유리 다양체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 단유리 다양체
3. 성질
- 3.1. 유리 곡면의 성질
4. 예시
5. 유리성 문제
6. 안정 유리성
7. 유리 연결 다양체
참조

1. 개요

유리 다양체는 대수적으로 닫힌 체 K 위의 대수다양체 X가 사영 공간 P^{dim X}와 쌍유리 동치이거나, X의 유리 함수체가 K(x₁, ..., x_{dim X})와 동형일 때를 말한다. 1차원 유리 다양체는 유리 곡선, 2차원 유리 다양체는 유리 곡면이라고 한다. 유리 다양체는 단유리 다양체이며, 단유리 곡선은 유리 곡선이다. 표수 0에서 단유리 곡면은 유리 곡면이지만, 3차원 이상에서는 대부분의 단유리 다양체가 유리 다양체가 아니다. 유리성은 체의 확대에 의해 보존되지 않으며, 안정 유리성, 유리 연결 다양체 등과 관련된 개념이 있다.

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유리 다양체
유리 다양체
유리 곡선의 예
정의
유형	대수기하학에서 사용되는 다양체 유형 중 하나이다.
설명	유리 함수들의 함수체와 동형인 함수체를 가진다. 또는, 유리 사상에 의해 사영 공간과 쌍유리 동치이다.
관련 개념
쌍유리 기하학	대수기하학에서 유리 다양체를 연구하는 분야이다.
유리 곡선	종수가 0인 대수 곡선은 유리 곡선이다.
단일 유리 다양체	유리 사상에 의해 사영 공간의 유리 사상적 이미지가 되는 다양체이다. 모든 유리 다양체는 단일 유리 다양체이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
예시
1차원	모든 매끄러운 완비 1차원 대수 다양체(대수 곡선)가 사영 직선과 쌍유리 동치일 필요충분조건은 종수가 0인 것이다. 예를 들어, 원뿔 곡선은 유리 곡선이다.
2차원	모든 원뿔 곡면은 유리적이다. 샤파레비치 정리에 따르면, 복소수체 위의 단일 연결 콤팩트 켈러 다양체 S가 쌍유리적으로 C2와 동형일 필요충분조건은 호지 수 h1(S)과 h2(S)가 모두 0인 것이다. 특히, S가 유리적이라는 것은 제수 p g = q = 0이라는 것을 의미한다.
3차원	클레멘스-로스 정리에 따르면, 복소수체 위의 매끄러운 사영 3차원 다양체 X가 쌍유리적으로 P3과 동형일 필요충분조건은 H i (X ,O X )가 i > 0에 대해 사라지는 것이다. 예를 들어, 3차원 3차 초곡면은 유리적이다.

2. 정의

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$ 에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수다양체를 '''유리 다양체'''라고 한다.

$X$ 는 $\mathbb P^{\dim X}_K$ 와 쌍유리 동치이다.
$X$ 의 유리 함수체는 $\mathcal K(X)\cong K(x_1,\dots,x_{\dim X})$ 이다. 여기서 $K(x_1,\dots,x_n)$ 은 대수적 유리 함수체이다.

1차원 유리 다양체는 '''유리 곡선'''(有理曲線, rational curve^영어)이라고 하며, 2차원 유리 다양체는 '''유리 곡면'''(有理曲面, rational surface^영어)이라고 한다.

2. 1. 단유리 다양체

대수적으로 닫힌 체

K

위의 대수다양체

X

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수다양체를 '''단유리 다양체'''(單有理多樣體, unirational variety^영어)라고 한다.

적어도 하나의 $n$ 에 대하여, 우세 유리 사상 $\mathbb P^n_K-\!\to X$ 이 존재한다.
체의 확대 $K(x_1,\dots,x_n)/\mathcal K(X)$ 가 존재하는 $n$ 이 존재한다.

유리 곡면은 엔리퀘스-고다이라 분류에서 가장 단순한 종류이며, 초기에 연구되었다.^[1]

3. 성질

모든 유리 다양체는 단유리 다양체이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 낮은 차원에서는 다음이 성립한다.

모든 단유리 곡선은 유리 곡선이다 ('''뤼로트 정리''', Lüroth’s theorem^영어).
표수 0에서, 모든 단유리 곡면은 유리 곡면이다. 그러나 양의 표수에서는 유리 곡면이 아닌 단유리 곡면(자리스키 곡면)이 존재한다.
3차원 이상에서는 표수에 상관없이 대부분의 단유리 다양체는 유리 다양체가 아니다.

유리성은 체의 확대에 의하여 보존되지 않는다. 대수적 폐포를 취했을 때 유리 다양체가 되는 다양체를 '''세베리-브라우어 다양체'''(Severi–Brauer variety^영어)라고 한다.

야노스 콜라르는 2000년에, 어떤 체 ''K''에 대해서 2차원 이상인 매끄러운 3차 초곡면이 ''K'' 위에 정의된 점을 가지고 있다면 단유리적임을 증명했다. 이는 3차 곡면의 경우(대수적 폐포 위에서 유리적 다양체)를 시작으로 하는 많은 고전적인 결과의 개선이다.

3. 1. 유리 곡면의 성질

카스텔누오보 정리에 따르면, (임의의 표수에서) 비정칙도

q=h^{0,1}

와 2차 다중 ㅎ종수

P_2

가 0인 대수 곡면은 유리 곡면이다.

모든 비특이 유리 곡면은 최소 유리 곡면 (사영 평면, 히르체브루흐 곡면 Σ_''n'' (여기에서 ''n''= 0 또는 ''n'' ≥ 2))을 부풀리기를 반복해서 얻을 수 있다.

유리 곡면의 다중 종수는 모두 0이고, 기본군은 자명하다.

복소 유리 곡면의 호지 수는 다음과 같다.

		1
	0		0
0		1+n		0
	0		0
		1

''n''이 0이면 사영 평면이고, 1이면 히르체브루흐 곡면이며, 다른 유리 곡면은 1보다 크다.

유리 곡면의 피카르 군은 홀(odd) 유니모듈러 격자 I_1,''n''이며, 예외적으로 히르체부르흐 곡면 Σ_2''m''은 짝(even) 유니모듈러 격자 II_1,1이다.

4. 예시

다음은 유리 다양체의 예시이다.

3차원 사영 공간 속의 이차 곡면
3차원 사영 공간 속의 삼차 곡면(cubic surface^영어)
사영 공간
델 페초 곡면
베로네세 곡면

야노스 콜라르는 2000년에 어떤 체 ''K''에 대해 2차원 이상인 매끄러운 3차 초곡면이 ''K'' 위에 정의된 점을 가지고 있다면 유리적임을 증명했다.^[2] 이는 3차 곡면의 경우(대수적 폐포 위에서 유리적 다양체)를 시작으로 하는 많은 고전적인 결과의 개선이다.

5. 유리성 문제

'''유리성 문제'''는 주어진 체 확대가 유리 다양체의 함수체와 동형인지 묻는 문제이다. 이러한 체 확장은 순수 초월적이라고도 불린다. 더 정확하게는, 체 확대 $K \subset L$ 에 대해, $L$ 이 초월 차수에 의해 주어진 미지수의 수에서 $K$ 위의 유리 함수체와 동형인지 묻는다.^[4]

이 문제에는 체 $K$ 와 $L$ 이 구성되는 방식에 따라 몇 가지 변형이 있다. 예를 들어, $K$ 를 체로 놓고, $\{y_1, \dots, y_n \}$ 을 ''K''에 대한 미지수로, ''L''을 ''K''와 이 미지수들에 의해 생성된 체라고 하자. 이 미지수들을 ''K''에 대해 순열하는 유한군 $G$ 를 고려하면, 표준 갈루아 이론에 의해 이 군 작용의 고정점 집합은 $L$ 의 부분체가 되며, $L^G$ 로 표시된다. $K \subset L^G$ 에 대한 유리성 질문을 '''뇌터의 문제'''라고 하며, 이 고정점의 체가 ''K''의 순수 초월적 확대인지 묻는다.^[4]

갈루아 이론에 대한 논문에서, 에미 뇌터는 주어진 갈루아군을 갖는 방정식을 매개변수화하는 문제를 연구했으며, 이를 "뇌터의 문제"로 축소했다. 그녀는 이 문제가 ''n'' = 2, 3 또는 4에 대해 참임을 보였다. 그러나 리처드 스완은 ''n'' = 47이고 ''G''가 47차 순환군인 경우 뇌터 문제에 대한 반례를 찾았다.^[4]

6. 안정 유리성

어떤 $m \ge 0$ 에 대해 $V \times \mathbf P^m$ 이 유리적이면 다양체 ''V''가 '안정적으로 유리적'이라고 한다. 따라서, 정의에 의해 모든 유리적 다양체는 안정적으로 유리적이다. 하지만 가 구성한 예시들을 통해 그 역은 성립하지 않음이 밝혀졌다.

는 매우 일반적인 초곡면 $V \subset \mathbf P^{N+1}$ 이 ''V''의 차수가 $\log_2 N+2$ 이상일 경우 안정적으로 유리적이지 않음을 보였다.^[1]

7. 유리 연결 다양체

'''유리 연결 다양체'''는 임의의 두 점이 다양체에 포함된 유리 곡선으로 연결되는 사영 대수적 다양체이다.^[3] 이 정의는 경로 연결성의 정의와 경로의 성질만 다를 뿐이지만, 유리 연결된 유일한 대수 곡선이 유리 곡선이라는 점에서 매우 다르다.

사영 공간을 포함한 모든 유리 다양체는 유리 연결이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 따라서 유리 연결 다양체의 클래스는 유리 다양체의 클래스를 일반화한 것이다. 단유리 다양체는 유리 연결이지만, 그 역이 성립하는지는 알려져 있지 않다.

야노스 콜라르는 2000년에 2차원 이상인 매끄러운 3차 초곡면이 ''K'' 위에 정의된 점을 가지고 있다면 유리적임을 증명했다.^[2] 이는 3차 곡면의 경우(대수적 폐포 위에서 유리적 다양체)를 시작으로 하는 많은 고전적인 결과의 개선이다.

참조

_[1] 논문 Another elementary proof of Luroth's theorem https://commons.wiki[...] 2004-05
_[2] 논문 Unirationality of cubic hypersurfaces
_[3] 간행물 Rational Curves on Algebraic Varieties Springer-Verlag
_[4] 논문 Another elementary proof of Luroth's theorem https://commons.wiki[...] 2004-05
_[5] 논문 Unirationality of cubic hypersurfaces
_[6] 간행물 Rational Curves on Algebraic Varieties Springer-Verlag

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