유리형 함수

3. 성질

유리형 함수는 모든 점에서 로랑 급수로 전개할 수 있으며, 그 주부(principal part|프린시펄 파트^영어)는 유한 개의 항만을 포함한다.^[3]

연결 리만 곡면 위의 유리형 함수들의 집합은 체를 이루며, 이는 (상수 함수로 간주한) 복소수체의 확대이다. 극점은 고립되어 있기 때문에, 가산 개수 이하로 유리형 함수가 가질 수 있다.^[3] 극점 집합은 무한할 수 있으며, 함수 $$f(z)\; =\; \backslash csc\; z\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sin\; z\}$$가 그 예이다.

해석적 연속을 사용하여 제거 가능한 특이점을 제거함으로써 유리형 함수는 더하고, 빼고, 곱할 수 있으며, ''D''의 연결 성분에서 $g(z)\; =\; 0$이 아닌 경우 몫 $f/g$를 형성할 수 있다. 따라서 ''D''가 연결되어 있다면, 유리형 함수는 체를 형성하며, 실제로 복소수의 체 확장을 형성한다.

유계 폐영역에서 정의된 0이 아닌 유리형 함수는 영점과 극을 유한 개만 가진다. 해석적 연속을 사용하여 제거 가능한 특이점을 제거하면 유리형 함수끼리 사칙연산을 한 결과는 역시 유리형이다 (물론 나눗셈에 관해, 상수 함수 $0$으로 나누는 경우는 제외한다). 따라서, (같은 영역에서 정의되는) 유리형 함수의 전체가 이루는 집합은 체를 이룬다. 이 체는 복소수체의 확대체이다.

4. 예시

모든 유리 함수는 유리형 함수이다. 예를 들어 $f(z)\; =\; \backslash frac\{z^3\; -\; 2z\; +\; 10\}\{z^5\; +\; 3z\; -\; 1\}$과 같은 함수가 있다. 감마 함수나 리만 제타 함수는 유리 함수가 아니지만 유리형 함수이다.^[3] $f(z)\; =\; \backslash frac\{e^z\}\{z\}$ 나 $f(z)\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\{z\}\}\{(z-1)^2\}$도 유리형 함수이다.^[3]

4. 1. 유리형 함수가 아닌 예

5. 리만 곡면 위의 유리형 함수

리만 곡면 위의 유리형 함수는 리만 구로 가는 정칙 함수(상수 함수 ∞ 제외)이며, 극점은 ∞로 사상되는 점에 해당한다. 비콤팩트 리만 곡면에서 모든 유리형 함수는 두 정칙 함수의 몫으로 표현 가능하며, 콤팩트 리만 곡면에서는 비상수 유리형 함수가 항상 존재한다.

5. 1. 타원 함수

6. 고차원에서의 유리형 함수

다변수 복소수 함수론에서, 유리형 함수는 국소적으로 두 정칙 함수의 몫으로 정의된다. 예를 들어, $f(z\_1,\; z\_2)\; =\; z\_1\; /\; z\_2$는 2차원 복소 아핀 공간에서 유리형 함수이다. 그러나 고차원에서는 모든 유리형 함수를 리만 구의 값을 갖는 정칙 함수로 간주할 수 없다. 즉, 여차원이 2인 "부정성" 집합이 존재한다(주어진 예에서 이 집합은 원점 $(0,\; 0)$으로 구성된다).

1차원과 달리, 고차원에서는 비상수 유리형 함수가 없는 콤팩트 복소 다양체가 존재하는데, 예를 들어 대부분의 복소 토러스가 이에 해당한다.

7. 과거 용어 사용 (군론)

20세기 초, 군론에서 "유리형 함수"(또는 "유리형")는 군에서 자기 자신으로 가는 함수로, 군에서 곱셈을 보존하는 함수였다. 이 함수의 치역은 ''G''의 "자기 동형 사상"이라고 불렸다.^[2] 이 용어는 현재 군론에서 사용되지 않는다.

참조

_[1] 백과사전 Springer Science+Business Media B.V.; Kluwer Academic Publishers
_[2] 서적 Lehrbuch der Gruppentheorie B. G. Teubner Verlag
_[3] 서적 Complex analysis Springer-Verlag