국소 연결 공간

3. 역사적 배경

연결성과 콤팩트성은 위상수학 역사에서 가장 널리 연구된 두 가지 위상적 성질이었다. 특히 유클리드 공간의 부분 집합에서 이러한 성질을 연구하고, 이것이 유클리드 거리의 특정 형태와 무관하다는 것을 인식한 것은 위상적 성질과 위상 공간 개념을 명확히 하는 데 중요한 역할을 했다. 하이네-보렐 정리를 통해 유클리드 공간의 콤팩트 부분 집합의 구조는 비교적 일찍 이해되었지만, $\backslash R^n$ (''n'' > 1)의 연결 부분 집합은 훨씬 더 복잡했다. 모든 콤팩트 하우스도르프 공간은 국소 콤팩트이지만, 연결 공간, 심지어 유클리드 평면의 연결 부분 집합도 국소 연결성을 가질 필요는 없었다.

이 때문에 20세기 전반에는 국소 연결 공간의 개념에 대한 다양하고 복잡한 변형과 그 함의에 대한 연구가 활발하게 진행되었다. 예를 들어, 한 점에서의 국소 연결성 im kleinen의 개념과 국소 연결성과의 관계는 이 문서의 뒷부분에서 다루어진다.

20세기 후반에는 연구 경향이 다양체와 같이 국소적으로는 잘 이해되지만(유클리드 공간에 국소 동형이므로) 전역적으로 복잡한 거동을 보이는 공간에 대한 연구로 이동했다. 이는 다양체의 기본적인 점-집합 위상수학은 비교적 단순하지만(다양체는 개념의 대부분의 정의에 따라 본질적으로 거리화 가능하기 때문에) 대수적 위상수학은 훨씬 더 복잡하다는 것을 의미한다. 이러한 현대적 관점에서, 국소 경로 연결성의 더 강한 성질이 더 중요해졌다. 예를 들어, 공간이 유일 피복을 가지려면 연결되어 있고 국소 경로 연결되어야 한다.

4. 성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

:CW 복합체 ⊊ 국소 축약 가능 공간 ⊊ 국소 경로 연결 공간 ⊊ 국소 연결 공간

국소 경로 연결 공간에서는 연결 성분과 경로 연결 성분의 개념이 같다.^[19]

국소 연결 공간의 몫공간은 국소 연결 공간이다.^[19]

(경로) 연결성과 국소 (경로) 연결성은 다음과 같은 관계를 가진다.

공간이 국소 연결 공간일 필요충분 조건은 연결 부분 집합의 기저를 갖는 것이다.

완전 비연결 공간이 국소 연결 공간인 경우, 이는 이산 공간이다.

5. 연결 성분과 경로 연결 성분

위상 공간 $X$에서, $x$를 포함하는 최대 연결 부분 집합을 $x$의 연결 성분이라고 한다.^[10] $C\_x$는 $x$를 포함하는 유일한 최대 연결 부분 집합이다.^[11] $C\_x$의 폐포는 또한 $x$를 포함하는 연결 부분 집합이므로,^[12] $C\_x$는 닫힌 집합이다.^[13]

$X$가 유한 개의 연결 성분만 가진다면, 각 성분은 닫힌 집합의 유한 개 합집합의 여집합이므로 열린 집합이다. 일반적으로 연결 성분은 열려있지 않을 수 있는데, 예를 들어 칸토어 공간처럼 이산적이지 않은 완전 불연결 공간(즉, 모든 점 $x$에 대해 $C\_x\; =\; \backslash \{x\backslash \}$)이 존재하기 때문이다. 그러나 국소 연결 공간의 연결 성분은 또한 열려 있으며, 따라서 열린 집합이자 닫힌 집합이다.^[14]

위상 공간 $X$에서, $x$를 포함하는 최대 경로 연결 부분 집합을 $x$의 ''경로 성분''이라고 한다.^[16] 경로 연결 집합은 연결 집합이므로, 모든 $x\; \backslash in\; X$에 대해 $PC\_x\; \backslash subseteq\; C\_x$이다.

하지만 경로 연결 집합의 폐포가 경로 연결될 필요는 없다. 예를 들어, 위상 수학자의 사인 곡선은 ''x > 0''인 모든 점 $(x,\backslash sin(x))$로 구성된 열린 부분 집합 ''U''의 폐포이고, ''U''는 실수선 위의 구간과 위상 동형이므로 확실히 경로 연결되어 있다. 또한, 위상 수학자의 사인 곡선 ''C''의 경로 성분은 열려 있지만 닫혀 있지 않은 ''U''와 닫혀 있지만 열려 있지 않은 $C\; \backslash setminus\; U$이다.

공간이 국소 경로 연결 공간인 것은 모든 열린 부분 집합 ''U''에 대해 ''U''의 경로 성분이 열려 있는 경우에만 해당한다.^[16] 따라서 국소 경로 연결 공간의 경로 성분은 ''X''를 쌍별로 서로소인 열린 집합으로 분할한다. 국소 경로 연결 공간의 열린 연결 부분 공간은 필연적으로 경로 연결이다.^[17] 또한, 공간이 국소 경로 연결이면 국소 연결이기도 하므로, 모든 $x\; \backslash in\; X$에 대해, $C\_x$는 연결되고 열려 있으므로 경로 연결되어 있으며, 즉, $C\_x\; =\; PC\_x$이다. 즉, 국소 경로 연결 공간의 경우 연결 성분과 경로 성분은 일치한다.

6. 준성분

위상 공간 X에서, x와 y를 분리하는 열린 닫힌 집합이 존재하지 않으면 x와 y는 같은 준성분에 속한다고 한다. x의 준성분($QC\_x$)은 x를 포함하는 모든 열린 닫힌 집합의 교집합이다. 준성분은 항상 닫힌 집합이지만, 열린 집합일 필요는 없다.

모든 $x\; \backslash in\; X$에 대해 $C\_x\; \backslash subseteq\; QC\_x$임이 분명하다. 경로 성분($PC\_x$), 성분($C\_x$), 준성분 사이의 포함 관계는 다음과 같다:

$$PC\_x\; \backslash subseteq\; C\_x\; \backslash subseteq\; QC\_x.$$

X가 국소 연결 공간이라면, $C\_x$는 x를 포함하는 열린 닫힌 집합이므로, $QC\_x\; \backslash subseteq\; C\_x$이고 따라서 $QC\_x\; =\; C\_x$이다. 국소 경로 연결 공간은 국소 연결 공간이므로, 국소 경로 연결 공간의 모든 점 x에서 다음이 성립한다.

$$PC\_x\; =\; C\_x\; =\; QC\_x.$$

콤팩트 하우스도르프 공간에서 준성분과 연결 성분은 일치한다.^[1]

7. 예시

# 유클리드 공간은 국소 경로 연결 공간이므로 국소 연결 공간이다.

# 실수선의 부분 공간 [0,1] ∪ [2,3]은 국소 연결 공간이지만 연결 공간은 아니다.

# 위상수학자의 사인 곡선은 연결 공간이지만 국소 연결 공간이 아니다.^[7]

# 표준 유클리드 위상을 갖춘 유리수 공간 $\backslash mathbb\; Q$는 연결 공간도 국소 연결 공간도 아니다.

# 빗 공간은 경로 연결 공간이지만 국소 연결 공간이 아니다.

참조

_[1] 웹사이트 Show that X is not locally connected at p https://math.stackex[...]
_[2] 논문 The Mazurkiewicz distance and sets that are finitely connected at the boundary
_[3] 웹사이트 Definition of locally pathwise connected https://math.stackex[...]
_[4] 서적 Definition 27.4
_[5] 서적 Definition 27.14
_[6] 서적 Theorem 27.16
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적 Theorem 26.7a
_[10] 서적 Definition 26.11
_[11] 서적 Problem 26B
_[12] 서적 Theorem 20, Theorem 26.8
_[13] 서적 Theorem 26.12
_[14] 서적 Corollary 27.10
_[15] 서적 Theorem 27.9
_[16] 서적 Problem 27D
_[17] 서적 Theorem 27.5
_[18] 서적 example 119.4
_[19] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall