입체마방진
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1. 개요
입체마방진은 정육면체 형태로 배열된 숫자들의 마방진으로, 여러 종류가 존재한다. 일반, 대각선, 범입체대각선, 범입체대각선 범대각선, 범대각선, 완벽한 입체마방진이 있으며, 최근에는 '완전 입체마방진'에 대한 정의가 추가적으로 사용되기도 한다. 또한, 이중, 삼중, 사중마방진과 같이 각 숫자를 제곱, 세제곱, 네제곱해도 마법 정육면체로 유지되는 형태도 존재하며, 뒤러와 가우디 마방진을 기반으로 하는 입체마방진도 있다.
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| 입체마방진 | |
|---|---|
| 입체마방진 | |
 | |
| 다른 이름 | 삼차원 마방진 정육면체 마방진 3차원 마방진 |
| 유형 | 마방진 |
| 속성 | |
| 차원 | 3차원 |
| 모양 | 입방체 |
| 셀 수 | 3차원, n=3 이상 |
| 마법 상수 | n(n^3 + 1) / 2 |
| 마방진 | 3차원 n=3에서 21977375705600개, 회전 및 반사를 고려하지 않음 |
2. 종류
- 일반 (Simple)
- 대각선 (Diagonal)
- 범입체대각선 (Pantriagonal)
- 범입체대각선 범대각선 (Pantriagonal Diagonal)
- 범대각선 (Pandiagonal)
- 완벽한 (Perfect)
2. 1. 일반 입체마방진
입체마방진은 여러 기준으로 분류될 수 있으며, 그중 가장 기본적인 형태를 일반 입체마방진이라고 한다. 때로는 다른 특별한 속성을 가지지 않는 입체마방진을 지칭하기도 한다. 일반적으로 알려진 입체마방진의 여섯 종류는 다음과 같다.[6]- 일반 (Simple)
- 대각선 (Diagonal)
- 범입체대각선 (Pantriagonal)
- 범입체대각선 범대각선 (Pantriagonal Diagonal)
- 범대각선 (Pandiagonal)
- 완벽한 (Perfect)
2. 2. 대각선 입체마방진
대각선 (Diagonal)[6]2. 3. 범입체대각선 입체마방진
입체마방진의 한 종류로 범입체대각선 (Pantriagonal) 입체마방진이 있다.[6]2. 4. 범입체대각선 범대각선 입체마방진
입체마방진의 한 종류로 범입체대각선 범대각선 (Pantriagonal Diagonal) 입체마방진이 있다.[6]2. 5. 범대각선 입체마방진
범대각선 입체마방진은 입체마방진의 한 종류이다.[6]2. 6. 완벽한 입체마방진
'완벽한'(Perfecteng) 입체마방진이라는 용어는 존 로버트 헨드릭스(John R. Hendrickseng)가 제안한 개념이다. 이전에는 범대각선 입체마방진이 모든 가능한 선에서 합이 같다는 특징 때문에 통상적으로 '완벽하다'고 불리기도 했지만, 이는 헨드릭스가 정의한 완벽한 입체마방진과는 다른 개념이다.[6]최근에는 완전 입체마방진이라는 용어도 사용되는데, 이는 전통적으로 범대각선 입체마방진이 모든 가능한 선의 합이 같아 '완전하다'고 불렸던 것에서 유래했다. 이 역시 위에서 언급된 완벽한 입체마방진의 정의와는 구별된다.[6]
3. 다중마방진
입체마방진의 일종으로, 각 칸의 숫자를 특정 횟수만큼 거듭제곱해도 마법 정육면체의 성질을 유지하는 마방진을 의미한다.[3] 거듭제곱하는 횟수에 따라 이중마방진, 삼중마방진, 사중마방진 등으로 나뉜다.[3][4] 예를 들어, 이중마방진은 숫자를 제곱해도 마법 정육면체가 되고, 삼중마방진은 제곱하거나 세제곱해도 마법 정육면체가 된다.[3] 사중마방진은 네제곱까지 그 성질이 유지된다.[3] 일부 다중마방진은 완전 마법 정육면체의 성질을 가지기도 한다.[4]
3. 1. 이중마방진
주마방진과 유사하게, 이중마방진은 각 항목을 제곱해도 마법 정육면체의 성질을 유지하는 특징을 가진다. 더 나아가 삼중마방진은 각 항목을 제곱하거나 세제곱해도 마법 정육면체의 성질을 유지하며(2005년 기준으로는 두 개만 알려져 있다), 사중마방진은 각 항목을 제곱, 세제곱, 네제곱해도 마법 정육면체의 성질을 유지한다.[3]캐나다 출신의 존 R. 헨드릭스(John R. Hendricks, 1929-2007)는 4개의 이중마방진, 2개의 삼중마방진, 2개의 사중마방진을 찾아 목록으로 만들었다. 중국의 수학 교사인 중밍(Zhong Ming)은 헨드릭스가 발견한 것과 같은 차수이지만 배열이 다른 2개의 이중마방진을 추가로 발견했다. 이들 중 일부는 완전 마법 정육면체이며, 거듭제곱을 해도 완전 마법 정육면체의 성질을 유지하는 경우도 있다.[4]
3. 2. 삼중마방진
주마방진이나 이중마방진과 유사하게, 삼중마방진은 각 항목(숫자)을 제곱하거나 세제곱해도 여전히 마법 정육면체의 성질을 유지하는 특별한 마방진이다.[3] 즉, 가로, 세로, 대각선 등의 합이 원래 정육면체뿐만 아니라 각 숫자를 제곱한 정육면체, 세제곱한 정육면체에서도 모두 같아진다. 사중마방진은 여기서 더 나아가 네제곱한 경우에도 마법 정육면체의 성질을 유지한다.[3]2005년을 기준으로 알려진 삼중마방진은 단 두 개뿐이다.[3] 캐나다 출신의 존 R. 헨드릭스(John R. Hendricks, 1929-2007)는 알려진 두 개의 삼중마방진을 목록으로 정리했다.[4] 일부 삼중마방진은 완전 마법 정육면체의 성질을 가지며, 이 경우 숫자를 거듭제곱해도 완전 마법 정육면체의 성질이 유지된다.[4]
3. 3. 사중마방진
사중마방진은 각 항목을 제곱, 세제곱, 또는 네제곱해도 마법 정육면체의 성질을 유지하는 마방진이다.[3] 이는 이중마방진(항목을 제곱해도 마법 정육면체 유지)과 삼중마방진(항목을 제곱하거나 세제곱해도 마법 정육면체 유지)의 성질을 확장한 개념이다. 참고로 2005년 기준으로 삼중마방진은 단 두 개만 알려져 있었다.[3]캐나다 출신의 존 R. 헨드릭스(John R. Hendricks, 1929-2007)는 2개의 사중마방진을 포함하여 4개의 이중마방진, 2개의 삼중마방진을 목록으로 정리했다. 이후 중국의 수학 교사인 중밍(Zhong Ming)은 헨드릭스가 발견한 것과 차수는 같지만 배열이 다른 2개의 이중마방진을 추가로 발견했다. 이 마방진들 중 일부는 완전 마법 정육면체이며, 거듭제곱을 해도 완전 마법 정육면체의 성질을 그대로 유지하는 특징을 가진다.[4]
4. 뒤러 및 가우디 마방진 기반 입체마방진
입체마방진은 주어진 마방진이 특정 면에 나타나도록 구성할 수 있다. 대표적인 예시로 뒤러 마방진이나 가우디의 마방진을 기반으로 한 입체마방진이 있다.
4. 1. 뒤러 마방진 기반 입체마방진
입체마방진은 주어진 마방진이 한 면에 나타나도록 구성될 수 있다. 뒤러 마방진을 이용한 입체마방진 예시는 [http://sites.google.com/site/aliskalligvaen/home-page/-magic-cube-with-duerer-s-square 여기]에서 확인할 수 있다.4. 2. 가우디 마방진 기반 입체마방진
입체마방진은 주어진 마방진이 한 면에 나타나도록 구성될 수 있으며, 가우디의 마방진을 이용한 입체마방진도 이러한 방식으로 만들어질 수 있다. 가우디의 마방진을 이용한 입체마방진 보기5. 추가 내용
(내용 없음)
참조
[1]
웹사이트
Magic Cube
http://mathworld.wol[...]
2016-12-04
[2]
웹사이트
Magic Cube
https://archive.lib.[...]
2021-04-20
[3]
간행물
Multimagic squares, cubes and hypercubes
Radboud University
2004-09-01
[4]
간행물
Multimagic cubes
http://www.multimagi[...]
2020-06-05
[5]
웹인용
Magic Cube
http://mathworld.wol[...]
[6]
웹인용
Magic Cubes Index Page
http://www.magic-squ[...]
2016-12-04
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