V''가 아핀 공간의 부분 집합(반드시 다양체일 필요는 없음)이라면,

:

I(V) : I(W) = I(V \setminus W)

가 성립한다. 여기서

I(\bullet)

는 부분 집합에 관련된 아이디얼을 취하는 것을 나타낸다.

또한, ''I''와 ''J''가 ''k''[''x''₁, ..., ''x''_''n'']의 아이디얼이고, ''k''가 대수적으로 닫힌 체이며 ''I''가 근기 아이디얼이라면,

:

Z(I : J) = \operatorname{cl}(Z(I) \setminus Z(J))

가 성립한다. 여기서

\operatorname{cl}(\bullet)

는 자리스키 위상에서의 폐포를 나타내고,

Z(\bullet)

는 아이디얼에 의해 정의된 다양체를 취하는 것을 나타낸다.

만약 ''I''가 근기 아이디얼이 아니라면,

:

Z(I : J^{\infty}) = \operatorname{cl}(Z(I) \setminus Z(J))

가 성립한다. 여기서

(I : J^\infty )= \cup_{n \geq 1} (I:J^n)

이다.^[5]

5. 2. 예시

정수환 $\mathbb Z$은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 이 경우 아이디얼 몫은 다음과 같다.

: $((m):(n)) = \left(\frac m{\gcd\{m,n\}}\right)$

여기서 $\gcd$는 최대공약수이다. 또한,

: $\gcd\{m,0\} = m$

: $\frac00 = 1$

로 간주한다. 즉, 풀어 쓴다면 다음과 같다.

: $((m):(n)) =

\begin{cases}

(m/\gcd\{m,n\}) & m \ne 0 \ne n \\

(1) & n = 0 \\

(0) & m = 0 \ne n

\end{cases}$

만약 $m$이 $n$의 배수일 경우 $((m):(n)) = (m/n)$ 이 된다. 반면, $m$과 $n$이 서로소인 경우 $((m):(n)) = (m)$ 이다.

$\mathbb{Z}$에서 $((6):(2)) = (3)$이다.
대수적 정수론에서 아이디얼 몫은 분수 아이디얼을 연구할 때 유용하다. 이는 가환환 $R$의 가역 분수 아이디얼 $I$의 역이 아이디얼 몫 $((1):I) = I^{-1}$로 주어지기 때문이다.
아이디얼 몫의 기하학적 응용은 아핀 스킴의 기약 성분을 제거하는 것이다. 예를 들어, $\mathbb{C}[x,y,z]$에서 $I = (xyz)$, $J = (xy)$를 $\mathbb{A}^3_\mathbb{C}$에서 x, y, z 평면의 합집합과 x, y 평면에 해당하는 아이디얼이라고 하자. 그러면 아이디얼 몫 $(I:J) = (z)$는 $\mathbb{A}^3_\mathbb{C}$에서 z 평면의 아이디얼이다. 이는 아이디얼 몫을 사용하여 기약 부분 스킴을 "삭제"하는 방법을 보여준다.
가약 아이디얼의 아이디얼 몫을 취하는 것은 스킴 이론에서 유용하다. 예를 들어, 아이디얼 몫 $((x^4y^3):(x^2y^2)) = (x^2y)$는 동일한 축소 부분 스킴을 갖는 비 축소 스킴의 부분 스킴의 아이디얼 몫이 비 축소 구조의 일부를 제거함을 보여준다.
사영 스킴에 해당하는 아이디얼의 ''포화''는 이전 예제를 사용하여 찾을 수 있다. 주어진 동차 아이디얼 $I \subset R[x_0,\ldots,x_n]$에 대해, $I$의 '''포화'''는 아이디얼 몫 $(I: \mathfrak{m}^\infty) = \cup_{i \geq 1} (I:\mathfrak{m}^i)$로 정의되며, 여기서 $\mathfrak{m} = (x_0,\ldots,x_n) \subset R[x_0,\ldots, x_n]$이다. $\mathfrak{m}$에 포함된 $R[x_0,\ldots, x_n]$의 포화 아이디얼 집합은 $\mathbb{P}^n_R$의 사영 부분 스킴 집합과 전단사 관계에 있다는 정리가 있다.^[2] 이는 $(x^4 + y^4 + z^4)\mathfrak{m}^k$가 $\mathbb{P}^2_\mathbb{C}$에서 $(x^4 + y^4 + z^4)$와 동일한 평면 곡선을 정의한다는 것을 보여준다.

참조

_[1] 서적 Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra Springer
_[2] 서적 A Singular Introduction to Commutative Algebra https://archive.org/[...] Springer-Verlag
_[3] 서적 https://books.google[...]
_[4] 서적
_[5] 서적 Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra Springer

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