에르되시-스트라우스 추측

3. 정식화

에르되시-스트라우스 추측은 모든 정수 $n\backslash ge\; 2$에 대해 다음 방정식을 만족하는 양의 정수 $x$, $y$, $z$가 존재한다는 추측이다.

:$$\backslash frac4n\; =\; \backslash frac1x\; +\; \backslash frac1y\; +\; \backslash frac1z.$$

예를 들어 $n=5$일 때는 다음과 같은 두 가지 해가 있다.

:$$\backslash frac45=\backslash frac12+\backslash frac14+\backslash frac1\{20\}=\backslash frac12+\backslash frac15+\backslash frac1\{10\}.$$

양변에 $nxyz$를 곱하면 이 문제는 다항식 형태인 $4xyz=n(xy+xz+yz)$와 동치가 된다.^[13]

3. 1. 서로 다른 단위 분수

3. 2. 음수 해

4. 계산 결과

에르되시-스트라우스 추측이 참인지 확인하기 위해, 여러 연구자들이 무차별 대입 탐색으로 반례를 찾으려고 시도했다.^[6] 이러한 탐색을 통해, 10¹⁷까지의 모든 ''n''에 대해 추측이 참임이 확인되었다.^[6]

이러한 탐색에서는 ''n''이 소수인 경우만 고려하면 된다. 왜냐하면 4/''n''이 세 개의 항으로 전개될 때마다, 모든 양의 정수 ''m''에 대해 4/(''mn'')도 전개되기 때문이다. 4/(''mn'')에 대한 해는 4/''n''에 대한 해의 모든 단위 분수를 ''m''으로 나누어 구할 수 있다.

:$\backslash frac\{4\}\{n\}=\backslash frac\{1\}\{x\}+\backslash frac\{1\}\{y\}+\backslash frac\{1\}\{z\}$

\ \Rightarrow\ \frac{4}{mn}=\frac{1}{mx}+\frac{1}{my}+\frac{1}{mz}.

만약 4/''n''이 합성수 ''n''에 대한 추측의 반례라면, ''n''의 모든 소인수 ''p''는 무차별 대입 탐색에서 이전에 발견되었을 4/''p''라는 반례를 제공할 것이기 때문이다. 따라서 합성수에 대한 해의 존재 여부를 확인하는 것은 중복되므로 탐색에서 건너뛸 수 있다.

또한, 알려진 합동 항등식을 이용하면 해가 있는 것으로 알려진 다른 값을 건너뛰어 탐색 속도를 더욱 높일 수 있다.^[6] 예를 들어, 탐욕 알고리즘은 ''n''이 4를 법으로 1이 아닌 모든 숫자 4/''n''에 대해 3개 이하의 항으로 전개를 찾으므로, 탐색은 4를 법으로 1인 값만 테스트하면 된다. 이 문제에 대한 진전을 이루는 한 가지 방법은 더 많은 모듈러 항등식을 수집하여 컴퓨터 탐색이 더 적은 테스트로 더 높은 한계에 도달할 수 있도록 하는 것이다.

4. 1. 해의 개수

5. 이론적 결과

에르되시-스트라우스 추측은 $4xyz=n(xy+xz+yz)$ 형태의 정수 방정식으로, 정수 변수를 갖는 다항 방정식인 디오판토스 방정식의 한 예이다. 하세 원리에 따르면, 디오판토스 방정식은 모듈러 산술을 이용하여 연구할 수 있다.^[13] 만약 다항 방정식이 정수 해를 가지면, 어떤 정수 $q$에 대해 이 해를 모듈로 $q$로 취하면 모듈로-$q$ 산술에서 해를 얻을 수 있다. 반대로, 만약 방정식이 모든 소수 거듭제곱 $q$에 대해 모듈로 $q$ 해를 가진다면, 어떤 경우에는 이러한 모듈러 해를 중국인의 나머지 정리와 관련된 방법을 사용하여 정수 해로 조합할 수 있다. 하세 원리가 일부 문제를 해결하는 능력은 마닌 방해에 의해 제한되지만, 에르되시-스트라우스 추측의 경우 이러한 방해는 존재하지 않는다.

모든 $n$에 대해, 방정식 $4xyz=n(xy+xz+yz)$는 모든 소수 또는 소수 거듭제곱에 대해 쉽게 풀리지만, 이러한 해들을 조합하여 방정식에 대한 양의 정수 해를 얻는 것은 불가능해 보인다. 그럼에도 불구하고, 모듈러 산술 및 모듈러 산술에 기반한 항등식은 이 추측 연구에 매우 중요한 도구로 입증되었다.^[7]

5. 1. 합동 항등식

• 2를 법으로 3 (위의 경우)
• 3을 법으로 4
• 2 또는 3을 법으로 5
• 3, 5 또는 6을 법으로 7
• 5를 법으로 8

5. 2. 항등식의 부재

5. 3. 해의 개수에 대한 상계

6. 일반화

바츠와프 시에르핀스키는 1956년에 5/n 형태의 분수에 대해 에르되시-스트라우스 추측과 유사한 추측을 제기했다.^[8] 안제이 신젤은 시에르핀스키의 추측을 일반화하여, 모든 양의 정수 k에 대해 거의 모든 k/n 형태의 분수가 세 개의 양의 단위 분수의 합으로 표현될 수 있다는 추측을 제안했다.^[8]

일반화된 추측이 어떤 고정된 k 값에 대해 거짓이더라도, 1부터 N까지의 범위에서 세 항으로 전개되지 않는 k/n 형태의 분수의 수는 N의 함수로 서브선형적으로만 증가한다.^[9] 특히, 에르되시-스트라우스 추측(k=4인 경우)이 거짓이라면, 반례의 수는 서브선형적으로만 증가한다.^[10] 일반화된 추측은 전개 불가능한 분수의 수가 서브선형적일 뿐만 아니라, 그 수가 유한하다는 주장과 동일하다.

6. 1. 홀수 탐욕 전개와의 관계

참조

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_[3] 웹사이트 conflict resolution section https://www.ics.uci.[...]
_[4] 웹사이트 conflict resolution http://www.ics.uci.e[...]
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_[7] 웹사이트 On the number of solutions to 4/p = 1/n_1 + 1/n_2 + 1/n_3 http://terrytao.word[...] 2011-07-07
_[7] 웹사이트 Counting the number of solutions to the Erdös-Straus equation on unit fractions http://terrytao.word[...] 2011-07-31
_[8] 문헌
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_[14] 웹사이트 conflict resolution section https://www.ics.uci.[...]
_[15] 웹사이트 conflict resolution http://www.ics.uci.e[...]
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_[18] 웹사이트 On the number of solutions to 4/p = 1/n_1 + 1/n_2 + 1/n_3 http://terrytao.word[...] 2011-07-07
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