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분수 아이디얼

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목차

1. 개요

분수 아이디얼은 정역의 분수체에서 정역의 부분 가군 I로, 0이 아닌 정역의 원소 r이 존재하여 rI가 정역에 포함되는 경우를 말한다. 분수 아이디얼은 주어진 분수 아이디얼, 가역 분수 아이디얼, 인자 아이디얼, 주 분수 아이디얼 등으로 분류되며, 곱셈에 대해 가환 모노이드를 이루고, 가역 분수 아이디얼은 아벨 군을 이룬다. 분수 아이디얼은 정수환, 데데킨트 정역, 유일 인수 분해 정역 등에서 다양한 성질을 가지며, 특히 수론적 수체의 정수환에서 아이디얼 유군과 밀접한 관련이 있다.

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분수 아이디얼
정의
한국어 명칭분수 아이디얼
영어 명칭Fractional ideal
일본어 명칭分数イデアル (Bunsū aidearu)
도입 배경
목적정역의 아이디얼 이론을 확장
대상분수체를 포함하는 환
정의
조건R의 분수체 K의 R-부분가군 F
R의 0이 아닌 원소 r이 존재하여 rF ⊆ R을 만족
중요 성질R이 뇌터 환이면 F는 유한 생성 R-가군
가역 분수 아이디얼
정의FF⁻¹ = R을 만족하는 분수 아이디얼 F
F⁻¹{x ∈ K | xF ⊆ R} (F의 역)
중요 성질데데킨트 정역의 모든 분수 아이디얼은 가역적
예시
데데킨트 정역모든 0이 아닌 아이디얼은 가역 분수 아이디얼
정역0이 아닌 주 아이디얼은 가역 분수 아이디얼

2. 정의

정역 \(R\)의 분수체를 \(K = \operatorname{Frac}R\)이라고 할 때, \(R\)의 '''분수 아이디얼''' \(\mathfrak I \subseteq K\)는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.


  • \(\mathfrak I\)는 \(R\)-가군이다. 즉, 다음이 성립한다.
  • \(\mathfrak I\)는 덧셈에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 \(a, b \in \mathfrak I\)에 대하여, \(a + b \in \mathfrak I\)이다.
  • 임의의 \(r \in R\) 및 \(a \in \mathfrak I\)에 대하여, \(r a \in \mathfrak I\)이다.
  • \(r \mathfrak I \subseteq R\)인 0이 아닌 \(r \in R\)가 존재한다.


원소 \(r\)은 \(\mathfrak I\)의 분모를 제거하는 것으로 생각할 수 있으며, 여기서 분수 아이디얼이라는 이름이 유래되었다.

'''주 분수 아이디얼'''은 \(K\)의 0이 아닌 단일 원소에 의해 생성된 \(K\)의 \(R\)-부분 가군이다. 분수 아이디얼 \(\mathfrak I\)는 \(R\)의 (정수) 아이디얼인 경우에만 \(R\)에 포함된다.

\(K\)의 모든 유한 생성 가군 \(R\)-부분 가군은 분수 아이디얼이며, \(R\)이 뇌터 환이면 이들이 \(R\)의 모든 분수 아이디얼이다.

2. 1. 분수 아이디얼

가환환 \(R\)의 전분수환을 \(\operatorname{Frac}(R)\)이라고 할 때, \(R\)의 '''분수 아이디얼''' \(\mathfrak I \subseteq \operatorname{Frac}(R)\)는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.

  • \(\mathfrak I\)는 \(R\)에 대한 가군을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
  • \(\mathfrak I\)는 덧셈에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 \(a, b \in \mathfrak I\)에 대하여, \(a + b \in \mathfrak I\)이다.
  • 임의의 \(r \in R\) 및 \(a \in \mathfrak I\)에 대하여, \(r a \in \mathfrak I\)이다.
  • \(r \mathfrak I \subseteq R\)인 \(r \in R\)가 존재한다.


두 분수 아이디얼 \(\mathfrak I, \mathfrak J\)의 '''곱'''은 다음과 같다.

: \(\mathfrak I \mathfrak J = \left\{ a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \colon a_1, \dots, a_n \in \mathfrak I, \; b_1, b_2, \dots, b_n \in \mathfrak J, \; n \in \mathbb N \right\}\)

이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, \(R\)는 곱셈에 대한 항등원을 이룬다 (\(\mathfrak I R = R \mathfrak I = \mathfrak I\)). 따라서, 정역 \(R\)의 분수 아이디얼들의 집합 \(\operatorname{FracIdeal}(R)\)은 곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.

분수 아이디얼들의 가환 모노이드의 가역원을 '''가역 분수 아이디얼'''(invertible fractional ideal영어)이라고 하며, 가역 분수 아이디얼들은 아벨 군 \(\operatorname{FracIdeal}(R)^\times \subsetneq \operatorname{FracIdeal}(R)\)을 이룬다.

두 분수 아이디얼 \(\mathfrak I, \mathfrak J \subseteq \operatorname{Frac}(R)\)의 '''합'''

: \(\mathfrak I + \mathfrak J = \{ a + b \colon a \in \mathfrak I, b \in \mathfrak J \}\)

역시 분수 아이디얼을 이룬다. (이는 만약 \(r, s \in R\)에 대하여 \(r \mathfrak I, s \mathfrak J \subseteq R\)라면 \(r s (\mathfrak I + \mathfrak J) \subseteq R\)이기 때문이다.) 이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, 영 아이디얼 \(\{0\}\)은 그 항등원을 이룬다. 또한, 곱셈에 대하여 분배 법칙 역시 성립하므로, \(\operatorname{FracIdeal}(R)\)는 반환을 이룬다.

유한 또는 무한 개의 분수 아이디얼들 \((\mathfrak I_i)_{i \in I}\)의 교집합

: \(\bigcap_{i \in I} \mathfrak I_i\)

역시 분수 아이디얼을 이룬다. 그러나 (\(\operatorname{Frac}(R)\) 자체는 일반적으로 분수 아이디얼이 아니므로) 이 연산은 일반적으로 항등원을 갖지 않는다.

\(R\)을 정역이라고 하고, \(K = \operatorname{Frac}(R)\)을 그 분수체라고 하자.

'''분수 아이디얼'''은 \(K\)의 \(R\)-부분 가군 \(I\)이며, 0이 아닌 \(r \in R\)이 존재하여 \(r I \subseteq R\)이 성립한다. 원소 \(r\)은 \(I\)의 분모를 제거하는 것으로 생각할 수 있으며, 여기서 분수 아이디얼이라는 이름이 유래되었다.

'''주어진 분수 아이디얼'''은 \(K\)의 0이 아닌 단일 원소에 의해 생성된 \(K\)의 \(R\)-부분 가군이다. 분수 아이디얼 \(I\)는 \(R\)의 (정수) 아이디얼인 경우에만 \(R\)에 포함된다.

분수 아이디얼 \(I\)는 다음과 같은 다른 분수 아이디얼 \(J\)가 존재할 경우 '''가역'''이라고 한다.

: \(I J = R\)

여기서

: \(I J = \{ a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n : a_i \in I, b_j \in J, n \in \mathbb{Z}_{>0} \}\)

는 두 분수 아이디얼의 '''곱'''이다.

이 경우 분수 아이디얼 \(J\)는 고유하게 결정되며 일반화된 아이디얼 몫과 같다.

: \((R :_{K} I) = \{ x \in K : x I \subseteq R \}\)

가역 분수 아이디얼 집합은 위 곱에 대해 아벨 군을 이루며, 여기서 항등원은 단위 아이디얼 \((1) = R\) 자체이다. 이 군을 \(R\)의 '''분수 아이디얼 군'''이라고 한다. 주어진 분수 아이디얼은 부분군을 이룬다. (0이 아닌) 분수 아이디얼은 \(R\)-가군으로 사영 가군인 경우에만 가역이다. 기하학적으로, 이는 가역 분수 아이디얼을 환의 스펙트럼 \(\operatorname{Spec}(R)\) 위의 랭크 1 벡터 다발로 해석할 수 있음을 의미한다.

\(K\)의 모든 유한 생성 가군 \(R\)-부분 가군은 분수 아이디얼이며, \(R\)이 노에터 환이면 이들이 \(R\)의 모든 분수 아이디얼이다.

2. 2. 주 분수 아이디얼

전분수환의 원소 a에 의해 생성되는 분수 아이디얼은 Ra = \{ra \colon r \in R\} 형태를 갖는다. 이러한 형태의 분수 아이디얼을 '''주 분수 아이디얼'''(principal fractional ideal영어)이라고 하며, 이들의 집합은 \operatorname{PrFracIdeal}(R) \subseteq \operatorname{FracIdeal}(R)로 표기한다. 주 분수 아이디얼은 다음과 같은 곱셈 모노이드 준동형의 치역으로 정의된다.

:(\operatorname{Frac}R,\times)\to(\operatorname{FracIdeal}(R),\times)

:a\mapsto Ra=\{ra\colon r\in R\}

:(Ra)(Rb)=R(ab)\qquad\forall a,b\in R

이 모노이드 준동형의 핵은 다음과 같다.

:Ra=Rb\iff\exists u\in R^\times\colon a=ub

따라서 다음이 성립한다.

:\operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times\cong\frac{\operatorname{Frac}(R)^\times}{R^\times}

정역 R의 분수체를 K라고 할 때, K의 유일한 0이 아닌 원소에 의해 생성되는 K의 R-부분 가군 역시 단항 분수 아이디얼이라고 한다.

2. 3. 인자 아이디얼

분수 아이디얼 \mathfrak I가 다음 조건을 만족시키면 인자 아이디얼(divisorial ideal영어)이라고 한다.

:\mathfrak I=(R:(R:\mathfrak I))

여기서 (R:\mathfrak I)=\{a\in\operatorname{Frac}R\colon a\mathfrak I\subseteq R\}이다. 즉, (R:(R:\mathfrak I))는 \mathfrak I를 부분 집합으로 포함하는 모든 주 분수 아이디얼들의 교집합이다. 인자 아이디얼의 집합은 \operatorname{DivIdeal}(R)로 표기한다.

\operatorname{DivIdeal}(R) 위에는 다음과 같은 곱을 정의할 수 있다.

:\mathfrak I\cdot\mathfrak J=(R:(R:\mathfrak I\mathfrak J))

이 곱에 대해 \operatorname{DivIdeal}(R)는 가환 모노이드를 이룬다. 만약 R가 뇌터 정수적으로 닫힌 정역이면 이는 아벨 군을 이루며, 이 경우 I의 역원은 (R:I)이다.

a\in(\operatorname{Frac}R)^\times에 대하여 (R:Ra)=Ra^{-1}이므로, 모든 가역 주 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이다. 보다 일반적으로, 모든 가역 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이며, 이 경우 (R:\mathfrak I)=\mathfrak I^{-1}이다.

모든 영이 아닌 분수 아이디얼 I을 포함하는 모든 주 분수 아이디얼의 교집합을 \tilde I로 나타낸다.

동등하게,

:\tilde I = (R : (R : I)),

여기서

:(R : I) = \{ x \in K : xI \subseteq R \}.

이다. 만약 \tilde I = I이면, ''I''를 가분 아이디얼이라고 한다.[2]

만약 ''I''가 가분 아이디얼이고 ''J''가 영이 아닌 분수 아이디얼이면, (''I'' : ''J'')는 가분 아이디얼이다.

''R''을 국소 크룰 정역 (예: 뇌터 정수적으로 닫힌 국소 정역)이라고 하자. 그러면 ''R''은 ''R''의 극대 아이디얼이 가분 아이디얼일 경우에만 이산 값 매김 환이다.[3]

가분 아이디얼에 대해 상승 사슬 조건을 만족하는 정역은 모리 정역이라고 한다.[4]

3. 성질

정역 R에서 분수 아이디얼, 가역 분수 아이디얼, 주 분수 아이디얼, 인자 아이디얼 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:\begin{matrix}

&\operatorname{FracIdeal}(R)^\times&\subseteq&\operatorname{DivIdeal}(R)&\subsetneq&\operatorname{FracIdeal}(R)\\

&\cup&&&&\cup\\

\operatorname{PrFracIdeal}(R)\cap\operatorname{FracIdeal}(R)^\times=&\operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times&&\subsetneq&&\operatorname{PrFracIdeal}(R)

\end{matrix}

여기서


  • \operatorname{FracIdeal}(R)은 R의 분수 아이디얼들의 집합이다.
  • \operatorname{FracIdeal}(R)^\times는 R의 가역 분수 아이디얼들의 집합이다.
  • \operatorname{DivIdeal}(R)은 R의 인자 아이디얼들의 집합이다.
  • \operatorname{PrFracIdeal}(R)은 R의 주 분수 아이디얼들의 집합이다.
  • \operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times는 R의 0이 아닌 주 분수 아이디얼들의 집합이다.


R을 정역이라 하고, K = \operatorname{Frac}R을 그 분수체라고 하자. 분수 아이디얼 I는 IJ = R을 만족하는 다른 분수 아이디얼 J가 존재할 경우 '''가역'''이라고 한다. 여기서 IJ = \{ a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n : a_i \in I, b_j \in J, n \in \mathbb{Z}_{>0} \}는 두 분수 아이디얼의 곱이다. 이 경우 분수 아이디얼 J는 유일하게 결정되며, (R :_{K} I) = \{ x \in K : xI \subseteq R \}와 같다.

가역 분수 아이디얼 집합은 위 곱에 대해 아벨 군을 이루며, 여기서 항등원은 단위 아이디얼 (1) = R 자체이다. 이 군을 R의 '''분수 아이디얼 군'''이라고 한다. (0이 아닌) 분수 아이디얼은 R-가군으로 사영 가군인 경우에만 가역이다.

K의 모든 유한 생성 가군 R-부분 가군은 분수 아이디얼이며, R이 노에터 환이면 이들이 R의 모든 분수 아이디얼이다.

3. 1. 크룰 정역

크룰 정역에서 인자 아이디얼의 이론은 인자 아이디얼을 통해 전개할 수 있다. 크룰 정역 R에서 높이가 1인 소 아이디얼들은 인자 아이디얼을 이루며, \operatorname{DivIdeal}(R)을 생성한다.

이 경우, 몫군

:\frac{\operatorname{DivIdeal}(R)}{\operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times}=\operatorname{Div}(R)

을 R의 '''인자 유군'''이라고 하며, 이는 아이디얼 유군을 부분군으로 갖는다.

모든 영이 아닌 분수 아이디얼 I을 포함하는 모든 주 분수 아이디얼의 교집합을 \tilde I로 나타낸다. 이는 다음과 동등하다.

:\tilde I = (R : (R : I)),

여기서

:(R : I) = \{ x \in K : xI \subseteq R \}.

만약 \tilde I = I이면, ''I''를 '''가분 아이디얼'''이라고 한다.[2] 즉, 가분 아이디얼은 몇몇 공집합이 아닌 분수 주 아이디얼들의 영이 아닌 교집합이다.

''I''가 가분 아이디얼이고 ''J''가 영이 아닌 분수 아이디얼이면, (''I'' : ''J'')는 가분 아이디얼이다.

''R''을 국소 크룰 정역(예: 뇌터 정수적으로 닫힌 국소 정역)이라고 하자. 그러면 ''R''은 ''R''의 극대 아이디얼이 가분 아이디얼일 경우에만 이산 값 매김 환이다.[3]

가분 아이디얼에 대해 상승 사슬 조건을 만족하는 정역을 모리 정역이라고 한다.[4]

3. 2. 데데킨트 정역

데데킨트 정역의 경우, 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역 분수 아이디얼이다. 즉, 다음이 성립한다.

: 주 아이디얼 ⊆ 주 분수 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼

구체적으로, 정역 R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • R는 데데킨트 정역이다.
  • R의 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역 분수 아이디얼이다.


이 경우, 몫군

:\frac{\operatorname{FracIdeal}(R)}{\operatorname{PrFracIdeal}(R)}=\operatorname{Cl}(R)

을 R의 '''아이디얼 유군'''이라고 한다.

두 데데킨트 정역 R\subseteq S이 주어졌으며, S가 R의 (분수체 \operatorname{Frac}S 속의) 정수적 폐포라고 한다면, '''아이디얼 노름'''이라는 곱셈 모노이드 준동형

:\operatorname N_{S/R}\colon\operatorname{FracIdeal}S\to\operatorname{FracIdeal}R

을 정의할 수 있으며, 이는 (주 분수 아이디얼에 대하여 적용한다면) 체 노름의 일반화이다.

데데킨트 정역에 대한 분수 아이디얼 집합은 \text{Div}(R)로 표기한다.

주어진 데데킨트 정역의 아이디얼 유군은 그 데데킨트 정역의 중요한 불변량이며, 이는 주 아이디얼의 부분군에 의한 분수 아이디얼의 몫군이다.

3. 3. 유일 인수 분해 정역

유일 인수 분해 정역의 경우, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다. 즉, 유일 인수 분해 정역에서는 다음이 성립한다.

: 주 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아이디얼 = 인자 아이디얼 ⊆ 분수 아이디얼

구체적으로, 정역 ''R''에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

3. 4. 주 아이디얼 정역과 체

주 아이디얼 정역에서 다음이 성립한다.

: 주 아이디얼 = 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아이디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼

체에서는 아이디얼이 (0)과 (1)밖에 없다. 이 경우 다음이 성립한다.

: 주 아이디얼 = 아이디얼 = {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아이디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼 = {(0), (1)}

4. 예

정수환 \mathbb Z에서 임의의 유리수 p/q\in\mathbb Q에 대해, (p/q)=\frac pq\mathbb Z=\{np/q\colon n\in\mathbb Z\}는 분수 아이디얼이다. 이는 p/q에 의해 생성되므로 주 분수 아이디얼이다. 정수환은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 분수 아이디얼은 이러한 꼴이다.

p/q\ne0이면, (\mathbb Z:(p/q))=\frac qp\mathbb Z=(q/p)이고, (\mathbb Z:(q/p))=\frac1n\mathbb Z이므로, 이는 인자 아이디얼을 이룬다. p/q=0이면, (\mathbb Z:(0))=\mathbb Q이고 (\mathbb Z:\mathbb Q)=(0)이므로, 영 아이디얼 역시 인자 아이디얼이다.


  • \frac{5}{4}\mathbb{Z}는 \mathbb{Z}의 분수 아이디얼이다.


K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})에서 분수 아이디얼 I = (2, \frac12\sqrt{-23} - \frac12)와 J=(4,\frac12\sqrt{-23} + \frac32)를 곱하면 아이디얼 IJ=(\frac12\sqrt{-23}+\frac32)를 얻는다.

4. 1. 수체

수체 K에 대해, \mathcal{O}_K로 표기되는 정수환이 존재한다. 예를 들어, d가 제곱 인수가 없는 정수이고 2,3 \text{ }(\text{mod } 4)에 합동이면 \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d}\,)} = \mathbb{Z}[\sqrt{d}\,]이다. 이 환 \mathcal{O}_K는 데데킨트 정역이라는 핵심적인 성질을 갖는다. 따라서 분수 아이디얼 이론은 수체의 정수환에 대해 설명될 수 있다.

수체의 정수환에서 분수 아이디얼은 유일하게 소 아이디얼의 곱으로 분해된다. 또한, 수체의 분수 아이디얼은 모두 유한 생성되므로, 적절한 원소를 곱하여 정수 아이디얼로 만들 수 있다. 정수 분수 아이디얼은 최대 2개의 원소로 생성 가능하다.

류수 이론은 이러한 유수환의 군을 연구한다. 아이디얼 유군은 주분수 아이디얼을 모듈로 한 분수 아이디얼 군으로 정의되며, 유수는 이 군의 차수이다. 유수는 정수환이 유일 인수 분해 정역 (UFD)에서 얼마나 벗어나는지를 측정하는 척도이며, 유수가 1일 때와 정수환이 UFD일 때는 서로 동치이다.

4. 1. 1. 관련 구조

정역 R의 분수체를 K = \operatorname{Frac}R라고 하자. R의 '''분수 아이디얼 군'''은 곱셈에 대해 아벨 군을 이루는 가역 분수 아이디얼 집합이며, 항등원은 단위 아이디얼 (1) = R이다. 주어진 분수 아이디얼은 부분군을 이룬다.[1]

수체의 정수환 \mathcal{O}_K에 대해, 분수 아이디얼 군은 \mathcal{I}_K로 표기되고, 주분수 아이디얼의 부분군은 \mathcal{P}_K로 표기된다. '''아이디얼 유군'''은 주분수 아이디얼을 모듈로 한 분수 아이디얼 군으로, 다음과 같이 정의된다.

:\mathcal{C}_K := \mathcal{I}_K/\mathcal{P}_K

유수 h_K는 이 군의 차수이며, h_K = |\mathcal{C}_K|이다. 유수는 정수환 \mathcal{O}_K가 유일 인수 분해 정역 (UFD)에서 얼마나 벗어나는지를 측정하는 척도이다. h_K = 1일 때와 \mathcal{O}_K가 UFD일 때는 서로 동치이다.

모든 수체에는 다음과 같은 완전 순서열이 존재한다.

:0 \to \mathcal{O}_K^* \to K^* \to \mathcal{I}_K \to \mathcal{C}_K \to 0

4. 1. 2. 구조 정리

수체의 분수 아이디얼에 대한 중요한 구조 정리 중 하나는 모든 분수 아이디얼 I가 순서를 제외하고 다음과 같이 유일하게 분해된다는 것이다.

:I = (\mathfrak{p}_1\ldots\mathfrak{p}_n)(\mathfrak{q}_1\ldots\mathfrak{q}_m)^{-1}

여기서 \mathfrak{p}_i,\mathfrak{q}_j는 소 아이디얼이며, \mathfrak{p}_i,\mathfrak{q}_j \in \text{Spec}(\mathcal{O}_K)이다. 이는 \mathcal{O}_K의 스펙트럼 내에서 성립한다. 예를 들어,

:\frac{2}{5}\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(i)}는 (1+i)(1-i)((1+2i)(1-2i))^{-1} 로 인수분해된다.

또한, 수체 위의 분수 아이디얼은 모두 유한 생성되므로, 분모를 제거하기 위해 어떤 \alpha를 곱하여 아이디얼 J를 얻을 수 있다. 따라서

:I = \frac{1}{\alpha}J

와 같이 표현 가능하다. 또 다른 유용한 구조 정리는 정수 분수 아이디얼이 최대 2개의 원소로 생성된다는 것이다. \mathcal{O}_K의 부분 집합인 분수 아이디얼을 ''정수'' 분수 아이디얼이라고 부른다.

참조

[1] 서적 Class field theory https://www.worldcat[...] Springer 2009
[2] 서적
[3] 서적
[4] url http://projecteuclid[...]


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