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윅 정리

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목차

1. 개요

윅 정리는 양자장론에서 연산자 곱을 정규 순서 곱과 축약의 합으로 나타내는 방법이다. 두 연산자의 축약은 연산자 곱에서 정규 순서 곱을 뺀 것으로 정의되며, 생성 및 소멸 연산자, 장 연산자 등 다양한 연산자에 적용될 수 있다. 윅 정리는 생성 및 소멸 연산자의 곱을 정규 순서 곱과 단일, 이중 축약 등의 합으로 표현하며, 페르미온 연산자에서는 축약 순서에 따라 부호가 바뀔 수 있다. 윅 정리는 귀납법으로 증명되며, S-행렬 요소 계산, 다양한 형태의 기대값 계산 등 양자장론의 여러 분야에 응용된다.

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윅 정리
개요
이름윅 정리
로마자 표기Wik jeongni
분야양자장론
고안자지안카를로 윅
발표 년도1950년
내용
목적고차 도함수 감소
설명장 연산자의 시간 순서 곱을 정규 순서 곱으로 표현하는 방법 제공
응용파인만 도형 계산, 상관 함수 계산
공식
기본 형태T{A(x)B(y)} = :A(x)B(y): + <0|A(x)B(y)|0>
설명T는 시간 순서 연산자, : :는 정규 순서 연산자, <0|A(x)B(y)|0>는 윅 축약
관련 개념
관련 개념정규 순서
시간 순서
파인만 전파 인자

2. 축약의 정의

두 연산자 \hat{A}와 \hat{B}의 축약(contraction)은 다음과 같이 정의된다.[1]

:\hat{A}^\bullet\, \hat{B}^\bullet \equiv \hat{A}\,\hat{B}\, - \mathopen{:} \hat{A}\,\hat{B} \mathclose{:}

여기서 \mathopen{:} \hat{O} \mathclose{:}는 연산자 \hat{O}의 정규 순서를 나타낸다. 축약은 \hat{A}와 \hat{B}를 연결하는 선으로 나타낼 수 있는데, \overset{\sqcap}{\hat{A}\hat{B}}와 같다.[1]

2. 1. 생성 및 소멸 연산자의 축약

N개의 입자에 대한 생성 연산자 \hat{a}_i^\dagger와 소멸 연산자 \hat{a}_i (i=1,2,3,\ldots,N)에 대해, 다음과 같은 축약 관계가 성립한다. 여기서 \delta_{ij}는 크로네커 델타, \hat{\mathbf{1}}는 항등 연산자이다.

:\hat{a}_i^\bullet \,\hat{a}_j^\bullet = \hat{a}_i \,\hat{a}_j \,- \mathopen{:}\,\hat{a}_i\, \hat{a}_j\,\mathclose{:}\, = 0

:\hat{a}_i^{\dagger\bullet}\, \hat{a}_j^{\dagger\bullet} = \hat{a}_i^\dagger\, \hat{a}_j^\dagger \,-\,\mathopen{:}\hat{a}_i^\dagger\,\hat{a}_j^\dagger\,\mathclose{:}\, = 0

:\hat{a}_i^{\dagger\bullet}\, \hat{a}_j^\bullet = \hat{a}_i^\dagger\, \hat{a}_j \,- \mathopen{:}\,\hat{a}_i^\dagger \,\hat{a}_j\, \mathclose{:}\,= 0

:\hat{a}_i^\bullet \,\hat{a}_j^{\dagger\bullet}= \hat{a}_i\, \hat{a}_j^\dagger \,- \mathopen{:}\,\hat{a}_i\,\hat{a}_j^\dagger \,\mathclose{:}\, = \delta_{ij} \hat{\mathbf 1}

여기서 i,j = 1,\ldots,N이다.

이러한 관계는 정규 순서가 정의되는 방식 때문에 보존 연산자 또는 페르미온 연산자에 대해 참이다.

3. 윅 정리

윅 정리는 생성 및 소멸 연산자 또는 장 연산자의 곱을 정규 순서 곱과 가능한 모든 축약의 합으로 표현하는 방법이다.

일련의 장 \phi_{1}(x_1), \phi_{2}(x_2), ...의 모음에 대하여 다음 관계가 성립한다.

::

\mathcal T\phi_{1}(x_1)\cdots \phi_{N}(x_N)=:\phi_{1}(x_1)\cdots \phi_{N}(x_N):

+\sum_\textrm{all\ contractions}:\phi_{1}(x_1)\cdots \phi_{N}(x_N):

여기서 \mathcal T는 시간 순서이며 :...:는 장들의 표준 순서 배열을 의미한다. 우변 두 번째 항의 합은 장 연산자의 모든 가능한 ''축약'' 쌍을 나타낸다.

\hat{a}_i 및 \hat{a}_i^\dagger가 보존 연산자이고, 교환 관계를 만족한다고 가정하면, 이러한 관계와 위에서 정의한 수축을 사용하여 \hat{a}_i와 \hat{a}_i^\dagger의 곱을 표현할 수 있다.

:\hat{a}_i \,\hat{a}_j^\dagger \, \hat{a}_k \,\hat{a}_l^\dagger= (\hat{a}_j^\dagger \,\hat{a}_i + \delta_{ij})(\hat{a}_l^\dagger\,\hat{a}_k + \delta_{kl})

:: = \hat{a}_j^\dagger \,\hat{a}_i\, \hat{a}_l^\dagger\, \hat{a}_k + \delta_{kl}\hat{a}_j^\dagger \,\hat{a}_i + \delta_{ij}\hat{a}_l^\dagger\hat{a}_k + \delta_{ij} \delta_{kl}

:: = \hat{a}_j^\dagger (\hat{a}_l^\dagger\, \hat{a}_i + \delta_{il}) \hat{a}_k + \delta_{kl}\hat{a}_j^\dagger \,\hat{a}_i + \delta_{ij}\hat{a}_l^\dagger\hat{a}_k + \delta_{ij} \delta_{kl}

::= \hat{a}_j^\dagger \hat{a}_l^\dagger\, \hat{a}_i \hat{a}_k + \delta_{il} \hat{a}_j^\dagger \, \hat{a}_k + \delta_{kl}\hat{a}_j^\dagger \,\hat{a}_i + \delta_{ij}\hat{a}_l^\dagger\hat{a}_k + \delta_{ij} \delta_{kl}

::= \,\mathopen{:}\hat{a}_i \,\hat{a}_j^\dagger \, \hat{a}_k \,\hat{a}_l^\dagger\,\mathclose{:} + \mathopen{:}\,\hat{a}_i^\bullet \,\hat{a}_j^\dagger \, \hat{a}_k \,\hat{a}_l^{\dagger\bullet}\,\mathclose{:}+\mathopen{:}\,\hat{a}_i \,\hat{a}_j^\dagger \, \hat{a}_k^\bullet \,\hat{a}_l^{\dagger\bullet}\,\mathclose{:}+\mathopen{:}\,\hat{a}_i^\bullet \,\hat{a}_j^{\dagger\bullet} \, \hat{a}_k \,\hat{a}_l^\dagger\,\mathclose{:}+ \,\mathopen{:}\hat{a}_i^\bullet \,\hat{a}_j^{\dagger\bullet} \, \hat{a}_k^{\bullet\bullet}\,\hat{a}_l^{\dagger\bullet\bullet} \mathclose{:}

마지막 줄에서 서로 다른 축약을 나타내기 위해 ^\bullet 기호의 개수를 다르게 사용했다. 교환 관계를 반복적으로 적용하면 정규 정렬 곱의 합의 형태로 표현하는 데 많은 작업이 필요하며, 더 복잡한 곱의 경우 계산은 훨씬 더 길어진다.

윅 정리는 이러한 복잡한 계산의 지름길을 제공한다.

3. 1. 생성 및 소멸 연산자에 대한 윅 정리

수축과 정규 순서를 사용하여 생성 및 소멸 연산자의 모든 곱을 정규 순서 항의 합으로 표현할 수 있다는 것이 윅 정리의 기초이다.

생성 및 소멸 연산자 \hat{A} \hat{B} \hat{C} \hat{D} \hat{E} \hat{F}\ldots 의 곱은 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

\begin{align}

\hat{A} \hat{B} \hat{C} \hat{D} \hat{E} \hat{F}\ldots &= \mathopen{:} \hat{A} \hat{B} \hat{C} \hat{D} \hat{E} \hat{F}\ldots \mathclose{:} \\

&\quad + \sum_\text{singles} \mathopen{:} \hat{A}^\bullet \hat{B}^\bullet \hat{C} \hat{D} \hat{E} \hat{F} \ldots \mathclose{:} \\

&\quad + \sum_\text{doubles} \mathopen{:} \hat{A}^\bullet \hat{B}^{\bullet\bullet} \hat{C}^{\bullet\bullet} \hat{D}^\bullet \hat{E} \hat{F} \ldots \mathclose{:} \\

&\quad + \ldots

\end{align}



즉, 생성 및 소멸 연산자 문자열은 문자열의 정규 순서 곱, 연산자 쌍 사이의 모든 단일 수축 후의 정규 순서 곱, 모든 이중 수축 등을 거쳐 모든 완전 수축으로 다시 작성할 수 있다.

'''경고''': 여러 수축을 포함하는 오른쪽 항의 경우 연산자가 페르미온인 경우 주의해야 한다. 이 경우 다음과 같은 규칙에 따라 적절한 마이너스 부호를 도입해야 한다. 수축된 항이 문자열에서 인접하도록 연산자를 재정렬한다(두 페르미온 연산자의 순서가 바뀔 때마다 마이너스 부호를 도입). 그런 다음 수축을 적용할 수 있다(윅의 논문에서 "규칙 C" 참조).

예:

생성 및 소멸 연산자 \hat{f}_i^\dagger 및 \hat{f}_i (i=1,2)를 갖는 두 개의 페르미온(N=2)이 있는 경우

: \begin{align}

\hat{f}_1 \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2^\dagger \,= {} & \,\mathopen{:} \hat{f}_1 \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2^\dagger \, \mathclose{:} \\[5pt]

& - \,\hat{f}_1^\bullet \, \hat{f}_1^{\dagger\bullet} \, \,\mathopen{:} \hat{f}_2 \, \hat{f}_2^\dagger \, \mathclose{:} + \,\hat{f}_1^\bullet \, \hat{f}_2^{\dagger\bullet} \, \,\mathopen{:} \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \mathclose{:} +\, \hat{f}_2^\bullet \, \hat{f}_1^{\dagger\bullet} \, \,\mathopen{:} \hat{f}_1 \,\hat{f}_2^\dagger \, \mathclose{:} - \hat{f}_2^\bullet \,\hat{f}_2^{\dagger\bullet} \, \,\mathopen{:} \hat{f}_1 \, \hat{f}_1^\dagger \, \mathclose{:} \\[5pt]

& -\hat{f}_1^{\bullet\bullet} \, \hat{f}_1^{\dagger\bullet\bullet} \, \hat{f}_2^\bullet \, \hat{f}_2^{\dagger\bullet} \, + \hat{f}_1^{\bullet\bullet} \,\hat{f}_2^{\dagger\bullet\bullet}\, \hat{f}_2^\bullet \, \hat{f}_1^{\dagger\bullet} \, \end{align}

두 생성 연산자 및 두 소멸 연산자의 수축이 포함된 항은 수축이 사라지므로 포함되지 않는다.

3. 2. 장 연산자에 대한 윅 정리

시간 순서(시간 순서)된 자유 장(free field) 문자열의 T-곱은 다음과 같이 표현될 수 있다.

:\mathcal T\prod_{k=1}^m\phi(x_k)=\mathopen{:}\mathcal T\prod\phi_i(x_k)\mathclose{:}+\sum_{\alpha,\beta}\overline{\phi(x_\alpha)\phi(x_\beta)}\mathopen{:}\mathcal T\prod_{k\not=\alpha,\beta}\phi_i(x_k)\mathclose{:}+{}



:

{}+\sum_{(\alpha,\beta),(\gamma,\delta)}\overline{\phi(x_\alpha)\phi(x_\beta)}\;\overline{\phi(x_\gamma)\phi(x_\delta)}\mathopen{:}\mathcal T\prod_{k\not=\alpha,\beta,\gamma,\delta}\phi_i(x_k)\mathclose{:}+\cdots.



여기서 \overline{\phi(x_\alpha)\phi(x_\beta)}는 장 연산자의 축약을 나타낸다.[4]

4. 윅 정리의 증명

보존 생성 및 소멸 연산자에 대한 윅 정리는 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다. 우선 N=2인 경우, 가능한 수축은 하나뿐이므로 다음과 같이 식이 전개된다.[3]

:\hat{A}\hat{B} = \mathopen{:}\hat{A}\hat{B}\mathclose{:} + (\hat{A}\,\hat{B}\, - \mathopen{:} \hat{A}\,\hat{B} \mathclose{:}) = \mathopen{:}\hat{A}\hat{B}\mathclose{:} + \hat{A}^\bullet\hat{B}^\bullet

일반적으로 0이 아닌 수축은 왼쪽에 있는 소멸 연산자와 오른쪽에 있는 생성 연산자 사이에서만 발생한다. 윅 정리가 N-1개의 연산자\hat{B} \hat{C} \hat{D} \hat{E} \hat{F}\ldots에 대해 참이라고 가정하고, N번째 연산자\hat{A}를 왼쪽에 추가하여\hat{A}\hat{B}\hat{C}\hat{D}\hat{E} \hat{F}\ldots를 만드는 경우를 생각해보자. N-1개의 연산자에 대해 윅 정리를 적용하면 다음과 같은 식을 얻는다.[3]

:

\begin{align}

\hat{A} \hat{B} \hat{C} \hat{D} \hat{E} \hat{F}\ldots &= \hat{A} \mathopen{:}\hat{B} \hat{C} \hat{D} \hat{E} \hat{F}\ldots \mathclose{:} \\

&\quad + \hat{A} \sum_\text{단일} \mathopen{:} \hat{B}^\bullet \hat{C}^\bullet \hat{D} \hat{E} \hat{F} \ldots \mathclose{:} \\

&\quad + \hat{A} \sum_\text{이중} \mathopen{:} \hat{B}^\bullet \hat{C}^{\bullet\bullet} \hat{D}^{\bullet\bullet} \hat{E}^\bullet \hat{F} \ldots \mathclose{:} \\

&\quad + \hat{A} \ldots

\end{align}



여기서\hat{A}는 생성 연산자 또는 소멸 연산자이다. 만약\hat{A}가 생성 연산자라면,\hat{A}\mathopen{:}\hat{B} \hat{C} \hat{D} \hat{E} \hat{F}\ldots \mathclose{:}와 같은 모든 곱은 이미 정규 순서로 정렬되어 있으므로 추가적인 조작이 필요없다.\hat{A}는\hat{A}\hat{B}\hat{C}\hat{D}\hat{E}\hat{F}\ldots에서 모든 소멸 연산자의 왼쪽에 위치하기 때문에, 이를 포함하는 모든 수축은 0이 된다. 따라서 모든 수축을 합에 추가해도 값은 변하지 않는다. 즉,\hat{A}가 생성 연산자인 경우 윅 정리는\hat{A}\hat{B}\hat{C}\hat{D}\hat{E}\hat{F}\ldots에 대해 성립한다.[3]

\hat{A}가 소멸 연산자인 경우,\hat{A}를 모든 곱의 왼쪽에서 오른쪽으로 이동시키려면,\hat{A}를 바로 오른쪽에 있는 연산자(이를\hat{X}라고 하자)와 반복적으로 교환하고, 비가환성을 고려하여 매번\hat{A}\hat{X} = \mathopen{:}\hat{A}\hat{X}\mathclose{:} + \hat{A}^\bullet\hat{X}^\bullet를 적용한다. 이렇게 하면 모든 항이 정규 순서로 정렬된다.\hat{A}를 곱을 통해 이동시키면서 합에 추가된 모든 항은\hat{A}를 포함하는 추가적인 수축에 해당한다. 따라서,\hat{A}가 소멸 연산자인 경우에도 윅 정리는\hat{A}\hat{B}\hat{C}\hat{D}\hat{E}\hat{F}\ldots에 대해 성립한다.[3]

결론적으로, 기본 경우(N=2)와 귀납 단계가 모두 증명되었으므로 윅 정리는 참이다. 페르미온 생성 및 소멸 연산자의 경우에는 부호 규칙을 고려하여 증명을 확장할 수 있다.[3]

5. 윅 정리의 응용

윅 정리는 양자장론에서 S-행렬 요소를 계산하는 데 사용될 수 있다. 윅 정리는 가우스 분포의 모멘트에 대한 통계학의 Isserlis' 정리와 유사하다.[4] 윅 정리는 정규 정렬의 정의에 따라 다양한 형태의 기대값을 계산하는 데 활용될 수 있다. (예: 열장론)[5]

참조

[1] 웹사이트 Finite-dimensional Feynman Diagrams http://www.math.suny[...] American Mathematical Society 2007-10-23
[2] 논문 The Evaluation of the Collision Matrix
[3] 서적 Quantum Field Theory: Lectures of Sidney Coleman World Scientific Publishing 2019
[4] 문서 An introduction to Quantum Field Theory http://www.hep.manch[...] RAL School for High Energy Physics, Somerville College, Oxford 2012-12-03
[5] 논문 Wick's theorem at finite temperature


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