위상수학자의 사인 곡선

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 국소 콤팩트성
4. 곡선의 개형
5. 변형
- 5.1. 닫힌 위상수학자의 사인 곡선
- 5.2. 확장된 위상수학자의 사인 곡선
참조

1. 개요

위상수학자의 사인 곡선은 평면의 부분집합 S = {(x, sin(1/x)) | 0 < x ≤ 1}의 폐포 cl S = S ∪ {(0, y) | y ∈ [-1, 1]}로 정의되는 곡선이다. 이 곡선은 국소 콤팩트 공간의 연속적인 이미지이지만, 자체는 국소 콤팩트가 아니다. 르베그 피복 차원은 1이며, x가 0에 가까워짐에 따라 사인 곡선의 주기가 급격히 감소하는 형태를 보인다. 위상수학자의 사인 곡선은 닫힌 위상수학자의 사인 곡선과 확장된 위상수학자의 사인 곡선으로 변형될 수 있으며, 각 변형은 독특한 위상수학적 성질을 갖는다. 닫힌 위상수학자의 사인 곡선은 콤팩트하지만 국소 연결도 아니고 경로 연결도 아니며, 확장된 위상수학자의 사인 곡선은 호 연결이지만 국소 연결은 아니다.

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위상수학자의 사인 곡선

2. 정의

평면의 부분집합 $S$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $S=\left \{\left ( x, \sin \left (\frac{1}{x} \right ) \right ) \colon 0 < x \leq 1 \right \}\subseteq\mathbb R^2$

'''위상수학자의 사인 곡선'''은 집합 $S$ 의 $\mathbb R^2$ 에서의 폐포

: $\operatorname{cl}S=S\cup\{(0,y)\colon y\in[-1,1]\}$

이다.

3. 성질

위상수학자의 사인 곡선은 연결 공간이지만, 국소 연결 공간이 아니며 경로 연결 공간도 아니다. 이는 (0, 0)점을 포함하지만, 원점과 함수 그래프 상의 점을 잇는 경로를 만들 수 없기 때문이다.^[2]

위상수학자의 사인 곡선 $\operatorname{cl}S$ 는 2개의 경로 연결 성분 $S$ 와 $\{(0,y)\colon y\in[-1,1]\}$ 을 갖는다. $S\cup\{(0,0)\}$ 또한 2개의 경로 연결 성분 $S$ 와 $\{(0,0)\}$ 을 갖는다.

위상수학자의 사인 곡선에 $\operatorname{cl}S\cup\{(x,1)\colon 0\le x\le 1\}$ 를 추가하면 호 연결 공간이 되지만, 여전히 국소 연결 공간은 아니다.^[2]

위상수학자의 사인 곡선의 위상 차원(르베그 피복 차원)은 1이다.

3. 1. 국소 콤팩트성

위상 공간

S\cup\{(0,0)\}

은 국소 콤팩트 공간이 아니다.^[2] 왜냐하면

(0,0)\in S

는 콤팩트 근방이 없기 때문이다. 하지만 이 공간은 국소 콤팩트 공간의 연속 함수에 대한 상이다. 구체적으로, 함수

\{-1\}\cup(0,1]\to S\cup\{(0,0)\}

에서

-1\mapsto(0,0)

,

x\mapsto(x,\sin(1/x))

(

\forall x\in(0,1]

)는 전사 연속 함수이며,

\{-1\}\cup(0,1]

은 국소 콤팩트 공간이다.

위상수학자의 사인 곡선 자체는 국소 콤팩트가 아니다. 이 공간은 국소 콤팩트 공간의 연속적인 이미지이다. 즉,

V

를 공간

\{-1\} \cup (0, 1]

으로 두고,

f : V \to T

를

f(-1) = (0,0)

과

x > 0

에 대해

f(x) = (x, \sin\tfrac{1}{x})

로 정의하는 함수를 사용한다.

위상 공간

T

는 국소 콤팩트 공간의 연속적인 상이다. 실제로,

V

를 {−1} ∪ (0, 1]로 하고,

V

에서

T

로의 사상

f

를

:

f ( x ) = \begin{cases}(0,0) & :\ x = -1 \\(x, \sin \frac{1}{x})& : 0 < \ x \le 1 \end{cases}

로 정의하면 된다. 그러나,

T

자신은 국소 콤팩트가 아니다.

4. 곡선의 개형

x^영어가 0에 가까워짐에 따라 는 커지고, 사인 곡선의 주기는 급격하게 감소한다.

5. 변형

위상수학자의 사인 곡선에는 여러 가지 변형이 존재하며, 이들은 각각 흥미로운 위상수학적 성질을 갖는다.

$S\cup\{(0,0)\}$ 은 국소 콤팩트 공간이 아니며, $(0,0)\in S$ 는 콤팩트 근방이 없다. 그러나 이 공간은 국소 콤팩트 공간의 연속 함수에 대한 상이다. 구체적으로, $\{-1\}\cup(0,1]\to S\cup\{(0,0)\}$ , $-1\mapsto(0,0)$ , $x\mapsto(x,\sin(1/x))$ ( $\forall x\in(0,1]$ )은 전사 연속 함수이며, $\{-1\}\cup(0,1]$ 은 국소 콤팩트 공간이다. 또한, 연결 공간이지만 국소 연결 공간은 아니며, 2개의 경로 연결 성분 $S$ 와 $\{(0,0)\}$ 을 갖는다.^[2]

$\operatorname{cl}S\cup\{(x,1)\colon 0\le x\le 1\}$ 은 호 연결 공간이지만, 국소 연결 공간이 아니다.^[2]

5. 1. 닫힌 위상수학자의 사인 곡선

'''닫힌 위상수학자의 사인 곡선'''은 위상수학자의 사인 곡선에 그 극한점의 집합

\{(0,y)\mid y\in[-1,1]\}

을 추가하여 정의한다.^[1] 이 공간은 닫혀 있고 유계이므로 하이네-보렐 정리에 의해 콤팩트하지만, 위상수학자의 사인 곡선과 유사한 속성을 갖는다. 즉, 연결 공간이지만 국소 연결 공간도 아니고 경로 연결도 아니다.

5. 2. 확장된 위상수학자의 사인 곡선

'''확장된 위상수학자의 사인 곡선'''은 닫힌 위상수학자의 사인 곡선에 집합

\{(x,1) \mid x\in[0,1]\}

을 더하여 정의된다.^[2] 이는 호 연결 공간이지만 국소 연결 공간은 아니다.

참조

_[1] 서적 Topology; a First Course Englewood Cliffs 1979
_[2] 서적 Counterexamples in Topology Springer-Verlag 1978

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