파인만 도형

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1. 개요
2. 역사
3. 구성
4. 파인만 규칙
5. 섭동론
6. 표현 방식과 물리적 의미
- 6.1. 온 쉘 및 오프 쉘
- 6.2. 다른 표현들
7. 예시
8. 주요 개념
9. 대중 문화
참조

1. 개요

파인만 도형은 입자 간의 상호 작용을 시각적으로 표현하는 데 사용되는 그래프이다. 리처드 파인만이 1948년에 도입했고, 입자 물리학에서 입자 간의 상호 작용을 다이슨 급수로 설명하는 데 사용된다. 파인만 도형은 꼭짓점과 선으로 구성되며, 꼭짓점은 상호 작용을, 선은 소립자의 전파를 나타낸다. 파인만 도형은 섭동론에서 각 차수의 항을 시각적으로 표현하는 데 사용되며, 파인만 규칙에 따라 각 요소에 수학적 표현을 할당하여 계산한다. 파인만 도형은 양자 산란에 대한 현재 지식을 간결하게 표현하는 방식으로, 전자-양전자 소멸과 중성자의 베타 붕괴 등 다양한 예시가 있다.

2. 역사

리처드 파인만이 1948년에 파인만 도형을 처음 도입했으나, 이를 출판하지는 않았다. 출판물에서는 프리먼 다이슨이 1949년에 최초로 사용하였다.^[25]

머레이 겔만은 파인만 도형을 스위스 물리학자 에른스트 슈튀켈베르크의 이름을 따서 '''슈튀켈베르크 도형'''이라고 불렀는데, 이는 슈튀켈베르크가 훨씬 이전에 유사한 표기법을 고안했기 때문이다. 슈튀켈베르크는 명백히 공변하는 양자장론 형식을 만들고자 했고, 시간상으로 앞뒤로 움직이는 입자 경로라는 관점에서 정확한 물리적 해석을 최초로 발견했다. 다만, 그의 방법은 대칭 인자나 루프를 다루는 자동화된 방법을 제공하지는 못했다.^[5]

역사적으로 파인만 도형은 공변 섭동 이론을 기록하는 도구로서 '''파인만-다이슨 도형''' 또는 '''다이슨 그래프'''라고도 불렸다.^[6] 이는 파인만 도형이 처음 도입되었을 때 경로 적분 개념이 물리학자들에게 익숙하지 않았기 때문이다. 대신 프리먼 다이슨이 기존의 구식 섭동 이론으로부터 유도한 방식이 당시 물리학자들에게 더 이해하기 쉬웠다.^[7] 파인만은 자신의 도형 표기법이 방정식과 그래프에 익숙했던 주류 물리학자들을 혼란스럽게 했기 때문에, 이를 받아들이도록 설득하는 데 노력을 기울여야 했다.^[8]

3. 구성

파인만 도형은 일종의 그래프로, 다음과 같은 요소와 규칙으로 구성된다.

'''선'''(변, Lines): 소립자의 전파인자를 나타낸다. 선의 종류는 소립자의 종류를 나타낸다.
'''선의 모양''':
광자와 Z보손은 물결선(〰)으로 나타낸다.
글루온은 꼬인 선(➿)으로 나타낸다.
다른 입자를 구별해야 할 경우, 선 옆에 해당 입자를 나타내는 부호를 표시한다.
'''방향성 (화살표)''': 상대론적 양자역학에 따라 모든 소립자에는 반입자가 존재하며, 파인만 도형의 선은 입자와 반입자를 화살표로 구분하여 나타낸다.
입자가 자신의 반입자와 다른 경우 (예: 디랙 페르미온, 복소 스칼라 입자, W보손 등): 선에 화살표를 표시하여 directed|유향^영어성을 나타낸다. 입자는 초기 상태에서 최종 상태를 향하는 방향으로, 반입자는 최종 상태에서 초기 상태를 향하는 방향으로 화살표를 그린다.
입자가 자신의 반입자와 같은 경우 (예: 광자, Z보손, 실수 스칼라 입자 등): 화살표를 표시하지 않는다.
'''선의 구분''':
'''바깥선'''(External lines): 한쪽 끝만 꼭짓점에 연결된 선으로, 상호작용에 참여하는 초기 상태와 최종 상태의 실제 입자를 나타낸다.
'''안쪽선'''(Internal lines): 양쪽 끝이 꼭짓점에 연결된 선으로, 상호작용 과정 중에 생성되었다가 소멸하는 가상입자를 나타낸다. 이 가상입자는 질량 껍질 조건을 만족하지 않는다. 각 안쪽선은 해당 입자의 전파인자(예: 스칼라 입자의 경우 $\frac{1}{k^2}$ )에 해당하는 값을 가지며, 가능한 모든 운동량 $k$ 에 대해 적분된다. 안쪽선은 두 꼭짓점을 연결하며, 각 꼭짓점에서 운동량이 보존되도록 운동량을 전달한다.

'''꼭짓점'''(버텍스, Vertices): 입자 간의 상호작용이 일어나는 지점을 나타낸다. 이는 라그랑지안에서의 상호작용 항에 해당하며, 각 꼭짓점은 상호작용의 세기를 나타내는 결합 상수에 비례하는 값을 가진다. 각 꼭짓점에서는 운동량이 보존되어야 한다. 즉, 꼭짓점으로 들어오는 모든 입자의 운동량 합은 꼭짓점에서 나가는 모든 입자의 운동량 합과 같다.

'''시간축''': 파인만 도형에서 시간축을 명시적으로 그리지 않는 경우가 많다. 시간축이 없는 도형은 특정 시점이나 공간적 위치가 아닌, 가능한 모든 시공간에서의 상호작용을 포괄적으로 나타낸다. 따라서 하나의 시간축 없는 도형은 시간 순서가 다른 여러 과정을 한 번에 나타낼 수 있다.

4. 파인만 규칙

파인만 규칙이란 주어진 라그랑지안 밀도로부터 파인만 도형의 꼭짓점, 외부선, 내부선 각각에 물리 변수로 이루어진 인자를 대응시키는 규칙이다. 물리 변수로 이루어진 인자는 주로 벡터, 텐서, 스피너 등이다.

이 규칙에 따라 각 다이어그램에 해당하는 인자를 곱하고 적분하면, 섭동론적으로 S 행렬로부터 입자의 붕괴율, 수명, 단면적과 같은 관측 가능한 물리량을 계산할 수 있다.

파인만 규칙에는 좌표 공간 규칙과 운동량 공간 규칙 두 가지 종류가 있다. 규칙은 상호작용의 형태에 따라 달라지며, 일반적인 형태도 있지만 구체적인 상호작용에 맞는 규칙이 사용된다.

일반적인 파인만 규칙을 사용한 계산 흐름은 대략 다음과 같다.

# 계산하려는 섭동 차수에 해당하는 꼭짓점을 가진 모든 가능한 파인만 도형을 그린다. 꼭짓점에서 나오는 선의 종류와 수는 상호작용 형태에 따라 정해진다. 입자와 반입자가 다른 장(실수 스칼라장이 아닌 경우)은 화살표로 입자 진행 방향(반입자 진행 방향과 반대)을 표시해 구별한다.

# 파인만 규칙에 따라 각 꼭짓점, 내부선, 외부선에 해당하는 인자를 모두 곱하고 적분한다. 좌표 공간 규칙에서는 꼭짓점의 좌표 변수에 대해, 운동량 공간 규칙에서는 내부선의 운동량에 대해 적분한다.

# 도형에 대칭성이 존재하면, 대칭 인자(동일한 형태의 도형 개수)로 나눈다.

# 페르미온의 반교환 관계에서 발생하는 부호(±)를 곱한다.

# 그려진 모든 도형의 계산 결과를 더한다.

5. 섭동론

양자장론과 같이 상호작용이 복잡하게 얽힌 이론에서는 문제의 정확한 해를 구하기 매우 어려운 경우가 많다. 이때 섭동론은 상호작용의 영향을 작은 '섭동(perturbation)'으로 취급하여, 단계적으로 원래 문제에 가까운 근사적인 해를 구하는 유용한 방법이다.^[1]

파인만 도형은 이러한 섭동론적 계산 과정을 시각적으로 이해하고 계산하는 데 사용되는 강력한 도구이다.^[2] 각 파인만 도형은 특정 초기 양자 상태에서 특정 최종 양자 상태로 전이하는 과정에 대한 섭동론적 기여도, 즉 확률 진폭의 한 항을 나타낸다.^[3] 예를 들어, 전자 1개와 양전자 1개가 충돌하여 광자 2개로 소멸하는 과정을 생각해 볼 수 있다. 이 과정은 섭동론의 각 차수에 해당하는 여러 개의 파인만 도형으로 표현될 수 있다.

A + B → C + D 산란 과정의 일반적인 특징: 내부선은 중간 입자, 외부선은 초기/최종 입자를 나타내며, 각 꼭짓점에서는 4-운동량이 보존된다.

파인만 도형은 꼭짓점(vertex)이라고 불리는 점과 이 점들을 연결하는 선(line)으로 구성된다.^[4]

외부선(external line)은 실제 관측 가능한 입자의 초기 상태와 최종 상태를 나타낸다. 일반적으로 도형의 왼쪽에서 시작하는 선은 초기 상태 입자를, 오른쪽으로 향하는 선은 최종 상태 입자를 의미한다.^[5]
내부선(internal line)은 입자들 사이의 상호작용을 매개하는 가상의 입자를 나타내며, 수학적으로는 전파자(propagator)에 해당한다.^[6]
꼭짓점은 입자들이 상호작용하는 지점을 나타낸다. 예를 들어 양자 전기역학(QED)에서는 기본적으로 세 개의 선(물질 입자를 나타내는 페르미온 선 2개와 힘을 매개하는 게이지 보손 선 1개)이 한 꼭짓점에서 만난다.^[7]

이론적으로 어떤 과정에 기여하는 파인만 도형은 무한히 많이 그릴 수 있다. 이는 상호작용이 일어나는 가능한 모든 중간 상태를 고려해야 하기 때문이다.^[8] 하지만 섭동론에서는 각 도형의 꼭짓점 수가 섭동 전개 항의 차수(order)에 해당한다는 점을 이용한다.^[9] 꼭짓점이 많을수록 더 높은 차수의 섭동 항에 해당하며, 일반적으로 그 기여도는 점점 작아진다.

따라서 실제 계산에서는 섭동론의 원리에 따라 특정 차수까지만 고려한다. 즉, 꼭짓점의 개수를 제한함으로써 유한한 개수의 파인만 도형만을 계산하여 전체 과정의 근사적인 확률 진폭을 구한다.^[10] 예를 들어, S-행렬의 2차 섭동 항을 계산할 때는 꼭짓점이 2개인 파인만 도형들만 고려하게 된다.

6. 표현 방식과 물리적 의미

파인만 도형은 입자 물리학에서 아원자 입자들의 상호작용을 시각적으로 표현하는 방법으로, 일종의 그래프이다. 이 도형은 다음과 같은 기본적인 규칙을 따른다.

입자의 전파인자(propagator)는 선(변)으로 나타내고, 입자 간의 상호작용은 점(꼭짓점)으로 나타낸다.
입자와 그 반입자가 구별되는 경우(예: 디랙 페르미온, 복소 스칼라 입자, W보손)에는 선에 화살표를 표시하여 방향을 나타낸다. 입자는 초기 상태에서 최종 상태를 향하고, 반입자는 최종 상태에서 초기 상태를 향하는 방향으로 화살표를 그린다.
입자가 자신의 반입자와 동일한 경우(예: 광자, Z보손, 실수 스칼라 입자)에는 화살표를 표시하지 않는다.
특정 입자는 관례적인 선 모양으로 구별하기도 한다. 예를 들어, 광자와 W와 Z보손은 물결선(〰)으로, 글루온은 꼬인 선(➿)으로 나타낸다. 필요하다면 선 옆에 기호를 추가하여 다른 입자들을 구별할 수 있다.

카오온이 약한 상호작용과 강한 상호작용을 통해 세 개의 파이온으로 붕괴하는 과정을 나타내는 파인만 도형. 중간 단계에는 W 보손(파란색 물결선)과 글루온(녹색 꼬인 선)이 가상 입자로 나타난다.

입자 물리학에서 산란 단면적과 같은 물리량을 계산할 때, 파인만 도형은 유용하게 사용된다. 입자 간의 상호작용은 섭동 이론을 사용하여 계산하는데, 파인만 도형은 이 복잡한 계산 과정을 체계적으로 표현하는 방법을 제공한다. 각 도형은 특정 상호작용 과정에 대한 수학적 표현(진폭)에 해당하며, 전체 과정의 확률 진폭은 가능한 모든 파인만 도형들의 기여를 합산하여 구한다.

파인만 도형의 각 꼭짓점에서는 에너지와 운동량이 보존되어야 한다. 하지만 도형 내부의 선으로 표현되는 중간 입자들은 오프 쉘(off-shell) 상태일 수 있다. 이는 이들 가상 입자의 에너지와 운동량이 실제 입자가 만족해야 하는 관계식을 따르지 않을 수 있음을 의미한다.

단순한 계산 도구를 넘어서, 파인만 도형은 입자 상호작용의 본질에 대한 깊은 물리적 통찰력을 제공한다. 파인만 도형은 입자들이 가능한 모든 경로를 통해 상호작용한다는 경로 적분의 아이디어를 시각적으로 보여준다. 실제로 중간 과정의 가상 입자는 빛의 속도보다 빠르게 전파되는 것처럼 보일 수도 있다. 최종적으로 관측되는 결과의 확률은 이러한 모든 가능한 상호작용 방식들의 기여를 합산하여 얻어진다.

초기 파인만 도형 계산은 종종 결과값이 무한대가 되는 문제를 낳았다. 이는 입자들이 매우 짧은 거리에서 상호작용할 때 발생하는 복잡한 효과 때문이다. 이러한 무한대 문제를 해결하기 위해 재규격화라는 기법이 개발되었다. 재규격화 과정을 거치면 파인만 도형을 이용한 계산 결과는 실험값과 매우 높은 정확도로 일치하게 된다.

파인만 도형과 경로 적분 방법은 양자장론뿐만 아니라 통계 역학이나 심지어 고전 역학의 문제를 다루는 데에도 응용될 수 있다.^[4]

• 안쪽선 '''(빨간색)'''은 중간 입자와 과정을 나타내며 전파인자(prop)와 관련된다. 바깥선 '''(주황색, 검은색)'''은 꼭짓점으로 들어오거나 나가는 초기 및 최종 상태 입자를 나타낸다.

• 각 꼭짓점에서는 4-운동량이 보존된다 (들어오는 운동량은 양수, 나가는 운동량은 음수).

• 전체 진폭은 각 꼭짓점과 안쪽선에 해당하는 인자들을 곱하여 계산한다.

• 시간 축은 종종 생략되지만, 바깥선의 방향이 시간의 흐름을 나타내는 경우가 많다.

파인만 도형은 입자 산란 과정을 시각화하지만, 입자의 실제 시공간 궤적을 그린 시공간 도표나 거품 상자 사진과는 다르다. 파인만 도형은 입자의 물리적 위치가 아니라 상호작용 자체를 나타내는 추상적인 그래프이다. 특정 상호작용은 단 하나의 도형이 아니라, 가능한 모든 파인만 도형들의 합으로 표현된다. 이는 양자 중첩 원리에 따라 각 도형(경로)이 전체 과정의 확률 진폭에 기여하기 때문이다.

양자 전기역학(QED)을 예로 들면, 입자 표현 규칙은 다음과 같다.

QED에서의 입자 표현
입자 종류	상태	선 종류	화살표 방향	예시
전자 (페르미온)	초기 상태	실선	꼭짓점을 향함	→•
전자 (페르미온)	최종 상태	실선	꼭짓점에서 멀어짐	•→
양전자 (반페르미온)	초기 상태	실선	꼭짓점에서 멀어짐	←•
양전자 (반페르미온)	최종 상태	실선	꼭짓점을 향함	•←
광자 (게이지 보손)	가상 입자 (중간)	물결선	없음	•~•
광자	실제 입자 (초기/최종)	물결선	없음	~• / •~

QED에서 기본적인 상호작용 꼭짓점은 항상 세 개의 선이 만나는 지점으로 표현된다: 광자 선 하나, 꼭짓점을 향하는 페르미온 선 하나, 꼭짓점에서 멀어지는 페르미온 선 하나. 이 꼭짓점들은 다시 페르미온 또는 보손 전파자 (안쪽선)에 의해 연결될 수 있다. 도형에 포함된 꼭짓점의 개수는 섭동 이론 전개에서 해당 항의 차수(order)를 나타낸다.

6. 1. 온 쉘 및 오프 쉘

파인만 도형에서 선(line)은 소립자의 전파를 나타내며, 크게 바깥선(external line)과 안쪽선(internal line)으로 구분된다.

'''바깥선'''은 상호작용에 참여하는 반응의 시작 상태와 최종 상태에 있는 실제 입자를 나타낸다. 이러한 실제 입자들은 일반적으로 자신의 고유 질량과 관련된 에너지-운동량 관계식, 즉 질량 껍질(mass shell) 조건을 만족한다. 이 상태를 온 쉘(on-shell^영어) 상태라고 한다.
'''안쪽선'''은 꼭짓점(vertex) 사이를 연결하며, 상호작용 중간 과정에서 생성되었다가 소멸하는 가상 입자(virtual particle)를 나타낸다. 파인만 도형의 각 꼭짓점에서는 에너지와 운동량이 보존되어야 하지만, 안쪽선으로 표현되는 가상 입자는 질량 껍질 조건을 반드시 만족할 필요는 없다. 즉, 가상 입자의 에너지, 운동량, 질량 사이의 관계가 실제 입자의 관계식과 다를 수 있다. 이러한 상태를 오프 쉘(off-shell^영어) 상태라고 부른다.

6. 2. 다른 표현들

머레이 겔만은 파인만 도형을 스위스 물리학자 에른스트 슈튀켈베르크의 이름을 따서 '''슈튀켈베르크 도형'''이라고 부르기도 했다. 슈튀켈베르크는 파인만보다 훨씬 이전에 비슷한 표기법을 고안했기 때문이다. 그는 명백히 공변하는 양자장론 형식을 만들 필요성을 느껴 연구했지만, 그의 방법은 대칭 인자나 루프를 자동으로 처리하지는 못했다. 그럼에도 불구하고 슈튀켈베르크는 경로 적분과는 별개로, 시간상 앞뒤로 움직이는 입자 경로라는 관점에서 정확한 물리적 해석을 처음으로 발견한 인물이다.^[5]

역사적으로 이 그래프들은 공변 섭동 이론을 기록하는 도구로서 '''파인만-다이슨 도형''' 또는 '''다이슨 그래프'''라고도 불렸다.^[6] 파인만 도형이 처음 소개되었을 당시에는 경로 적분 개념이 물리학자들에게 생소했다. 대신 프리먼 다이슨이 기존의 섭동 이론을 바탕으로 유도한 방식이 당시 물리학자들에게 더 이해하기 쉬웠는데, 이는 통계 역학의 섭동 전개 방식을 차용한 것이었다.^[7] 파인만은 기존의 방정식과 그래프 방식에 익숙했던 주류 물리학자들을 설득하여 이 새로운 도형 표기법을 받아들이게 하려고 많은 노력을 기울여야 했다.^[8]

7. 예시

전자-양전자 소멸 반응은 다음과 같이 표현된다.

:e⁺ + e⁻ → 2γ

이 반응은 인접한 2차 파인만 도형으로 나타낼 수 있다. 위 그림에서 초기 상태(아래쪽, 초기 시간)에는 하나의 전자(e⁻)와 하나의 양전자(e⁺)가 있고, 최종 상태(위쪽, 후기 시간)에는 두 개의 광자(γ)가 있다.

오른쪽 그림은 중성자의 베타 붕괴를 나타내는 파인만 도형이다. 그림에서 직선은 페르미온을 나타내고, 물결선은 게이지 보손을 나타낸다. 이 과정은 중성자 내부의 다운 쿼크(d) 하나가 업 쿼크(u)로 변하면서 약한 보손 W^-를 방출하고, 이 불안정한 보손은 즉시 전자(e^-)와 반중성미자(

\overline{\nu_\mathrm{e}}

)로 붕괴하는 것을 보여준다.

이 그림의 경우, 시간은 아래에서 위로 흐르며, 아래쪽이 시작 상태(initial state), 위쪽이 최종 상태(final state)를 의미한다. 파인만 도형에서 시간의 흐름을 가로로 나타내는 경우도 있다. 이때는 반응식(예:

n \rightarrow p+e^- +\bar{\nu}_e

)에 맞춰 왼쪽을 시작 상태, 오른쪽을 최종 상태로 하거나, S 행렬(

S_{fi}=\langle f \vert S \vert i \rangle

) 표기에 맞춰 오른쪽을 시작 상태, 왼쪽을 최종 상태로 나타내기도 한다.

8. 주요 개념

파인만 도형은 입자 물리학에서 입자 간의 상호작용을 시각적으로 나타내는 그래프이다. 기본적인 규칙은 다음과 같다.^[4]

입자의 전파인자(propagator)는 선(변)으로, 입자 간의 상호작용은 점(꼭짓점)으로 나타낸다.
입자와 반입자가 다른 경우(예: 디랙 페르미온, 복소 스칼라 입자, W보손), 선에 화살표를 표시하여 방향을 나타낸다. 입자는 초기 상태에서 최종 상태로, 반입자는 최종 상태에서 초기 상태로 향한다. 이는 directed|유향^영어 변에 해당한다.
입자와 반입자가 같은 경우(예: 광자, Z보손, 실수 스칼라 입자), 화살표를 표시하지 않는다.
광자와 W와 Z보손은 물결선(〰)으로, 글루온은 꼬인 선(➿)으로 나타낸다. 필요시 선 옆에 입자 종류를 표시한다.

* 중간 입자 및 과정을 위한 내부선('''빨간색'''), 여기에는 전파인자 인자가 포함되며, 꼭짓점에서 들어오고/나가는 입자를 위한 외부선('''주황색''') '''(검은색)'''.

각 꼭짓점에는 델타 함수를 사용하여 4-운동량 보존이 있으며, 꼭짓점에 들어가는 4-운동량은 양수이고 나가는 4-운동량은 음수이다. 각 꼭짓점과 내부선의 인자는 진폭 적분에서 곱해진다.
공간 '''x''' 및 시간 ''t'' 축이 항상 표시되는 것은 아니며, 외부선의 방향은 시간의 흐름에 해당한다.

]]

입자 물리학에서 산란 단면적을 계산할 때, 입자 간의 상호 작용은 섭동 이론을 사용하여 계산하며, 이때 다이슨 급수가 사용된다. 파인만 도형은 이 다이슨 급수의 각 항을 시각적으로 나타낸 것으로, 각 도형은 특정 상호작용 과정을 의미한다. 전체 산란 진폭은 가능한 모든 파인만 도형에 해당하는 진폭들을 합하여 구한다.

각 파인만 도형의 꼭짓점에서는 에너지와 운동량이 보존되지만, 도형 내부의 선(내부선)으로 표현되는 중간 입자들은 반드시 실제 입자의 질량 조건을 만족하지 않아도 된다. 즉, 에너지-운동량 4-벡터의 크기가 입자의 질량과 다를 수 있는데, 이를 오프 쉘(off-shell) 상태라고 하며, 이들은 가상 입자로 간주된다. 각 내부선은 해당 가상 입자의 전파인자에 해당하며, 각 꼭짓점은 라그랑지안의 상호 작용 항에 해당하는 인자를 가진다. 이러한 계산 규칙을 페인만 규칙이라고 한다.

파인만 도형은 계산의 편의성 외에도 입자 상호작용의 본질에 대한 물리적 통찰력을 제공한다. 입자들은 가능한 모든 경로를 통해 상호작용하며, 심지어 중간 가상 입자는 빛의 속도보다 빠르게 전파될 수도 있다. 최종 상태의 확률은 이러한 모든 가능성을 합산하여 얻어지는데, 이는 파인만이 개발한 경로 적분 공식과 밀접하게 관련되어 있다.

그러나 파인만 도형을 이용한 단순 계산은 종종 무한대 값을 발생시키는 문제를 안고 있다. 이는 짧은 거리에서의 입자 상호작용, 특히 입자의 자기 상호 작용을 포함할 때 나타나는 현상이다. 이러한 무한대를 제거하고 유한한 물리적 예측값을 얻기 위해 재규격화(renormalization)라는 절차가 필요하다. 에른스트 슈투켈베르크, 한스 베테가 아이디어를 제시하고 프리먼 다이슨, 파인만, 줄리안 슈윙거, 토모나가 신이치로 등이 체계화한 재규격화 기법을 적용하면, 파인만 도형 계산 결과는 실험 결과와 매우 높은 정확도로 일치하게 된다.

파인만 도형은 크게 '''연결된 도형'''(connected diagram)과 '''연결되지 않은 도형'''(disconnected diagram)으로 나눌 수 있다. 연결된 도형은 모든 꼭짓점과 선이 서로 연결되어 하나의 덩어리를 이루는 도형을 말한다. 양자장론에서는 이러한 연결된 파인만 도형만으로도 분배 함수의 로그값, 즉 ''iW''[''J''] ≡ ln ''Z''[''J'']를 결정할 수 있다는 것이 알려져 있다. 이는 모든 파인만 도형(''D''_k)의 합으로 주어지는 분배 함수 ''Z''[''J''] ∝ Σ_k''D''_k가 연결된 도형(''C''_i)들의 지수 함수 형태 ''Z''[''J''] ∝ exp(Σ_i''C''_i)로 표현될 수 있기 때문이다.

연결된 클러스터 정리(linked-cluster theorem)는 키스 브루크너와 제프리 골드스톤에 의해 증명되었으며^[12], 이 정리의 중요한 결과 중 하나는 외부선이 없는 연결되지 않은 도형, 즉 '''진공 버블'''(vacuum bubble)들이 상관 함수 계산 시 분자와 분모에서 서로 상쇄된다는 점이다. 상관 함수는 경로 적분의 비율 <φ₁(''x''₁) ... φ_n(''x''_n)> = (경로 적분[exp(-''S'') φ₁(''x''₁) ... φ_n(''x''_n)]) / (경로 적분[exp(-''S'')]) 로 주어지는데, 분모는 모든 진공 버블의 합(exp(Σ_i ''C''_i^vacuum))이고, 분자는 외부선이 있는 도형과 진공 버블의 곱((Σ ''E''_j) exp(Σ_i ''C''_i^vacuum)) 형태이므로, 진공 버블 항은 약분되어 사라진다.

진공 버블 자체는 진공의 에너지 밀도에 대한 기여를 나타낸다. 각 진공 버블 계산에는 운동량 보존으로 인해 δ(0) 인자가 포함되는데, 이는 시공간의 총 부피에 해당한다. 따라서 진공 버블의 합은 진공 에너지 ''Z'' = exp(-''E''_vac''T'') = exp(-ρ''V'')와 관련된다. 여기서 ρ는 진공 에너지 밀도이다.

파인만 도형 계산에서 발생하는 발산을 처리하는 또 다른 기법으로 차원 정규화(dimensional regularization)가 있다. 이는 적분을 계산할 때 시공간의 차원을 복소수 ''d''로 확장하여 해석적 연속을 통해 유한한 값을 얻는 방법이다.

양자 전기역학(QED)을 예로 들면, 두 종류의 입자가 있다: 전자나 양전자 같은 물질 입자(페르미온)와 상호작용을 매개하는 광자(게이지 보손). 파인만 도형에서는 다음과 같이 표현한다.

# 초기 상태 전자는 꼭짓점을 향하는 화살표가 있는 실선 (→•).

# 최종 상태 전자는 꼭짓점에서 멀어지는 화살표가 있는 실선 (•→).

# 초기 상태 양전자는 꼭짓점에서 멀어지는 화살표가 있는 실선 (←•).

# 최종 상태 양전자는 꼭짓점을 향하는 화살표가 있는 실선 (•←). (양전자는 시간을 거슬러 올라가는 전자로 해석되기도 한다.)

# 초기 및 최종 상태의 가상 광자는 물결선 (~• 또는 •~).

QED의 기본 상호작용 꼭짓점은 항상 세 개의 선이 만난다: 광자선 하나, 페르미온선 두 개(하나는 들어오고 하나는 나가는 화살표). 꼭짓점들은 광자 전파인자(물결선, •~•) 또는 페르미온 전파인자(실선, •←• 또는 •→•)로 연결될 수 있다. 꼭짓점의 수는 섭동 전개에서의 차수를 나타낸다.

윅 정리(Wick's theorem)는 이러한 섭동 전개 항들을 계산할 때 사용되며, 장 연산자들의 곱을 정규 순서 곱과 수축(전파인자)의 합으로 나타낸다. 예를 들어, 2차 섭동 항 ''S''⁽²⁾를 계산할 때 윅 정리를 적용하면 여러 파인만 도형에 해당하는 항들이 나타난다. 가령, 광자 전파인자에 해당하는 항 ''N''ψ̄(x)γ^μψ(x)ψ̄(x')γ^νψ(x')''A''_μ(x)''A''_ν(x') 에서 광자 장의 수축(밑줄 친 부분: ''A''_μ(x)''A''_ν(x'))은 전자-전자 산란, 양전자-양전자 산란, 전자-양전자 산란 등에 기여하는 도형을 나타낸다. 마찬가지로 페르미온 전파인자(페르미온 장의 수축, 예: ψ(x)ψ̄(x'))를 포함하는 항도 있다.

9. 대중 문화

가상의 입자가 쿼크와 반쿼크 쌍을 생성하는 파인만 도형이 시트콤 ''빅뱅 이론''의 "The Bat Jar Conjecture" 에피소드에 등장했다.
2012년 1월 11일자 ''PhD 코믹스''에서는 파인만 도형을 이용해 박사 과정 학생과 지도교수 간의 상호작용("양자 학문적 상호작용")을 설명하는 데 사용되었다.
스티븐 백스터의 SF 소설 ''진공 다이어그램''은 제목 자체에 특정 유형의 파인만 도형인 진공 다이어그램을 다루고 있다.
파인만과 그의 아내 그웬네스 하워스는 1975년에 구입한 닷지 트레이즈맨 맥시밴에 파인만 도형을 그려 넣었다. 이 밴은 현재 비디오 게임 디자이너이자 물리학자인 시머스 블랙리가 소유하고 있으며, 차량 번호판은 "Qantum"이었다.

참조

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