유리 사상

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
참조

1. 개요

유리 사상은 대수기하학에서 사용되는 개념으로, 스킴 사이의 특정 동치 관계를 만족하는 사상이다. 두 스킴 X, Y에 대해 X의 조밀 열린 부분 스킴 U에서 Y로의 연속 함수 f: U → Y가 존재할 때, 다른 조밀 열린 부분집합 U'에서 정의된 사상 f': U' → Y가 U와 U'의 교집합의 조밀 열린 부분집합 V에서 f와 f'가 같다면, f와 f'는 유리 동치라고 정의한다. 이러한 동치 관계에 대한 몫집합의 원소를 X→Y 유리 사상이라고 한다. 유리 사상의 중요한 예시로는 우세 유리 사상, 쌍유리 사상, 쌍유리 동치가 있으며, 이들은 대수다양체의 함수체 사이의 사상과 연결되어 대수기하학에서 중요한 역할을 한다.

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유리 사상
개요
분야	대수기하학
하위 분야	대수다양체
정의	두 대수다양체 사이의 부분 함수
성질	유리 동치

2. 정의

유리 사상은 두 스킴 사이에서, 정의역의 조밀 열린집합에서 정의된 사상들의 동치류로 정의된다.^[1] 두 스킴 $X$ , $Y$ 와 $X$ 의 조밀 열린 부분 스킴 $U$ , $U'$ , 그리고 연속 함수 $f\colon U\to Y$ , $f'\colon U'\to Y$ 가 주어졌을 때, 이들이 특정 조건을 만족하면 $f$ 와 $f'$ 는 서로 유리 동치라고 한다. 이러한 유리 동치 관계를 통해 유리 사상을 정의한다.

유리 사상의 중요한 개념으로는 항등 유리 사상과 우세 유리 사상이 있다. 항등 유리 사상은 스킴 $X$ 위의 항등 함수 $\operatorname{id}_X\colon X\to X$ 의 동치류이며, 우세 유리 사상은 그 치역이 공역의 조밀 집합인 유리 사상을 의미한다.

2. 1. 유리 사상

두 스킴

X

,

Y

가 주어졌을 때,

X

의 조밀 열린 부분 스킴

U,U'\subseteq X

와 연속 함수

f\colon U\to Y

,

f'\colon U'\to Y

가 다음 조건을 만족하면,

f

와

f'

는 서로 '''유리 동치'''라고 한다.

$V$ 는 $X$ 의 조밀 열린 부분 스킴이다.
$V\subseteq U\cap U'$ 이다.
(스킴 사상으로서) $f\restriction V=f'\restriction V$ 이다.

X

의 조밀 열린 부분 스킴을 정의역으로 하고,

Y

를 공역으로 하는

\mathcal S

-스킴 사상들의 집합

\mathcal S_{X,Y}

에서, 위 관계는 동치 관계를 이룬다. 이에 대한 몫집합

\mathcal S_{X,Y}/\sim

의 원소를

X\to Y

'''유리 사상'''이라고 한다.^[1]

스킴

X

위의 '''항등 유리 사상'''은

\operatorname{id}_X\colon X\to X

의 동치류이다.

'''유리 사상'''

f \colon V \to W

는 두 대수다양체 간의 동치류이며, 여기서

(f_U, U)

는

f_U

가 공집합이 아닌 열린 집합

U\subset V

에서

W

로의 대수다양체 사상이고, 두 쌍

(f_U, U)

와

({f'}_{U'}, U')

는

f_U

와

{f'}_{U'}

가 교집합

U \cap U'

에서 일치할 때 동치로 간주된다(특히, 교집합이 비어 있으면 진공 참이 되지만,

V

가 기약이라고 가정하므로 불가능하다). 이것이 동치 관계를 정의한다는 증명은 다음 보조정리에 의존한다.

두 대수다양체 사상이 어떤 공집합이 아닌 열린 집합에서 같으면, 그 사상들은 같다.

f

가 '''우세하다'''는 것은 동치류에서 하나의 (동등하게 모든) 대표자

f_U

가 우세 사상, 즉 조밀한 상을 갖는다는 뜻이다.

f

가 '''쌍유리'''라는 것은 위에 정의된 의미에서 합성이 그 역인 유리 사상

g \colon W \to V

가 존재한다는 뜻이다.

유리 사상이 대수기하학에서 중요한 이유는 그러한 사상과

V

와

W

의 함수체 사이의 사상 간의 연결에 있다. 정의에 따라, 유리 함수는 범위가 사영 직선인 유리 사상이다. 그런 다음 함수의 합성을 통해 단일 유리 사상

f \colon V \to W

가 유리 함수를 당길 수 있으며, 이로 인해 필드의 준동형 사상

K(W) \to K(V)

가 유도된다. 특히, 다음 정리가 핵심이다. 범주에서 우세한 유리 사상(예를 들어

\mathbb{C}

와 같은 고정된 기본 필드 위)을 갖는 사영 대수다양체의 범주에서, 사상을 역포함 관계로 갖는 기본 필드의 유한 생성 체 확대의 범주로의 함자는 각 대수다양체를 그 함수체에 연결하고 각 사상을 연결된 함수체 사상에 연결하며, 이는 범주의 동치이다.

2. 2. 우세 유리 사상

두 스킴 X, Y 사이의 유리 사상

[f]

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유리 사상을 '''우세 유리 사상'''(優勢有理寫像, dominant rational map^영어)이라고 한다.^[1]

동치류 $[f]$ 의 원소 가운데 적어도 하나 $f\colon U\to Y$ 에 대하여, $f$ 는 우세 함수이다.
동치류 $[f]$ 의 모든 원소는 우세 함수이다.

두 기약 스킴 사이의 우세 유리 사상은 합성이 가능하며, 항등 유리 사상은 우세 유리 사상이다. 따라서, 기약 스킴과 우세 유리 사상들은 범주를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 대수적으로 닫힌 체

K

에 대하여,

K

-대수다양체와 우세 유리 사상들은 범주를 이룬다.

유리 사상

f \colon V \to W

가 '''우세하다'''는 것은 동치류에서 하나의 (동등하게 모든) 대표자

f_U

가 우세 사상, 즉 조밀한 상을 갖는다는 뜻이다.

2. 3. 쌍유리 사상

기약 스킴과 우세 유리 사상의 범주에서 동형 사상을 '''쌍유리 사상'''이라고 한다. 대수적으로 닫힌 체

K

에 대하여,

K

-대수다양체와 우세 유리 사상의 범주에서 동형 사상을

K

-'''쌍유리 사상'''이라고 한다.^[1]

유리 사상

f \colon V \to W

는 두 대수다양체 간의 동치류이며, 여기서

(f_U, U)

는

f_U

가 공집합이 아닌 열린 집합

U\subset V

에서

W

로의 대수다양체 사상이고, 두 쌍

(f_U, U)

와

({f'}_{U'}, U')

는

f_U

와

{f'}_{U'}

가 교집합

U \cap U'

에서 일치할 때 동치로 간주된다.

V

가 기약이므로 교집합이 비어 있을 수는 없다.

두 대수다양체 사상이 어떤 공집합이 아닌 열린 집합에서 같으면, 그 사상들은 같다.

f

가 '''우세하다'''는 것은 동치류에서 하나의 대표자

f_U

가 우세 사상이라는 뜻이다.

f

가 '''쌍유리'''라는 것은 합성이 그 역인 유리 사상

g \colon W \to V

가 존재한다는 뜻이다.

유리 사상이 대수기하학에서 중요한 이유는 그러한 사상과

V

와

W

의 함수체 사이의 사상 간의 연결에 있다. 유리 함수는 범위가 사영 직선인 유리 사상이다. 유리 사상

f \colon V \to W

는 유리 함수를 당길 수 있으며, 이로 인해 필드의 준동형 사상

K(W) \to K(V)

가 유도된다. 특히, 범주에서 우세한 유리 사상을 갖는 사영 대수다양체의 범주에서, 사상을 역포함 관계로 갖는 기본 필드의 유한 생성 체 확대의 범주로의 함자는 각 대수다양체를 그 함수체에 연결하고 각 사상을 연결된 함수체 사상에 연결하며, 이는 범주의 동치이다.

2. 4. 쌍유리 동치

대수적으로 닫힌 체

K

에 대하여, 두

K

-대수다양체

X

,

Y

사이에 쌍유리 사상이 존재하면, 두 다양체는 서로 '''쌍유리 동치'''(雙有理同値, birationally equivalent^영어)라고 한다.^[1] 쌍유리 동치는 두 다양체의 함수체가 동형이라는 것과 동치이다.^[1]

두 대수다양체가 쌍유리 동치라는 것은 그 사이에 쌍유리 사상이 존재한다는 것을 의미한다. 다양체의 쌍유리 동치는 기저 체의 확대로서의 함수체들의 동형과 동일하다. 이는 다양체의 동형(단순히 유리 사상이 아니라 전역적으로 정의된 사상이 동형을 증명해야 함) 개념보다 다소 관대하다. 즉, 쌍유리적이지만 동형이 아닌 다양체가 존재한다.

일반적인 예로

\mathbb{P}^2_k

가

[w : x : y : z]

와 같은 사영 좌표의 집합으로 구성된,

xy - wz = 0

을 만족하는

\mathbb{P}^3_k

에 포함된 다양체

X

와 쌍유리적이지만 동형은 아니다. 실제로,

\mathbb{P}^2_k

의 두 직선은 교차하지만,

w = x = 0

과

y = z = 0

으로 정의된

X

의 직선은 교차할 수 없다. 왜냐하면 교차점은 모든 좌표가 0이 될 것이기 때문이다.

3. 성질

대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대하여, 두 $K$ -대수다양체 $X$ , $Y$ 가 다음 조건들을 만족하면 서로 '''쌍유리 동치'''(birationally equivalent^영어)라고 한다.^[1]

$X$ 와 $Y$ 사이에 쌍유리 사상이 존재한다.
서로 동형인 (자리스키) 열린 집합 $\tilde X\subset X$ , $\tilde Y\subset Y$ 가 존재한다.
$X$ 위의 유리 함수체 $\mathcal K_X(X)$ 와 $Y$ 위의 유리 함수체 $\mathcal K_Y(Y)$ 가 $K$ -대수로서 서로 동형이다.

유리 사상이 대수기하학에서 중요한 이유는 그러한 사상과

V

와

W

의 함수체 사이의 관계 때문이다. 특히, 고정된 기본 필드(예:

\mathbb{C}

) 위에서 우세한 유리 사상을 갖는 사영 대수다양체의 범주에서, 사상을 역포함 관계로 갖는 기본 필드의 유한 생성 체 확대의 범주로의 함자는 각 대수다양체를 그 함수체에 연결하고 각 사상을 연결된 함수체 사상에 연결하며, 이는 범주의 동치이다.

4. 예시

부풀리기는 쌍유리 사상의 한 예시이지만, 대수다양체의 동형은 아니다.

4. 1. 사영 공간의 유리 사상

사영 공간 사이의 유리 사상은 좌표를 이용하여 쉽게 정의할 수 있다. 예를 들어, 사영 공간의 유리 사상

\mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^1

에서

[x:y:z] \mapsto [x:y]

와 같이 비율을 보내는 경우를 생각해 보자. 이 경우, 점

[0:0:1]

은 상을 가질 수 없으므로, 이 사상은 다양체의 사상이 아닌 유리 사상이다. 더 일반적으로, 마지막 좌표를 잊어버림으로써

m

-튜플을

n

-튜플로 보내는

m > n

에 대한 유리 사상

\mathbb{P}^m \to \mathbb{P}^n

이 존재한다.

4. 2. 열린 부분 다양체의 포함

연결된 대수다양체에서, 모든 열린 부분 다양체

i:U \to X

의 포함은 쌍유리 사상의 예시이다. 이는 두 다양체가 동일한 함수 필드를 가지기 때문이다. 즉, 모든 유리 함수

f: X \to \mathbb{P}^1

는 유리 함수

U \to \mathbb{P}^1

으로 제한될 수 있으며, 반대로 유리 함수

U \to \mathbb{P}^1

은

X

상에서 유리 동치류

(U,f)

를 정의한다. 이러한 예시로는

\mathbb{A}^n

과

\mathbb{P}^n

의 유리 동치가 있으며, 따라서

K(\mathbb{P}^n) \cong k(x_1,\ldots, x_n)

이다.

4. 3. 덮개 공간

벨리 정리에 따르면 모든 대수 곡선

C

는 세 점에서 분기하는 사상

f: C \to \mathbb{P}^1

을 갖는다. 그러면 지배적인 유리 사상을 정의하는 관련 덮개 공간

C|_U \to U = \mathbb{P}^1-\{p_1,p_2,p_3\}

가 존재하며, 이는 쌍유리가 아니다. 또 다른 예시 집합은 유한 개수의 점에서 분기하는

\mathbb{P}^1

의 이중 덮개인 초타원 곡선에서 나온다. 초평면

X \subset \mathbb{P}^n

을 취하고 유리 사상

\mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^{n-1}

을

X

로 제한하여 얻는 분기 덮개 공간도 예시가 될 수 있다. 예를 들어, 영점 궤적

Z(x^3 + y^3 + z^3 + w^3)

으로 주어진 3차 곡면은

[x:y:z:w] \mapsto [x:y:z]

를 보내는

\mathbb{P}^2

로의 유리 사상을 가지며, 이는 다음과 같은 3차 필드 확장으로 표현될 수 있다.

k(x,y,z) \to \frac{k(x,y,z)[w]}{(x^3 + y^3 + z^3 + w^3)}

4. 4. 특이점 해소

쌍유리 사상의 중요한 예시 중 하나는 특이점 해소이다. 표수가 0인 체 위에서, 모든 특이 다양체는 쌍유리 사상을 갖는 비특이 다양체와 관련되어 있다.

4. 4. 1. 절점 곡선

쌍유리 사상의 전형적인 예 중 하나는 특이점 해소이다. 표수 0의 체 위에서, 모든 특이 다양체

X

는 쌍유리 사상

\pi: Y \to X

를 갖는 비특이 다양체

Y

와 연관되어 있다. 이 사상은

U = X - \text{Sing}(X)

에서 동형사상이고,

\text{Sing}(X)

위의 올이 정규 교차 제수라는 성질을 갖는다. 예를 들어,

C = Z(x^3 + y^3 + z^3 - xyz) \subset \mathbb{P}^2

와 같은 절점 곡선은 위상적으로 한 원이 수축된 타원 곡선이므로

\mathbb{P}^1

과 쌍유리적이다. 그러면, 쌍유리 사상은 정규화에 의해 주어진다.

4. 5. 쌍유리 동치 예시

'''쌍유리 동치'''의 예로,

\mathbb{P}^2_k

와

\mathbb{P}^3_k

속의 이차 곡면(quadric surface)

X

는 쌍유리 동치이지만 동형은 아니다.

\mathbb{P}^3_k

는

[w : x : y : z]

와 같은 사영 좌표의 집합으로 구성되며,

X

는

xy - wz = 0

을 만족한다.

\mathbb{P}^2_k

의 두 직선은 교차하지만,

X

의 직선(예:

w = x = 0

과

y = z = 0

으로 정의된 직선)은 교차할 수 없다. 왜냐하면 교차점은 모든 좌표가 0이 되어야 하는데, 이는 사영 공간에서 불가능하기 때문이다.

X

의 함수체를 계산하기 위해

w \neq 0

인 아핀 부분 집합으로 이동하면,

w = 1

로 둘 수 있다. 이 부분 집합은 아핀

xyz

평면과 동일시할 수 있다.

X

의 좌표 고리는 다음과 같다.

:

A(X) = k[x,y,z]/(xy - z) \cong k[x,y]

이는

p(x,y,z)+(xy - z)A(X) \mapsto p(x,y,xy)

의 사상을 통해 계산 가능하다.

k[x,y]

의 분수체는

k(x,y)

이고, 이는

\mathbb{P}^2_k

의 분수체와 동형이다.

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