유한차분

3. 도함수와의 관계

수치 미분에서 미분의 근사로 자주 사용되는 유한 차분은, 함수 f의 도함수를 함수의 극한으로 정의할 때, 극한 대신 작은 값 h를 사용하여 도함수를 근사한다.^[1][2][3]

점 x에서 함수 f의 도함수는 다음과 같이 정의된다.

:$f\text{'}(x)\; =\; \backslash lim\_\{h\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{f(x+h)\; -\; f(x)\}\{h\}.$

h가 0으로 접근하는 대신 고정된(0이 아닌) 값을 가지면, 위 식의 우변은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash frac\{f(x\; +\; h)\; -\; f(x)\}\{h\}\; =\; \backslash frac\{\backslash Delta\_h[f](x)\}\{h\}.$

이때, h가 충분히 작으면 전진 차분을 h로 나눈 값은 도함수를 근사한다. 이 근사의 오차는 테일러의 정리를 통해 파악할 수 있으며, f가 두 번 미분 가능하다면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash Delta\_h[f](x)\}\{h\}\; -\; f\text{'}(x)\; =\; o(h)\backslash to\; 0\; \backslash quad\; \backslash text\{as\; \}h\; \backslash to\; 0.$

후진 차분도 동일한 공식이 적용된다.

:$\backslash frac\{\backslash nabla\_h[f](x)\}\{h\}\; -\; f\text{'}(x)\; =\; o(h)\backslash to\; 0\; \backslash quad\; \backslash text\{as\; \}h\; \backslash to\; 0.$

중심 차분은 더 정확한 근사를 제공하며, f가 세 번 미분 가능하다면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash delta\_h[f](x)\}\{h\}\; -\; f\text{'}(x)\; =\; o\backslash left(h^2\backslash right)\; .$

하지만 중심 차분 방식은 진동하는 함수에서 도함수가 0이 되는 문제가 발생할 수 있다. 예를 들어 홀수 n에 대해 f(nh) = 1이고 짝수 n에 대해 f(nh) = 2라면, 중앙 차분 방식으로 계산하면 f'(nh) = 0이 된다. 이는 f의 정의역이 이산적일 때 특히 문제가 된다.

3. 1. 1차 도함수 근사

3. 2. 고차 도함수 근사

• '''2차 중심 차분:'''

• '''2차 전진 차분:'''

• '''2차 후진 차분:'''

• '''전진 차분:'''

• '''후진 차분:'''

• '''중심 차분:'''

4. 일반화된 유한 차분

일반화된 유한 차분은 일반적으로 다음과 같이 정의된다.

:Δ^영어[f](x) = ∑ μk^영어 f(x+kh)

여기서 μ = (μ₀, …, μₙ)는 계수 벡터이다. 무한 차분은 위 유한 합을 무한 급수로 대체하는 추가적인 일반화이다. 또 다른 일반화 방법은 계수 μk^영어를 점 x에 의존하게 하는 것이다. μk^영어 = μk^영어(x)이므로, 가중 유한 차분을 고려한다. 또한 단계 h를 점 x에 의존하게 할 수 있다: h = h(x). 이러한 일반화는 다양한 연속률을 구성하는 데 유용하다.

일반화된 차분은 다항식 링 R[Th^영어]로 볼 수 있으며, 차분 대수로 이어진다.

차분 연산자는 뫼비우스 반전으로 부분 순서 집합에 걸쳐 일반화된다.

합성 연산자로서: 사건 대수의 형식론을 통해, 차분 연산자와 다른 뫼비우스 반전은 포셋(poset)에서 함수와의 합성곱으로 표현될 수 있는데, 이 함수는 뫼비우스 함수 μ라고 불린다. 차분 연산자의 경우, μ는 수열 (1, −1, 0, 0, 0, …)이다.

5. 다변수 유한 차분

유한 차분은 둘 이상의 변수를 가진 함수에 대해서도 적용될 수 있다. 이는 편미분에 대응된다. 예를 들어, 2변수 함수 f(x, y)의 경우, 각 변수에 대한 편미분 근사값을 유한 차분을 이용하여 계산할 수 있다.

중심 차분에 의한 편미분 근사는 다음과 같다.

• f_x(x,y) ≈ (f(x+h,y) - f(x-h,y)) / 2h
• f_y(x,y) ≈ (f(x,y+k) - f(x,y-k)) / 2k
• f_xx(x,y) ≈ (f(x+h,y) - 2f(x,y) + f(x-h,y)) / h²
• f_yy(x,y) ≈ (f(x,y+k) - 2f(x,y) + f(x,y-k)) / k²
• f_xy(x,y) ≈ (f(x+h,y+k) - f(x+h,y-k) - f(x-h,y+k) + f(x-h,y-k)) / 4hk

6. 뉴턴 급수

아이작 뉴턴의 이름을 딴 '''뉴턴 급수'''는 '''뉴턴 전진 차분 방정식'''의 항으로 구성되며, 이산적인 테일러 전개로 볼 수 있다. 1687년 아이작 뉴턴과 제임스 그레고리의 이름을 따서 처음 출판된 '''그레고리-뉴턴 보간 공식'''^[9][10][11]이며, 연속 테일러 전개의 이산적 아날로그이다.

: $f(x)=\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\backslash frac\{\backslash Delta^k\; [f](a)\}\{k!\}\; \backslash ,(x-a)\_k$

= \sum_{k=0}^\infty \binom{x-a}{k}\, \Delta^k [f](a) ,



이것은 모든 다항식 함수와 많은(하지만 모든 것은 아님) 해석 함수에 대해 성립한다. 여기서,

$$\backslash binom\{x\}\{k\}\; =\; \backslash frac\{(x)\_k\}\{k!\}$$

는 이항 계수이고,

$$(x)\_k=x(x-1)(x-2)\backslash cdots(x-k+1)$$

는 "계승 거듭제곱" 또는 "하강 계승"이며, 빈 곱는 1로 정의된다.

이 결과는 테일러 정리와 형식적으로 일치한다. 역사적으로, 이것과 Chu–Vandermonde 항등식

$$(x+y)\_n=\backslash sum\_\{k=0\}^n\; \backslash binom\{n\}\{k\}\; (x)\_\{n-k\}\; \backslash ,(y)\_k\; ,$$

(이항 정리에 해당)은 엄브랄 계산 시스템으로 성숙된 관찰에 포함된다.

압축되고 약간 더 일반적인 형태와 등간격 노드에서 공식은 다음과 같다.

$$f(x)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}\backslash binom\{\backslash frac\{x-a\}h\}\{k\}\; \backslash sum\_\{j=0\}^k\; (-1)^\{k-j\}\backslash binom\{k\}\{j\}f(a+j\; h).$$

7. 유한 차분법 (Finite Difference Method)

유한 차분법은 수치 해석, 특히 수치 미분 방정식에서 상미분 방정식과 편미분 방정식의 수치 해를 구하는 데 사용된다. 이 방법은 미분 방정식에 나타나는 도함수를 이를 근사하는 유한 차분으로 대체하는 것이다. 결과적으로 얻어지는 방법을 유한 차분법이라고 한다.^[22][23][24]

유한 차분법의 일반적인 응용 분야는 열 공학, 유체 역학 등과 같은 컴퓨터 과학 및 공학 분야이다.

8. 유한 차분 연산자

전방 차분은 함수 f를 Δ_h[ f ]로 매핑하는 연산자, 즉 차분 연산자로 볼 수 있다.^[1] 이 연산자는 h 단계의 이동 연산자 T_h (T_h[ f ](x) = f(x + h)로 정의됨)와 항등 연산자 I를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:Δ_h = T_h - I

고차 유한 차분은 재귀적으로 Δ_hⁿ ≡ Δ_h(Δ_h^{n − 1})로 정의할 수 있다. 또 다른 동등한 정의는 Δ_hⁿ ≡ [T_h − I]ⁿ이다.

차분 연산자 Δ_h는 선형 연산자이므로 다음을 만족한다.

:Δ_h[ αf + βg ](x) = αΔ_h[ f ](x) + βΔ_h[g](x)

또한 특수한 라이프니츠 법칙을 만족한다.

:Δ_h(f(x)g(x)) = (Δ_hf(x))g(x+h) + f(x)(Δ_hg(x))

유사한 라이프니츠 규칙이 후방 및 중심 차분에도 적용된다.

테일러 급수를 형식적으로 적용하면 다음과 같은 연산자 방정식이 나온다.

:Δ_h = hD + 1/2! h²D² + 1/3! h³D³ + ⋯ = e^hD - I

여기서 D는 일반적인 연속 미분 연산자를 나타내며, f를 미분 f′으로 매핑한다. 이 전개는 양변이 해석적 함수에 작용할 때, 충분히 작은 h에 대해 유효하다. 따라서 T_h = e^hD이고, 지수를 형식적으로 반전시키면

:hD = ln(1+Δ_h) = Δ_h - 1/2 Δ_h² + 1/3 Δ_h³ - ⋯

이 공식은 두 연산자가 다항식에 적용될 때 동일한 결과를 제공한다는 의미에서 성립한다.

해석적 함수에도 오른쪽 급수는 수렴이 보장되지 않으며 점근 급수일 수 있다. 그러나 미분에 대한 더 정확한 근사치를 얻는 데 사용할 수 있다.

후방 및 중심 차분 연산자에 대한 유사한 공식은 다음과 같다.

:hD = -ln(1-∇_h) and hD = 2arsinh(1/2 δ_h)

유한 차분 계산은 조합론의 엄브랄 계산과 관련이 있다.

8. 1. 유한 차분 연산자 법칙

• '''상수 규칙''': $c$가 상수이면,

• '''선형성''': $a$와 $b$가 상수이면,

• '''곱 규칙''':

• '''몫의 규칙''':

• '''합 규칙''':

참조

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_[2] 서적 Introduction to Partial Differential Equations Springer Science & Business Media
_[3] 서적 Open-Channel Flow Springer
_[4] 서적 The Calculus of Finite Differences Chelsea Pub Co
_[5] 웹사이트 Finite differences of polynomials https://divisbyzero.[...] 2018-02-13
_[6] 간행물 On the Graphic Delineation of Interpolation Formulæ https://archive.org/[...] 1909-01-01
_[7] 문서 notes http://commons.wikim[...]
_[8] 문서 Finite Difference Coefficients Calculator http://web.media.mit[...]
_[9] Youtube Why don't they teach Newton's calculus of 'What comes next?' https://www.youtube.[...] 2021
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_[11] 간행물 Three notes on Ser's and Hasse's representations for the zeta-functions http://math.colgate.[...] 2018
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_[17] 간행물 Umbral Vade Mecum
_[18] 서적 Finite Difference Equations Dover
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_[20] 서적 Finite-Difference Equations and Simulations Prentice-Hall
_[21] 간행물 Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals http://algo.inria.fr[...]
_[22] 서적 The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction Cambridge University Press
_[23] 서적 Introduction to Partial Differential Equations Springer Science & Business Media
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_[26] 문서 Principia, Book III, Lemma V, Case 1 https://books.google[...] 1687
_[27] 문서 A Treatise On The Calculus of Finite Differences https://archive.org/[...] 1872
_[28] 문서 Calculus of Finite Differences https://books.google[...] Chelsea Publishing 1939/1965
_[29] 서적 Finite Difference Equations Dover
_[30] 문서 Numerical Methods for Partial Differential Equations Academic Press, New York 1977
_[31] 문서 Finite-Difference Equations and Simulations Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 1968
_[32] 간행물 Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals http://www-rocq.inri[...]