알레의 역설

3. 알레의 역설에 대한 설명

알레의 역설은 사람들이 두 가지 도박 중 하나를 선택하는 실험에서 나타나는 현상이다. 각 실험은 A와 B 두 가지 도박으로 구성되며, 그 보상은 다음과 같다.

여러 연구에 따르면,^[2][3] 사람들은 실험 1에서는 1A를, 실험 2에서는 2B를 선택하는 경향이 있다. 알레는 1A 또는 2B 중 하나만 선택하는 것이 합리적이라고 주장했다.

그러나 1A와 2B를 함께 선택하는 것은 기대효용가설에 어긋난다. 기대효용가설에 따르면, 1A와 2A를 선택하거나 1B와 2B를 선택해야 한다.

이러한 불일치는 기대효용가설의 '독립성 공리'에서 비롯된다. 독립성 공리는 두 선택지에 동일한 결과를 더했을 때, 선호도에 영향을 미치지 않아야 한다는 것이다. 즉, 각 실험에서 89%의 확률로 동일한 결과를 제공하는 부분을 무시하면, 두 도박 간의 선택은 동일해진다.

예를 들어, 1B와 2B는 89%의 확률을 제외하면, '아무것도 얻지 못할 1%의 확률과 500만달러를 얻을 10%의 확률'로 동일해진다. 1A와 2A도 마찬가지다.

알레는 독립성 공리가 현실적이지 않다고 주장하며, 자신의 역설을 반례로 제시했다. 그는 도박의 한 부분에서의 선택이 다른 부분의 결과에 영향을 받을 수 있다는 '보완성' 개념을 간과한다고 지적했다. 예를 들어, 1B를 선택하고 패배했을 때, 1A를 선택했다면 확실하게 이길 수 있었다는 사실에 큰 실망감을 느낄 수 있다.

이러한 문제점으로 인해 전망 이론, 가중 효용, 순위 의존적 기대효용, 후회 이론 등 기대효용가설의 대안들이 등장했다. 마이클 번바움은 알레의 역설에 대한 실험적 분석을 통해, 자신의 형상 가중치 이론으로 설명될 수 있음을 보였다.^[4]

알레의 역설에 대한 일반적인 설명은 사람들이 확실한 결과를 선호한다는 '확실성 효과'이다. 대니얼 카너먼과 아모스 트버스키는 확실성 효과를 대중화했으며,^[5] 최근 연구에서는 '제로 효과'라는 대안적 설명도 제시되었다.^[6] (제로 효과에 대한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.)

3. 1. 제로 효과

실험 결과, 2단계 실험에서 1B보다 1A를, 2A보다 2B를 선택한 사람들은 기대효용가설을 위반했다. 이들을 대상으로 한 3단계 실험에서 3B보다 3A를 선택한 참가자들은 제로 효과를, 3A보다 3B를 선택한 참가자들은 확실성 효과를 보였다. 즉, (1A, 2B, 3B)를 선택한 사람들은 확실한 결과를 얻을 수 있을 때만 합리적 선택에서 벗어났고, (1A, 2B, 3A)를 선택한 사람들은 아무것도 얻지 못할 위험을 피하기 위해 합리적 선택에서 벗어났다.^[6]

결론적으로, 6개 복권 실험에서 제로 효과는 p값 < 0.01로 통계적으로 유의미했지만, 확실성 효과는 통계적으로 유의미하지 않았다. 이는 제로 효과가 기대효용가설에서 벗어나는 사람들의 행동을 설명하는 더 적절한 요인임을 시사한다.^[6]

4. 수학적 증명

위의 값들과 효용함수 ''U''(''W'')(''W''는 부를 나타냄)를 사용하면, 이 역설이 어떻게 나타나는지 정확히 증명할 수 있다.

일반적인 개인이 1B보다 1A를, 2A보다 2B를 선호하기 때문에, 선호되는 것의 기대효용이 두 번째 선택의 기대효용보다 크다고 결론지을 수 있다. 즉,

: 1U(100만달러) > 0.89U(100만달러) + 0.01U(0USD) + 0.1U(500만달러)

: 0.89U(0USD) + 0.11U(100만달러) < 0.9U(0USD) + 0.1U(500만달러)

후자의 방정식(실험 2)을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

: 0.11U(100만달러) < 0.01U(0USD) + 0.1U(500만달러)

: 1U(100만달러) - 0.89U(100만달러) < 0.01U(0USD) + 0.1U(500만달러)

: 1U(100만달러) < 0.89U(100만달러) + 0.01U(0USD) + 0.1U(500만달러),

이는 첫 번째 도박(실험 1)과 모순되는데, 첫 번째 도박에서는 플레이어가 도박보다 확실한 것을 선호한다는 것을 보여준다.

5. 역사

알레의 역설은 1952년 파리에서 열린 경제학 회의인 콜로크 인터내셔널 뒤 상트르 나시오날 드 라 르셰르슈 시앙티피크에서 모리스 알레가 처음 소개했다. 알레는 경제학자들로 구성된 청중에게 다양한 선택 세트를 제시했는데, 청중은 기대효용가설과 일치하지 않는 결정을 내렸다.^[7] 그럼에도 불구하고, 청중은 알레의 발견의 타당성을 인정하지 않았고 이 역설을 단순한 불규칙성으로 일축했다. 알레는 1953년에 경제학 전문 학술지인 《이코노메트리카》에 알레의 역설에 대한 발견을 발표했다.

알레의 연구는 1980년대가 되어서야 행동경제학 분야에서 실행 가능한 것으로 여겨지기 시작했다. 다음 표는 JSTOR를 통해 수집한 문헌에서 알레의 역설이 등장한 빈도를 보여준다.

역사학자 플로리스 호이켈롬은 이러한 인기 없음의 원인을 네 가지로 설명한다.^[7]

• 첫째, 알레의 연구는 그가 《기대효용가설과 알레의 역설》을 출간한 1979년까지 프랑스어에서 영어로 번역되지 않았다. 이 책에는 게임 이론의 공동 창시자인 오스카르 모르겐슈테른을 포함한 다양한 경제학자들과 관련 연구 분야의 연구자들이 기여했다.^[7]
• 둘째, 1950년대와 60년대에는 행동적 측면에서의 경제학 분야가 거의 연구되지 않았다. 폰 노이만-모르겐슈테른 효용 정리는 알레의 역설이 나오기 6년 전인 1947년에 증명되었다.^[8]
• 셋째, 1979년에 아모스 트버스키와 대니얼 카너먼이 전망 이론을 소개하는 논문에서 알레의 연구를 인용했다. 카너먼과 트버스키의 연구는 알레의 역설을 "기대효용가설에 대한 가장 잘 알려진 반례"로 인정했다.^[9] 카너먼과 트버스키의 논문은 《이코노메트리카》에서 가장 많이 인용된 논문 중 하나가 되었고, 이는 알레의 역설의 인기를 더욱 높였다.^[10] 알레의 역설은 트버스키와 카너먼의 《생각에 관한 생각》(2011)에서 다시 한 번 소개되었다.^[11]
• 마지막으로, 알레가 1988년에 노벨 경제학상을 수상하면서 그의 영향력이 더욱 높아졌고, 이는 이 역설에 대한 인정을 더욱 강화했다.^[12]

6. 비판

알레의 역설은 기대효용가설에 대한 반례로 여겨지지만, 조지타운 대학교의 마케팅 교수인 뤼크 와티외는 알레의 역설이 수정된 효용함수의 필요성을 보여주는 것이며, 본질적으로 역설적이지 않다고 주장했다.^[9][13] 《알레의 역설에 대한 비판》(1993)에서 와티외는 이 역설이 기대효용가설에서 요구되는 "독립성 공리의 유효한 검증을 구성하지 않는다"고 주장한다. 이는 이 역설이 하나의 선택 세트 내의 선호도가 아닌, 두 개의 별개의 경우 사이의 선호도 비교를 포함하기 때문이다.^[13]

7. 응용

요시무라 등(2013)은 개인의 상태에 따라 달라지는 변수를 포함시켜 기대효용가설이 제안한 표준 효용함수를 수정했는데, 이를 "동적 효용함수"라고 명명했다.^[14] 이 실험 결과는 알레의 역설에서 나타나는 선호도의 전환이 파산과 부를 포함하는 개인의 상태 때문이라는 것을 시사했다.^[14]

리스트와 헤이그(2005)는 전문 트레이더들의 행동에서 나타나는 알레의 역설을 실험을 통해 검증하고 그 결과를 대학생들의 결과와 비교했다.^[15] 알레의 역설을 증명하는 데 사용된 것과 유사한 두 개의 복권을 제시함으로써, 연구자들은 전문 트레이더들이 학생들에 비해 기대효용과 일치하지 않는 선택을 덜 자주 한다는 결론을 내렸다.^[15]

참조

_[1] 서적 Expected Utility Hypotheses and the Allais Paradox. D. Reidel Publishing Company 1979
_[2] 저널 Choice Under Uncertainty: Problems Solved and Unsolved https://archive.org/[...]
_[3] 저널 A quantitative and qualitative test of the Allais paradox using health outcomes http://eprints.lse.a[...]
_[4] 문서 Causes of Allais common consequence paradoxes: An experimental dissection. https://doi.org/10.1[...] Birnbaum, M. H. 2004
_[5] 서적 Prospect Theory For Risk and Ambiguity https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 2021-04-25
_[6] 저널 Is the Allais paradox due to appeal of certainty or aversion to zero? https://link.springe[...] 2021-04-25
_[7] 저널 A history of the Allais paradox 2014-08-08
_[8] 서적 Theory of Games and Economic Behavior https://archive.org/[...] Princeton University Press 1953
_[9] 저널 Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk 1979
_[10] 저널 Theory in Economics: A Review and Assessment https://archive.org/[...] 2013
_[11] 웹사이트 The New York Times Best Seller List – December 25, 2011 http://www.hawes.com[...]
_[12] 웹인용 The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1988 https://www.nobelpri[...]
_[13] 저널 A Critique of the Allais Paradox 1993
_[14] 저널 Dynamic decision-making in uncertain environments II. Allais paradox in human behavior 2013
_[15] 저널 A simple test of expected utility theory using professional traders 2005-01-18