삼각수

3. 성질

삼각수는 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다.^[1]

:$\backslash displaystyle$

\begin{align} T_n &= \sum_{k=1}^n k = 1+2+ \dotsb +n \\

&= \frac{n^2+n \vphantom{(n+1)}}{2} = \frac{n(n+1)}{2} \\

&= {n+1 \choose 2}

\end{align}

여기서 $\backslash textstyle\; \{n+1\; \backslash choose\; 2\}$는 이항 계수를 나타내며, "n 더하기 일 choose 이"로 읽는다.

• 연속하는 두 삼각수의 합은 제곱수이다.^[9][10]
• 삼각수의 두 배는 프라닉 수이다.
• 제곱수이기도 한 삼각수는 무한히 많다. (예: 1, 36, 1225)
• n번째 삼각수의 제곱은 1부터 n까지의 세제곱의 합과 같다.
• 처음 n개의 삼각수의 합은 n번째 사면체 수이다.
• n번째 m-각수와 n번째 (m+1)-각수의 차이는 (n-1)번째 삼각수이다.
• 두 삼각수의 양의 차는 사다리꼴 수이다.
• 모든 짝수인 완전수는 삼각수이며, 공식은 다음과 같다.

• 10진법에서 0이 아닌 삼각수의 자릿수 합은 항상 1, 3, 6 또는 9이다.
• 0이 아닌 모든 삼각수의 역수의 합은 2이다.
• 바츨라프 시에르핀스키는 기하 급수에서 네 개의 서로 다른 삼각수가 존재하는지에 대한 질문을 제기했고, 이는 불가능하다고 추측되었으며, 2007년에 증명되었다.^[13][14]

3. 1. 연산에 대한 닫힘

• 임의의 삼각수 n에 대하여, an+b 역시 삼각수이다.
• a는 어떤 홀수의 제곱이며, b = (a-1)/8이다.

3. 2. 항등식

3. 3. 생성 함수

3. 4. 수론적 성질

• $\backslash operatorname\{Tri\}(n+4k)\backslash equiv\backslash operatorname\{Tri\}(n)\backslash pmod\{2k\}$
• $\backslash operatorname\{Tri\}(n+2k+1)\backslash equiv\backslash operatorname\{Tri\}(n)\backslash pmod\{2k+1\}$

4. 역사

일화에 의하면, 카를 프리드리히 가우스는 10살 때 1부터 100까지의 자연수를 모두 더하라는 선생님의 말을 듣고, 1+100, 2+99와 같이 합이 101이 되는 50쌍의 수의 합으로 전환하여 5050임을 구하였다. 그러나 이야기의 진위와 상관 없이, 가우스는 이를 최초로 발견한 자가 아니다.^[1]

5. 다른 도형수와의 관계

• 연속하는 두 삼각수의 합은 정사각수이다.^[9][10]
• : $T\_\{n\; -\; 1\}\; +\; T\_\{n\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash ,\; n(n-1)\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash ,\; n\; (n\; +\; 1)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash ,\; n\backslash Bigl((n\; -\; 1)\; +\; (n\; +\; 1)\backslash Bigr)\; =\; n^2$
• 모든 짝수 번째 삼각수는 육각수이다.
• : $n(2n-1)=\backslash operatorname\{Tri\}(n)+3\backslash operatorname\{Tri\}(n-1)=\backslash operatorname\{Tri\}(2n-1)$
• 두 삼각수의 양의 차는 사다리꼴 수이다.
• 삼각수와 임의의 $m$각수는 삼각수를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• 특히, 정사각수, 육각수, 팔각수의 경우는 다음과 같다.

6. 응용

명의 사람들이 서로 한 번씩 악수하는 경우의 수(악수 문제)는 번째 삼각수로 표현된다.^[17] 개의 팀이 라운드 로빈 조별 리그를 진행할 때 필요한 총 경기 수는 번째 삼각수이다. 예를 들어, 4개 팀의 조별 리그는 6경기가 필요하며, 8개 팀의 조별 리그는 28경기가 필요하다.^[17] 이는 완전 연결 네트워크에서 개의 컴퓨팅 장치를 연결하는데 필요한 케이블 수와도 같다.

자산의 감가상각을 계산하는 방법 중 하나인 연수합계법은 $T\_n$을 구하는 과정이 포함되며, 여기서 은 자산의 내용 연수이다. 예를 들어 = 4년의 사용 가능한 수명을 가진 품목은 첫 해에 손실 가능 가치의 4/10를 잃고, 두 번째 해에 3/10을, 세 번째 해에 2/10을, 네 번째 해에 1/10을 잃어, 총 감가상각 10/10 (전체)을 축적한다.

일부 보드 게임 디자인에서 삼각수는 게임 메커니즘의 핵심 요소로 활용되기도 한다.^[17]

7. 삼각근과 삼각수 판별

이차 방정식에 따르면, 주어진 정수 x가 삼각수인지 확인하는 충분 조건과 필요 조건은 8x + 1이 제곱수인지 확인하는 것이다.^[18] 즉, x가 n번째 삼각수이기 위해서는 x의 양의 삼각근 n이 정수여야 한다.^[18] 이때 n은 다음 식으로 정의된다.

:$$n\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{8x+1\}-1\}\{2\}$$

예를 들어 10이 삼각수인지를 판별하려면, 8 * 10 + 1 = 81 이 제곱수(9의 제곱)이므로 10은 삼각수이다. 그리고 n = (9 - 1) / 2 = 4 이므로, 10은 4번째 삼각수임을 알 수 있다.

0이 아닌 삼각수의 숫자근은 항상 1, 3, 6, 9 중 하나이다. 따라서 어떤 자연수의 숫자근이 이 중 어느 것도 아니라면 그 수는 삼각수가 될 수 없다. 또한, 5로 나눈 나머지가 2 또는 4인 경우도 삼각수가 아니다.

8. 일반화

삼각수의 개념은 고차원으로 확장될 수 있으며, 이를 단순체수라고 한다. n번째 r차원 단순체수는 다음과 같이 표현된다.

:$T\_r\; (n)=\; \backslash textstyle\backslash prod\backslash limits\_\{k=1\}^r\; \backslash displaystyle\backslash left(\; 1+\backslash frac\{n-1\}\{k\}\; \backslash right)\; =\backslash frac\{n(n+1)\backslash cdots\; (n+r-1)\}\{r!\}\; =\backslash binom\{n+r-1\}\{r\}\; =\{\}\_\{n+r-1\}\{\backslash rm\; C\}\_r$

점을 배치하는 공간의 차원을 3으로 하고, 점을 정사면체(삼각뿔) 모양으로 배치했을 때, 그 총수를 '''삼각뿔수'''(사면체수)라고 한다. 제 n 삼각뿔수는 제 1 삼각수부터 제 n 삼각수까지의 총합이며, 그 값 N은 $N=\backslash frac\{n(n+1)(n+2)\}\{6\}$으로 쓸 수 있다.

마찬가지로 삼각뿔수의 총합으로서 4차원 공간에서의 "삼각수"(일반적으로 "단순체수"라고 한다) 오포체수를 정의할 수 있다.

파스칼의 삼각형에 있는 수열은 왼쪽 위(또는 오른쪽 위)부터 차례로 다음과 같다.

• 모나드(단수)의 수열
• 자연수의 수열
• 삼각수의 수열
• 삼각뿔수의 수열
• 오포체수의 수열

참조

_[1] 웹사이트 Triangular Number Sequence https://www.mathsisf[...]
_[2] 서적 Calculus https://books.google[...] Publish or Perish 2008
_[3] 웹사이트 Gauss's Day of Reckoning http://www.americans[...] Computing Science 2014-04-16
_[4] 웹사이트 Webpage cites AN INTRODUCTION TO THE HISTORY OF MATHEMATICS http://mathcentral.u[...] Mathcentral 2015-03-28
_[5] 간행물 An unpublished astronomical treatise by the Irish monk Dicuil Proceedings of the Royal Irish Academy 1907
_[6] 논문 "Dicuil (9th century) on triangular and square numbers." https://doi.org/10.1[...] 2019
_[7] 웹사이트 The Handshake Problem | National Association of Math Circles http://www.mathcircl[...] 2022-01-12
_[8] 서적 The Art of Computer Programming
_[9] 간행물 Triangular Numbers and Perfect Squares https://doi.org/10.2[...] 2024-04-25
_[10] 웹사이트 Triangular Number https://mathworld.wo[...] Wolfram MathWorld 2024-04-14
_[11] 서적 Algebra in Context: Introductory Algebra from Origins to Applications https://doi.org/10.1[...] Johns Hopkins University Press 2015-10-15
_[12] 간행물 Die {{math|''k''}}-dimensionale Champagnerpyramide https://epub.uni-bay[...] 2018-12-12
_[13] 문서 Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression http://www.emis.de/j[...]
_[14] 문서 Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers http://www.emis.de/j[...]
_[15] 간행물 An Identity of Ramanujan and the Representation of Integers as Sums of Triangular Numbers 2003-12-01
_[16] 간행물 Ramanujan's theta functions and sums of triangular numbers 2016-01-24
_[17] 서적 Building Blocks of Tabletop Game Design http://dx.doi.org/10[...] 2019-06-25
_[18] 간행물 Elements of Algebra J. Johnson and Co.
_[19] 서적 The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms Addison Wesley Longman, U.S.A. 1997
_[20] 간행물 Algorithms for Functional Programming Springer