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아이젠슈타인 판정법

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목차

1. 개요

아이젠슈타인 판정법은 유일 인수 분해 정역 R에서 계수를 갖는 다항식의 기약성을 판별하는 방법이다. 이 판정법은 기약원 p가 특정 조건을 만족할 경우, 다항식이 분수체 FracR의 다항식환 (FracR)[x]에서 기약 다항식임을 보장한다. 정수 계수를 갖는 다항식에 적용할 경우, 소수 p가 특정 조건을 만족하면 유리수 상에서 기약 다항식이 된다. 아이젠슈타인 판정법은 정수환뿐만 아니라 일반적인 정역에서도 적용 가능하며, 뉴턴 다각형 이론과 같은 고급 개념과 연결된다. 이 판정법은 다항식의 기약성을 증명하는 데 유용하며, 소수 번째 원분 다항식의 기약성을 증명하는 데에도 사용된다.

2. 정의

유일 인수 분해 정역 R에서 계수를 취하는 n\ge 1차 다항식

:f(x)=r_nx^n+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots+r_0\in R[x]

가 주어졌다고 하자. 또한, 다음 세 조건을 만족시키는 기약원 p\in R가 존재한다고 하자.

:p\nmid r_n

:p\mid r_0,\dots,r_{n-1}

:p^2\nmid r_0

'''아이젠슈타인 판정법'''에 따르면, f(x)는 분수체 \operatorname{Frac}R의 다항식환 (\operatorname{Frac}R)[x] 속에서 기약 다항식이다. 즉, f(x)는 더 낮은 차수의 두 R 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 f(x)가 원시 다항식이라면, f(x)는 R[x]에서 기약 다항식이다.[11]

보다 일반적으로, 정역 R에서 계수를 취하는 n\ge 1차 다항식

:f(x)=r_nx^n+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots+r_0\in R[x]

가 주어졌고, 다음을 만족시키는 소 아이디얼 \mathfrak p\subsetneq R가 존재한다고 하자.

:r_n\not\in\mathfrak p

:r_0,\dots,r_{n-1}\in\mathfrak p

:r_0\not\in\{rs\colon r,s\in\mathfrak p\}

그렇다면, f(x)는 더 낮은 차수의 두 R 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 f(x)의 계수의 공약수가 가역원밖에 없다면, f(x)는 R[x]에서 기약 다항식이다.[12]

정수 계수를 갖는 다항식

:Q(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

에서, 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 소수 p가 존재한다면:


  • p는 0 \le i < n에 대해 각 a_i를 나눈다.
  • p는 a_n을 나누지 않는다.
  • p^2는 a_0를 나누지 않는다.


Q(x)는 유리수 상에서 기약 다항식이다. 또한 정수 상에서도 기약 다항식일 것이다. 단, 모든 계수가 공통된 비자명 인수를 갖는 경우는 제외한다(이 경우 정수 다항식인 Q(x)는 p와 다른 소수를 기약 인수로 가질 것이다). 후자의 가능성은 먼저 Q(x)를 계수의 최대공약수(Q(x)의 내용)로 나누어 원시 다항식으로 만들어서 피할 수 있다. 이 나눗셈은 Q(x)가 유리수 상에서 기약적인지 여부를 변경하지 않으며(원시 부분-내용 인수분해 참조), p에 대한 판정법의 가설을 무효화하지 않는다(반대로, 이 나눗셈은 나눗셈 전에는 성립하지 않더라도 어떤 소수에 대한 판정법이 성립하도록 할 수 있다).

P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} +\dotsb + a_1 x + a_0을 정수 계수의 다항식으로 할 때, 어떤 소수 p가 존재하여, 정수 a_0, a_1, \dots, a_n가

  • i \ne n의 경우 a_i는 p로 나누어 떨어진다.
  • a_n은 p로 나누어 떨어지지 않는다.
  • a_0은 p^2으로 나누어 떨어지지 않는다.

를 만족한다면, P(x)는 유리수체 \mathbb{Q} 위에서 기약이다.

위 정리의 계수환 Z는 유일 인수 분해 환까지 일반화할 수 있다. 즉, 다음과 같다. 증명은 완전히 동일하다.

:A를 유일 인수 분해 환, K를 그 분수체로 하고, P(x)= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0를 A 계수의 다항식으로 한다. 어떤 A의 소원 p가 존재하여, a_0, a_1, \dots, a_n가

  • i \ne n의 경우 a_i는 p로 나누어 떨어진다.
  • a_n은 p로 나누어 떨어지지 않는다.
  • a_0은 p^2으로 나누어 떨어지지 않는다.

를 만족한다면, P(x)는 체 K 위에서 기약이다.

3. 증명

귀류법을 사용하여, f(x)가 (\operatorname{Frac}R)[x]의 기약 다항식이 아니라고 가정한다. 그렇다면, f(x)=g(x)h(x)인 d,e\ge 1차 다항식

:g(x)=s_dx^d+s_{d-1}x^{d-1}+\cdots+s_0\in R[x]

:h(x)=t_ex^e+t_{e-1}x^{e-1}+\cdots+t_0\in R[x]

가 존재한다.

:p\mid r_0=s_0t_0

이며, p는 소원이므로, p\mid s_0이거나 p\mid t_0이다. 편의상 p\mid s_0이라고 하자. 그렇다면 p^2\nmid r_0이므로 p\nmid t_0이다. 이제,

:p\nmid r_n=s_dt_e

이므로 p\nmid s_d이며,

:p\mid s_0,\dots,s_{k-1}

:p\nmid s_k

인 1\le k\le d를 고를 수 있다. 따라서

:p\nmid s_0t_k+s_1t_{k-1}+\cdots+s_{k-1}t_1+s_kt_0=r_k

이며, k\le d이므로 이는 모순이다.

정수 계수를 갖는 다항식

Q(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0.

이 있을 때, 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 소수 p가 존재한다고 가정하자.


  • p는 0 \le i < n에 대해 각 a_i를 나눈다.
  • p는 a_n을 나누지 않는다.
  • p^2는 a_0를 나누지 않는다.


그러면 Q는 유리수 상에서 기약 다항식이며, 정수 상에서도 기약 다항식이다. 단, 모든 계수가 공통된 비자명 인수를 갖는 경우는 제외한다. 이 경우 정수 다항식인 Q는 p와 다른 소수를 기약 인수로 가질 수 있다.

아이젠슈타인 판정법의 타당성을 증명하기 위해, 소수 p에 대해 판정법을 만족하는 Q가 있지만, \mathbb{Q}[x]에서 기약적이지 않다고 가정하고 모순을 이끌어낸다. 가우스 보조 정리에 따르면, Q는 \mathbb{Z}[x]에서도 기약적이지 않으며, 두 비상수 다항식 G, H의 곱 Q = GH로 쓸 수 있다.

이제 Q = GH를 모듈로 p로 축소하여 (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[x]에서 분해를 얻는다. 가설에 따르면, Q에 대한 이 축소는 ax^n 형태의 선두 항(여기서 a \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}는 0이 아닌 상수)을 유일한 0이 아닌 항으로 남긴다. G와 H의 모듈로 p 축소도 모든 비선두 항을 사라지게 해야 한다. 왜냐하면 (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[x]에서는 ax^n의 다른 분해가 불가능하기 때문이며, 이는 고유 인수 분해 정역이기 때문이다. 특히 G와 H의 상수항은 축소에서 사라지므로 p로 나누어 떨어지지만, 그러면 곱인 Q의 상수항은 p^2로 나누어 떨어지며, 이는 가설에 모순된다.

아이젠슈타인 판정법의 두 번째 증명은 다항식 Q(x)가 기약적이라는 가정에서 시작하여, 이 가정이 모순을 수반한다는 것을 보인다.

가정은 다음과 같다.

Q(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

기약적이라는 것은 다음과 같은 다항식이 있다는 것을 의미한다.

\begin{align}

G(x) &= c_r x^r + c_{r-1} x^{r-1} + \cdots + c_0 && r \ge 1 \\

H(x) &= d_s x^s + d_{s-1} x^{s-1} + \cdots + d_0 && s \ge 1

\end{align}

그리고 다음을 만족한다.

Q(x) = G(x) \cdot H(x), \qquad n = r+s.

다항식 Q(x)의 계수 a_0는 소수 p로 나누어 떨어지지만 p^2으로는 나누어 떨어지지 않는다. a_0 = c_0 d_0이므로, c_0 또는 d_0를 p로 나눌 수 있지만 둘 다 나눌 수는 없다. 일반성을 잃지 않고,

  • p로 나눌 수 있는 계수 c_0를 사용하고
  • p로 나눌 수 없는 계수 d_0를 사용한다.


가정에 의해 p는 a_n을 나누지 않는다. a_n = c_r d_s이므로, c_r도 d_s도 p로 나눌 수 없다. a_r이 기약적인 다항식 Q의 r번째 계수이면,

a_r=c_r d_0 + c_{r-1}d_1 + \cdots + c_0 d_r

여기서 c_r d_0은 p로 나눌 수 없는데, d_0도 c_r도 p로 나눌 수 없기 때문이다.

c_0, c_1, \ldots, c_{r-1}이 모두 p로 나누어 떨어진다는 것을 증명할 것이다. a_r도 p로 나누어 떨어지므로, 이는

c_r d_0 = a_r- \left (c_{r-1}d_1 + \cdots + c_0 d_r \right )

이 p로 나누어 떨어지며, 이는 판정법을 증명하는 모순을 의미한다.

c_0 d_r은 p로 나눌 수 있는데, c_0이 p로 나누어 떨어지기 때문이다.

다항식 Q(x)의 계수 a_1을 p로 나눌 수 있다.

a_1 = c_0 d_1 + c_1 d_0

이고 d_0은 p의 배수가 아니므로, c_1을 p로 나눌 수 있어야 한다. 유사하게, 귀납법에 의해, c_i는 모든 i에 대해 p의 배수이며, 이는 증명을 완료한다.

4. 예

아이젠슈타인 판정법은 주어진 다항식이 기약 다항식인지 판정하는 데 사용되며, 여러 가지 예시를 통해 그 적용 방법을 이해할 수 있다.


  • 정수 계수 다항식:
  • x^4+2는 아이젠슈타인 판정법에 의해 기약 다항식이다.
  • 3x^4 + 15x^2 + 10은 소수 5에 대해 아이젠슈타인 판정법을 만족하므로 기약 다항식이다.
  • x^2 + x + 2는 직접적으로 아이젠슈타인 판정법을 적용할 수 없지만, x 대신 x+3을 대입하면 x^2 + 7x + 14가 되어 소수 7에 대해 판정법을 만족한다. 따라서 원래 다항식도 기약이다.
  • 2x^5 - 4x^2 - 3은 계수의 순서를 뒤집으면 p=2에 대해 판정법을 만족하여 기약 다항식임을 알 수 있다.
  • 원분 다항식: 소수 p에 대한 원분 다항식 \frac{x^p - 1}{x - 1} = x^{p - 1} + x^{p - 2} + \cdots + x + 1은 x 대신 x+1을 대입하면 아이젠슈타인 판정법을 만족하여 기약 다항식임을 알 수 있다.
  • 유리 함수체 위의 다항식: K(t)/K 속 다항식 xn - t ∈ K(t)[x]는 아이젠슈타인 판정법에 따라 기약 다항식이다.[1]
  • 복소 계수 다항식: 복소수 계수 다항식 X^2 + Y^2 - 1은 기약 다항식이다.

4. 1. 정수 계수 다항식

아이젠슈타인 판정법에 따라, 정수 계수 다항식 x^4+2\in\mathbb Z[x]는 기약 다항식이다. 보다 일반적으로, 임의의 n\in\mathbb Z^+ 및 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수 a\ge 2에 대하여, x^n\pm a\in\mathbb Z[x]는 기약 다항식이다. 이에 따라, 유리수체 \mathbb Q의 다항식환 \mathbb Q[x]는 실수체나 복소수체와 달리 임의 차수의 기약 다항식을 가진다. 또한, 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수 a\ge 2의 거듭제곱근 \sqrt[n]a (n\ge 2)는 항상 무리수이다.

다항식 Q(x) = 3x^4 + 15x^2 + 10을 고려해 보자. 소수 p에 대해 아이젠슈타인 판정법을 적용하려면, 15와 10의 두 비선도 계수를 모두 나누어야 한다. 즉, p = 5만이 가능하며, 실제로 적용된다. 왜냐하면 5는 선도 계수 3을 나누지 않고, 5의 제곱인 25는 상수 계수 10을 나누지 않기 때문이다. 따라서 Q(x)가 \mathbb Q 위에서 기약임을 결론 내릴 수 있다 (그리고 원시다항식이므로 \mathbb Z 위에서도 기약이다). Q(x)는 4차이므로 Q(x)가 유리근을 갖지 않는지 확인하는 것만으로는 (1차 인수를 제거하는 것) 이 결론을 도출할 수 없다는 점에 유의해야 한다. 왜냐하면 이차 인수 두 개로 분해될 수도 있기 때문이다.

아이젠슈타인 판정법은 종종 어떤 소수에도 적용되지 않는다. 하지만 (어떤 정수 a에 대해) x 대신 x+a를 대입하여 얻은 다항식에 (어떤 소수에 대해) 적용될 수 있다. 대입 후 다항식이 기약이라는 사실은 원래 다항식 또한 기약임을 결론 내릴 수 있게 해준다. 이 절차는 "이동"을 적용하는 것으로 알려져 있다.

예를 들어 H = x^2 + x + 2를 생각해 보자. 여기서 x의 계수 1은 어떤 소수로도 나누어 떨어지지 않으므로 아이젠슈타인 판정법은 H에 적용되지 않는다. 그러나 H에서 x 대신 x+3을 대입하면 다항식 x^2 + 7x + 14를 얻게 되는데, 이 다항식은 소수 7에 대해 아이젠슈타인 판정법을 만족한다. 이 대입은 링 \mathbb Q[x]의 자기 동형 사상이므로, 대입 후 기약 다항식을 얻었다는 사실은 원래 기약 다항식을 가지고 있었음을 의미한다. 이 특정 예에서는 H (2차의 모닉 다항식)이 정수 근을 가지는 경우에만 기약 가능하며, 이는 분명히 그렇지 않다는 점을 주장하는 것이 더 간단했을 것이다. 그러나 아이젠슈타인 판정법을 적용하기 위해 대입을 시도하는 일반적인 원리는 그 범위를 넓히는 유용한 방법이다.

아이젠슈타인 판정법을 만족하도록 다항식을 변환하는 또 다른 가능성은, 상수항이 0이 아닌 경우 (그렇지 않으면 어쨌든 x로 나누어질 것이다) 계수의 순서를 뒤집는 것이다. 이는 이러한 다항식이 R[x]에서 기약적인 것과 R[x, x^{-1}] (어떤 정역 R에 대해)에서 기약적인 것은 동치이기 때문이다. 이 링에서 x^{-1}를 x에 대입하면 계수의 순서가 뒤집힌다 (상수 계수를 중심으로 대칭적인 방식으로, 그러나 지수에서 뒤따르는 이동은 단위 요소로 곱하는 것과 같다). 예를 들어 2x^5 - 4x^2 - 3은 계수를 뒤집은 후 p=2에 대해 판정법을 만족하며 (원시다항식이므로) 따라서 \mathbb Z[x]에서 기약적이다.

아이젠슈타인 판정법의 정리는 다음과 같다.

:P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} +\dotsb + a_1 x + a_0을 정수 계수의 다항식으로 한다. 어떤 소수 p가 존재하여, 정수 a_0, a_1, \dots, a_n가

  • i \ne n의 경우 a_i는 p로 나누어 떨어진다.
  • a_n은 p로 나누어 떨어지지 않는다.
  • a_0은 p^2으로 나누어 떨어지지 않는다.

를 만족한다면, P(x)는 유리수체 \mathbb Q 위에서 기약이다.

4. 2. 소수 번째 원분 다항식

소수 p에 대하여,

:f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+1=\frac{x^p-1}{x-1}\in\mathbb Q[x]

의 기약성은 아이젠슈타인 판정법으로 직접 판단할 수 없다. 하지만 f(x)의 기약성은

:f(x+1)=\frac{(x+1)^p-1}x=\sum_{i=1}^p\binom pix^{i-1}\in\mathbb Q[x]

의 기약성과 동치이며,

:p\mid\frac{p(p-1)\cdots(p-i+1)}{i!}=\binom pi\qquad\forall i\in\{1,\dots,p-1\}

이므로 (이는 분모는 p의 배수이고 분자는 아니기 때문이다), 아이젠슈타인 판정법에 따라 f(x+1)\in\mathbb Q[x]는 기약 다항식이다. 따라서 f(x)\in\mathbb Q[x] 역시 기약 다항식이다. 이는 p번째 원분 다항식과 같다.

아이젠슈타인 판정법을 사용하여 기약성을 확립할 수 있는 중요한 종류의 다항식은 소수 p에 대한 원분 다항식이다. 이러한 다항식은 다항식 x^p - 1을 선형 인자 x - 1로 나누어 얻으며, 이는 분명한 근 1에 해당한다(p>2인 경우 유일한 유리수 근).

:\frac{x^p - 1}{x - 1} = x^{p - 1} + x^{p - 2} + \cdots + x + 1.

여기서, 앞서 H의 예에서와 같이, 계수 1은 아이젠슈타인 판정법이 직접 적용되는 것을 막는다. 그러나 이 다항식은 x 대신 x + 1을 대입한 후 p에 대한 판정법을 만족한다. 이는 다음과 같다.

:\frac{(x+1)^p - 1}{x} = x^{p - 1} + \binom{p}{p-1}x^{p - 2} + \cdots + \binom{p}2 x + \binom{p}1,

모든 비최고차항 계수는 이항 계수의 속성에 의해 p로 나누어지고, 상수항은 p와 같으므로 p^2으로 나누어지지 않는다.

4. 3. 유리 함수체 위의 다항식

아이젠슈타인 판정법에 따라, 초월 단순 확대 K(t)/K 속 다항식 xn - t ∈ K(t)[x]는 기약 다항식이다. 이는 K[t]가 유일 인수 분해 정역이며, t ∈ K[t]가 그 기약원이기 때문이다.[1]

4. 4. 복소 계수 다항식

복소수 계수 다항식 X^2 + Y^2 - 1은 기약 다항식이다. 실제로는 C[X] 계수의 일변수 다항식으로 보고 소원(素元, irreducible element)으로 X-1을 선택하면 된다.

5. 역사

크렐레의 잡지에 테오도어 섀네만은 1846년에, 아이젠슈타인은 1850년에 각각 아이젠슈타인 판정법의 한 버전을 발표했다.[2][3][4]

섀네만은 ${displaystyle (x-a)^{n}+pF(x)}$가 ${displaystyle p^{2}}$를 법으로 할 때 기약다항식이 되려면, ${displaystyle F(x)}$가 법 ${displaystyle p}$에 대해 ${displaystyle x-a}$를 인수로 포함하지 않아야 한다는 버전을 발표했다. ${displaystyle F(x)}$에 대한 조건은 ${displaystyle F(a)}$가 ${displaystyle p}$로 나누어지지 않는다는 것을 의미하며, 따라서 ${displaystyle pF(a)}$는 ${displaystyle p}$로 나누어지지만 ${displaystyle p^{2}}$로 나누어지지 않는다. ${displaystyle F(x)}$의 차수가 ${displaystyle n}$을 초과하지 않는다고 가정하면, 이 기준은 위에서 주어진 공식보다 다소 강력하다.[2][3]

아이젠슈타인은 다항식 ${displaystyle F(x)}$에서 최고차항의 계수가 1이고, 그 다음의 모든 계수가 정수(실수, 복소수)이며, 특정(실수 또는 복소수) 소수 ${displaystyle m}$이 나누어지고, 게다가 마지막 계수가 ${displaystyle epsilon m}$과 같을 때, 여기서 ${displaystyle epsilon }$는 ${displaystyle m}$으로 나누어지지 않는 수를 나타낸다는 버전을 발표했다. 여기서 "정수"는 일반적인 정수이고 "정 복소수"는 가우스 정수이다. 아이젠슈타인이 자신의 기준을 제시한 이유는 르mniscate를 같은 호 길이의 조각으로 나누는 것과 관련된 특정 다항식의 기약성을 확인하기 위해서였다.[4]

섀네만과 아이젠슈타인은 각각의 기약성 기준을 공식화한 후, 소수에 대한 원분 다항식의 기약성에 대한 초등적인 증명을 제시했다. 이는 가우스가 그의 ''수론연구(Disquisitiones Arithmeticae)''에서 더 복잡한 증명으로 얻었던 결과였다. 아이젠슈타인은 각주에서 가우스의 증명 외에 알려진 유일한 증명은 크로네커가 1845년에 제시한 증명이라고 언급했다. 이는 그가 섀네만이 1846년 논문에서 제시한 두 가지 다른 증명을 알지 못했음을 보여준다. 다음 호의 잡지에 실린 노트("Notiz")에서[5] 섀네만은 아이젠슈타인에게 이 점을 지적하고 후자의 방법이 그가 두 번째 증명에서 사용한 방법과 본질적으로 다르지 않다고 언급했다.

6. 일반화

유일 인수 분해 정역 R에서 계수를 취하는 n\ge 1차 다항식

:f(x)=r_nx^n+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots+r_0\in R[x]

가 주어졌다고 하자. 또한, 다음 세 조건을 만족시키는 기약원 p\in R가 존재한다고 하자.

:p\nmid r_n

:p\mid r_0,\dots,r_{n-1}

:p^2\nmid r_0

'''아이젠슈타인 판정법'''에 따르면, f(x)는 분수체 \operatorname{Frac}R의 다항식환 (\operatorname{Frac}R)[x] 속에서 기약 다항식이다. 즉, f(x)는 더 낮은 차수의 두 R 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 f(x)가 원시 다항식이라면, f(x)는 R[x]에서 기약 다항식이다.[11][12]

보다 일반적으로, 정역 R에서 계수를 취하는 n\ge 1차 다항식

:f(x)=r_nx^n+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots+r_0\in R[x]

가 주어졌고, 다음을 만족시키는 소 아이디얼 \mathfrak p\subsetneq R가 존재한다고 하자.

:r_n\not\in\mathfrak p

:r_0,\dots,r_{n-1}\in\mathfrak p

:r_0\not\in\{rs\colon r,s\in\mathfrak p\}

그렇다면, f(x)는 더 낮은 차수의 두 R 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 f(x)의 계수의 공약수가 가역원밖에 없다면, f(x)는 R[x]에서 기약 다항식이다.[12]

정수 영역 D가 주어졌을 때,

:Q = \sum_{i=0}^n a_i x^i

를 D[x]의 원소로 하자. 여기서 D[x]는 D를 계수로 하는 다항식환이다.

D의 소 아이디얼 \mathfrak p가 존재하여 다음 조건을 만족한다고 가정하자.


  • 각 i \ne n에 대해, a_i \in \mathfrak p
  • a_n \notin \mathfrak p
  • a_0 \notin \mathfrak p^2 (여기서 \mathfrak p^2는 \mathfrak p와 자기 자신과의 아이디얼 곱)


그러면 Q는 D[x]에서 비상수 다항식 두 개의 곱으로 나타낼 수 없다. 또한 Q가 원시다항식 (즉, 비자명한 ''상수'' 약수를 가지지 않음)이면, D[x]에서 기약 다항식이다. 만약 D가 유일 인수 분해 정역이고 분수체 F를 갖는다면, 가우스의 보조정리에 의해, Q는 원시다항식인지 여부에 관계없이 F[x]에서 기약 다항식이다 (상수 인수는 F[x]에서 가역원이기 때문). 이 경우 소 아이디얼로 가능한 선택은 D의 기약 원소에 의해 생성된 주 아이디얼이다.

P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} +\dotsb + a_1 x + a_0을 정수 계수의 다항식으로 한다. 어떤 소수 p가 존재하여, 정수 a_0, a_1, \dots, a_n가

  • i \ne n의 경우 a_i는 p로 나누어 떨어진다.
  • a_n은 p로 나누어 떨어지지 않는다.
  • a_0은 p^2으로 나누어 떨어지지 않는다.

를 만족한다면, P(x)는 유리수체 \mathbb{Q} 위에서 기약이다.

위의 정리의 계수환 Z는 유일 인수 분해 환까지 일반화할 수 있다. 즉, 다음과 같다. 증명은 완전히 동일하다.

:A를 유일 인수 분해 환, K를 그 분수체로 한다. P(x)= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0

를 A 계수의 다항식으로 한다. 어떤 A의 소원 p가 존재하여, a_0, a_1, \dots, a_n가

  • i \ne n의 경우 a_i는 p로 나누어 떨어진다.
  • a_n은 p로 나누어 떨어지지 않는다.
  • a_0은 p^2으로 나누어 떨어지지 않는다.

를 만족한다면, P(x)는 체 K 위에서 기약이다.

7. 고급 설명

유일 인수 분해 정역 R에서 계수를 취하는 n\ge 1차 다항식

:f(x)=r_nx^n+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots+r_0\in R[x]

가 주어졌다고 하자. 또한, 다음 세 조건을 만족시키는 기약원 p\in R가 존재한다고 하자.

:p\nmid r_n

:p\mid r_0,\dots,r_{n-1}

:p^2\nmid r_0

'''아이젠슈타인 판정법'''에 따르면, f(x)는 분수체 \operatorname{Frac}R의 다항식환 (\operatorname{Frac}R)[x] 속에서 기약 다항식이다. 즉, f(x)는 더 낮은 차수의 두 R 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 f(x)가 원시 다항식이라면, f(x)는 R[x]에서 기약 다항식이다.[11][12]

보다 일반적으로, 정역 R에서 계수를 취하는 n\ge 1차 다항식

:f(x)=r_nx^n+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots+r_0\in R[x]

가 주어졌고, 다음을 만족시키는 소 아이디얼 \mathfrak p\subsetneq R가 존재한다고 하자.

:r_n\not\in\mathfrak p

:r_0,\dots,r_{n-1}\in\mathfrak p

:r_0\not\in\{rs\colon r,s\in\mathfrak p\}

그렇다면, f(x)는 더 낮은 차수의 두 R 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 f(x)의 계수의 공약수가 가역원밖에 없다면, f(x)는 R[x]에서 기약 다항식이다.[12]

귀류법을 사용하여 증명할 수 있다. f(x)가 (\operatorname{Frac}R)[x]에서 기약 다항식이 아니라고 가정하면, f(x)=g(x)h(x)인 d,e\ge 1차 다항식

:g(x)=s_dx^d+s_{d-1}x^{d-1}+\cdots+s_0\in R[x]

:h(x)=t_ex^e+t_{e-1}x^{e-1}+\cdots+t_0\in R[x]

가 존재한다.

:p\mid r_0=s_0t_0

이고, p는 소원이므로, p\mid s_0이거나 p\mid t_0이다. 편의상 p\mid s_0이라고 하자. 그러면 p^2\nmid r_0이므로 p\nmid t_0이다.

:p\nmid r_n=s_dt_e

이므로 p\nmid s_d이며,

:p\mid s_0,\dots,s_{k-1}

:p\nmid s_k

인 1\le k\le d를 고를 수 있다. 따라서

:p\nmid s_0t_k+s_1t_{k-1}+\cdots+s_{k-1}t_1+s_kt_0=r_k

이며, k\le d이므로 이는 모순이다.

정수 계수를 갖는 다항식

: Q(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

에 대해, 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 소수 p가 존재한다면:


  • p는 0 \le i < n에 대해 각 a_i를 나눈다.
  • p는 a_n을 나누지 않는다.
  • p^2는 a_0를 나누지 않는다.

Q(x)는 유리수 상에서 기약 다항식이다. 또한, 모든 계수가 공통된 인수를 갖지 않는다면 정수 상에서도 기약 다항식이다.

아이젠슈타인 판정법은 어떤 경우에는 특정 소수에 대해 바로 적용되지 않을 수 있지만, 변수 치환(예: x 대신 x + a 사용)을 통해 얻은 다항식에 아이젠슈타인 판정법을 적용할 수 있는 경우가 있다. 이러한 변환을 통해 원래 다항식이 기약임을 보일 수 있다. 예를 들어, H = x^2 + x + 2는 아이젠슈타인 판정법을 바로 적용할 수 없지만, x를 x + 3으로 치환하면 x^2 + 7x + 14를 얻고, 이는 소수 7에 대해 아이젠슈타인 판정법을 만족한다.

뉴턴 다각형 이론을 통해 아이젠슈타인 판정법을 일반화할 수 있다. 아이젠슈타인 다항식의 경우, p-진수 필드에서 아래쪽 볼록 포락선을 고려하면, 이는 (0, 1)에서 (n, 0)까지의 기울기가 -1/n인 단일 선분으로 나타난다. 이는 다항식의 각 근이 p-진수 값 매김 1/n을 가지며, 따라서 다항식이 p-진수 필드와 유리수 필드에서 기약적임을 의미한다.

8. 응용

정수환의 기본적인 예시 중 하나인 에서, 가변수 를 포함하는 다항식환 는 체 위에서 정의된다. 이 경우, 에 의해 생성된 주 아이디얼은 소 아이디얼이다. 아이젠슈타인 판정법은 와 같은 다항식의 기약성을 에서 증명하는 데 사용될 수 있다. 실제로, 는 을 나누지 않고, 는 을 나누지 않으며, 는 과 를 나눈다. 이는 이 다항식이 주 아이디얼 에 대한 아이젠슈타인 판정법의 일반화 가설을 충족한다는 것을 보여준다. 왜냐하면, 주 아이디얼 의 원소라는 것은 로 나누어 떨어진다는 것과 동치이기 때문이다.

참조

[1] harvp
[2] harvp
[3] harvp
[4] harvp
[5] harvp
[6] harvp Local fields
[7] Harvtxt
[8] Harvtxt
[9] harvtxt
[10] harvtxt
[11] 서적 Algebra Springer 2002
[12] 서적 Abstract Algebra Springer 2007


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