감마 함수

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1. 개요

감마 함수는 팩토리얼을 복소수로 확장한 함수로, 여러 가지 방법으로 정의할 수 있으며, 서로 동치 관계에 있다. 오일러 적분, 가우스 극한, 바이어슈트라스 무한곱, 한켈의 적분 표시 등 다양한 표현이 존재하며, 함수 방정식과 곱의 정리를 만족한다. 감마 함수는 정칙 함수이며, 양이 아닌 정수에서 단순 극점을 가진다. 스털링 근사를 통해 근사값을 구할 수 있으며, 반정수에서 특정한 값을 갖는다. 감마 함수는 확률 분포, 조합론, 물리학 등 다양한 분야에 응용된다. 특히 감마 분포는 통계학에서 지진 발생 간격과 같은 현상을 모델링하는 데 사용되며, 초구의 부피를 계산하는 데에도 활용된다. 역사적으로는 18세기 오일러에 의해 연구되었으며, 르장드르가 감마 함수라는 이름과 기호를 도입했다.

2. 정의

감마 함수는 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이들은 모두 동치이다. 일반적인 복소수

z

에 대해서는 해석적 연속 혹은 다음의 극한으로 정의된다.

:

\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod\limits_{k=0}^{n}{(z+k)}}.

이 외에도 서로 동치인 몇 가지 정의가 존재한다.

2. 1. 오일러 적분

감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 '''오일러 적분'''이라고 한다.

:

\Gamma(z) = \int _0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad(\operatorname{Re}z > 0)

오일러 적분은 상반평면

\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Re}z > 0\}

인 영역에서 절대수렴한다. 여기에 해석적 연속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 '''감마 함수'''라 부른다.^[60]

실수부가 양수인 복소수

z

에 대해, 다음의 광역 적분으로 정의되는 복소 함수:

:

\Gamma(z)=\int^{\infty}_{0} t^{z-1} e^{-t} \,{\rm d}t \qquad(\real{z}>0,)

를 '''감마 함수'''라고 부른다^[73]。이 적분 표시는 제2종 오일러 적분이라고도 불린다.

부분 적분을 사용하면 다음과 같다.

\begin{align}\Gamma(z+1) & = \int_0^\infty t^{z} e^{-t} \, dt \\&= \Bigl[-t^z e^{-t}\Bigr]_0^\infty + \int_0^\infty z t^{z-1} e^{-t}\, dt \\&= \lim_{t\to \infty}\left(-t^z e^{-t}\right) - \left(-0^z e^{-0}\right) + z\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, dt.\end{align}

-t^z e^{-t}\to 0

as

t\to \infty,

임을 인식하면

\begin{align}\Gamma(z+1) & = z\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, dt \\&= z\Gamma(z).\end{align}

그러면

\Gamma(1)

는 다음과 같이 계산할 수 있다.

\begin{align}\Gamma(1) & = \int_0^\infty t^{1-1} e^{-t}\,dt \\& = \int_0^\infty  e^{-t} \, dt \\& = 1.\end{align}

감마 함수를 적분으로 표현하는 공식은 오일러 제2종 적분 외에도 많이 있다. 예를 들어,

z

의 실수부가 양수일 때,^[22]

\Gamma (z)=\int_{-\infty}^\infty e^{zt-e^t}\, dt

그리고^[23]

\Gamma(z) = \int_0^1 \left(\log \frac{1}{t}\right)^{z-1}\,dt,

\Gamma(z) = 2c^z\int_{0}^{\infty}t^{2z-1}e^{-ct^{2}}\,dt \,,\; c>0

세 개의 적분은 각각 오일러의 제2종 적분에서

t=e^{-x}

,

t=-\log x

^[24] 및

t=cx^2

^[25]를 대입하여 얻을 수 있다. 특히 마지막 적분은 반 정수 인수를 갖는 감마 함수와 가우스 적분 사이의 관계를 명확히 보여준다. 만약

z=1/2,\; c=1

이면

\Gamma(1/2)=2\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,dt=\sqrt{\pi} \;.

C

를 한켈 경로로 하자. 이는 리만 구에서 점

\infty

에서 시작하여 끝나는 경로를 의미하며, 이 경로의 단위 접선 벡터는 경로 시작점에서

-1

로 수렴하고 끝점에서

1

로 수렴하며,

0

을 기준으로 회전수 1을 가지며,

(0, \infty)

를 가로지르지 않는다.

(0, \infty)

를 따라 가지를 잘라내고

t

가 음의 실수 축에 있을 때

\log(-t)

를 실수로 취하여

\log(-t)

의 가지를 고정한다.

z

가 정수가 아니라고 가정한다. 그러면 감마 함수에 대한 한켈의 공식은 다음과 같다:^[28]

\Gamma(z) = -\frac{1}{2i\sin \pi z}\int_C (-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,

여기서

(-t)^{z-1}

는

\exp((z-1)\log(-t))

로 해석된다.

2. 2. 가우스 극한

\Gamma(z) =\lim_{n \to \infty}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n \over z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}n^z\qquad

이 정의는 오일러의 이름을 따 '''오일러 극한 형태'''라고도 불린다.^[73]

일반적인 복소수

z

에 대해서는 해석적 연속 혹은 다음의 극한으로 정의된다.

:

\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod\limits_{k=0}^{n}{(z+k)}}.

정의의 적분 표현과 극한 표현이 일치함을 보인다.

:

G_n(z)=\int_{0}^{n}{t^{z-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}}{\rm d}t

라고 하면

:

\lim_{n\to\infty}{\left(1-\dfrac{t}{n}\right)^n}=e^{-t}

이므로 직관적으로

:

\lim_{n\to\infty}{G_n(z)}=\int^{\infin}_{0}t^{z-1}e^{-t}{\rm d}t

이다. (엄밀하게는 조임 정리에 의해 증명된다.) 치환에 의해

:

G_n(z)=n^{z}\int_{0}^{1}{u^{z-1}(1-u)^{n}}{\rm d}u

가 된다. 부분을 제외한 부분을 로 하여

:

g_0(z)=\int_{0}^{1}{u^{z-1}}{\rm d}u=\left[\frac{u^z}{z}\right]_{u=0}^{1}=\frac{1}{z}

:

g_n(z)=\int_{0}^{1}{\left(\frac{u^{z}}{z}\right)'(1-u)^{n}}{\rm d}u=\frac{n}{z}\int_{u=0}^{1}{u^{z}(1-u)^{n-1}}{\rm d}u=\frac{n}{z}g_{n-1}(z+1)

를 얻는다.

이로써

:

G_n(z)=\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}

을 얻는다. 따라서

:

\int^{\infin}_{0}t^{z-1}e^{-t}{\ d}t=\lim_{n\to\infty}G_n(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}

이다.

2. 3. 바이어슈트라스 무한곱

\Gamma(z) =\frac1{z\exp(\gamma z)}\prod_{n=1}^\infty\frac{\exp(z/n)}{1+ z/n}

여기서

\gamma

는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 '''바이어슈트라스 무한곱 형태'''라고도 불린다.^[6]

오일러의 곱 표시에서 오일러 상수

:

\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log{n}\right)

를 묶어내면 '''바이어슈트라스의 곱 표시'''를 얻을 수 있다. 바이어슈트라스는 감마 함수가 음의 정수에 극점을 갖는 것을 꺼려 역수를 사용했다. 감마 함수의 역수는 복소 평면 전체에서 정칙이다.

:

\frac{1}{\Gamma(z)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}{n^zn!}=\lim_{n\to\infty}zn^{-z}\left(\prod_{k=1}^{n}{e^{z/k}}\right)\left(\prod_{m=1}^{n}{\frac{z+m}{m}}e^{-z/m}\right)=ze^{{\gamma}z}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{m}\right)e^{-z/m}

2. 4. 한켈의 적분 표시

감마 함수는 다음의 주회 적분으로 표시된다. 적분 경로 C는 양의 무한대에서 실수축의 위쪽을 따라 원점에 이르고, 원점을 양의 방향으로 돌고, 실수축의 아래쪽을 따라 무한대로 되돌아가는 경로이다.

이것을 '''한켈의 적분 표시'''라고 부른다. 이 한켈의 적분 표시는 적분 경로를 적당히 변형하여 수치 적분으로 감마 함수의 값을 구하기 위해 사용되는 경우가 있다.

극좌표 표시

(-t)=re^{i\theta}

를 사용하면, 실수축의 위쪽 부분을

\theta=-\pi

에서

r=\infty

에서

r=\delta

까지, 원점을 도는 부분을

r=\delta

에서

\theta=-\pi

에서

\theta=\pi

까지, 실수축의 아래쪽 부분을

\theta=\pi

에서

r=\delta

에서

r=\infty

까지로 나타낼 수 있다.

\real{z}>0

일 때, 다음이 성립한다.

좌변의 피적분 함수는

z

가 유계인 한 정칙이므로, 좌변은 복소 평면 전체로 해석적 연장된다. 따라서,

이다.

s=re^{i\theta}

라 하면, 마찬가지로

을 얻는다. 또한, 상반 공식에 의해,

을 얻는다.

2. 5. 계승의 일반화에서 주의점

만약 감마 함수를 자연수

n

에 대해

:

\Gamma \left(n\right) = (n-1) !

을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어

:

f(x) = \Gamma (x) \cos^2 \pi x \;

또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이 중 유일하게

\ln \Gamma (z)

가 양의 실수축상에서 볼록함수이다.

$\Gamma(x+1)$ 은 팩토리얼 함수를 정수가 아닌 값으로 보간합니다.

감마 함수는 팩토리얼 수열의 점들을 연결하는 매끄러운 곡선

y=f(x)

를 찾는 보간법 문제의 해로 볼 수 있다.

(x,y) = (n, n!)

모든 양의 정수

n

에 대해. 팩토리얼에 대한 간단한 공식

x! = 1 × 2 × ⋯ × x

는

x

가 양의 정수일 때만 유효하며, 이 속성을 가진 기본 함수는 없지만, 감마 함수

f(x) = \Gamma(x+1)

이 좋은 해이다.^[60]

감마 함수는 매끄러울 뿐만 아니라 해석 함수이기도 하며(0 및 음의 정수를 제외), 여러 명시적인 방식으로 정의할 수 있다. 그러나 팩토리얼을 확장하는 유일한 해석 함수는 아니며, 정수에서 0이 되는

k\sin(m\pi x)

와 같은 해석 함수를 추가할 수 있다.^[60] 이러한 함수는 가감마 함수로 알려져 있으며, 가장 유명한 것은 Hadamard 함수이다.^[1]

파란색으로 표시된 감마 함수 $Γ(z)$ 와 녹색으로 표시된 $Γ(z) + \sin(πz)$ 가 함께 그려져 있습니다. 양의 정수에서 교차점을 확인하십시오. 둘 다 팩토리얼을 복소 평면에서 유효한 메로모픽 함수로 확장합니다.

더 제한적인 요구 사항은 변위된 팩토리얼

f(n)  =  (n-1)!

을 보간하는 함수 방정식이다.^[2]^[3]

:

f(x+1) = x f(x)\ \text{ for any } x>0, \qquad f(1) = 1.

하지만 이는 여전히 고유한 해를 제공하지 않는다.

g(x) = g(x+1)

및

g(0)=1

과 같은 주기 함수

g(x)

로 곱하는 것을 허용하기 때문입니다. 예를 들어

g(x) = e^{k\sin(m\pi x)}

가 있다.

이 모호성을 해결하는 한 가지 방법은 보어-몰러업 정리이며, 이는

f(x) = \Gamma(x)

가 팩토리얼에 대한 유일한 보간 함수이고, 양의 실수에서 정의되며, 로그 볼록 함수임을 보여준다.^[4] 즉,

y = \log f(x)

가 볼록 함수임을 의미한다.^[5]

3. 성질

감마 함수는 정의역에서 정칙 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.

: $\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\bar z)$

감마 함수는 다음과 같은 중요한 함수 방정식을 만족시킨다.

: $\Gamma(z+1) = z\ \Gamma(z)$

: $\Gamma(1-z) \Gamma(z) = \frac{\pi}{\sin \pi z}, \qquad z \not\in \Z$ (오일러 반사 공식)

: $\Gamma(z) \Gamma\left(z + \tfrac12\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)$ (르장드르 배가 공식)

극한 정의에서, 다음과 같은 유용한 성질을 얻을 수 있다.

: $\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z}) \; \Rightarrow \; \Gamma(z)\Gamma(\overline{z}) \in \mathbb{R} .$

특히, $z = a + bi$ 일 때, 이 곱은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $|\Gamma(a+bi)|^2 = |\Gamma(a)|^2 \prod_{k=0}^\infty \frac{1}{1+\frac{b^2}{(a+k)^2}}$

실수부가 정수 또는 반정수이면, 이 값은 폐쇄 형식으로 유한하게 표현할 수 있다. 예를 들어 다음과 같다.

식	값
>\Gamma(bi)\|^2	$\frac{\pi}{b\sinh \pi b}$
\left>\Gamma\left(\tfrac{1}{2}+bi\right)\right\|^2	$\frac{\pi}{\cosh \pi b}$
\left>\Gamma\left(1+bi\right)\right\|^2	$\frac{\pi b}{\sinh \pi b}$
\left>\Gamma\left(1+n+bi\right)\right\|^2	$\frac{\pi b}{\sinh \pi b} \prod_{k=1}^n \left(k^2 + b^2 \right), \quad n \in \N$
\left>\Gamma\left(-n+bi\right)\right\|^2	$\frac{\pi}{b \sinh \pi b} \prod_{k=1}^n \left(k^2 + b^2 \right)^{-1}, \quad n \in \N$
\left>\Gamma\left(\tfrac{1}{2} \pm n+bi\right)\right\|^2	$\frac{\pi}{\cosh \pi b} \prod_{k=1}^n \left(\left( k-\tfrac{1}{2}\right)^2 + b^2 \right)^{\pm 1}, \quad n \in \N$

정수가 아닌 인수에 대한 감마 함수의 가장 잘 알려진 값은 다음과 같다.

: $\Gamma\left(\tfrac12\right)=\sqrt{\pi},$

이는 오일러 반사 공식 또는 르장드르 배가 공식에서 $z = \frac{1}{2}$ 로 설정하거나, 베타 함수와의 관계를 이용하거나, 감마 함수의 적분 정의에서 $u = \sqrt{z}$ 를 대체하여 가우스 적분으로 유도할 수 있다.

일반적으로, 음수가 아닌 정수 $n$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\begin{align}\Gamma\left(\tfrac 1 2 + n\right) &= {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n} \sqrt{\pi} = \binom{n-\frac{1}{2}}{n} n! \sqrt{\pi} \\[8pt]\Gamma\left(\tfrac 1 2 - n\right) &= {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!} \sqrt{\pi} = \frac{\sqrt{\pi}}{\binom{-1/2}{n} n!}\end{align}$

여기서 $(2n-1)!! = (2n-1)(2n-3)\cdots(3)(1)$ 는 이중 계승이다.

감마 함수의 도함수는 폴리감마 함수 $\psi^{(0)}(z)$ 로 표현된다.

: $\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi^{(0)}(z).$

양의 정수 $m$ 에 대해 감마 함수의 도함수는 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $\Gamma'(m+1) = m! \left( - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)= m! \left( - \gamma + H(m) \right)\,,$

여기서 $H(m)$ 은 $m$ 번째 조화수이고, $\gamma$ 는 오일러-마스케로니 상수이다.

$\Re(z) > 0$ 인 경우, 감마 함수의 $n$ 번째 도함수는 다음과 같다.

: $\frac{d^n}{dz^n}\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} (\log t)^n \, dt.$

복소 평면에서 감마 함수(색상은 인수를 나타냄) — 색상은 $-2 - 2i$ 에서 $6 + 2i$ 까지 복소 평면에서 감마 함수의 인수를 보여준다.

3. 1. 특이점

감마 함수의 절댓값을 나타낸 그림. 양이 아닌 정수에서 극점을 갖는 것을 볼 수 있다.

감마 함수는 복소평면에서 유리형 함수이며, 양이 아닌 정수

z=0,-1,-2,\ldots

에서 단순극을 가진다.^[83] 단순극

-n

에서 유수의 값은

\textstyle {(-1)^n \over n!}

이다.^[83] 감마 함수는 영점을 갖지 않으므로, 그 역수

1/\Gamma(z)

는 전해석 함수이다.

감마 함수는

z \to -\infty

일 때 0에 임의로 가까워지지만, 실수선 전체에서 0이 아니다.

\Gamma (z) = 0

인 복소수

z

는 없으므로, 역 감마 함수

\frac {1}{\Gamma (z)}

는

z = 0, -1, -2, \ldots

에서 영점을 갖는 전체 함수이다.^[60]

복소 변수

z

의 함수

f

에 대해 단순 극점

c

에서

f

의 잔류는 다음과 같다.

\operatorname{Res}(f,c)=\lim_{z\to c}(z-c)f(z).

단순 극점

z = -n

의 경우, 재귀 공식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있다.

(z+n) \Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+n+1)}{z(z+1)\cdots(z+n-1)}.

z = -n

에서의 분자는

\Gamma(z+n+1) = \Gamma(1) = 1

이고, 분모는

z(z+1)\cdots(z+n-1) = -n(1-n)\cdots(n-1-n) = (-1)^n n!.

이다. 따라서 해당 지점에서 감마 함수의 잔류는 다음과 같다.^[13]

\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.

감마 함수는 영점을 가지지 않고, 원점과 음의 정수에 일계 극점을 가진다. 그 잉여는 다음과 같다.

:

\operatorname{Res}(\Gamma ,\, -n) = \frac{(-1)^n}{n!}.

3. 2. 함수 방정식

감마 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다.

:

\Gamma (z+1) = z \Gamma (z)

:

\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}}

^[60]

두 번째 공식은 '''오일러 반사 공식'''(Euler’s reflection formula^영어)이라고 불린다.

부분 적분을 사용하면 다음과 같다.

:

\begin{align}\Gamma(z+1) & = \int_0^\infty t^{z} e^{-t} \, dt \\&= \Bigl[-t^z e^{-t}\Bigr]_0^\infty + \int_0^\infty z t^{z-1} e^{-t}\, dt \\&= \lim_{t\to \infty}\left(-t^z e^{-t}\right) - \left(-0^z e^{-0}\right) + z\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, dt.\end{align}

-t^z e^{-t}\to 0

(

t\to \infty

일 때)임을 알 수 있다.

:

\begin{align}\Gamma(z+1) & = z\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, dt \\&= z\Gamma(z).\end{align}

\Gamma(1)

는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

\begin{align}\Gamma(1) & = \int_0^\infty t^{1-1} e^{-t}\,dt \\& = \int_0^\infty  e^{-t} \, dt \\& = 1.\end{align}

따라서 귀납법을 통해 모든 양의 정수

n

에 대해

\Gamma(n) = (n-1)!

임을 보일 수 있다. 구체적으로,

\Gamma(1) = 1 = 0!

이고,

\Gamma(n+1) = n\Gamma(n) = n(n-1)! = n!.

이다.^[60]

;곱의 정리

:

\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots\Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) =(2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz). \,\!

특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다.

:

\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)

3. 3. 곱의 정리

감마 함수의 곱의 정리는 다음과 같다.

:

\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz). \,\!

^[8]

이 정리의 특수한 경우로, 다음과 같은 르장드르 배수 공식(르장드르 배가 공식)을 유도할 수 있다.^[8]

:

\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)

가우스 곱셈 공식은 다음과 같다.

:

\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-1/2}}{(2\pi)^{(n-1)/2}}\prod_{k=0}^{n-1}{\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}

3. 4. 미분과 적분

감마 함수의 미분은 폴리감마 함수

\psi_0(z)

로 주어진다.^[8]

:

\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z)

특히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다.^[8]

:

\Gamma'(m+1) = m!\cdot\left(  - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)

일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다.^[8]

:

{d^{n} \over (dx)^{n}}\,\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln^{n} t\,dt

\Re(z) > 0

인 경우 감마 함수의

n

번째 도함수는 다음과 같다.

:

\frac{d^n}{dz^n}\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} (\log t)^n \, dt.

양의 정수 m에 대해 감마 함수의 도함수는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[8]

:

\Gamma'(m+1) = m! \left( - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)= m! \left( - \gamma + H(m) \right)\,,

여기서 H(m)은 m번째 조화수이고, γ는 오일러-마스케로니 상수이다.^[8]

3. 5. 스털링 근사

스털링 공식에 따르면, 증가하는 양의 실수 변수에 대한

\Gamma(x)

의 동작은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[60]

:

\Gamma(x+1)\sim\sqrt{2\pi x}\left(\frac{x}{e}\right)^x,

여기서 기호

\sim

는 점근적 수렴을 의미하며, 두 변의 비율은

x \to + \infty

의 극한에서 1로 수렴한다.

x \to + \infty

에 대한 점근적 근사를 위한 또 다른 유용한 극한은 다음과 같다.

:

{\Gamma(x+\alpha)}\sim{\Gamma(x)x^\alpha}, \qquad \alpha \in \Complex.

감마 함수는 스털링 공식을 사용하여 다음과 같이 정의할 수도 있다.^[11]

:

\Gamma\left(x\right)=\sqrt{\frac{2\pi}{x}}\left( \frac{x}{e} \right)^{x}\prod_{n=0}^{\infty}e^{-1}\left(1+\frac{1}{x+n}\right)^{\frac{1}{2}+x+n}

z \to \infty

에서의 점근 전개로서, 감마 함수는 스털링 공식으로 근사된다.

3. 6. 특별한 값

반정수에서 감마 함수의 값은 다음과 같다. 음이 아닌 정수 ''n''에 대하여,

:

\Gamma(1/2+n)=\frac{(2n)!}{4^nn!}\sqrt\pi

:

\Gamma(1/2-n)=\frac{(-4)^nn!}{(2n)!}\sqrt\pi

이 공식들은

\Gamma(1/2)=\sqrt\pi

로부터 수학적 귀납법으로 유도할 수 있다.

몇몇 경우의 감마 함수의 값은 다음과 같다.

$\Gamma(z)$	값	근사값
$\Gamma(-3/2)$	$\frac{4\sqrt{\pi}}{3}$	≈ 2.363
$\Gamma(-1/2)$	$-2\sqrt{\pi}$	≈ -3.545
$\Gamma(1/2)$	$\sqrt{\pi}$	≈ 1.772
$\Gamma(1)$	$0!$	1
$\Gamma(3/2)$	$\frac{\sqrt{\pi}}{2}$	≈ 0.886
$\Gamma(2)$	$1!$	1
$\Gamma(5/2)$	$\frac{3\sqrt{\pi}}{4}$	≈ 1.329
$\Gamma(3)$	$2!$	2
$\Gamma(7/2)$	$\frac{15\sqrt{\pi}}{8}$	≈ 3.323
$\Gamma(4)$	$3!$	6

: $\Gamma\left( \tfrac{1}{4}\right) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } }$ (단, $G$ 는 가우스 상수)

3. 7. 푸리에 급수 전개

감마 함수의 로그는

0 < z < 1

에 대해 다음과 같은 푸리에 급수 전개를 가진다.^[31]^[32]

\operatorname{log\Gamma}(z) = \left(\frac{1}{2} - z\right)(\gamma + \log 2) + (1 - z)\log\pi - \frac{1}{2}\log\sin(\pi z) + \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{\log n}{n} \sin (2\pi n z),

이 급수는 오랫동안 에른스트 쿠머가 1847년에 유도한 것으로 알려졌다. 그러나 야로슬라프 블라고우신은 칼 요한 말름스텐이 1842년에 이 급수를 처음 유도했음을 발견했다.^[33]^[34]

3. 8. 라베 공식

1840년 요제프 루드비히 라베는 다음을 증명했다.

:

\int_a^{a+1}\log\Gamma(z)\, dz = \tfrac12\log2\pi + a\log a - a,\quad a>0.

특히,

a = 0

이면 다음과 같다.

:

\int_0^1\log\Gamma(z)\, dz = \tfrac12\log2\pi.

후자는 위 곱셈 공식에서 로그를 취하여 피적분 함수의 리만 합에 대한 식을 얻음으로써 유도할 수 있다.

a \to \infty

의 극한을 취하면 공식을 얻는다.

4. 응용

감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론 등 여러 공학 분야에서 유용하게 사용된다.

4. 1. 감마 분포

감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수

f(x)

는 다음과 같다.

:

f(x) =\begin{cases}{1 \over \beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{-{x \over \beta}}, & \mbox{if } x \ge 0 \\0, & \mbox{otherwise}\end{cases}

여기서

\alpha, \beta

는 감마 함수의 매개 변수로 양수이다.

4. 2. 초구의 부피

반지름이

R

인

n

차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다.

:

V_n={\pi^\frac{n}{2}\over \frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} R^n ={C_n R^n}

4. 3. 기타 응용

감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.

감마 함수를 정의하는 첫 번째 적분에서 적분 한계는 고정되어 있다. 불완전 감마 함수는 적분 하한을 변경하여 얻는다.

:

\Gamma(z,x) = \int_x^\infty t^{z-1} e^{-t} dt.

감마 함수는 다음 공식으로 오일러의 베타 함수와 관련이 있다.

:

\Beta(z_1,z_2) = \int_0^1 t^{z_1-1}(1-t)^{z_2-1}\,dt = \frac{\Gamma(z_1)\,\Gamma(z_2)}{\Gamma(z_1+z_2)}.

감마 함수의 로그 미분은 디감마 함수라고 하며, 고차 미분은 폴리감마 함수이다.
유한체 또는 유한환에 대한 감마 함수의 유사체는 가우스 합인데, 이는 일종의 지수 합이다.
역 감마 함수는 전해석 함수이며 특정 주제로 연구되었다.
감마 함수는 또한 리만 제타 함수 $\zeta (z)$ 와 중요한 관계를 보여준다.

:

\pi^{-\frac{z}{2}} \; \Gamma\left(\frac{z}{2}\right) \zeta(z) = \pi^{-\frac{1-z}{2}} \; \Gamma\left(\frac{1-z}{2}\right) \; \zeta(1-z).

다음 공식에도 나타난다.

:

\zeta(z) \Gamma(z) = \int_0^\infty \frac{u^{z}}{e^u - 1} \, \frac{du}{u},

는

\Re (z) > 1

에 대해서만 유효하다.

감마 함수의 로그는 르치의 다음 공식을 만족한다.

:

\operatorname{log\Gamma}(z) = \zeta_H'(0,z) - \zeta'(0),

여기서

\zeta_H

는 허위츠 제타 함수,

\zeta

는 리만 제타 함수이며, 프라임 기호는 첫 번째 변수에서 미분을 나타낸다.

감마 함수는 늘어난 지수 함수와 관련이 있다. 예를 들어, 해당 함수의 모멘트는 다음과 같다.

:

\langle\tau^n\rangle \equiv \int_0^\infty t^{n-1}\, e^{ - \left( \frac{t}{\tau} \right)^\beta} \, \mathrm{d}t = \frac{\tau^n}{\beta}\Gamma \left({n \over \beta }\right).

5. 역사

감마 함수와 팩토리얼 함수는 중간 정도 크기의 인수에 대해서도 매우 빠르게 증가한다. 그래서 많은 컴퓨팅 환경에서는 감마 함수의 자연 로그를 반환하는 함수를 포함한다. 이 함수는 훨씬 천천히 증가하며, 조합 계산에서 매우 큰 값을 곱하고 나누는 대신 로그 값을 더하고 빼는 것을 허용한다. 이는 종종 다음과 같이 정의된다.^[41]

: $\operatorname{log\Gamma}(z) = - \gamma z - \log z + \sum_{k = 1}^\infty \left[ \frac z k - \log \left( 1 + \frac z k \right) \right].$

이 함수의 도함수인 디감마 함수도 흔히 볼 수 있다. 기술 및 물리적 응용 분야, 예를 들어 파동 전파와 관련하여, 다음 함수 방정식이 종종 사용된다.

: $\operatorname{log\Gamma}(z) = \operatorname{log\Gamma}(z+1) - \log z$

이는 인접한 스트립에서 z의 너비가 1인 스트립에서 함수 값을 결정할 수 있게 해주기 때문이다. 특히, 큰 실수부를 가진 z에 대한 좋은 근사값을 시작으로 원하는 z까지 단계별로 내려갈 수 있다. 카를 프리드리히 가우스의 지시에 따라, Rocktaeschel (1922)은 큰 Re(z)에 대한 logΓ(z)에 대한 근사값을 제안했다.

: $\operatorname{log\Gamma}(z) \approx (z - \tfrac{1}{2}) \log z - z + \tfrac{1}{2}\log(2\pi).$

이는 (P.E.Böhmer, 1939)를 통해 더 작은 Re(z)를 가진 z에 대한 logΓ(z)를 정확하게 근사하는 데 사용될 수 있다.

: $\operatorname{log\Gamma}(z-m) = \operatorname{log\Gamma}(z) - \sum_{k=1}^m \log(z-k).$

스털링 근사를 기반으로 하는 logΓ(z)와 Γ(z)의 점근적 확장의 더 많은 항을 사용하여 더 정확한 근사값을 얻을 수 있다.

: $\Gamma(z)\sim z^{z - \frac12} e^{-z} \sqrt{2\pi} \left( 1 + \frac{1}{12z} + \frac{1}{288z^2} - \frac{139}{51\,840 z^3} - \frac{571}{2\,488\,320 z^4} \right)$

: |z| → ∞일 때 |arg(z)| < π로 유지된다.

더 "자연스러운" 표현에서:

: $\operatorname{log\Gamma}(z) = z \log z - z - \tfrac12 \log z + \tfrac12 \log 2\pi + \frac{1}{12z} - \frac{1}{360z^3} +\frac{1}{1260 z^5} +o\left(\frac1{z^5}\right)$

: |z| → ∞일 때 |arg(z)| < π로 유지된다.

마지막 확장에서 z^1−k의 (k > 1인) 항의 계수는 단순히

: $\frac{B_k}{k(k-1)}$

이며, 여기서 B_k는 베르누이 수이다.

감마 함수는 또한 (1900년 샤를 에르미트에 의해 유도된) 다음과 같은 스털링 급수를 가진다.^[42]

: $\operatorname{log\Gamma}(1+x)=\frac{x(x-1)}{2!} \log(2)+\frac{x(x-1)(x-2)}{3!} (\log(3)-2\log(2))+\cdots,\quad\Re (x)> 0.$

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