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테일러 급수

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목차

1. 개요

테일러 급수는 매끄러운 함수를 무한한 멱급수로 나타내는 방법으로, 함수의 특정 점에서의 미분 계수들을 사용하여 함수를 근사한다. 테일러 급수는 멱급수의 한 종류이며, 특히 a=0일 때의 테일러 급수를 매클로린 급수라고 한다. 일변수 및 다변수 함수에 대해 정의되며, 일변수 함수의 경우, 함수가 무한히 미분 가능하더라도 테일러 급수가 수렴하지 않거나, 수렴하더라도 원래 함수와 일치하지 않을 수 있다. 복소 함수의 경우, 정칙 함수는 항상 테일러 급수가 원래 함수로 수렴한다. 테일러 급수를 유한 차수로 근사할 때의 오차는 나머지항으로 표현되며, 테일러 정리를 통해 오차의 크기를 평가할 수 있다. 테일러 급수는 함수의 근사값 계산, 미분 방정식 풀이 등 다양한 분야에 활용되며, 푸리에 급수와 비교하여 국소적인 특성을 갖는다.

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테일러 급수
개요
정의어떤 함수의 값을 특정 지점 근처에서 더 간단한 다항식으로 근사하는 방법
관련 분야미적분학, 해석학, 수치 해석
활용함수의 근사값 계산, 미분방정식 해법, 복잡한 함수 분석 등
역사
기원미적분학의 발전과 함께 시작
주요 기여자브룩 테일러, 콜린 매클로린
수학적 정의
테일러 급수함수 f(x)를 x=a 근처에서 다음과 같이 표현
테일러 급수 표현 (수식)f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)^n/n! + ...
맥클로린 급수테일러 급수에서 a=0인 특별한 경우
맥클로린 급수 표현 (수식)f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ... + f^(n)(0)x^n/n! + ...
예시
sin(x)의 맥클로린 급수sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
e^x의 맥클로린 급수e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...
응용
함수 값 근사 계산복잡한 함수의 값을 쉽게 계산 가능
미분방정식 해법미분방정식의 해를 급수 형태로 표현
극한 계산복잡한 함수의 극한을 쉽게 계산 가능
장점 및 단점
장점함수의 근사값을 쉽게 계산 가능
미분 불가능한 함수도 급수로 표현 가능
단점수렴 반경 내에서만 유효
계산량이 많아질 수 있음
주의사항
수렴성테일러 급수가 항상 수렴하는 것은 아님
오차테일러 급수를 유한항으로 끊을 경우 오차가 발생
관련 항목
관련 개념미분, 급수, 수렴, 발산
관련 정리테일러 정리, 평균값 정리

2. 정의

테일러 급수는 주어진 함수를 특정 점에서의 미분 계수들을 이용하여 무한 급수 형태로 나타내는 방법이다.

매끄러운 함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R 및 실수 a\in\mathbb R (또는 정칙 함수 f\colon\mathbb C\to\mathbb C 및 복소수 a\in\mathbb C)가 주어졌을 때, f의 테일러 급수는 멱급수로 표현된다. a=0일 때의 테일러 급수를 '''매클로린 급수'''라고 부른다.

테일러 급수는 둘 이상의 변수를 갖는 함수로도 일반화될 수 있다.

2. 1. 일변수 함수의 테일러 급수

매끄러운 함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R 및 실수 a\in\mathbb R (또는 정칙 함수 f\colon\mathbb C\to\mathbb C 및 복소수 a\in\mathbb C)가 주어졌을 때, f의 '''테일러 급수'''는 다음과 같은 멱급수이다.

:T_f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^n=f(a) + f'(a)(x-a) + \frac12f''(a)(x-a)^2 + \frac16f'''(a)(x-a)^3 + \cdots

여기서 n!은 n의 계승을, f^{(n)}(a)는 f의 a에서의 n계 도함수를 말한다. 특히 0계 도함수는 원래 함수 자신이다. a=0일 때의 테일러 급수를 '''매클로린 급수'''(Maclaurin series영어)라고 부른다.

실수 또는 복소수 함수 f(x)가 실수 또는 복소수 a에서 무한히 미분 가능하다면, 해당 함수의 테일러 급수는 다음과 같은 거듭제곱급수이다.

: f(a) + \frac {f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots = \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}

여기서 n!는 n의 계승을 나타낸다. f^{(n)}(a)는 점 a에서 평가된 f의 n차 미분을 나타낸다. f의 0차 미분은 f 자신으로 정의되며, (x-a)^0과 0!은 모두 1로 정의된다. a=0일 때, 매클로린 급수는 다음과 같은 형태를 취한다.

: f(0)+\frac {f'(0)}{1!} x+ \frac{f''(0)}{2!} x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+ \cdots = \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}

2. 2. 다변수 함수의 테일러 급수

테일러 급수는 둘 이상의 변수를 갖는 함수로 일반화될 수 있다.[5]

매끄러운 함수 f\colon\mathbb R^d\to\mathbb R의 '''테일러 급수'''는 다음과 같다.

: \begin{align} & T_f(x_1,\dots,x_d)\\ &= \sum_{n_1=0}^\infty \sum_{n_2=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\dots,a_d) \\ &= f(a_1, \dots,a_d) + \sum_{j=1}^d \frac{\partial f(a_1, \dots,a_d)}{\partial x_j} (x_j - a_j) \\ &\qquad + \frac{1}{2!} \sum_{j=1}^d \sum_{k=1}^d \frac{\partial^2 f(a_1, \dots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k} (x_j - a_j)(x_k - a_k) \\ &\qquad + \frac{1}{3!} \sum_{j=1}^d\sum_{k=1}^d\sum_{l=1}^d \frac{\partial^3 f(a_1, \dots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k \partial x_l} (x_j - a_j)(x_k - a_k)(x_l - a_l) + \cdots \end{align}

예를 들어, 두 개의 변수 x, y에 의존하는 함수에 대해 점 (a, b)에 관한 2차식을 위한 테일러 급수는 다음과 같다.

:\sum_{k=0}^\infty\sum_{i=0}^k\frac{(x-a)^{k-i}(y-b)^i}{(k-i)!i!}\left.\frac{\partial^kf}{\partial x^{k-i}\partial y^i}\right|_{(a,b)}=f(a,b) +(x-a)f_x(a,b)+(y-b)\, f_y(a,b)+ \frac12\left((x-a)^2f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b) +(y-b)^2f_{yy}(a,b) \right)+\cdots

여기서 첨자는 각각의 편미분을 나타낸다.

여러 변수의 스칼라 값 함수에 대한 2차 테일러 급수 전개는 다음과 같이 간결하게 쓸 수 있다.

:T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} D f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2!} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} \left \{D^2 f(\mathbf{a}) \right \} (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots,

여기서 D f(\mathbf{a})는 \mathbf{x} = \mathbf{a}에서 평가된 기울기이고, D^2 f(\mathbf{a})는 헤세 행렬이다. 다중 지표 표기법을 적용하면 여러 변수에 대한 테일러 급수는 다음과 같이 된다.

:T(\mathbf{x}) = \sum_

3. 성질

테일러 급수는 매끄러운 함수라 해도 항상 수렴하는 것은 아니며, 수렴하더라도 원래 함수와 같은 값으로 수렴하지 않을 수 있다. 원래 함수로 수렴하는 테일러 급수를 갖는 함수를 해석 함수라고 한다. 하지만 복소수의 경우, 모든 정칙 함수는 항상 테일러 급수가 원래 함수로 수렴한다. 즉, 모든 정칙 함수는 해석 함수이다.

일반적으로 테일러 급수는 수렴하지 않을 수 있으며, 수렴하더라도 그 극한값이 원래 함수의 값과 일치하지 않을 수 있다. 실해석학에서는 테일러 급수가 수렴해도 원래 함수와 같지 않은 무한히 미분 가능한 함수가 존재하지만, 복소해석학의 정칙 함수는 항상 수렴하는 테일러 급수를 가지며, 유리형 함수의 테일러 급수조차도 함수 자체와 다른 값으로 수렴하지 않는다.

보렐의 보조정리에 따르면, 모든 실수 또는 복소수 수열은 실수선상에서 정의된 무한히 미분 가능한 함수의 테일러 급수에서 계수로 나타날 수 있다. 그 결과, 테일러 급수의 수렴반경은 0이 될 수 있으며, 심지어 실수선상에서 정의된 무한히 미분 가능한 함수 중에는 모든 곳에서 테일러 급수의 수렴반경이 0인 경우도 있다.

테일러 급수를 유한 차수로 근사할 때 발생하는 오차는 나머지 항으로 표현할 수 있으며, 테일러 정리를 사용하여 이 나머지 항의 크기를 추정할 수 있다. 테일러 급수를 다음과 같이 나타낼 때,

:f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k + R_{n+1}(x)

마지막 항인 R_{n+1}(x)는 f의 '''나머지 항''' 또는 '''절단오차'''라고 하며, [a, x] 또는 [x, a]에 속하는 적당한 실수 b에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.[6]


  • R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(b)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.


나머지항 R_n(x)은 어떤 c \in (a,x)가 존재하여 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:R_n (x) = {f^{(n)}(c) \over n!} (x - a)^n

또는 적분을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:R_n (x) =\frac{1}{(n-1)!}\int_a^x (x-t)^{n-1} f^{(n)}(t)\, \mathrm dt

3. 1. 수렴성

매끄러운 함수의 경우, 일반적으로 테일러 급수는 수렴할 필요가 없고, 설사 수렴하더라도 원래 함수와 다를 수 있다. 테일러 급수가 원래 함수로 수렴하는 경우를 '''해석 함수'''라고 한다.

반면, 복소 함수의 경우, 모든 정칙 함수는 테일러 급수가 항상 원래 함수로 수렴한다. 즉, 모든 정칙 함수는 해석 함수이다. 함수가 특정 점을 중심으로 하는 열린 원판에서 해석적인 것은 그 테일러 급수가 원판의 각 점에서 함수값으로 수렴하는 것과 동치이다.

일반적으로 테일러 급수는 수렴하지 않을 수 있다. 수렴하는 테일러 급수를 갖는 함수의 집합은 매끄러운 함수의 프레셰 공간에서 희박 집합이다. 함수의 테일러 급수가 수렴하더라도, 그 극한값이 원래 함수의 값과 같을 필요는 없다.

실해석학에서는 테일러 급수가 수렴해도 원래 함수와 같지 않은 무한히 미분 가능한 함수가 존재함을 보여준다. 반대로, 복소해석학에서 연구되는 정칙 함수는 항상 수렴하는 테일러 급수를 가지며, 유리형 함수의 테일러 급수조차도 함수 자체와 다른 값으로 수렴하지 않는다.

보렐의 보조정리에 따르면, 실수 또는 복소수의 모든 수열은 실수선상에서 정의된 무한히 미분 가능한 함수의 테일러 급수에서 계수로 나타날 수 있다. 결과적으로 테일러 급수의 수렴반경은 0일 수 있으며, 심지어 실수선상에서 정의된 무한히 미분 가능한 함수 중에는 모든 곳에서 테일러 급수의 수렴반경이 0인 경우도 있다.

3. 2. 오차 (테일러 정리)

테일러 급수를 다음과 같이 나타낼 때,

:f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k + R_{n+1}(x)

마지막 항인 R_{n+1}(x)을 f의 '''나머지 항''' 또는 '''절단오차'''라고 하며, [a, x] 또는 [x, a]에 속하는 적당한 실수 b에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.[6]

  • R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(b)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.


함수를 n차 테일러 다항식으로 근사할 때 발생하는 오차를 “나머지” 또는 “잔차”라고 하며, 함수 R_n(x)로 나타낸다. 테일러 정리를 사용하여 나머지 크기의 경계를 얻을 수 있다.

나머지항 R_n(x)은 어떤 c \in (a,x)가 존재하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:R_n (x) = {f^{(n)}(c) \over n!} (x - a)^n

또는 적분을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:R_n (x) =\frac{1}{(n-1)!}\int_a^x (x-t)^{n-1} f^{(n)}(t)\, \mathrm dt

4. 증명

미적분학의 제2 기본정리로부터

:\int_{a}^{x} f'(t)dt=f(x)-f(a)

이다.

이때 위 식을 다음과 같이 변형한다.

:\int_{a}^{x} f'(t)dt=\int_{a}^{x} (-1){(-f'(t))}dt

이제, 이를 이용하여 부분적분을 시행한다. -1을 적분할 함수, -f'(t)를 미분할 함수로 잡는다. 이때 f(t)가 무한하게 미분가능하면 부분적분을 무한하게 할 수 있으므로 다음과 같이 무한히 시행하여 보면

:\int_{a}^{x} (-1)(-f'(t))dt

:=\left[-(x-t)f'(t)-\frac{(x-t)^2}{2}f''(t)-\frac{(x-t)^3}{6}f'''(t)-\cdots\right]_{a}^{x}

단, 여기서 -1을 계속 적분할 때 -1의 한 부정적분을 구해서 써주면 되는데, 적분변수 t와 관계없는 값 x를 상수취급하여 x-t를 부정적분으로서 구했다.

이제 위 식을 풀면

:\left[-(x-t)f'(t)-\frac{(x-t)^2}{2}f''(t)-\frac{(x-t)^3}{6}f'''(t)-\cdots\right]_{a}^{x}

:=(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+\cdots=f(x)-f(a)

그러므로, 매끄러운 함수 f(x)에 대하여

:f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+\cdots

이 된다.

5. 예

테일러 급수는 다항식뿐만 아니라 다양한 함수에 적용될 수 있다. 예를 들어, 모든 다항식의 매클로린 급수는 다항식 자기 자신이다.[4]

일변수 함수와 다변수 함수의 테일러 급수 예시는 각각 '일변수 함수의 예'와 '다변수 함수의 예' 하위 섹션에 제시되어 있다.

5. 1. 일변수 함수의 예

모든 다항식의 매클로린 급수는 다항식 자기 자신이다.

대표적인 테일러 급수의 예는 다음과 같다.

함수매클로린 급수수렴 조건
\frac{1}{1-x}\sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots>x| < 1
지수 함수 \exp x\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \cdots모든 x
삼각 함수 \sin x\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots모든 x
삼각 함수 \cos x\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots모든 x
삼각 함수 \tan x\sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}(-1)^n 2^{2n}(1-(2^{2n}))}{(2n)!}x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \cdots>x| < \frac{\pi}{2} (단, B는 베르누이 수)
로그 함수 \ln(1-x)-\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 - \cdots>x| < 1
로그 함수 \ln(1+x)\sum_{n=1}^\infty \frac{-(-1)^n}{n} x^{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots>x| < 1
쌍곡선 함수 \sinh x\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}모든 x
쌍곡선 함수 \cosh x\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n)!} x^{2n}모든 x
쌍곡선 함수 \tanh x\sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}>x| < \frac{\pi}{2} (단, B_k는 베르누이 수)


5. 2. 다변수 함수의 예

함수 f(x,y) = e^x\log{(1+y)}의 원점에서의 테일러 급수를 계산하는 예시는 다음과 같다.

먼저, 필요한 편미분을 계산하면 다음과 같다.[5]

:f_x(0,0)=e^x\log(1+y)\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=0,

:f_y(0,0)=\frac{e^x}{1+y}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=1,

:f_{xx}(0,0)=e^x\log(1+y)\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=0,

:f_{yy}(0,0)=-\frac{e^x}{(1+y)^2}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=-1,

:f_{xy}(0,0)=f_{yx}(a,b)=\frac{e^x}{1+y}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=1.

따라서 테일러 급수는 다음과 같다.[5]

:T_f(x,y) = y+xy-\frac12y^2+\cdots

6. 역사

테일러 급수의 개념은 스코틀랜드의 수학자 제임스 그레고리가 발견했고, 1715년에 영국의 수학자 브룩 테일러가 공식적으로 발표했다.[2] 0인 지점에서의 테일러 급수를 특별히 '''매클로린 급수'''라 하는데, 콜린 매클로린의 이름에서 유래됐다. 콜린 매클로린은 18세기에 테일러 급수의 이 특별한 경우를 광범위하게 사용되도록 만들었다.[1]

7. 계산

다수의 함수에 대한 테일러 급수를 계산하는 여러 가지 방법이 있다. 테일러 급수의 정의를 사용할 수 있지만, 이는 종종 쉽게 나타나는 패턴에 따라 계수의 형태를 일반화해야 하는 경우가 많다. 또는 표준 테일러 급수의 치환, 곱셈, 나눗셈, 덧셈 또는 뺄셈과 같은 연산을 사용하여 테일러 급수가 거듭제곱 급수이기 때문에 함수의 테일러 급수를 구성할 수 있다. 어떤 경우에는 부분 적분법을 반복적으로 적용하여 테일러 급수를 유도할 수도 있다. 특히 편리한 것은 테일러 급수를 계산하기 위한 컴퓨터 대수 시스템의 사용이다.

함수

: f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in\bigl({-\tfrac\pi2}, \tfrac\pi2\bigr),

에 대한 7차 매클로린 다항식을 계산하기 위해, 먼저 함수를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

: f(x)={\ln}\bigl(1+(\cos x-1)\bigr),

이는 두 함수 x \mapsto \ln(1 + x) 와 x \mapsto \cos x - 1 의 합성함수이다. 자연로그의 테일러 급수는 (빅 O 표기법 사용)

: \ln(1+x) = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 + O{\left(x^4\right)}

이고, 코사인 함수에 대한 테일러 급수는

: \cos x - 1 = -\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + O{\left(x^8\right)}.

이다. 두 번째 급수의 처음 몇 항을 첫 번째 급수의 각 항에 대입할 수 있다. 두 번째 급수의 첫 번째 항의 차수가 2이므로, 7차 다항식을 얻기 위해 첫 번째 급수의 세 항이면 충분하다.

: \begin{align}f(x) &= \ln\bigl(1+(\cos x-1)\bigr) \\

&= (\cos x-1) - \tfrac12(\cos x-1)^2 + \tfrac13(\cos x-1)^3+ O{\left((\cos x-1)^4\right)} \\

&= - \frac{x^2}2 - \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{45}+O{\left(x^8\right)}. \end{align}\!

코사인 함수는 짝함수이므로, 모든 홀수 차수의 계수는 0이다.

함수 x=0에서의 테일러 급수를 구해보자.

: g(x)=\frac{e^x}{\cos x}.

지수 함수의 테일러 급수는 다음과 같다.

: e^x =1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+\cdots,

코사인 함수의 급수는 다음과 같다.

: \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots.

두 함수의 몫에 대한 급수를 다음과 같이 가정하자.

: \frac{e^x}{\cos x} = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4x^4 + \cdots

양변에 분모 \cos x를 곱하고 급수로 전개하면 다음과 같다.

: \begin{align}

e^x &= \left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4x^4 + \cdots\right)\left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\right) \\[5mu]

&= c_0 + c_1x + \left(c_2 - \frac{c_0}{2}\right)x^2 + \left(c_3 - \frac{c_1}{2}\right)x^3+\left(c_4-\frac{c_2}{2}+\frac{c_0}{4!}\right)x^4 + \cdots

\end{align}

g(x)\cos x의 계수와 e^x의 계수를 비교하면 다음과 같다.

:

c_0 = 1,\ \ c_1 = 1,\ \

c_2 - \tfrac12 c_0 = \tfrac12,\ \ c_3 - \tfrac12 c_1 = \tfrac16,\ \

c_4 - \tfrac12 c_2 + \tfrac1{24} c_0 = \tfrac1{24},\ \ldots.



따라서 g(x)의 급수 계수 c_i는 하나씩 계산할 수 있으며, 이는 e^x와 \cos x의 급수에 대한 장제법과 같다.

: \frac{e^x}{\cos x}=1 + x + x^2 + \tfrac23 x^3 + \tfrac12 x^4 + \cdots.

여기서는 주어진 함수를 전개하기 위해 "간접 전개"라는 방법을 사용한다. 이 방법은 지수 함수의 알려진 테일러 전개를 이용한다. (1 + x)e^x를 x에 대한 테일러 급수로 전개하기 위해, 함수 e^x의 알려진 테일러 급수를 사용한다.

: e^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} =1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+\cdots.

따라서,

: \begin{align}(1+x)e^x &= e^x + xe^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} + \sum^\infty_{n=0} \frac{x^{n+1}}{n!} = 1 + \sum^\infty_{n=1} \frac{x^n}{n!} + \sum^\infty_{n=0} \frac{x^{n+1}}{n!} \\ &= 1 + \sum^\infty_{n=1} \frac{x^n}{n!} + \sum^\infty_{n=1} \frac{x^n}{(n-1)!} =1 + \sum^\infty_{n=1}\left(\frac{1}{n!} + \frac{1}{(n-1)!}\right)x^n \\ &= 1 + \sum^\infty_{n=1}\frac{n+1}{n!}x^n\\ &= \sum^\infty_{n=0}\frac{n+1}{n!}x^n.\end{align}

8. 활용

테일러 급수는 여러 분야에서 활용된다. 예를 들어 머신러닝의 최적화 과정을 수행할 때 쓰이기도 한다.[1]

해석 함수에 대한 테일러 급수의 활용은 다음과 같다.


  • 급수의 부분합(즉, 테일러 다항식)을 함수의 근사값으로 사용할 수 있다. 충분히 많은 항을 포함하면 이러한 근사값이 좋다.
  • 거듭제곱 급수의 미분과 적분은 항별로 수행할 수 있으며 따라서 특히 쉽다.
  • 해석 함수는 복소 평면의 열린 원판에서 정칙 함수로 고유하게 확장된다. 이를 통해 복소 해석의 기법을 사용할 수 있다.
  • (잘린) 급수를 사용하여 함수 값을 수치적으로 계산할 수 있다 (종종 다항식을 체비쇼프 형식으로 재구성하고 클렌쇼 알고리즘을 사용하여 평가한다).
  • 거듭제곱 급수 표현에서 대수 연산을 쉽게 수행할 수 있다. 예를 들어, 오일러 공식은 삼각 함수와 지수 함수에 대한 테일러 급수 전개에서 도출된다. 이 결과는 조화 분석과 같은 분야에서 근본적으로 중요하다.
  • 테일러 급수의 처음 몇 항을 사용한 근사는 제한된 영역에 대해 해결할 수 없는 문제를 가능하게 할 수 있다. 이러한 접근 방식은 물리학에서 자주 사용된다.


테일러 급수는 수학의 다양한 분야에서 함수와 연산자를 정의하는 데 사용된다. 특히, 함수의 고전적인 정의가 깨지는 영역에서 그렇다. 예를 들어, 테일러 급수를 사용하여 행렬 지수 함수 또는 행렬 로그 함수와 같이 행렬과 연산자의 집합으로 해석 함수를 확장할 수 있다.

9. 푸리에 급수와의 비교

푸리에 급수를 이용하면 주기 함수(또는 닫힌 구간 [''a'',''b'']에서 정의된 함수)를 무한 개의 삼각함수(사인과 코사인)의 합으로 나타낼 수 있다. 이러한 의미에서 푸리에 급수는 테일러 급수와 유사하다. 테일러 급수는 함수를 무한 개의 멱의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다. 그러나 두 급수는 여러 가지 중요한 측면에서 서로 다르다.


  • ''x'' ''a''에서 ''f'' (''x'')의 테일러 급수의 유한 절단은 모두 ''a''에서 ''f''와 정확히 같다. 반면에 푸리에 급수는 전체 구간에 걸쳐 적분하여 계산되므로, 일반적으로 급수의 모든 유한 절단이 정확한 점은 없다.
  • 테일러 급수를 계산하려면 한 점의 임의로 작은 근방에서 함수에 대한 정보가 필요하지만, 푸리에 급수를 계산하려면 전체 정의역 구간에서 함수에 대한 정보가 필요하다. 어떤 의미에서 테일러 급수는 "국소적"이고 푸리에 급수는 "전역적"이라고 말할 수 있다.
  • 테일러 급수는 단일 점에서 무한히 많은 도함수를 갖는 함수에 대해 정의되지만, 푸리에 급수는 모든 적분 가능 함수에 대해 정의된다. 특히 함수는 어디에서도 미분 가능하지 않을 수 있다. (예를 들어, ''f'' (''x'')는 바이어슈트라스 함수일 수 있다.)
  • 두 급수의 수렴성은 매우 다른 특성을 갖는다. 테일러 급수의 수렴 반지름이 양수이더라도 결과 급수가 함수와 일치하지 않을 수 있지만, 함수가 해석적이면 급수는 점별로 함수에 수렴하고 수렴 구간의 모든 콤팩트 부분 집합에서 균등하게 수렴한다. 푸리에 급수의 경우, 함수가 제곱 적분 가능하면 급수는 평균 제곱으로 수렴하지만, 점별 또는 균등 수렴을 보장하려면 추가적인 조건이 필요하다(예를 들어, 함수가 주기적이고 C1 클래스이면 수렴은 균등하다).
  • 마지막으로, 실제로는 함수를 유한 개의 항으로 근사하고자 한다. 예를 들어, 각각 테일러 다항식 또는 삼각 급수의 부분합을 사용하는 것이다. 테일러 급수의 경우 오차는 계산된 점의 근방에서 매우 작지만, 먼 점에서는 매우 클 수 있다. 푸리에 급수의 경우 오차는 함수의 정의역 전체에 분포된다.

참조

[1] 논문
[2] 논문
[3] 논문
[4] 논문 https://books.google[...]
[5] 논문
[6] 문서 f의 0차 도함수는 f 자신이다.
[7] 문서 0의 0승 참조. 정의 충돌을 피하려면, 단순히 n=0 항을 명시적으로 적고, n=0을 포함하지 않는 형태로 합을 다시 계산하면 된다.


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