육각수 (수학)

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1. 개요
2. 정의
3. 육각수 판별
4. 성질
5. 육각 제곱수
참조

1. 개요

육각수는 음이 아닌 정수 n에 대해 n(2n-1)으로 정의되는 수이다. 처음 몇 육각수는 0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, ... 이다. 양의 정수 x가 육각수인지 확인하려면 n = (√(8x+1)+1)/4를 계산하여 n이 정수인지 확인하면 된다. 육각수는 합동 관계, 시그마 표기법, 역수의 합, 지수 곱셈, 비율 관계 등의 성질을 가지며, 특정 자연수의 거듭제곱의 약수 개수와도 관련이 있다. 또한 육각수이면서 완전 제곱수인 수열이 존재한다.

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육각수 (수학)
정의
유형	수
속성	정수
수열
수열	1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321, 3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560, 4753, 4950, ... (A000384)
공식	$h_n = 2n^2 - n = n(2n - 1) = rac{2n(2n - 1)}{2}.$
공식 (대안)	$h_n = n + 4 rac{n(n-1)}{2}.$
n번째 육각수	처음 n개의 홀수의 합
생성 함수	$x(1+x) / (1-x)^3$
속성
패리티	육각수의 패리티는 해당 인수의 패리티를 번갈아 가며 따름
디지털 루트	디지털 루트는 1, 3, 6, 1, 5, 3, 1, 8, 6, 1, ...로 반복됨
육각수와 삼각수의 관계	모든 짝수 완전수는 육각수이며, n번째 짝수 완전수는 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1)번째 육각수
육각수와 삼각수의 관계 (대안)	n번째 육각수는 (2n−1)번째 삼각수임.
육각수와 삼각수의 관계 (수식)	$H_n = T_{2n-1}$
십진법 표현	십진법에서 모든 육각수의 마지막 자릿수는 1, 3, 5, 6, 8, 0임.
기타
용어	"육각수"라는 용어는 중심 육각수를 가리킬 수도 있음.

2. 정의

음이 아닌 정수 $n$ 에 대하여, $n$ 번째 '''육각수''' $\operatorname{Hex}(n)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{Hex}(n)=n(2n-1)=\sum_{k=1}^n(4k-3)$

처음 몇 육각수는 0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, ... 등이며, 0을 제외한 홀수 번째 삼각수와 중복된다.

3. 육각수 판별

양의 정수 ''x''가 육각수인지 효율적으로 검사하려면 다음을 계산하면 된다.

: $n = \frac{\sqrt{8x+1}+1}{4}.$

만약 ''n''이 정수라면 ''x''는 ''n''번째 육각수이다. 만약 ''n''이 정수가 아니라면 ''x''는 육각수가 아니다.

4. 성질

음이 아닌 정수 n에 대하여, n번째 육각수 $\operatorname{Hex}(n)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{Hex}(n)=n(2n-1)=\sum_{k=1}^n(4k-3)$

처음 몇 육각수는 0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, ...이며, 0을 제외한 홀수 번째 삼각수와 중복된다.

4. 1. 합동 관계

$h_n \equiv n \pmod{4}$
$h_{3n}+h_{2n}+h_{n} \equiv 0 \pmod{2}$

4. 2. 시그마 표기법

음이 아닌 정수

n

에 대하여,

n

번째 '''육각수'''

\operatorname{Hex}(n)

는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{Hex}(n)=n(2n-1)=\sum_{k=1}^n(4k-3)

육각수열의 n번째 수는 다음과 같이 시그마 표기법을 사용하여 나타낼 수도 있다.

:

h_n = \sum_{k=0}^{n-1}{(4k+1)}

여기서 빈 합은 0으로 간주한다.

4. 3. 역수의 합

육각수의 역수의 합은 2ln(2)^영어이며, 여기서 ln^영어은 자연 로그를 나타낸다.

:

\begin{align}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(2k-1)} &= \lim_{n \to \infty}2\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} \right) \\&= \lim_{n \to \infty}2\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} + \frac{1}{2k} - \frac{1}{k} \right) \\&= 2 \lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right) \\&= 2 \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k} \\&= 2 \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}} \\&= 2 \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx \\&= 2 [ \ln(1+x) ]_{0}^{1} \\&= 2 \ln{2} \\& \approx{1.386294}\end{align}

4. 4. 지수 곱셈

배열을 사용하면 다음과 같은 공식 집합이 제공된다.

:

h_{2n} = 4h_n + 2n

:

h_{3n} = 9h_n + 6n

:

...

:

h_{m*n} = m^2h_n + (m^2 - m)n

4. 5. 비율 관계

이전의 최종 공식에 대해 먼저 ''m''에 관해, 그리고 ''n''에 관해 적용하고, 몇 가지 정리 및 이동을 수행하면 다음 방정식을 얻을 수 있다.

:

\frac{h_{m}+m}{h_{n}+n}=\left(\frac{m}{n}\right)^2

4. 6. 특정 자연수의 거듭제곱의 약수 개수

''n'' > 0일 때,

12^{n-1}

은

h_n

개의 약수를 갖는다.

마찬가지로, 서로 다른 소수 ''p''와 ''q''에 대해

r = p^2 q

형태의 모든 자연수에 대해, ''n'' > 0일 때,

r^{n-1}

은

h_n

개의 약수를 갖는다.

'''증명.'''

r^{n-1} = (p^2 q)^{n-1} = p^{2(n-1)} q^{n-1}

은 ''k'' = 0 ... 2(''n'' - 1), ''l'' = 0 ... ''n'' - 1에 대해

p^k q^l

형태의 약수를 갖는다. ''k''와 ''l''의 각 조합은 서로 다른 약수를 생성하므로,

r^{n-1}

은

[2(n - 1) + 1] [(n - 1) + 1]

개의 약수, 즉

(2n - 1) n = h_n

개의 약수를 갖는다. ∎

5. 육각 제곱수

육각형 수이자 완전 제곱수인 수열은 1, 1225, 1413721, ...로 시작한다.

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