맨위로가기

에렌페스트 정리

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

에렌페스트 정리는 양자역학에서 기댓값의 시간 변화에 대한 중요한 정리이다. 하이젠베르크 묘사에서 관측 가능한 연산자의 시간 변화를 나타내는 식으로부터 유도되며, 슈뢰딩거 묘사에서도 성립한다. 에렌페스트 정리는 슈뢰딩거 방정식의 결과일 뿐만 아니라, 그 역으로 슈뢰딩거 방정식을 유도하는 데에도 사용될 수 있다. 이 정리는 양자역학적 기댓값이 고전 역학의 뉴턴 운동 방정식을 따르는 것처럼 보이게 하지만, 실제로는 차이가 발생하며, 특히 포텐셜이 비선형적인 경우 기댓값의 시간 변화는 고전적인 궤적과 일치하지 않는다.

2. 슈뢰딩거 묘사에서의 유도

하이젠베르크 묘사에서, 임의의 관측 가능한 연산자 A(t)는 시간에 따라 다음과 같이 변한다.

:\frac{d}{dt}A=\frac{\mathrm i}{\hbar}[H,A]+\frac{\partial A}{\partial t}.

하이젠베르크 묘사에서는 상태 벡터 |\psi\rangle는 바뀌지 않으므로, 양변에 기댓값을 취하면 다음과 같다.

:\frac{d}{dt}\langle A\rangle=\frac{\mathrm i}{\hbar}\langle[H,A]\rangle+\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle(t).

양변이 연산자가 아닌 일반 함수이므로, 이 식은 슈뢰딩거 묘사에서도 성립한다. 이 식을 '''에렌페스트 정리'''라고 한다.[6]

어떤 시스템이 양자 상태에 있을 때, 관측 가능한 물리량 A의 기댓값의 시간에 대한 미분은 다음과 같이 표현된다.

:\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle.

연산자 A는 시간에 의존하지 않는 경우가 많아, 이 경우 미분값이 0이 되어 마지막 항은 무시할 수 있다.

위치 연산자 \mathbf r에 대한 에렌페스트 정리를 유도하면 다음과 같다.

:m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\langle \nabla U \rangle

2. 1. 슈뢰딩거 방정식 적용

어떤 시스템이 양자 상태에 있다고 가정하고, A의 기댓값의 시간에 대한 미분을 구해보자. 정의에 따라 다음과 같다.

\begin{align}

\frac{d}{dt}\langle A\rangle &= \frac{d}{dt}\int \Phi^* A \Phi \, d^3x \\

&= \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi\,d^3x + \int \Phi^* \left( \frac{\partial A}{\partial t}\right) \Phi \, d^3x +\int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) \, d^3x \\

&= \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi\,d^3x + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle + \int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) \, d^3x

\end{align}

여기서 모든 공간에 대해 적분한다. 슈뢰딩거 방정식을 적용하면 다음을 얻는다.

\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{1}{i\hbar}H\Phi

켤레 복소수를 취하면[6] 다음을 얻는다.

\frac{\partial \Phi^*}{\partial t} = -\frac{1}{i\hbar}\Phi^*H^* = -\frac{1}{i\hbar}\Phi^*H.

해밀토니안이 에르미트 연산자이므로 임을 주목하고, 이를 위 식에 대입하면 다음과 같다.

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\int \Phi^* (AH-HA) \Phi~d^3x + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle.

종종 (항상 그런 것은 아님) 연산자 A는 시간에 의존하지 않으므로 그 미분은 0이고 마지막 항을 무시할 수 있다.

2. 2. 에르미트 연산자

슈뢰딩거 방정식을 적용하면 다음을 얻는다.

\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{1}{i\hbar}H\Phi

켤레 복소수를 취하면 [6] 다음을 얻는다.

\frac{\partial \Phi^*}{\partial t} = -\frac{1}{i\hbar}\Phi^*H^* = -\frac{1}{i\hbar}\Phi^*H.

해밀토니안이 에르미트 연산자이므로 H=H^* 임을 주목하라. 이를 위 식에 대입하면 다음과 같다.

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\int \Phi^* (AH-HA) \Phi~d^3x + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle.

2. 3. 최종 유도

하이젠베르크 묘사에서, 임의의 관측 가능한 연산자 A(t)는 시간에 따라 다음과 같이 변한다.

:\frac{d}{dt}A=\frac{\mathrm i}{\hbar}[H,A]+\frac{\partial A}{\partial t}.

하이젠베르크 묘사에서는 상태 벡터 |\psi\rangle는 바뀌지 않으므로, 양변에 다음과 같이 기댓값을 취할 수 있다.

:\frac{d}{dt}\langle A\rangle=\frac{\mathrm i}{\hbar}\langle[H,A]\rangle+\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle(t).

이제 양변이 연산자가 아닌 일반 함수이므로, 이 식은 슈뢰딩거 묘사에서도 성립한다. 이 식을 '''에렌페스트 정리'''라고 한다.

슈뢰딩거 방정식을 적용하고, 해밀토니안이 에르미트 연산자임을 이용하여 정리하면,

:\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle.

를 얻는다.

종종 (하지만 항상 그런 것은 아님) 연산자는 시간에 의존하지 않으므로 그 미분은 0이고 마지막 항을 무시할 수 있다.

위치 연산자 \mathbf r에 대한 에렌페스트 정리를 유도하면

:m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\langle \nabla U \rangle

가 된다.[6]

3. 하이젠베르크 묘사에서의 유도

하이젠베르크 묘사는 슈뢰딩거 묘사와 달리, 시스템의 시간 의존성을 연산자에 포함시킨다. 에렌페스트 정리는 하이젠베르크 운동 방정식을 이용하여 유도할 수 있다.

하이젠베르크 운동 방정식은 다음과 같다.

:\frac{d}{dt}A(t) = \frac{\partial A(t)}{\partial t} + \frac{1}{i \hbar}[A(t),H],

이 식의 양변에 오른쪽에서 |\Psi\rangle 를, 왼쪽에서 \langle\Psi| 를 곱하여 기댓값을 취하면,

:\left\langle\Psi\left|\frac{d}{dt}A(t)\right|\Psi\right\rangle = \left\langle\Psi\left|\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right|\Psi\right\rangle + \left\langle\Psi\left|\frac{1}{i \hbar}[A(t),H]\right|\Psi\right\rangle,

와 같이 된다. 하이젠베르크 묘사에서 상태 벡터는 시간에 의존하지 않으므로, \frac{d}{dt}를 앞으로 빼낼 수 있다. 따라서,

:\frac{d}{dt}\langle A(t)\rangle = \left\langle\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right\rangle + \frac{1}{i \hbar}\left\langle[A(t),H]\right\rangle .

를 얻는다.

3. 1. 하이젠베르크 운동 방정식

하이젠베르크 묘사에서, 임의의 관측 가능한 연산자 A(t)는 시간에 따라 다음과 같이 변한다.

:\frac{d}{dt}A=\frac{\mathrm i}{\hbar}[H,A]+\frac{\partial A}{\partial t}.

하이젠베르크 묘사에서는 상태 벡터 |\psi\rangle는 바뀌지 않으므로, 양변에 다음과 같이 기댓값을 취할 수 있다.

:\frac{d}{dt}\langle A\rangle=\frac{\mathrm i}{\hbar}\langle[H,A]\rangle+\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle(t).

이제 양변이 연산자가 아닌 일반 함수이므로, 이 식은 슈뢰딩거 묘사에서도 성립한다. 이 식을 '''에렌페스트 정리'''라고 한다.

하이젠베르크 그림에서의 유도는 간단하다. 하이젠베르크 그림은 시스템의 시간 의존성을 상태 벡터 대신 연산자로 이동시킨다. 하이젠베르크 운동 방정식을 시작으로,

:\frac{d}{dt}A(t) = \frac{\partial A(t)}{\partial t} + \frac{1}{i \hbar}[A(t),H],

에렌페스트 정리는 하이젠베르크 방정식을 오른쪽에서 |\Psi\rangle 에, 왼쪽에서 \langle\Psi| 에 투영하거나, 기댓값을 취하면 간단히 얻을 수 있다.

:\left\langle\Psi\left|\frac{d}{dt}A(t)\right|\Psi\right\rangle = \left\langle\Psi\left|\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right|\Psi\right\rangle + \left\langle\Psi\left|\frac{1}{i \hbar}[A(t),H]\right|\Psi\right\rangle,

하이젠베르크 그림에서는 상태 벡터가 더 이상 시간에 의존하지 않으므로, 첫 번째 항에서 \frac{d}{dt}를 밖으로 꺼낼 수 있다. 따라서,

:\frac{d}{dt}\langle A(t)\rangle = \left\langle\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right\rangle + \frac{1}{i \hbar}\left\langle[A(t),H]\right\rangle .

3. 2. 기댓값 계산

하이젠베르크 그림에서는 상태 벡터 대신 연산자를 통해 시스템의 시간 의존성을 나타낸다. 여기서 에렌페스트 정리는 하이젠베르크 운동 방정식에서 유도할 수 있다.

:\frac{d}{dt}A(t) = \frac{\partial A(t)}{\partial t} + \frac{1}{i \hbar}[A(t),H],

위 식의 양변에 오른쪽에서 |\Psi\rangle 를, 왼쪽에서 \langle\Psi| 를 곱하여 기댓값을 구하면 다음과 같다.

:\left\langle\Psi\left|\frac{d}{dt}A(t)\right|\Psi\right\rangle = \left\langle\Psi\left|\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right|\Psi\right\rangle + \left\langle\Psi\left|\frac{1}{i \hbar}[A(t),H]\right|\Psi\right\rangle,

하이젠베르크 그림에서 상태 벡터는 시간에 따라 변하지 않으므로, 첫 번째 항에서 미분 연산자를 앞으로 빼낼 수 있다. 이를 통해 다음의 식을 얻는다.

:\frac{d}{dt}\langle A(t)\rangle = \left\langle\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right\rangle + \frac{1}{i \hbar}\left\langle[A(t),H]\right\rangle .

3. 3. 최종 유도

하이젠베르크 묘사에서, 임의의 관측 가능한 연산자 A(t)는 시간에 따라 다음과 같이 변한다.

:\frac{d}{dt}A=\frac{\mathrm i}{\hbar}[H,A]+\frac{\partial A}{\partial t}.

하이젠베르크 묘사에서는 상태 벡터 |\psi\rangle는 바뀌지 않으므로, 양변에 다음과 같이 기댓값을 취할 수 있다.

:\frac{d}{dt}\langle A\rangle=\frac{\mathrm i}{\hbar}\langle[H,A]\rangle+\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle(t).

이제 양변이 연산자가 아닌 일반 함수이므로, 이 식은 슈뢰딩거 묘사에서도 성립한다. 이 식을 '''에렌페스트 정리'''라고 한다.

하이젠베르크 그림에서의 유도는 간단하다. 하이젠베르크 그림은 시스템의 시간 의존성을 상태 벡터 대신 연산자로 이동시킨다. 하이젠베르크 운동 방정식을 시작으로,

\frac{d}{dt}A(t) = \frac{\partial A(t)}{\partial t} + \frac{1}{i \hbar}[A(t),H],

에렌페스트 정리는 하이젠베르크 방정식을 오른쪽에서 |\Psi\rangle 에, 왼쪽에서 \langle\Psi| 에 투영하거나, 기댓값을 취하면 간단히 얻을 수 있다.

\left\langle\Psi\left|\frac{d}{dt}A(t)\right|\Psi\right\rangle = \left\langle\Psi\left|\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right|\Psi\right\rangle + \left\langle\Psi\left|\frac{1}{i \hbar}[A(t),H]\right|\Psi\right\rangle,

하이젠베르크 그림에서는 상태 벡터가 더 이상 시간에 의존하지 않으므로, 첫 번째 항에서 \frac{d}{dt}를 밖으로 꺼낼 수 있다. 따라서,

\frac{d}{dt}\langle A(t)\rangle = \left\langle\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right\rangle + \frac{1}{i \hbar}\left\langle[A(t),H]\right\rangle .

4. 일반적인 예시

에렌페스트 정리는 양자역학에서 기댓값이 고전 역학과 어떻게 연결되는지를 보여주는 중요한 예시이다. 전위 내에서 움직이는 질량이 큰 소립자를 예로 들어 이 정리를 설명할 수 있다.

운동량 기댓값의 변화와 위치 기댓값의 변화는 각각 고전적인 운동 방정식과 일치하는 형태를 보인다. 다만, 양자역학에서는 기댓값이 사용되므로, 정확히 고전 역학과 일치하지는 않지만, 입자의 상태가 공간적으로 매우 국소화된 경우에는 ''대략적으로'' 고전적 궤도를 따르게 된다. 이는 대응 원리의 한 예시로 이해할 수 있다.[7]

4. 1. 운동량 기댓값의 변화

전위 내에서 움직이는 질량이 큰 소립자의 경우, 해밀토니안은 다음과 같다.

: H(x,p,t) = \frac{p^2}{2m} + V(x,t)

여기서 x는 입자의 위치이다. 운동량 p의 기댓값의 순간적인 변화는 에렌페스트 정리에 의해 다음과 같이 주어진다.

: \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial p}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,V(x,t)]\rangle,

연산자 p는 자신과 교환 가능하고 시간에 의존하지 않기 때문이다.[7] 우변을 전개하고 p를 -i\hbar\nabla로 대체하면, 다음을 얻는다.

:\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\frac{\partial}{\partial x}\Phi~dx - \int \Phi^* \frac{\partial}{\partial x} (V(x,t)\Phi)~dx ~.

두 번째 항에 곱 규칙을 적용하면, 다음을 얻는다.

: \begin{align}

\frac{d}{dt}\langle p\rangle &= \int \Phi^* V(x,t) \frac{\partial}{\partial x}\Phi~dx - \int \Phi^* \left(\frac{\partial}{\partial x} V(x,t)\right)\Phi ~dx - \int \Phi^* V(x,t) \frac{\partial}{\partial x}\Phi~dx \\

&= - \int \Phi^* \left(\frac{\partial}{\partial x} V(x,t)\right)\Phi ~dx \\

&= \left\langle - \frac{\partial}{\partial x} V(x,t)\right\rangle = \langle F \rangle.

\end{align}

이 결과는 (\langle X\rangle,\langle P\rangle) 쌍이 뉴턴의 제2법칙을 만족한다는 것을 의미하지 않는다. 왜냐하면 공식의 우변은 \langle F(x,t)\rangle이고 F(\langle X\rangle,t)가 아니기 때문이다. 그럼에도 불구하고, 공간적으로 매우 국소화된 상태의 경우, 예상 위치와 운동량은 ''대략적으로'' 고전적 궤도를 따를 것이며, 이는 대응 원리의 한 예시로 이해될 수 있다.

4. 2. 위치 기댓값의 변화

위치 기댓값의 순간적인 변화는 다음과 같이 표현된다.

\begin{align}

\frac{d}{dt}\langle x\rangle &= \frac{1}{i\hbar}\langle [x,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial x}{\partial t}\right\rangle \\[5pt]

&= \frac{1}{i\hbar} \left \langle \left [x,\frac{p^2}{2m} + V(x,t) \right ] \right \rangle + 0 \\[5pt]

&= \frac{1}{i\hbar} \left \langle \left [x,\frac{p^2}{2m} \right] \right \rangle \\[5pt]

&= \frac{1}{i\hbar 2 m} \left \langle [x,p] \frac{d}{dp} p^2 \right\rangle \\[5pt]

&= \frac{1}{i\hbar 2 m}\langle i \hbar 2 p\rangle \\[5pt]

&= \frac{1}{m}\langle p\rangle

\end{align}

이 결과는 고전 방정식과 정확히 일치한다.[7]

4. 3. 고전 역학과의 비교

전위 내에서 움직이는 질량이 큰 소립자의 경우, 해밀토니안은 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

:H|H영어(x|x영어,p|p영어,t|t영어) = p|p영어2/2m|m영어 + V|V영어(x|x영어,t|t영어)

여기서 x|x영어는 입자의 위치를 나타낸다.

운동량 p|p영어의 기댓값이 시간에 따라 변화하는 정도를 알고 싶다고 가정하면, 에렌페스트 정리에 따라 다음 식을 얻는다.

:d/dt⟨p|p영어⟩ = 1/iħ|iħ영어⟨[p|p영어,H|H영어]⟩ + ⟨∂p|p영어/∂t|t영어⟩ = 1/iħ|iħ영어⟨[p|p영어,V|V영어(x|x영어,t|t영어)]⟩,

연산자 p|p영어는 자기 자신과 교환 가능하며 시간에 의존하지 않기 때문이다.[7] 이 식의 우변을 전개하고 p|p영어를 -iħ|iħ영어∇로 대체하면 다음을 얻는다.

:d/dt⟨p|p영어⟩ = ∫ Φ* V|V영어(x|x영어,t|t영어)∂/∂x|x영어Φ~dx|dx영어 - ∫ Φ* ∂/∂x|x영어 (V|V영어(x|x영어,t|t영어)Φ)~dx|dx영어 ~.

두 번째 항에 곱 규칙을 적용하면 다음과 같이 정리된다.

:d/dt⟨p|p영어⟩ = ∫ Φ* V|V영어(x|x영어,t|t영어) ∂/∂x|x영어Φ~dx|dx영어 - ∫ Φ* (∂/∂x|x영어 V|V영어(x|x영어,t|t영어))Φ ~dx|dx영어 - ∫ Φ* V|V영어(x|x영어,t|t영어) ∂/∂x|x영어Φ~dx|dx영어

:= - ∫ Φ* (∂/∂x|x영어 V|V영어(x|x영어,t|t영어))Φ ~dx|dx영어

:= ⟨- ∂/∂x|x영어 V|V영어(x|x영어,t|t영어)⟩ = ⟨F|F영어⟩.

서론에서 언급되었듯이, 이 결과는 (⟨X|X영어⟩,⟨P|P영어⟩) 쌍이 뉴턴의 제2법칙을 정확히 만족한다는 것을 의미하지는 않는다. 왜냐하면 위 식의 우변은 ⟨F|F영어(x|x영어,t|t영어)⟩이고, F|F영어(⟨X|X영어⟩,t|t영어)가 아니기 때문이다. 그러나 공간적으로 매우 국소화된 상태에서는 예상 위치와 운동량이 ''거의'' 고전적 궤도를 따르며, 이는 대응 원리의 한 예시로 이해할 수 있다.

위치 기댓값의 시간에 따른 변화는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:d/dt⟨x|x영어⟩ = 1/iħ|iħ영어⟨[x|x영어,H|H영어]⟩ + ⟨∂x|x영어/∂t|t영어⟩

:= 1/iħ|iħ영어 ⟨ [x|x영어,p|p영어2/2m|m영어 + V|V영어(x|x영어,t|t영어)] ⟩ + 0

:= 1/iħ|iħ영어 ⟨ [x|x영어,p|p영어2/2m|m영어] ⟩

:= 1/iħ|iħ영어2m|m영어 ⟨ [x|x영어,p|p영어]d/dp|p영어 p|p영어2 ⟩

:= 1/iħ|iħ영어2m|m영어⟨ iħ|iħ영어2p|p영어⟩

:= 1/m|m영어⟨p|p영어⟩

이 결과는 고전 역학의 방정식과 정확히 일치한다.

5. 고전 물리학과의 관계

하이젠베르크 묘사에서 임의의 관측 가능한 연산자 A(t)는 시간에 따라 다음과 같이 변한다.

:\frac{d}{dt}A=\frac{\mathrm i}{\hbar}[H,A]+\frac{\partial A}{\partial t}.

하이젠베르크 묘사에서는 상태 벡터 |\psi\rangle는 바뀌지 않으므로, 양변에 기댓값을 취하면 다음과 같다.

:\frac{d}{dt}\langle A\rangle=\frac{\mathrm i}{\hbar}\langle[H,A]\rangle+\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle(t).

이제 양변이 연산자가 아닌 일반 함수이므로, 이 식은 슈뢰딩거 묘사에서도 성립한다. 이 식을 '''에렌페스트 정리'''라고 한다.

에렌페스트 정리는 양자역학적 기댓값이 뉴턴의 고전적인 운동 방정식을 따르는 것처럼 보이지만, 실제로는 그렇지 않다.[4]

5. 1. 뉴턴 제2법칙과의 비교

얼핏 보면, 에렌페스트 정리는 양자역학적 기댓값이 뉴턴의 고전적인 운동 방정식을 따른다고 말하는 것처럼 보일 수 있지만, 실제로는 그렇지 않다.[4] 만약 쌍 (\langle x\rangle,\langle p\rangle)가 뉴턴의 제2법칙을 만족한다면, 두 번째 방정식의 우변은

::-V'\left(\left\langle x\right\rangle\right)

이어야 하지만, 이는 일반적으로

::- \left\langle V'(x)\right\rangle

와 같지 않다.

예를 들어, 포텐셜 V(x)가 3차 함수(즉, x^3에 비례)라면, V'는 2차 함수(즉, x^2에 비례)가 된다. 이는 뉴턴의 제2법칙의 경우, 우변이 \langle x\rangle^2의 형태를 띠는 반면, 에렌페스트 정리에서는 \langle x^2\rangle의 형태를 띤다는 것을 의미한다. 이 두 양의 차이는 x의 불확정성의 제곱이며, 따라서 0이 아니다.

고전적인 운동 방정식이 선형인 경우, 즉 V가 2차 함수이고 V'가 선형인 경우에는 예외가 발생한다. 이 특별한 경우에, V'\left(\left\langle x\right\rangle\right)와 \left\langle V'(x)\right\rangle가 일치한다. 따라서, 양자 조화 진동자의 경우, 기댓값 위치와 기댓값 운동량은 정확히 고전적인 궤적을 따른다.

일반적인 시스템의 경우, 파동 함수가 점 x_0 근처에 매우 집중되어 있다면, V'\left(\left\langle x\right\rangle\right)와 \left\langle V'(x)\right\rangle는 둘 다 약 V'(x_0)와 거의 같기 때문에 '거의' 동일할 것이다. 이러한 경우, 기댓값 위치와 기댓값 운동량은 적어도 파동 함수가 위치에 국한되어 있는 한 '대략' 고전적인 궤적을 따른다.[5]

5. 2. 양자 조화 진동자

얼핏 보면, 에렌페스트 정리는 양자역학적 기댓값이 뉴턴의 고전적인 운동 방정식을 따른다고 말하는 것처럼 보일 수 있지만, 실제로는 그렇지 않다.[4] 만약 쌍 (\langle x\rangle,\langle p\rangle)가 뉴턴의 제2법칙을 만족한다면, 두 번째 방정식의 우변은

:-V'\left(\left\langle x\right\rangle\right)

이어야 하지만, 이는 일반적으로

:-\left\langle V'(x)\right\rangle

와 같지 않다.

하지만 고전적인 운동 방정식이 선형인 경우, 즉 V가 2차 함수이고 V'가 선형인 경우에는 예외가 발생한다. 이 특별한 경우에, V'\left(\left\langle x\right\rangle\right)와 \left\langle V'(x)\right\rangle가 일치한다. 따라서, 양자 조화 진동자의 경우, 기댓값 위치와 기댓값 운동량은 정확히 고전적인 궤적을 따른다.

5. 3. 파동 함수의 국소화

얼핏 보면, 에렌페스트 정리는 양자역학적 기댓값이 뉴턴의 고전적인 운동 방정식을 따른다고 말하는 것처럼 보일 수 있지만, 실제로는 그렇지 않다.[4] 만약 쌍 (\langle x\rangle, \langle p\rangle)가 뉴턴의 제2법칙을 만족한다면, 두 번째 방정식의 우변은 -V'\left(\left\langle x\right\rangle\right) 이어야 하지만, 이는 일반적으로 -\left\langle V'(x)\right\rangle와 같지 않다.

예를 들어, 포텐셜 V(x)가 3차 함수(즉, x^3에 비례)라면, V'는 2차 함수(즉, x^2에 비례)가 된다. 이는 뉴턴의 제2법칙의 경우, 우변이 \langle x\rangle^2의 형태를 띠는 반면, 에렌페스트 정리에서는 \langle x^2\rangle의 형태를 띤다는 것을 의미한다. 이 두 양의 차이는 x의 불확정성의 제곱이며, 따라서 0이 아니다.

고전적인 운동 방정식이 선형인 경우, 즉 V가 2차 함수이고 V'가 선형인 경우에는 예외가 발생한다. 이 특별한 경우에, V'\left(\left\langle x\right\rangle\right)와 \left\langle V'(x)\right\rangle가 일치한다. 따라서, 양자 조화 진동자의 경우, 기댓값 위치와 기댓값 운동량은 정확히 고전적인 궤적을 따른다.

일반적인 시스템의 경우, 파동 함수가 점 x_0 근처에 매우 집중되어 있다면, V'\left(\left\langle x\right\rangle\right)와 \left\langle V'(x)\right\rangle는 둘 다 약 V'(x_0)와 거의 같기 때문에 '거의' 동일할 것이다. 이러한 경우, 기댓값 위치와 기댓값 운동량은 적어도 파동 함수가 위치에 국한되어 있는 한 '대략' 고전적인 궤적을 따른다.[5]

6. 에렌페스트 정리로부터 슈뢰딩거 방정식 유도

에렌페스트 정리는 슈뢰딩거 방정식의 결과일 뿐만 아니라, 그 역도 성립하여 슈뢰딩거 방정식을 에렌페스트 정리로부터 유도할 수 있다.[8]

다음 두 식으로 시작한다.

\begin{align}

m\frac{d}{dt} \left \langle \Psi(t) \right | \hat{x} \left | \Psi(t) \right \rangle &= \left \langle \Psi(t) \right | \hat{p} \left | \Psi(t) \right \rangle, \\[5pt]

\frac{d}{dt} \left \langle \Psi(t) \right | \hat{p} \left | \Psi(t) \right \rangle &= \left \langle \Psi(t) \right | -V'(\hat{x}) \left | \Psi(t) \right \rangle.

\end{align}

이후의 과정은 #곱 규칙 적용, #스톤의 정리 적용, #교환자 방정식 유도, #양자 해밀토니안 과정을 거친다.

최종적으로 좌표와 운동량 사이의 정준 교환 관계를 가정하여 슈뢰딩거 방정식이 에렌페스트 정리로부터 유도된다. 좌표와 운동량이 서로 교환한다고 가정하면, 동일한 계산 방법이 Koopman–von Neumann 고전역학으로 이어진다.[8] 따라서 이 유도와 Koopman–von Neumann 역학의 유도는 양자역학과 고전역학의 본질적인 차이가 교환자의 값으로 축소됨을 보여준다.

고전적으로 혼돈적인 동역학을 갖는 시스템에 대한 에렌페스트 정리의 영향은 Scholarpedia 기사 [http://www.scholarpedia.org/article/Ehrenfest_time_and_chaos Ehrenfest time and chaos]에서 논의된다. 고전적 궤도의 지수적 불안정성으로 인해, 양자 진화와 고전 진화 사이에 완전한 일치가 있는 에렌페스트 시간은 일반적인 양자수의 로그에 비례하여 로그적으로 짧은 것으로 나타난다. 적분 가능한 동역학의 경우 이 시간 척도는 양자수의 특정 거듭제곱에 비례하여 훨씬 더 크다.

6. 1. 곱 규칙 적용

곱 규칙을 적용하면 다음과 같다.[8]

:\begin{align}

\left \langle \frac{d\Psi}{dt} \Big | \hat{x} \Big | \Psi \right \rangle + \left \langle \Psi \Big | \hat{x} \Big | \frac{d\Psi}{dt} \right \rangle &= \left \langle \Psi \Big | \frac{\hat{p}}{m} \Big | \Psi \right \rangle, \\[5pt]

\left \langle \frac{d\Psi}{dt} \Big | \hat{p} \Big | \Psi \right \rangle + \left \langle \Psi \Big | \hat{p} \Big | \frac{d\Psi}{dt} \right \rangle &= \langle \Psi | -V'(\hat{x}) | \Psi \rangle,

\end{align}

여기서, 를 시간 이동의 양자 생성자로 사용하여 스톤의 정리를 적용한다. 다음 단계는 이것이 양자역학에서 사용되는 해밀토니안 연산자와 동일함을 보이는 것이다. 스톤의 정리는 다음을 의미한다.

:i\hbar \left | \frac{d\Psi}{dt} \right \rangle = \hat{H} | \Psi(t) \rangle ~,

여기서 는 차원 균형을 위한 정규화 상수로 도입되었다.

6. 2. 스톤의 정리 적용

스톤의 정리를 적용하면, \hat{H}를 시간 이동의 양자 생성자로 사용할 수 있다.[8] 여기서 \hbar는 차원 균형을 위한 정규화 상수로 도입되었다. 스톤의 정리에 따르면 다음이 성립한다.

i\hbar \left | \frac{d\Psi}{dt} \right \rangle = \hat{H} | \Psi(t) \rangle ~,

이 항등식이 모든 초기 상태에 대해 유효해야 하므로, 평균을 제거하고 \hat{H}에 대한 교환자 방정식 시스템을 유도할 수 있다.

im [\hat{H}, \hat{x}] = \hbar \hat{p}, \qquad i [\hat{H}, \hat{p}] = -\hbar V'(\hat{x}).

6. 3. 교환자 방정식 유도

에렌페스트 정리는 슈뢰딩거 방정식의 결과일 뿐만 아니라, 그 역도 성립한다. 즉, 슈뢰딩거 방정식은 에렌페스트 정리를 통해 추론할 수 있다.[8]

다음 두 식으로 시작한다.

\begin{align}

m\frac{d}{dt} \left \langle \Psi(t) \right | \hat{x} \left | \Psi(t) \right \rangle &= \left \langle \Psi(t) \right | \hat{p} \left | \Psi(t) \right \rangle, \\[5pt]

\frac{d}{dt} \left \langle \Psi(t) \right | \hat{p} \left | \Psi(t) \right \rangle &= \left \langle \Psi(t) \right | -V'(\hat{x}) \left | \Psi(t) \right \rangle.

\end{align}

곱 규칙을 적용하면

\begin{align}

\left \langle \frac{d\Psi}{dt} \Big | \hat{x} \Big | \Psi \right \rangle + \left \langle \Psi \Big | \hat{x} \Big | \frac{d\Psi}{dt} \right \rangle &= \left \langle \Psi \Big | \frac{\hat{p}}{m} \Big | \Psi \right \rangle, \\[5pt]

\left \langle \frac{d\Psi}{dt} \Big | \hat{p} \Big | \Psi \right \rangle + \left \langle \Psi \Big | \hat{p} \Big | \frac{d\Psi}{dt} \right \rangle &= \langle \Psi | -V'(\hat{x}) | \Psi \rangle,

\end{align}

여기서, ''Ĥ''를 시간 이동의 양자 생성자로 사용하여 스톤의 정리를 적용한다. 다음 단계는 이것이 양자역학에서 사용되는 해밀토니안 연산자와 동일함을 보이는 것이다. 스톤의 정리는 다음을 의미한다.

i\hbar \left | \frac{d\Psi}{dt} \right \rangle = \hat{H} | \Psi(t) \rangle ~,

여기서 ħ영어는 차원 균형을 위한 정규화 상수로 도입되었다. 이러한 항등식이 모든 초기 상태에 대해 유효해야 하므로, 평균을 제거할 수 있으며 ''Ĥ''에 대한 교환자 방정식 시스템이 파생된다.

im [\hat{H}, \hat{x}] = \hbar \hat{p}, \qquad i [\hat{H}, \hat{p}] = -\hbar V'(\hat{x}).

좌표 및 운동량의 관측량이 정준 교환 관계를 따른다고 가정한다. \hat{H} = H(\hat{x}, \hat{p})로 설정하면, 교환자 방정식은 미분 방정식으로 변환될 수 있다.[8][9]

m \frac{\partial H (x,p)}{\partial p} = p, \qquad \frac{\partial H(x,p)}{\partial x} = V'(x),

이 방정식의 해는 익숙한 양자 해밀토니안이다.

\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}).

이로부터, 좌표와 운동량 사이의 정준 교환 관계를 가정하여 슈뢰딩거 방정식이 에렌페스트 정리로부터 유도되었다.

6. 4. 양자 해밀토니안

에렌페스트 정리는 슈뢰딩거 방정식의 결과일 뿐만 아니라, 그 역도 성립하여 슈뢰딩거 방정식을 에렌페스트 정리를 통해 추론할 수 있다.[8]

다음 두 식으로 시작한다.

\begin{align}

m\frac{d}{dt} \left \langle \Psi(t) \right | \hat{x} \left | \Psi(t) \right \rangle &= \left \langle \Psi(t) \right | \hat{p} \left | \Psi(t) \right \rangle, \\[5pt]

\frac{d}{dt} \left \langle \Psi(t) \right | \hat{p} \left | \Psi(t) \right \rangle &= \left \langle \Psi(t) \right | -V'(\hat{x}) \left | \Psi(t) \right \rangle.

\end{align}

곱 규칙을 적용하면 다음과 같다.

\begin{align}

\left \langle \frac{d\Psi}{dt} \Big | \hat{x} \Big | \Psi \right \rangle + \left \langle \Psi \Big | \hat{x} \Big | \frac{d\Psi}{dt} \right \rangle &= \left \langle \Psi \Big | \frac{\hat{p}}{m} \Big | \Psi \right \rangle, \\[5pt]

\left \langle \frac{d\Psi}{dt} \Big | \hat{p} \Big | \Psi \right \rangle + \left \langle \Psi \Big | \hat{p} \Big | \frac{d\Psi}{dt} \right \rangle &= \langle \Psi | -V'(\hat{x}) | \Psi \rangle,

\end{align}

여기서 ''Ĥ''를 시간 이동의 양자 생성자로 사용하여 스톤의 정리를 적용한다. 이것이 양자역학에서 사용되는 해밀토니안 연산자와 동일함을 보이는 것이 다음 단계이다. 스톤의 정리는 다음을 의미한다.

i\hbar \left | \frac{d\Psi}{dt} \right \rangle = \hat{H} | \Psi(t) \rangle ~,

여기서 ħ는 차원 균형을 위한 정규화 상수이다. 이 항등식이 모든 초기 상태에 대해 유효해야 하므로, 평균을 제거할 수 있으며 Ĥ에 대한 교환자 방정식 시스템이 도출된다.

im [\hat{H}, \hat{x}] = \hbar \hat{p}, \qquad i [\hat{H}, \hat{p}] = -\hbar V'(\hat{x}).

좌표 및 운동량의 관측량이 정준 교환 관계를 따른다고 가정한다. \hat{H} = H(\hat{x}, \hat{p})로 설정하면, 교환자 방정식은 미분 방정식으로 변환될 수 있다.[8][9]

m \frac{\partial H (x,p)}{\partial p} = p, \qquad \frac{\partial H(x,p)}{\partial x} = V'(x),

이 방정식의 해는 익숙한 양자 해밀토니안이다.

\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}).

이로부터 좌표와 운동량 사이의 정준 교환 관계를 가정하여 슈뢰딩거 방정식이 에렌페스트 정리로부터 유도되었다.

6. 5. 결론

에렌페스트 정리는 슈뢰딩거 방정식의 결과일 뿐만 아니라, 그 역도 성립한다. 즉, 슈뢰딩거 방정식은 에렌페스트 정리를 통해 유도될 수 있다.[8]

좌표와 운동량의 관측량이 정준 교환 관계를 따른다고 가정하고, \hat{H} = H(\hat{x}, \hat{p})로 설정하면, 다음의 미분 방정식을 얻을 수 있다.[8][9]

m \frac{\partial H (x,p)}{\partial p} = p, \qquad \frac{\partial H(x,p)}{\partial x} = V'(x),

이 방정식의 해는 익숙한 양자 해밀토니안이다.

\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}).

이를 통해, 좌표와 운동량 사이의 정준 교환 관계를 가정하면, 에렌페스트 정리로부터 슈뢰딩거 방정식을 유도할 수 있음을 알 수 있다.

좌표와 운동량이 서로 교환한다고 가정하면, 동일한 계산 방법으로 Koopman–von Neumann 고전역학을 유도할 수 있다.[8] 이는 양자역학과 고전역학의 본질적인 차이가 교환자의 값으로 축소됨을 보여준다.

고전적으로 혼돈적인 동역학을 갖는 시스템에 대한 에렌페스트 정리의 영향은 Scholarpedia 기사 [http://www.scholarpedia.org/article/Ehrenfest_time_and_chaos Ehrenfest time and chaos]에서 논의된다.

7. 정준 교환 관계와 고전역학/양자역학

하이젠베르크 묘사에서, 임의의 관측 가능한 연산자 A(t)는 시간에 따라 다음과 같이 변한다.

:\frac{d}{dt}A=\frac{\mathrm i}{\hbar}[H,A]+\frac{\partial A}{\partial t}.

하이젠베르크 묘사에서는 상태 벡터 |\psi\rangle는 바뀌지 않으므로, 양변에 다음과 같이 기댓값을 취할 수 있다.

:\frac{d}{dt}\langle A\rangle=\frac{\mathrm i}{\hbar}\langle[H,A]\rangle+\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle(t).

이제 양변이 연산자가 아닌 일반 함수이므로, 이 식은 슈뢰딩거 묘사에서도 성립한다. 이 식을 '''에렌페스트 정리'''라고 한다.

8. 정리의 주장 (일본어 위키 항목)

하이젠베르크 묘사에서 임의의 관측 가능한 연산자 A(t)는 시간에 따라 다음과 같이 변한다.

:\frac{d}{dt}A=\frac{\mathrm i}{\hbar}[H,A]+\frac{\partial A}{\partial t}.

하이젠베르크 묘사에서는 상태 벡터 |\psi\rangle는 바뀌지 않으므로, 양변에 기댓값을 취하면 다음과 같다.

:\frac{d}{dt}\langle A\rangle=\frac{\mathrm i}{\hbar}\langle[H,A]\rangle+\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle(t).

양변이 연산자가 아닌 일반 함수이므로, 이 식은 슈뢰딩거 묘사에서도 성립한다. 이 식을 '''에렌페스트 정리'''라고 한다.

포텐셜 U의 영향을 받는 질량 m의 입자 A의 상태가 파동 함수 \psi(\mathbf r)로 표시될 때, 위치 \textbf{r}=(x,y,z)의 관측값의 기대값에 대한 방정식은 하위 섹션 ("기대값 연산")에 상세히 설명되어 있다.

8. 1. 기본 가정

파동 함수는 정규화되어 있다고 가정한다.[1]

8. 2. 기대값 연산

포텐셜 U의 영향을 받는 질량 m인 입자 A의 상태가 파동 함수 \psi(\mathbf r)로 표시된다고 가정한다. 이 상태에 있는 입자 A(및 동일한 상태에 있는 여러 입자)의 위치 \textbf{r}=(x,y,z)를 측정했을 때 얻을 수 있는 '관측값의 기대값'을 각각 \langle x \rangle, \langle y \rangle, \langle z \rangle라고 한다. 이때,

:\begin{align}

m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle x \rangle &= -\left\langle\frac{\partial U}{\partial x}\right\rangle \\

m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle y \rangle &= -\left\langle\frac{\partial U}{\partial y}\right\rangle \\

m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle z \rangle &= -\left\langle\frac{\partial U}{\partial z}\right\rangle

\end{align}

가 성립한다. 여기서 파동 함수는 정규화되어 있다고 가정한다. 또한 여기서 기대값을 도출하는 연산은 통상적인 양자역학에서 수행되는 방법대로

:\begin{align}&\langle x \rangle = \int \psi^*(\mathbf r) x \psi(\mathbf r) \mathrm d \mathbf r \\

&\left\langle\frac{\partial U}{\partial x}\right\rangle = \int \psi^*(\mathbf r) \frac{\partial U}{\partial x} \psi(\mathbf r) \mathrm d \mathbf r \end{align}

로 한다. 다른 것들도 마찬가지이다.

9. 증명 (일본어 위키 항목)

하이젠베르크 묘사에서, 임의의 관측 가능한 연산자 A(t)는 시간에 따라 다음과 같이 변한다.[1]

:\frac{d}{dt}A=\frac{\mathrm i}{\hbar}[H,A]+\frac{\partial A}{\partial t}.

하이젠베르크 묘사에서는 상태 벡터 |\psi\rangle는 바뀌지 않으므로, 양변에 기댓값을 취하면 다음과 같다.[1]

:\frac{d}{dt}\langle A\rangle=\frac{\mathrm i}{\hbar}\langle[H,A]\rangle+\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle(t).

양변이 연산자가 아닌 일반 함수이므로, 이 식은 슈뢰딩거 묘사에서도 성립한다. 이를 '''에렌페스트 정리'''라고 한다.[1]

에렌페스트 정리는 고전역학과 양자역학 사이의 관계를 보여주는 중요한 정리로, 양자역학적 연산자의 기댓값의 시간 변화율이 고전역학에서의 운동 방정식과 유사한 형태를 가진다는 것을 보여준다.

하위 섹션에서는 기댓값, 슈뢰딩거 방정식, 부분 적분 등을 활용하여 에렌페스트 정리를 유도한다.

9. 1. 기대값 정의

먼저, 기대값의 정의로부터

:

\begin{align}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle \mathbf r \rangle

&= \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\int \psi^*(\mathbf r,t) \mathbf r \psi(\mathbf r,t) \mathrm d \mathbf r \\

&= \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{\partial \psi}{\partial t}\right]\mathrm d \mathbf r

\end{align}

를 얻는다. 여기서 슈뢰딩거 방정식으로부터

:\begin{align}

\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{\partial \psi}{\partial t}\right]\mathrm d \mathbf r

&= \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[-\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi^*)\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi)\right]\mathrm d \mathbf r \\

&= \frac{1}{i\hbar}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\int\left[-\left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi^*\mathbf r \psi + \psi^* \mathbf r \left\{\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi\right]\mathrm d \mathbf r \\

&= \frac{1}{i\hbar}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi - \psi^* \mathbf r \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi\right]\mathrm d \mathbf r \\

&= -\frac{i\hbar}{2m}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi - \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi\right]\mathrm d \mathbf r

\end{align}

부분 적분과, 적분 범위가 공간 전체에 걸쳐 있다는 것, 및 파동 함수는 무한대에서는 0이 된다는 가정을 사용하면

:\begin{align}

\int\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi\mathrm d \mathbf r

&= [\nabla\psi^*\mathbf r \psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla\psi^* \nabla(\mathbf r \psi)\mathrm d \mathbf r \\

&= -[\psi^*\nabla(\mathbf r \psi)]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^*\nabla^2(\mathbf r \psi) \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \psi^*\nabla(\nabla \mathbf r \psi + \mathbf r \nabla \psi) \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \left[ \psi^*\nabla \psi + \psi^* \nabla( \mathbf r \nabla \psi) \right] \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \left[ 2\psi^*\nabla \psi + \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi \right] \mathrm d \mathbf r

\end{align}

이것들을 사용하면

:m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int \psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r=-i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r

다시 슈뢰딩거 방정식을 사용하여

:\begin{align}

  • i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r

&= -i\hbar\int \left[ -\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi^*) \nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi)\right] \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \left[ \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi^* \nabla \psi - \psi^*\nabla \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi\right] \mathrm d \mathbf r \\

&= -\frac{\hbar^2}{2m}\int \left [ \nabla^2\psi^*\nabla\psi-\psi^*\nabla^3\psi \right ] \mathrm d \mathbf r + \int \left[ U(\mathbf r) \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla(U(\mathbf r) \psi)\right]\mathrm d \mathbf r

\end{align}

또한 부분 적분을 사용하면,

:\begin{align}\int \nabla^2\psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r

&= [\nabla\psi^*\nabla\psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla \psi^* \nabla^2 \psi \mathrm d \mathbf r \\

&= - [\psi^* \nabla^2 \psi]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r

\end{align}

덧붙여

:\begin{align}

U \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla(U \psi)

&= U \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla U \psi - U \psi^* \nabla \psi \\

&= -\psi^*\nabla U \psi

\end{align}

를 사용하면,

:m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\int \psi^* \nabla U \psi \mathrm d \mathbf r

를 얻는다. 이 우변의 적분은, 기대값의 도출법에서 \nabla U의 기대값이므로,

:m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\langle \nabla U \rangle

가 된다.

9. 2. 슈뢰딩거 방정식 활용

기대값의 정의에 따라

:

\begin{align}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle \mathbf r \rangle

&= \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\int \psi^*(\mathbf r,t) \mathbf r \psi(\mathbf r,t) \mathrm d \mathbf r \\

&= \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{\partial \psi}{\partial t}\right]\mathrm d \mathbf r

\end{align}

를 얻는다. 여기서 슈뢰딩거 방정식에 따라

: \begin{align}

\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{\partial \psi}{\partial t}\right]\mathrm d \mathbf r

&= \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[-\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi^*)\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi)\right]\mathrm d \mathbf r \\

&= \frac{1}{i\hbar}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\int\left[-\left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi^*\mathbf r \psi + \psi^* \mathbf r \left\{\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi\right]\mathrm d \mathbf r \\

&= \frac{1}{i\hbar}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi - \psi^* \mathbf r \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi\right]\mathrm d \mathbf r \\

&= -\frac{i\hbar}{2m}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi - \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi\right]\mathrm d \mathbf r

\end{align}

부분 적분과 적분 범위가 공간 전체에 걸쳐 있다는 점, 그리고 파동 함수는 무한대에서 0이 된다는 가정을 사용하면

: \begin{align}

\int\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi\mathrm d \mathbf r

&= [\nabla\psi^*\mathbf r \psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla\psi^* \nabla(\mathbf r \psi)\mathrm d \mathbf r \\

&= -[\psi^*\nabla(\mathbf r \psi)]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^*\nabla^2(\mathbf r \psi) \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \psi^*\nabla(\nabla \mathbf r \psi + \mathbf r \nabla \psi) \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \left[ \psi^*\nabla \psi + \psi^* \nabla( \mathbf r \nabla \psi) \right] \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \left[ 2\psi^*\nabla \psi + \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi \right] \mathrm d \mathbf r

\end{align}

이것들을 사용하면

: m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int \psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r=-i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r

다시 슈뢰딩거 방정식을 사용하여

: \begin{align}

  • i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r

&= -i\hbar\int \left[ -\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi^*) \nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi)\right] \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \left[ \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi^* \nabla \psi - \psi^*\nabla \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi\right] \mathrm d \mathbf r \\

&= -\frac{\hbar^2}{2m}\int \left [ \nabla^2\psi^*\nabla\psi-\psi^*\nabla^3\psi \right ] \mathrm d \mathbf r + \int \left[ U(\mathbf r) \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla(U(\mathbf r) \psi)\right]\mathrm d \mathbf r

\end{align}

또한 부분 적분을 사용하면

: \begin{align}\int \nabla^2\psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r

&= [\nabla\psi^*\nabla\psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla \psi^* \nabla^2 \psi \mathrm d \mathbf r \\

&= - [\psi^* \nabla^2 \psi]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r

\end{align}

덧붙여

: \begin{align}

U \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla(U \psi)

&= U \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla U \psi - U \psi^* \nabla \psi \\

&= -\psi^*\nabla U \psi

\end{align}

를 사용하면

: m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\int \psi^* \nabla U \psi \mathrm d \mathbf r

를 얻는다. 이 우변의 적분은 기대값의 도출법에서 \nabla U의 기대값이므로,

: m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\langle \nabla U \rangle

가 된다.

9. 3. 부분 적분 활용

부분 적분과, 적분 범위가 공간 전체에 걸쳐 있다는 것, 및 파동 함수는 무한대에서는 0이 된다는 가정을 사용하면 다음과 같다.

:\begin{align}

\int\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi\mathrm d \mathbf r

&= [\nabla\psi^*\mathbf r \psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla\psi^* \nabla(\mathbf r \psi)\mathrm d \mathbf r \\

&= -[\psi^*\nabla(\mathbf r \psi)]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^*\nabla^2(\mathbf r \psi) \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \psi^*\nabla(\nabla \mathbf r \psi + \mathbf r \nabla \psi) \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \left[ \psi^*\nabla \psi + \psi^* \nabla( \mathbf r \nabla \psi) \right] \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \left[ 2\psi^*\nabla \psi + \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi \right] \mathrm d \mathbf r

\end{align}

위 식들을 사용하면 아래와 같다.

:m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int \psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r=-i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r

다시 슈뢰딩거 방정식을 사용하면 다음과 같다.

:\begin{align}

  • i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r

&= -i\hbar\int \left[ -\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi^*) \nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi)\right] \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \left[ \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi^* \nabla \psi - \psi^*\nabla \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi\right] \mathrm d \mathbf r \\

&= -\frac{\hbar^2}{2m}\int \left [ \nabla^2\psi^*\nabla\psi-\psi^*\nabla^3\psi \right ] \mathrm d \mathbf r + \int \left[ U(\mathbf r) \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla(U(\mathbf r) \psi)\right]\mathrm d \mathbf r

\end{align}

또한 부분 적분을 사용하면 아래와 같다.

:\begin{align}\int \nabla^2\psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r

&= [\nabla\psi^*\nabla\psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla \psi^* \nabla^2 \psi \mathrm d \mathbf r \\

&= - [\psi^* \nabla^2 \psi]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r

\end{align}

여기에 다음을 덧붙인다.

:\begin{align}

U \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla(U \psi)

&= U \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla U \psi - U \psi^* \nabla \psi \\

&= -\psi^*\nabla U \psi

\end{align}

위 식들을 사용하면 아래와 같다.

:m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\int \psi^* \nabla U \psi \mathrm d \mathbf r

이 식 우변의 적분은, 기대값의 도출법에서 \nabla U의 기대값이므로, 최종적으로 아래와 같이 된다.

:m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\langle \nabla U \rangle

9. 4. 파동 함수의 성질 활용

부분 적분과, 적분 범위가 공간 전체에 걸쳐 있다는 것, 그리고 파동 함수는 무한대에서 0이 된다는 가정을 사용하면 다음 식을 얻는다.

:\begin{align}

\int\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi\mathrm d \mathbf r

&= [\nabla\psi^*\mathbf r \psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla\psi^* \nabla(\mathbf r \psi)\mathrm d \mathbf r \\

&= -[\psi^*\nabla(\mathbf r \psi)]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^*\nabla^2(\mathbf r \psi) \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \psi^*\nabla(\nabla \mathbf r \psi + \mathbf r \nabla \psi) \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \left[ \psi^*\nabla \psi + \psi^* \nabla( \mathbf r \nabla \psi) \right] \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \left[ 2\psi^*\nabla \psi + \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi \right] \mathrm d \mathbf r

\end{align}[1]

같은 방식으로 부분 적분을 한 번 더 적용하면,

:\begin{align}\int \nabla^2\psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r

&= [\nabla\psi^*\nabla\psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla \psi^* \nabla^2 \psi \mathrm d \mathbf r \\

&= - [\psi^* \nabla^2 \psi]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r

\end{align}[1]

를 얻는다.

9. 5. 최종 증명

먼저, 기대값의 정의로부터

:

\begin{align}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle \mathbf r \rangle

&= \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\int \psi^*(\mathbf r,t) \mathbf r \psi(\mathbf r,t) \mathrm d \mathbf r \\

&= \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{\partial \psi}{\partial t}\right]\mathrm d \mathbf r

\end{align}

를 얻는다. 여기서 슈뢰딩거 방정식으로부터

:\begin{align}

\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{\partial \psi}{\partial t}\right]\mathrm d \mathbf r

&= \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[-\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi^*)\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi)\right]\mathrm d \mathbf r \\

&= \frac{1}{i\hbar}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\int\left[-\left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi^*\mathbf r \psi + \psi^* \mathbf r \left\{\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi\right]\mathrm d \mathbf r \\

&= \frac{1}{i\hbar}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi - \psi^* \mathbf r \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi\right]\mathrm d \mathbf r \\

&= -\frac{i\hbar}{2m}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi - \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi\right]\mathrm d \mathbf r

\end{align}

부분 적분과, 적분 범위가 공간 전체에 걸쳐 있다는 것, 및 파동 함수는 무한대에서는 0이 된다는 가정을 사용하면

:\begin{align}

\int\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi\mathrm d \mathbf r

&= [\nabla\psi^*\mathbf r \psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla\psi^* \nabla(\mathbf r \psi)\mathrm d \mathbf r \\

&= -[\psi^*\nabla(\mathbf r \psi)]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^*\nabla^2(\mathbf r \psi) \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \psi^*\nabla(\nabla \mathbf r \psi + \mathbf r \nabla \psi) \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \left[ \psi^*\nabla \psi + \psi^* \nabla( \mathbf r \nabla \psi) \right] \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \left[ 2\psi^*\nabla \psi + \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi \right] \mathrm d \mathbf r

\end{align}

이것들을 사용하면

:m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int \psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r=-i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r

다시 슈뢰딩거 방정식을 사용하여

:\begin{align}

  • i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r

&= -i\hbar\int \left[ -\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi^*) \nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi)\right] \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \left[ \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi^* \nabla \psi - \psi^*\nabla \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi\right] \mathrm d \mathbf r \\

&= -\frac{\hbar^2}{2m}\int \left [ \nabla^2\psi^*\nabla\psi-\psi^*\nabla^3\psi \right ] \mathrm d \mathbf r + \int \left[ U(\mathbf r) \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla(U(\mathbf r) \psi)\right]\mathrm d \mathbf r

\end{align}

또한 부분 적분을 사용하면,

:\begin{align}\int \nabla^2\psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r

&= [\nabla\psi^*\nabla\psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla \psi^* \nabla^2 \psi \mathrm d \mathbf r \\

&= - [\psi^* \nabla^2 \psi]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r \\

&= \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r

\end{align}

덧붙여

:\begin{align}

U \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla(U \psi)

&= U \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla U \psi - U \psi^* \nabla \psi \\

&= -\psi^*\nabla U \psi

\end{align}

를 사용하면,

:m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\int \psi^* \nabla U \psi \mathrm d \mathbf r

를 얻는다. 이 우변의 적분은, 기대값의 도출법에서 \nabla U의 기대값이므로,

:m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\langle \nabla U \rangle

가 된다.

참조

[1] harvnb
[2] 학술지 Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik
[3] 서적 Introduction to Quantum Mechanics World Scientific Pub Co Inc
[4] 웹사이트 Remarks concerning the status & some ramifications of Ehrenfest's theorem http://academic.reed[...]
[5] harvnb
[6] 문서
[7] 문서
[8] 학술지 Operational Dynamic Modeling Transcending Quantum and Classical Mechanics
[9] 학술지 Commutation relations for functions of operators http://scholarsarchi[...]
[10] 서적 学術用語集 物理学編 http://sciterm.nii.a[...] "[[培風館]]"
[11] 저널 인용


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com