이집트 분수

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 고대 이집트
- 2.2. 중세 및 그 이후
3. 표기법
4. 계산 방법
- 4.1. 린드 파피루스의 2/n 전개 (분모가 홀수인 경우)
5. 현대 수학에서의 응용
6. 현대의 응용 (실용적 측면)
7. 미해결 문제
참조

1. 개요

이집트 분수는 고대 이집트에서 사용된 분수 표기법으로, 단위 분수(분자가 1인 분수)의 합으로 모든 분수를 나타낸다. 이 표기법은 이집트 중왕국 시대에 개발되었으며, 린드 수학 파피루스 등 고대 문서에 그 계산 방법이 기록되어 있다. 이집트 분수는 고대 시대부터 중세 시대를 거쳐 현대 수학에 이르기까지 다양한 방식으로 연구되고 활용되었으며, 현대 정수론과 조합론에서 중요한 연구 주제를 제공한다. 5개의 피자를 8명이서 똑같이 나누는 문제와 같이 실생활의 문제 해결에도 적용될 수 있다. 에르되시-스트라우스 추측과 같이 이집트 분수와 관련된 미해결 문제도 존재한다.

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이집트 분수
개요
이름	이집트 분수
정의	서로 다른 단위 분수들의 유한한 합
형식	sfrac\|1\|2 sfrac\|1\|3 sfrac\|1\|7
표현
필요충분조건	모든 양의 유리수는 단위 분수들의 유한한 합으로 표현될 수 있음
추가 조건	각 단위 분수가 서로 다름
기원	고대 이집트인
사용 목적	모든 분수를 단위 분수들의 합으로 표현
예시	sfrac\|5\|6 = sfrac\|1\|2 + sfrac\|1\|3 sfrac\|43\|48 = sfrac\|1\|2 + sfrac\|1\|3 + sfrac\|1\|16
특징
유일성	주어진 유리수에 대한 이집트 분수 표현은 유일하지 않음
알고리즘	탐욕적 알고리즘 (greedy algorithm) 등의 다양한 알고리즘 존재
활용
수학	정수론, 조합론 등 다양한 분야에서 연구됨
컴퓨터 과학	알고리즘 개발 및 분석에 활용

2. 역사

이집트 중왕국 시대에 이집트 수학 가죽 두루마리, 모스크바 수학 파피루스, 라이스너 파피루스, 카훈 파피루스, 아크밈 목제 태블릿 등의 문서에 이집트 분수 표기법이 나타나기 시작했다.^[28] 제2중간기 시대 아메스가 쓴 린드 수학 파피루스에는 $\tfrac{2}{n}$ 형태의 유리수 $\tfrac{2}{n}$ 에 대한 이집트 분수 전개 표와 84개의 수학 문제가 포함되어 있다.^[28]

이집트 중왕국에서는 호루스의 눈을 사용한 이전의 분수 체계(1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64)를 대신하여 이집트식 분수 표기법이 발달했다. 고대 이집트인들은 빵을 나누는 실제 문제에 이집트 분수를 활용했다.^[10]

이집트 분수 표기법은 프톨레마이오스의 알마게스트에서 그 서투름에 대한 불만이 제기되었음에도 불구하고, 그리스 시대와 중세 시대까지 계속 사용되었다.^[16] 피보나치의 ''산반서''(1202)는 중세 시대의 이집트 분수 사용에 대한 통찰력을 제공하며, 현대 수학 연구에서 계속 중요하게 다루어지는 주제들을 소개한다. 피보나치는 이집트 분수를 계산하기 위한 "탐욕" 알고리즘을 제안했다.

2. 1. 고대 이집트

이집트 중왕국 시대에 이집트 수학 가죽 두루마리, 모스크바 수학 파피루스, 라이스너 파피루스, 카훈 파피루스, 아크밈 목제 태블릿 등의 문서에 이집트 분수 표기법이 나타나기 시작했다.^[28] 제2중간기 시대에 아메스가 쓴 린드 수학 파피루스에는

\tfrac{2}{n}

형태의 유리수

\tfrac{2}{n}

에 대한 이집트 분수 전개 표와 84개의 수학 문제가 포함되어 있다.^[28]

이집트 중왕국에서는 호루스의 눈을 사용한 이전의 분수 체계(1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64)를 대신하여 이집트식 분수 표기법이 발달했다. 린드 파피루스에는 5 이상 101 이하의 홀수 ''n''에 대해

\tfrac{2}{n}

을 단위 분수의 합으로 나타내는 표가 있다.

고대 이집트인들은 빵을 나누는 실제 문제에 이집트 분수를 활용했다. 예를 들어, 린드 파피루스의 문제 3은 6근의 빵을 10명이 나누어 먹을 때 1인분은

\tfrac{1}{2}

+

\tfrac{1}{10}

임을 보여준다. 5근을 2등분하고 나머지 1근을 10등분하는 방식이다.^[10]

2. 2. 중세 및 그 이후

이집트 분수 표기법은 프톨레마이오스의 알마게스트에서 그 서투름에 대한 불만이 제기되었음에도 불구하고, 그리스 시대와 중세 시대까지 계속 사용되었다.^[16] 9세기 인도에서는 자이나교 수학자 마하비라가 단위 분수로 분해하는 문제를 연구했다.^[17] 중세 유럽 수학의 중요한 텍스트인 피보나치의 ''산반서''(1202)는 중세 시대의 이집트 분수 사용에 대한 통찰력을 제공하며, 현대 수학 연구에서 계속 중요하게 다루어지는 주제들을 소개한다.

''산반서''의 주요 주제는 이집트 분수를 대체한 십진법과 통상 분수 표기법과 관련된 계산이다. 피보나치 자신은 혼합 진법 표기와 분수의 합을 결합한 복잡한 분수 표기법을 사용했다. 피보나치의 책 전체의 많은 계산에는 이집트 분수로 표현된 숫자가 포함되어 있으며, 이 책의 한 섹션^[5]에서는 통상 분수를 이집트 분수로 변환하는 방법에 대한 목록을 제공한다. 숫자가 이미 단위 분수가 아닌 경우, 이 목록의 첫 번째 방법은 분자를 분모의 약수의 합으로 나누는 것이다. 이는 분모가 실용수일 때마다 가능하며, ''산반서''는 실용수 6, 8, 12, 20, 24, 60 및 100에 대한 이러한 유형의 확장의 표를 포함한다.

다음 몇 가지 방법에는 다음과 같은 대수적 항등식이 포함된다.

:

\frac{a}{ab-1}=\frac{1}{b}+\frac{1}{b(ab-1)}.

예를 들어, 피보나치는 분수 을 + 로 분해하고, 위의 대수적 항등식을 이 두 부분 각각에 적용하여 = + + + 의 확장을 생성한다. 피보나치는 많은 인수를 가진 수보다 2 또는 3 작은 분모에 대한 유사한 방법을 설명한다.

이러한 다른 모든 방법이 실패하는 드문 경우에, 피보나치는 이집트 분수를 계산하기 위한 "탐욕" 알고리즘을 제안하는데, 여기에서는 확장할 나머지 분수보다 작지 않은 가장 작은 분모를 가진 단위 분수를 반복적으로 선택한다. 즉, 더 현대적인 표기법으로 분수 를 다음과 같은 확장으로 대체한다.

:

\frac{x}{y}=\frac{1}{\,\left\lceil \frac{y}{x} \right\rceil\,}+\frac{(-y)\,\bmod\, x}{y\left\lceil \frac{y}{x}\right\rceil},

여기서 은 천장 함수를 나타낸다.

피보나치는 첫 번째 확장이 완료된 후 다른 방법으로 전환할 것을 제안하지만, 이 탐욕 확장이 완전한 이집트 분수 확장이 구성될 때까지 반복된 예도 제공한다. 및 .

고대 이집트 확장 또는 더 현대적인 방법에 비해, 이 방법은 매우 긴, 큰 분모를 가진 확장을 생성할 수 있으며, 피보나치 자신도 이 방법으로 생성된 확장의 어색함을 언급했다. 예를 들어, 탐욕 방법은 다음과 같이 확장된다.

:

\frac{5}{121}=\frac{1}{25}+\frac{1}{757}+\frac{1}{763\,309}+\frac{1}{873\,960\,180\,913}+\frac{1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\,225},

반면 다른 방법은 다음과 같은 더 짧은 확장을 생성한다.

:

\frac{5}{121}=\frac{1}{33}+\frac{1}{121}+\frac{1}{363}.

실베스터 수열 2, 3, 7, 43, 1807, ...은 1에 대한 이러한 유형의 무한한 탐욕 확장에 의해 생성되는 것으로 볼 수 있으며, 각 단계에서 대신 분모 을 선택하며, 때로는 피보나치의 탐욕 알고리즘이 제임스 조셉 실베스터의 것으로 여겨지기도 한다.

탐욕 알고리즘에 대한 설명을 마친 후, 피보나치는 또 다른 방법을 제안하는데, 분수 를 확장하기 위해 많은 약수를 가진 숫자 ''c''를 검색하고, , 를 로 대체하고, ''ac''를 ''bc''의 약수의 합으로 확장하는 방법인데, 이는 훌츠와 브루인이 린드 파피루스에 있는 일부 확장을 설명하기 위해 제안한 방법과 유사하다.

3. 표기법

고대 이집트에서는 숫자 위에 점 (신관 문자) 또는 입 모양의 상형 문자(D21)를 표시하여 단위분수를 나타냈다. 신관 문자에서는 숫자를 나타내는 문자 위에 선을 그어 표현했다.

신관 문자	값
D21:Z1Z1Z1	$= \frac{1}{3}$
D21:V20	$= \frac{1}{10}$

$\tfrac{1}{2}$ , $\tfrac{2}{3}$ , $\tfrac{3}{4}$ 에 대해서는 특별한 기호를 사용했다.

상형 문자	값
Aa13	$= \frac{1}{2}$
D22	$= \frac{2}{3}$
D23	$= \frac{3}{4}$

이집트인들은 호루스의 눈 기호의 일부를 기반으로 하는 표기법을 사용하여^[2] $1/2^k$ (for $k=1,2,\dots,6$ ) 형태의 분수와 그 합을 나타냈는데, 이는 2진 유리수이다.

이 표기법은 곡물, 빵 등의 부피를 측정하는 단위인 헤카트를 세분하는 데 사용되었다. 호루스의 눈 분수로 표현하고 남은 양은 ''로'' (헤카트의 $\tfrac{1}{320}$ 과 같은 단위)의 배수로 나타냈다.

이집트 중왕국에서는 호루스의 눈을 사용한 이전의 분수 체계 대신 이집트식 분수 표기법이 발달했다. 이집트식 분수가 보이는 오래된 문헌으로는 이집트 수학 린드 파피루스, 모스크바 수학 파피루스, 레이즈너 파피루스(en:Reisner Papyrus), 카훈 파피루스(en:Kahun Papyri), 아크밈 목판(en:Akhmim Wooden Tablet) 등이 있다. 특히 린드 파피루스에는 5 이상 101 이하의 홀수 ''n''에 대해 $\tfrac{2}{n}$ 을 단위 분수의 합으로 나타내는 방법이 기록되어 있다.

고대 이집트인들이 단위 분수의 합으로 나타낸 이유는 명확하지 않지만, 빵을 나눠 먹는 문제 등에서 실용적인 이유가 있었을 것으로 추정된다.^[10] 예를 들어, 린드 파피루스의 문제 3은 6근의 빵을 10명이 나눠 먹을 때 1인분은 $\tfrac{1}{2}$ + $\tfrac{1}{10}$ 라고 설명한다. 5근을 2등분하고 나머지 1근을 10등분하는 것이 6근을 각각 5등분하는 것보다 간단하기 때문이다.^[10]

린드 파피루스에서 $\tfrac{2}{n}$ 표를 보면, 분모가 100 이하의 홀수인 많은 분수를 단위 분수의 합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, $\tfrac{2}{21}$ = $\tfrac{1}{14}$ + $\tfrac{1}{42}$ 이므로,

: $\tfrac{5}{21}$ = $\tfrac{1}{21}$ + ( $\tfrac{1}{14}$ + $\tfrac{1}{42}$ ) + ( $\tfrac{1}{14}$ + $\tfrac{1}{42}$ ) = $\tfrac{1}{21}$ + $\tfrac{1}{7}$ + $\tfrac{1}{21}$ = $\tfrac{1}{7}$ + $\tfrac{1}{14}$ + $\tfrac{1}{42}$

와 같이 계산할 수 있다.^[12] 린드 파피루스에서 $\tfrac{2}{n}$ 에 주목하는 것은 고대 이집트의 곱셈(en:Ancient Egyptian multiplication) 알고리즘이 2배를 기초로 하기 때문으로 추정된다.^[13]

고대 이집트인들은 $\tfrac{2}{3}$ 을 예외로 하고 단위 분수만을 표기했다. 단위 분수 $\tfrac{1}{n}$ 을 나타내기 위해 신관 문자에서는 점을, 신성 문자에서는

D21

을 ''n''을 나타내는 기호 위에 놓았다.

신관 문자	값
D21:Z1Z1Z1	$= \frac{1}{3}$
D21:V20	$= \frac{1}{10}$

$\tfrac{1}{2}$ 와 $\tfrac{2}{3}$ 만 특별한 글리프를 가졌다.

상형 문자	값
Aa13	$= \frac{1}{2}$
D22	$= \frac{2}{3}$

$\tfrac{2}{3}$ 의 글리프는 오른쪽 세로선이 약간 더 길다. 긴 쪽이 1을, 짧은 쪽이 $\tfrac{1}{2}$ 를 나타내며, 전체적으로는 그 합 $\tfrac{3}{2}$ 의 역수를 의미한다.^[10]

4. 계산 방법

고대 이집트인들은 이집트 분수를 계산하기 위해 다양한 방법을 사용했던 것으로 보인다. 린드 파피루스에 있는 2/n 형태의 숫자에 대한 전개 표를 보면, 분모가 소수인지 합성수인지에 따라 다른 방법을 사용했다.

작은 홀수 소수 분모 p의 경우에는 다음 공식을 사용했다.

:

\frac{2}{p} = \frac{1}{(p + 1)/2} + \frac{1}{p(p + 1)/2}

더 큰 소수 분모의 경우에는 다음 형태의 전개를 사용했다.

:

\frac{2}{p} = \frac{1}{A} + \frac{2A-p}{Ap}

여기서 A는 p/2와 p 사이에서 많은 약수를 가진 수(실용수)이다. 나머지 항 (2A-p)/Ap는 숫자 2A-p를 A의 약수의 합으로 나타내고, 이 합의 각 약수 d에 대해 분수 d/Ap를 형성하여 전개했다.^[3]

p*q로 인수분해되는 일부 합성 분모의 경우, 2/pq에 대한 전개는 각 분모에 q를 곱한 2/p에 대한 전개 형태를 가진다.^[4]

또한 다음과 같이 전개할 수도 있다.

:

\frac{2}{pq}=\frac{1}{p(p+q)/2}+\frac{1}{q(p+q)/2}

이러한 방법들은 린드 파피루스에 기록된 여러 전개 방식을 설명해주지만, 모든 경우에 적용되는 것은 아니다.

4. 1. 린드 파피루스의 2/n 전개 (분모가 홀수인 경우)

(a=2, p=3, q=3)2/9 = 1/6 + 1/18
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 3으로 나눈다.)11소수2/11 = 1/6 + 1/6613소수2/13 = 1/7 + 1/912/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104
(A=8, p=13, 2A-p=3=2+1)15반소수2/15 = 1/8 + 1/1202/15 = 1/10 + 1/30
(a=2, p=3, q=5)2/15 = 1/12 + 1/20
(r=4, p=3, q=5)2/15 = 1/10 + 1/30
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 5로 나눈다.)17소수2/17 = 1/9 + 1/1532/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68
(A=12, p=17, 2A-p=7=4+3)19소수2/19 = 1/10 + 1/1902/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114
(A=12, p=19, 2A-p=5=3+2)21반소수2/21 = 1/11 + 1/2312/21 = 1/14 + 1/42
(a=2, p=3, q=7)2/21 = 1/15 + 1/35
(r=5, p=3, q=7)2/21 = 1/14 + 1/42
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 7로 나눈다.)23소수2/23 = 1/12 + 1/27625반소수2/25 = 1/13 + 1/3252/25 = 1/15 + 1/75
(a=3, p=5, q=5)2/25 = 1/15 + 1/75
(2/5 = 1/3 + 1/15
을 5로 나눈다.)27합성수2/27 = 1/14 + 1/3782/27 = 1/18 + 1/54
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 9로 나눈다.)29소수2/29 = 1/15 + 1/4352/29 = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232
(A=24, p=29, 2A-p=19=12+4+3)31소수2/31 = 1/16 + 1/4962/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155
(A=20, p=31, 2A-p=9=5+4)33반소수2/33 = 1/17 + 1/5612/33 = 1/22 + 1/66
(a=2, p=3, q=11)2/33 = 1/21 + 1/77
(r=7, p=3, q=11)2/33 = 1/22 + 1/66
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 11로 나눈다.)35반소수2/35 = 1/18 + 1/6302/35 = 1/21 + 1/105
(a=3, p=5, q=7)2/35 = 1/30 + 1/42
(r=6, p=5, q=7)2/35 = 1/21 + 1/105
(2/5 = 1/3 + 1/15
을 7로 나눈다.)37소수2/37 = 1/19 + 1/7032/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296
(A=24, p=37, 2A-p=11=8+3)39반소수2/39 = 1/20 + 1/7802/39 = 1/26 + 1/78
(a=2, p=3, q=13)2/39 = 1/24 + 1/104
(r=8, p=3, q=13)2/39 = 1/26 + 1/78
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 13으로 나눈다.)41소수2/41 = 1/21 + 1/8612/41 = 1/24 + 1/246 + 1/328
(A=24, p=41, 2A-p=7=4+3)43소수2/43 = 1/22 + 1/9462/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301
(A=42, p=43, 2A-p=41=21+14+6)45합성수2/45 = 1/23 + 1/10352/45 = 1/30 + 1/90
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 15로 나눈다.)47소수2/47 = 1/24 + 1/11282/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470
(A=30, p=47, 2A-p=13=10+3)49반소수2/49 = 1/25 + 1/12252/49 = 1/28 + 1/196
(a=4, p=7, q=7)2/49 = 1/28 + 1/196
(2/7 = 1/4 + 1/28
을 7로 나눈다.)51반소수2/51 = 1/26 + 1/13262/51 = 1/34 + 1/102
(a=2, p=3, q=17)2/51 = 1/30 + 1/170
(r=10, p=3, q=17)2/51 = 1/34 + 1/102
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 17로 나눈다.)53소수2/53 = 1/27 + 1/14312/53 = 1/30 + 1/318 + 1/795
(A=30, p=53, 2A-p=7=5+2)55반소수2/55 = 1/28 + 1/15402/55 = 1/33 + 1/165
(a=3, p=5, q=11)2/55 = 1/40 + 1/88
(r=8, p=5, q=11)2/55 = 1/30 + 1/330
(2/11 = 1/6 + 1/66
을 5로 나눈다.)57반소수2/57 = 1/29 + 1/16532/57 = 1/38 + 1/114
(a=2, p=3, q=19)2/57 = 1/33 + 1/209
(r=11, p=3, q=19)2/57 = 1/38 + 1/114
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 19로 나눈다.)59소수2/59 = 1/30 + 1/17702/59 = 1/36 + 1/236 + 1/531
(A=36, p=59, 2A-p=13=9+4)61소수2/61 = 1/31 + 1/18912/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610
(A=40, p=61, 2A-p=19=10+5+4)63합성수2/63 = 1/32 + 1/20162/63 = 1/42 + 1/126
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 21로 나눈다.)65반소수2/65 = 1/33 + 1/21452/65 = 1/39 + 1/195
(a=3, p=5, q=13)2/65 = 1/45 + 1/117
(r=9, p=5, q=13)2/65 = 1/39 + 1/195
(2/5 = 1/3 + 1/15
을 13으로 나눈다.)67소수2/67 = 1/34 + 1/22782/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536
(A=40, p=67, 2A-p=13=8+5)69반소수2/69 = 1/35 + 1/24152/69 = 1/46 + 1/138
(a=2, p=3, q=23)2/69 = 1/39 + 1/299
(r=13, p=3, q=23)2/69 = 1/46 + 1/138
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 23으로 나눈다.)71소수2/71 = 1/36 + 1/25562/71 = 1/40 + 1/568 + 1/710
(A=40, p=71, 2A-p=9=5+4)73소수2/73 = 1/37 + 1/27012/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365
(A=60, p=73, 2A-p=47=20+15+12)75합성수2/75 = 1/38 + 1/28502/75 = 1/50 + 1/150
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 25로 나눈다.)77반소수2/77 = 1/39 + 1/30032/77 = 1/44 + 1/308
(a=4, p=7, q=11)2/77 = 1/63 + 1/99
(r=9, p=7, q=11)2/77 = 1/44 + 1/308
(2/7 = 1/4 + 1/28
을 11로 나눈다.)79소수2/79 = 1/40 + 1/31602/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
(A=60, p=79, 2A-p=41=20+15+6)81합성수2/81 = 1/41 + 1/33212/81 = 1/54 + 1/162
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 27로 나눈다.)83소수2/83 = 1/42 + 1/34862/83 = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498
(A=60, p=83, 2A-p=37=15+12+10)85반소수2/85 = 1/43 + 1/36552/85 = 1/51 + 1/255
(a=3, p=5, q=17)2/85 = 1/55 + 1/187
(r=11, p=5, q=17)2/85 = 1/51 + 1/255
(2/5 = 1/3 + 1/15
을 17로 나눈다.)87반소수2/87 = 1/44 + 1/38282/87 = 1/58 + 1/174
(a=2, p=3, q=29)2/87 = 1/78 + 1/964
(r=16, p=3, q=29)2/87 = 1/58 + 1/174
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 29로 나눈다.)89소수2/89 = 1/45 + 1/40052/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890
(A=60, p=89, 2A-p=31=15+10+6)91반소수2/91 = 1/46 + 1/44162/91 = 1/52 + 1/364
(a=4, p=7, q=13)2/91 = 1/70 + 1/130
(r=10, p=7, q=13)2/91 = 1/52 + 1/364
(2/7 = 1/4 + 1/28
을 13으로 나눈다.)93반소수2/93 = 1/47 + 1/43712/93 = 1/62 + 1/186
(a=2, p=3, q=31)2/93 = 1/51 + 1/527
(r=17, p=3, q=31)2/93 = 1/62 + 1/186
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 31로 나눈다.)95반소수2/95 = 1/48 + 1/45602/95 = 1/57 + 1/285
(a=3, p=5, q=19)2/95 = 1/60 + 1/228
(r=12, p=5, q=19)2/95 = 1/60 + 1/228
(2/5 = 1/3 + 1/15
을 19로 나눈다.)97소수2/97 = 1/49 + 1/47532/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776
(A=56, p=97, 2A-p=15=8+7)99합성수2/99 = 1/50 + 1/49502/99 = 1/66 + 1/198
(2/3 = 1/2 + 1/6
을 33으로 나눈다.)101소수2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606