유효 작용

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 유효 작용의 정의
- 2.2. 유효 퍼텐셜
3. 1점기약 상관함수의 모함수
4. 생성 범함수
5. 건드림 전개
- 5.1. 0차항 계산 (평균장 근사)
- 5.2. 1차항 계산 (1-고리 근사)
6. 유효 작용의 대칭성
- 6.1. 연속 대칭과 슬라브노프-테일러 항등식
7. 볼록성
- 7.1. 유효 포텐셜의 정의와 볼록성
- 7.2. 섭동 이론과 비볼록성 문제
참조

1. 개요

유효 작용은 양자장론에서 사용되는 개념으로, 분배 함수를 통해 정의되며, 고전적인 외부 전류가 있을 때 진공에서 진공으로의 전이에 해당한다. 이 작용은 연결된 상관 함수의 생성 범함수이며, 1입자 비기약적(1PI) 상관 함수의 생성 범함수이기도 하다. 유효 작용은 고전 작용의 대칭성을 따르지 않을 수 있으며, 슬라브노프-테일러 항등식과 같은 제약 조건을 가질 수 있다. 또한, 유효 포텐셜은 볼록 함수이며, 섭동적으로 계산 시 비볼록한 결과를 보일 수 있지만, 실제 유효 포텐셜은 볼록성을 유지한다. 유효 작용은 섭동 전개를 통해 계산할 수 있으며, 0차항은 평균장 근사, 1차항은 1-고리 근사에 해당한다.

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유효 작용
일반 정보
유효 작용을 계산하기 위한 파인만 다이어그램
학문 분야	양자장론
정의
정의	고전적인 작용의 양자적 유사체
관련 개념
관련 개념	경로 적분 고전적인 작용 생성 함수 일차 유효 퍼텐셜
주요 학자
주요 학자	줄리언 슈윙거 브라이스 드윗 지오반니 요나-라시니오 스티븐 와인버그 제프리 골드스톤

2. 정의

샘마당(source field) $J$ 에 대한 분배 함수는 다음과 같이 정의된다.^[4]

: $Z[J]=\int\mathcal D\phi\,\exp(iS[\phi]+i\langle J,\phi\rangle)=\int\mathcal D\phi\,\exp\left(\mathrm i\int d^4x\;(\mathcal L[\phi(x)]+J(x)\phi(x))\right)$

여기서 에너지 범함수 $E[J]$ 는 다음과 같다.

: $E[J]=i\log Z[J]$

이는 통계역학의 자유 에너지에 해당한다.

마당 $\phi$ 의 진공 기댓값 $\phi_\text{cl}=\langle\phi\rangle$ 은 에너지의 도함수로 표현할 수 있다.

: $\phi_\text{cl}=-\frac{\delta E[J]}{\delta J}$ .

이 식은 $\phi_\text{cl}$ 가 $J$ 에 대한 범함수로 주어짐을 의미하며, 역으로 $J$ 를 $\phi_\text{cl}$ 에 대한 범함수로 생각할 수 있다. 이를 바탕으로 르장드르 변환을 하면 '''유효 작용''' $\Gamma[\phi_\text{cl}]$ 를 얻는다.^[4]

: $\Gamma[\phi_\text{cl}]=-E[J]-\int d^4x\;J(x)\phi_\text{cl}(x)$

만약 진공이 병진불변이라면, 유효작용을 장의 (범함수가 아니라 일반) 함수인 유효퍼텐셜 $V(\phi_\text{cl})$ 로 나타낼 수 있다.

: $\Gamma[\phi_\text{cl}]=-V(\phi_\text{cl})\int d^4x.$

2. 1. 유효 작용의 정의

샘마당(source field)

J

에 대한 분배 함수는 다음과 같이 정의된다.^[4]

:

Z[J]=\int\mathcal D\phi\,\exp(iS[\phi]+i\langle J,\phi\rangle)=\int\mathcal D\phi\,\exp\left(\mathrm i\int d^4x\;(\mathcal L[\phi(x)]+J(x)\phi(x))\right)

여기서 에너지 범함수

E[J]

는 다음과 같다.

:

E[J]=i\log Z[J]

이는 통계역학의 자유 에너지에 해당한다.

마당

\phi

의 진공 기댓값

\phi_\text{cl}=\langle\phi\rangle

은 에너지의 도함수로 표현할 수 있다.

:

\phi_\text{cl}=-\frac{\delta E[J]}{\delta J}

.

이 식은

\phi_\text{cl}

가

J

에 대한 범함수로 주어짐을 의미하며, 역으로

J

를

\phi_\text{cl}

에 대한 범함수로 생각할 수 있다. 이를 바탕으로 르장드르 변환을 하면 '''유효 작용'''

\Gamma[\phi_\text{cl}]

를 얻는다.^[4]

:

\Gamma[\phi_\text{cl}]=-E[J]-\int d^4x\;J(x)\phi_\text{cl}(x)

2. 2. 유효 퍼텐셜

두 개의 국소 최소값을 가진 명백한 유효 포텐셜과 명백한 포텐셜의 비볼록 영역에서 선형인 해당 올바른 유효 포텐셜의 예시

부피가

\mathcal V_4

인 시공간에서, 유효 포텐셜은

V(\phi) = - \Gamma[\phi]/\mathcal V_4

로 정의된다. 해밀토니안

H

를 사용하면,

\phi(x)

에서의 유효 포텐셜

V(\phi)

는

\langle\Omega| \hat \phi| \Omega\rangle = \phi(x)

를 만족하는 상태 집합

|\Omega\rangle

에 대해 에너지 밀도

\langle \Omega|H|\Omega\rangle

의 기댓값의 최솟값을 항상 제공한다.^[7] 여러 상태에 대한 이러한 정의는 여러 개의 서로 다른 상태(각각 특정 소스 전류에 해당)가 동일한 기댓값을 초래할 수 있기 때문에 필요하다. 또한 유효 포텐셜은 반드시 볼록 함수

V''(\phi) \geq 0

임을 알 수 있다.^[8]

유효 포텐셜을 섭동적으로 계산하면 두 개의 국소 최소값을 갖는 포텐셜과 같이 비볼록 결과가 나올 수 있다. 그러나 실제 유효 포텐셜은 여전히 볼록하며, 명백한 유효 포텐셜이 볼록하지 않은 영역에서 대략 선형이 된다. 이 모순은 섭동 이론이 진공이 안정적이라고 가정하기 때문에 불안정한 진공 주변의 계산에서 발생한다. 예를 들어, 기댓값

\phi_1

및

\phi_2

가 각각 상태

|\Omega_1\rangle

및

|\Omega_2\rangle

에 대한 기댓값인 두 개의 국소 최소값을 갖는 명백한 유효 포텐셜

V_0(\phi)

를 고려해 보자. 그러면

\lambda \in [0,1]

에 대해

:

|\Omega\rangle \propto \sqrt \lambda |\Omega_1\rangle+\sqrt{1-\lambda}|\Omega_2\rangle.

를 사용하여

V_0(\phi)

의 비볼록 영역에 있는 모든

\phi

를 얻을 수도 있다.

그러나 이 상태의 에너지 밀도는

\lambda V_0(\phi_1)+ (1-\lambda)V_0(\phi_2) 이므로, 에너지 밀도를 최소화하지 않았으므로 V_0(\phi) 는 \phi 에서 올바른 유효 포텐셜이 될 수 없다. 오히려 실제 유효 포텐셜 V(\phi) 는 이 선형 구성보다 작거나 같으며, 이는 볼록성을 회복한다.

3. 1점기약 상관함수의 모함수

분배 함수 ''Z[J]''가 상관함수의 생성함수이고, 에너지 $E[J]$ 가 연결상관함수 (connected correlation function)의 생성함수인 것처럼, 유효 작용은 1점기약(一點旣約, one-point irreducible) 상관함수의 모함수이다.^[4]

유효작용은 다음과 같은 식으로 쓸 수 있다.

: $\Gamma[\phi_\text{cl}]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int d^4 x_1 \cdots \int d^4 x_n\;\Gamma^{(n)}(x_1,\cdots,x_n)(\phi_\text{cl}(x_1)-\langle\phi(x_1)\rangle_{0})\cdots(\phi_\text{cl}(x_n)-\langle\phi(x_n)\rangle_{0})$

여기서 $\Gamma^{(n)}(x_1,\cdots,x_n)$ 는 n점 기약함수이며, 다음과 같이 정의된다.

: $\Gamma^{(n)}(x_1,\cdots,x_n) = \left.\frac{\delta^n \Gamma[\phi_\text{cl}]}{\delta \phi_\text{cl}(x_1) \cdots \delta \phi_\text{cl}(x_n)}\right|_{\phi_\text{cl}=\langle\phi\rangle_{0}}$

$\langle\phi\rangle_{0}$ 는 $J=0$ 일 때 장의 진공기대값 $\langle\phi\rangle$ 를 의미한다.

이처럼 유효작용의 n계 미분항을 통해 상관함수를 생성할 수 있기 때문에, 상관함수의 생성함수 또는 모함수라고 부른다. 1점, 2점, 3점, 그리고 일반적인 n점 기약함수에 대한 내용은 하위 섹션에서 상세히 다룬다.

유효 작용은 '''1입자 기약(1PI)''' 상관 함수의 생성 범함수이다. 1PI 도표는 단일 내부 선을 잘라서 두 조각으로 분리할 수 없는 연결된 그래프이다.

3. 1. 1점 상관함수

분배 함수 ''Z[J]''가 상관함수의 생성함수이고, 에너지

E[J]

가 연결상관함수 (connected correlation function)의 생성함수인 것처럼, 유효 작용은 1점기약(一點旣約, one-point irreducible) 상관함수의 모함수이다.

유효작용의 1계 미분항

\Gamma^{(1)}(x) = \left.\frac{\delta \Gamma[\phi_\text{cl}]}{\delta \phi_\text{cl}(x)}\right|_{\phi_\text{cl}=\langle\phi\rangle_{0}}

는 다음과 같이 풀 수 있다.

:

\Gamma^{(1)}(x) = \left.\frac{\delta ( -E[J]-\int d^4y\;J(y)\phi_\text{cl}(y))}{\delta \phi_\text{cl}(x)}\right|_{\phi_\text{cl}=\langle\phi\rangle_{0}}=-\int d^4z\;\frac{\delta E[J]}{\delta J(z)}\frac{\delta J(z)}{\delta \phi_\text{cl}(x)}-\int d^4y\;\left(\frac{\delta J(y)}{\delta \phi_\text{cl}(x)}\phi_\text{cl}(y)+J(y)\frac{\delta\phi_\text{cl}(y)}{\delta \phi_\text{cl}(x)}\right)=-J(x)

이는 잘 알려진 르장드르 변환의 성질이다.

3. 2. 2점 상관함수

유효작용의 2계 미분항

\Gamma^{(2)}(x,y) = \left.\frac{\delta^2 \Gamma[\phi_\text{cl}]}{\delta \phi_\text{cl}(x) \delta \phi_\text{cl}(y)}\right|_{\phi_\text{cl}=\langle\phi\rangle_{0}}

와 에너지 범함수

E[J]

로부터 얻은 2점 연결상관함수

G^c_{(2)}=i\left.\frac{\delta^2 E[J]}{\delta J(x)\delta J(y)}\right|_{J=0}

사이의 관계는 다음과 같이 유도할 수 있다.

우선,

\Gamma^{(2)}(x,y)

와

G^c_{(2)}(x,y)

를 각각

J

와

\phi_\text{cl}

을 사용하여 표현하면 다음과 같다.

:

\Gamma^{(2)} = \frac{\delta (\delta \Gamma / \delta \phi_\text{cl}(y))}{\delta \phi_\text{cl}(x)}= - \frac{\delta J(y)}{\delta \phi_\text{cl}(x)}

:

G^c_{(2)}=i\frac{\delta (\delta E[J]/\delta J(x))}{\delta J(y)}=-i\frac{\delta \phi_\text{cl}(x)}{\delta J(y)}

{\delta J(y)}/{\delta \phi_\text{cl}(x)}

와

{\delta \phi_\text{cl}(x)}/{\delta J(y)}

는 서로 역범함수 관계에 있다. 즉,

:

\int d^4b \left(\frac{\delta J(a)}{\delta \phi_\text{cl}(b)}\right)\left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(b)}{\delta J(c)}\right)= \int d^4b \left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(a)}{\delta J(b)}\right)\left(\frac{\delta J(b)}{\delta \phi_\text{cl}(c)}\right) = \delta (a-c)

이다. 따라서,

:

\frac{\delta J(y)}{\delta \phi_\text{cl}(x)} = \left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(x)}{\delta J(y)}\right)^{-1}

로 표기할 수 있다.

결론적으로

\Gamma^{(2)}(x,y)

와

G^c_{(2)}(x,y)

는

G^c_{(2)}=i(\Gamma^{(2)})^{-1}

의 관계를 가진다.

양자장론에서 다루는 대부분의 물리적 2점 연결상관함수는 운동량

p

를 기저로 선택한 표현에서 1입자기약 (1PI, 1 Particle Irreducible) 함수를 이용해서 나타낼 수 있다. 예를 들어

\phi^4

이론의 경우, 그 표현은

-i/(p^2 + m^2 -\Pi(p))

이다. 여기서

\Pi(p)

는

\phi^4

이론의 1입자기약 함수이다.

따라서,

\phi^4

이론에서

\Gamma^{(2)}

는

-p^2 - m^2 +\Pi(p)

의 형태를 가진다. 여기서

-p^2 - m^2

는 2점 기약상관함수를 구성하는 파인만 도형 중 상호작용이 없는 항이고,

\Pi(p)

는 상호작용이 있는 항으로 생각할 수 있다. 이 둘을 합쳐 기약 상관함수를 이룬다.

3. 3. 3점 기약함수

유효 작용의 3계 미분항

\Gamma^{(3)}

와 3점 연결상관함수

G^c_{(3)}

의 관계는 다음과 같이 유도할 수 있다.

:

G^c_{(3)} = \frac{1}{i}\frac{\delta G^c_{(2)}(x,y)}{\delta J(z)} = \frac{1}{i}\int d^4 a \frac{\delta G^c_{(2)}(x,y)}{\delta \phi_\text{cl}(a)}\frac{\delta \phi_\text{cl}(a)}{\delta J(z)} = \frac{1}{i}\int d^4 a \frac{\delta i (\Gamma^{(2)} (x,y))^{-1}}{\delta \phi_\text{cl}(a)}\frac{\delta \phi_\text{cl}(a)}{\delta J(z)} = \int d^4 a \left( \int d^4 b \int d^4 c  -(\Gamma^{(2)} (x,b))^{-1}(\Gamma^{(2)} (y,c))^{-1} \Gamma^{(3)}(b,c,a) \right)\left(-(\Gamma^{(2)} (a,z))^{-1}\right)

여기서

(\Gamma^{(2)} (x,y))^{-1}

의 범함수 미분은 역범함수의 정의로부터 구할 수 있다. 역범함수 정의 식의 양변을

\phi_\text{cl}(a)

에 대해 미분하면 우변의 델타 함수는 0이 된다. 좌변은 다음과 같다.

:

\int d^4 b \frac{\delta (\Gamma^{(2)} (x,b))^{-1}}{\delta \phi_\text{cl}(a)} \Gamma^{(2)} (b,c) + \int d^4 b(\Gamma^{(2)} (x,b))^{-1} \frac{\delta \Gamma^{(2)} (b,c)}{\delta \phi_\text{cl}(a)}= 0

위 식에

\int d^4 c(\Gamma^{(2)} (c,y))^{-1}

을 적분하면,

:

\frac{\delta (\Gamma^{(2)} (x,y))^{-1}}{\delta \phi_\text{cl}(a)} = - \int d^4 b \int d^4 c(\Gamma^{(2)} (x,b))^{-1} (\Gamma^{(2)} (y,c))^{-1}\frac{\delta \Gamma^{(2)} (b,c)}{\delta \phi_\text{cl}(a)}

를 얻는다. 이를 통해

\Gamma^{(3)}

와

G^c_{(3)}

사이의 관계를 정리하면 다음과 같다.

:

G^c_{(3)}(x,y,z) = \int d^4 a \int d^4 b \int d^4 c (\Gamma^{(2)} (x,b))^{-1} (\Gamma^{(2)} (y,c))^{-1} (\Gamma^{(2)} (z,a))^{-1} \Gamma^{(3)}(a,b,c) = \int d^4 a \int d^4 b \int d^4 c \, G^c_{(2)}(x,b)  G^c_{(2)}(y,c)  G^c_{(2)}(z,a) \, i\Gamma^{(3)}(a,b,c)

좌변의 연결상관함수는 모든 연결된 파인만 도형의 합으로 생각할 수 있다. 우변을 보면 세 개의

G^c_{(2)}

가 x, y, z 점에서 뻗어나가고 있는데, 이 2점 연결상관함수 부분을 제외하면

i\Gamma^{(3)}(a,b,c)

만 남는다. 우변에서 연결상관함수를 제외하는 것은 좌변의 모든 연결 파인만 도형에서 외부 다리(external leg)를 절단(amputate)하는 것과 같다. 절단 후 남는 것은 한 개의 선분을 잘라 두 부분으로 나눌 수 없는 파인만 도형들의 합이다. 이는 기약함수의 정의와 같으므로,

i\Gamma^{(3)}(a,b,c)

은 3점 기약함수의 값에 해당한다.

3. 4. n점 기약함수

유효작용은 1점 기약 (one-point irreducible) 상관함수의 모함수이다. 유효작용의 n계 미분항

\Gamma^{(n)}(x_1,\cdots,x_n)

는 n점 기약함수이며, 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

\Gamma^{(n)}(x_1,\cdots,x_n) = \left.\frac{\delta^n \Gamma[\phi_\text{cl}]}{\delta \phi_\text{cl}(x_1) \cdots \delta \phi_\text{cl}(x_n)}\right|_{\phi_\text{cl}=\langle\phi\rangle_{0}}

여기서

\langle\phi\rangle_{0}

는

J=0

일 때 장의 진공기대값

\langle\phi\rangle

를 의미한다.

n점 연결상관함수를 유효작용의 미분항으로 표현하면, n계도 미분항은 '한 개의 선분을 자름으로써 두 부분으로 나누어질 수 없는 파인만 도형들의 합'과 일치함을 알 수 있다.^[1]

예를 들어, 4점 연결상관함수는 다음과 같이 표현된다.^[1]

:

G^c_{abcd} = \frac{1}{i}\frac{\delta G^c_{abc}}{\delta J_d}=\frac{1}{i}\frac{\delta (\Gamma^{(2)}_{ax})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{by})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{cz})^{-1}\Gamma^{(3)}_{xyz}}{\delta \phi_\textrm{cl}^i}\frac{\delta \phi_\textrm{cl}^i}{\delta J_d}=\frac{1}{i}\left (-(\Gamma^{(2)}_{aj})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{xk})^{-1}\Gamma^{(3)}_{ijk}(\Gamma^{(2)}_{by})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{cz})^{-1}\Gamma^{(3)}_{xyz}-(\Gamma^{(2)}_{ax})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{bj})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{yk})^{-1}\Gamma^{(3)}_{ijk}(\Gamma^{(2)}_{cz})^{-1}\Gamma^{(3)}_{xyz}-(\Gamma^{(2)}_{ax})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{by})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{cj})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{zk})^{-1}\Gamma^{(3)}_{ijk}\Gamma^{(3)}_{xyz}+(\Gamma^{(2)}_{ax})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{by})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{cz})^{-1}\Gamma^{(4)}_{xyzi}\right)(-(\Gamma^{(2)}_{id})^{-1})

여기서 2점 기약함수의 역함수가 2점 연결상관함수이고, 유효작용의 3계 미분항이 3점 기약함수임을 이용하면, 우변의 첫 세 개 항은 a, b, c, d 네 점 중 두 점씩 짝지어 3점 기약상호작용을 하고, 각 3점 기약상호작용에서 남는 점을 서로 이은 파인만 도형에 해당함을 알 수 있다. 따라서 네 번째 항의 유효작용의 4계 미분항은 4점 기약함수이다.^[1]

일반적으로 n점 연결상관함수는 2점 연결상관함수를 선분으로, 3, 4, ..., n점 기약상관함수를 선분이 모이는 점으로 갖는 나무 파인만 도형 (tree level Feynmann diagram)의 합으로 이루어진다. 이는 고전적 작용

S[\phi]

를 이용한 양자역학적 계산 (고리 파인만 도형 포함)이 양자역학적 유효작용

\Gamma[\phi_\textrm{cl}]

을 이용한 고전적 계산 (나무 수준 파인만 도형)과 일치함을 의미한다.^[1]

2점 기약함수에서 얻은 양자역학적 보정항

\Pi(p)

는 유효작용의 장에 대한 이차항들이 고전적 작용으로부터 질량과 장세기의 재규격화를 거친 것임을 보여준다. 이처럼 고전적 작용의 각 항에 양자역학적 보정 (재규격화)을 가한 것이 유효작용의 각 항들이며, 이러한 항들을 갖는 유효작용을 통해 수행한 고전적 나무 수준 계산으로 여러 물리 현상을 해석할 수 있다.^[1]

4. 생성 범함수

유효 작용은 통계 역학과 정보 이론에도 적용되는데, 약간 다른 ''i''의 계수와 부호 관례를 사용한다.^[4]

양자장 이론은 작용 $S[\phi]$ 를 가지며, 경로 적분 공식을 사용하여 분배 함수로 완전히 설명할 수 있다.^[4]

: $Z[J] = \int \mathcal D \phi e^{iS[\phi] + i \int d^4 x \phi(x)J(x)}.$

이는 고전적인 외부 전류 $J(x)$ 가 있을 때 진공에서 진공으로의 전이에 해당하며, 모든 연결 및 비연결 파인만 도표의 합으로 섭동적으로 평가할 수 있다. 또한 상관 함수의 생성 범함수이다.^[4]

: $\langle \hat \phi(x_1) \dots \hat \phi(x_n)\rangle = (-i)^n \frac{1}{Z[J]} \frac{\delta^n Z[J]}{\delta J(x_1) \dots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0},$

여기서 스칼라 장 연산자는 $\hat \phi(x)$ 로 표시된다. 연결된 상관 함수를 생성하는 데 사용되는 또 다른 유용한 생성 범함수 $W[J] = -i\ln Z[J]$ 를 정의할 수 있다.^[4]

: $\langle \hat \phi(x_1) \cdots \hat \phi(x_n)\rangle_{\text{con}} = (-i)^{n-1}\frac{\delta^n W[J]}{\delta J(x_1) \dots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0},$

이것은 모든 연결 도표의 합으로 섭동적으로 계산된다. 여기서 연결됨은 클러스터 분해의 의미로 해석되며, 이는 상관 함수가 큰 공간 유사 분리에서 0에 접근한다는 의미이다. 일반적인 상관 함수는 항상 연결된 상관 함수의 곱의 합으로 쓸 수 있다.^[4]

5. 건드림 전개

유효작용 $\Gamma[\phi_\text{cl}]$ 은 양자요동의 크기를 나타내는 플랑크 상수 $\hbar$ 에 대해 건드림 전개를 할 수 있다.

유효 작용 $\Gamma[\phi_0]$ 을 1PI 다이어그램의 합으로 섭동적으로 계산하는 방법은 변환된 작용 $S[\phi+\phi_0]$ 에서 파생된 파인만 규칙을 사용하여 얻은 모든 1PI 진공 다이어그램을 합하는 것이다. 이는 $\phi_0$ 가 전파자 또는 꼭짓점에 나타나는 모든 위치가 외부 $\phi$ 선이 부착될 수 있는 위치이기 때문에 가능하다. 이는 유효 작용을 계산하는 데에도 사용될 수 있는 배경장 방법과 매우 유사하다.

일-루프 파인만 다이어그램에 대한 작용의 근사는 고전 진공 기댓값장 구성 $\phi(x) = \phi_{\text{cl}}(x) +\delta \phi(x)$ 주변의 분배 함수 전개를 고려하여 찾을 수 있으며, 다음을 생성한다.^[5]^[6]

: $\Gamma[\phi_{\text{cl}}] = S[\phi_{\text{cl}}]+\frac{i}{2}\text{Tr}\bigg[\ln \frac{\delta^2 S[\phi]}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\bigg|_{\phi = \phi_{\text{cl}}} \bigg]+\cdots.$

5. 1. 0차항 계산 (평균장 근사)

ħ^영어 → 0 극한에서, 분배함수

Z[J]

는 전적으로 다음 조건을 만족하는 마당

\phi_0

에 의해 그 값이 결정된다.

:

\left.\frac{\delta S[\phi]+\langle J,\phi\rangle}{\delta \phi}\right|_{\phi = \phi_0} = 0

\phi_0

는 마당

\phi

이

S[\phi]+\langle J,\phi\rangle

를 작용으로 가질 때 구해지는 고전역학적인 해이다.

ħ^영어 → 0의 극한에서, 유효작용

\Gamma[\phi_\text{cl}]

과 일반적인 작용

S[\phi]

사이의 관계는 다음과 같다.

:

-E[J]=\Gamma[\phi_\text{cl}] + \int d^4x\;J(x)\phi_\text{cl}(x)

:

-E[J]= -i\hbar \log Z[J]\approx-i\hbar\log\exp\left(\frac{i}{\hbar}\left(S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x)\right)\right)=S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x)

:

\Gamma[\phi_\text{cl}] + \int d^4x\;J(x)\phi_\text{cl}(x) = S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x)

또한 이 극한에서, 마당의 진공기대값

\phi_\text{cl}

와 마당의 고전적인 해

\phi_0

사이의 관계는 다음과 같다.

:

\phi_\text{cl}=-\frac{\delta E[J]}{\delta J(x)} = \int d^4y\;\frac{\delta S[\phi_0]}{\delta \phi_0(y)}\frac{\delta \phi_0(y)}{\delta J(x)} + \phi_0(x) + \int d^4x\;J(y) \frac{\delta \phi_0(y)}{\delta J(x)} = \phi_0

마지막 등호는 마당의 고전적인 해

\phi_0

가 고전적인 해로써 만족해야 했던 조건을 이용했다.

그러므로 ħ^영어 → 0의 극한에서, 마당의 진공기대값

\phi_\text{cl}

은 마당의 고전적인 해

\phi_0

와 일치하며, 유효작용

\Gamma[\phi_\text{cl}]

은 일반적인 작용

S[\phi_0=\phi_\text{cl}]

와 일치한다. 이를 유효작용의 평균장 근사라고 부르기도 한다.

5. 2. 1차항 계산 (1-고리 근사)

one-loop approximation|1-고리 근사^영어라고도 불리는 이 항은 다음과 같다.

:

\Gamma[\phi_\text{cl}] = S[\phi_\text{cl}] + \frac{i\hbar}{2} \left[\text{tr} \log\frac{\delta^2 S}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\right]_{\phi=\phi_\text{cl}}

^[5]^[6]

유효작용의

\hbar

에 대한 1차항을 1-고리 근사라고 부르는 이유는, 1차항을 파인만 도형으로 접근했을 때 그것이 1-고리 도형에 해당하기 때문이다.

유효 작용

\Gamma[\phi_0]

을 1PI 다이어그램의 합으로 섭동적으로 계산하는 방법은 변환된 작용

S[\phi+\phi_0]

에서 파생된 파인만 규칙을 사용하여 얻은 모든 1PI 진공 다이어그램을 합하는 것이다. 이는

\phi_0

가 전파자 또는 꼭짓점에 나타나는 모든 위치가 외부

\phi

선이 부착될 수 있는 위치이기 때문에 가능하다. 이는 유효 작용을 계산하는 데에도 사용될 수 있는 배경장 방법과 매우 유사하다.

6. 유효 작용의 대칭성

고전 작용의 대칭성이 양자 유효 작용에서 항상 보존되는 것은 아니다. 고전 작용이 특정 함수에 의존하는 연속 대칭을 가질 때, 이는 슬라브노프-테일러 항등식으로 설명되는 제약 조건을 유효 작용에 부과한다. 이 항등식은 유효 작용이 특정 대칭 변환에 대해 불변해야 한다는 요구와 같다. 이 대칭성은 선형 대칭의 경우 원래의 대칭과 같지만, 비선형 함수의 경우 일반적으로 두 대칭성이 다르다.

6. 1. 연속 대칭과 슬라브노프-테일러 항등식

고전 작용

S[\phi]

의 대칭성은 양자 유효 작용

\Gamma[\phi]

의 대칭성이 자동적으로 되지 않는다. 만약 고전 작용이 어떤 함수

F[x,\phi]

에 의존하는 연속 대칭을 가진다면,

:

\phi(x) \rightarrow \phi(x) + \epsilon F[x,\phi],

이는 다음의 제약 조건을 직접적으로 부과한다.

:

0 = \int d^4 x \langle F[x,\phi]\rangle_{J_\phi}\frac{\delta \Gamma[\phi]}{\delta \phi(x)}.

이 항등식은 슬라브노프-테일러 항등식의 한 예이다. 이는 유효 작용이 다음의 대칭 변환에 대해 불변이라는 요구 사항과 동일하다.

:

\phi(x) \rightarrow \phi(x) + \epsilon \langle F[x,\phi]\rangle_{J_\phi}.

이 대칭성은 중요한 선형 대칭의 경우 원래의 대칭과 동일하다.

:

F[x,\phi] = a(x)+\int d^4 y \ b(x,y)\phi(y).

비선형 함수에 대해, 비선형 함수의 평균이 평균의 함수와 동일하지 않기 때문에 두 대칭성은 일반적으로 다르다.

7. 볼록성

유효 포텐셜은 볼록 함수여야 한다 ( $V''(\phi) \geq 0$ ).^[8] 그러나 섭동적으로 계산하면 비볼록적인 결과가 나올 수 있다.

7. 1. 유효 포텐셜의 정의와 볼록성

부피가 인 시공간에서, 유효 포텐셜은 로 정의된다. 해밀토니안 를 사용하면, 에서의 유효 포텐셜 는 를 만족하는 상태 집합 에 대해 에너지 밀도 의 기댓값의 최솟값을 항상 제공한다.^[7] 여러 상태에 대한 이러한 정의는 여러 개의 서로 다른 상태(각각 특정 소스 전류에 해당)가 동일한 기댓값을 초래할 수 있기 때문에 필요하다. 또한 유효 포텐셜은 반드시 볼록 함수 임을 알 수 있다.^[8]

유효 포텐셜을 섭동적으로 계산하면 두 개의 국소 최소값을 갖는 포텐셜과 같이 비볼록 결과가 나올 수 있다. 그러나 실제 유효 포텐셜은 여전히 볼록하며, 명백한 유효 포텐셜이 볼록하지 않은 영역에서 대략 선형이 된다. 이 모순은 섭동 이론이 진공이 안정적이라고 가정하기 때문에 불안정한 진공 주변의 계산에서 발생한다. 예를 들어, 기댓값 및 가 각각 상태 및 에 대한 기댓값인 두 개의 국소 최소값을 갖는 명백한 유효 포텐셜 를 고려해 보자. 그러면 에 대해

:

를 사용하여 의 비볼록 영역에 있는 모든 를 얻을 수도 있다.

그러나 이 상태의 에너지 밀도는 이므로, 에너지 밀도를 최소화하지 않았으므로 는 에서 올바른 유효 포텐셜이 될 수 없다. 오히려 실제 유효 포텐셜 는 이 선형 구성보다 작거나 같으며, 이는 볼록성을 회복한다.

7. 2. 섭동 이론과 비볼록성 문제

유효 포텐셜을 섭동적으로 계산하면 두 개의 국소 최소값을 갖는 포텐셜과 같이 비볼록 결과가 나올 수 있다. 그러나 실제 유효 포텐셜은 여전히 볼록하며, 명백한 유효 포텐셜이 볼록하지 않은 영역에서 대략 선형이 된다. 이 모순은 섭동 이론이 진공이 안정적이라고 가정하기 때문에 불안정한 진공 주변의 계산에서 발생한다.^[7]

예를 들어, 기댓값

\phi_1

및

\phi_2

가 각각 상태

|\Omega_1\rangle

및

|\Omega_2\rangle

에 대한 기댓값인 두 개의 국소 최소값을 갖는 명백한 유효 포텐셜

V_0(\phi)

를 고려해 보자. 그러면

\lambda \in [0,1]

에 대해

:

|\Omega\rangle \propto \sqrt \lambda |\Omega_1\rangle+\sqrt{1-\lambda}|\Omega_2\rangle.

를 사용하여

V_0(\phi)

의 비볼록 영역에 있는 모든

\phi

를 얻을 수 있다.

그러나 이 상태의 에너지 밀도는

\lambda V_0(\phi_1)+ (1-\lambda)V_0(\phi_2) 이므로, 에너지 밀도를 최소화하지 않았으므로 V_0(\phi) 는 \phi 에서 올바른 유효 포텐셜이 될 수 없다. 오히려 실제 유효 포텐셜 V(\phi) 는 이 선형 구성보다 작거나 같으며, 이는 볼록성을 회복한다.

^[8]

참조

_[1] 논문 Broken Symmetries https://link.aps.org[...] 1962-08
_[2] 서적 Relativité, groupes et topologie = Relativity, groups and topology : lectures delivered at Les Houches during the 1963 session of the Summer School of Theoretical Physics, University of Grenoble Gordon and Breach 1987
_[3] 논문 Relativistic Field Theories with Symmetry-Breaking Solutions https://doi.org/10.1[...] 1964-08-31
_[4] 서적 Quantum Field Theory and Critical Phenomena Oxford University Press 1996
_[5] 서적 Particles and Quantum Fields World Scientific Publishing 2016
_[6] 서적 Quantum Field Theory in a Nutshell Princeton University Press 2010
_[7] 서적 The Quantum Theory of Fields: Modern Applications Cambridge University Press 1995
_[8] 서적 An Introduction to Quantum Field Theory Westview Press 1995

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