자기양자수

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1. 개요
2. 슈뢰딩거 방정식과 자기 양자수
- 2.1. 양자수 간의 관계
3. 각운동량과 자기 양자수
- 3.1. 불확정성 원리
4. 자기장 속에서의 자기 양자수
참조

1. 개요

자기 양자수는 슈뢰딩거 방정식을 통해 얻어지며, 원자 내 전자의 파동 함수를 설명하는 데 사용되는 양자수 중 하나이다. 자기 양자수는 방위 양자수와 연관되어 있으며, -l부터 +l까지의 정수 값을 가지며, 각 방위 양자수에 대해 2l+1개의 자기 양자수가 존재한다. 자기 양자수는 각운동량의 투영을 나타내며, 자기장이 있을 때 전자의 에너지에 영향을 미치며, 제만 효과를 결정한다. 한국에서도 자기 양자수 및 양자역학 관련 연구가 활발히 진행되고 있다.

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자기양자수
양자수
이름	자기 양자수
기호	m_l, m
관련된 물리량	각운동량
정의	축을 따른 각운동량
값	정수: m_l = -l, -(l-1), ..., 0, ..., (l-1), l
각운동량과의 관계	L_z = m_lħ

2. 슈뢰딩거 방정식과 자기 양자수

원자 내에는 여러 양자수가 존재한다. 그 중 네 가지 양자수 $n$ , $\ell$ , $m_l$ , $m_s$ 는 원자 내 단일 전자의 완전한 양자 상태를 나타내며, 이를 파동 함수 또는 오비탈이라고 부른다. 전자 하나를 가진 원자의 파동 함수에 대한 슈뢰딩거 방정식은 분리 가능한 편미분 방정식으로, 구면 좌표계에서 파동 함수를 반경, 극각, 방위각 함수의 곱으로 분해할 수 있다.^[4]^[5]

: $\psi(r,\theta,\phi) = R(r)P(\theta)F(\phi)$

방위각 함수 $F$ 에 대한 미분 방정식은 $F(\phi) = A e ^{\lambda\phi}$ 형태로 풀 수 있다. 여기서 방위각 $\phi$ 의 값이 2 $\pi$ 라디안(360도) 차이가 날 때 공간에서 같은 위치를 나타내므로, $F$ 의 크기는 $\phi$ 에 따라 무한히 커지지 않는다. 따라서 계수 $\lambda$ 는 $i$ 의 정수배( $\lambda = i m_l$ )가 되어야 하며,^[6] 이 정수 $m_l$ 이 바로 자기 양자수이다.

2. 1. 양자수 간의 관계

자기 양자수(

m_l

)는 방위 양자수(ℓ)에 의해 결정된다.

m_l

는 -ℓ부터 +ℓ까지의 정수값을 가진다.^[6] 예를 들어, ℓ = 0 (s 오비탈)이면,

m_l

= 0 이고, ℓ = 1 (p 오비탈)이면,

m_l

= -1, 0, +1 이 된다. 각 방위 양자수에 대해 가능한 자기 양자수의 개수는 2ℓ+1개이다.^[7]

오비탈	값	$m_l$ 에 대한 값의 수^[7]	부껍질당 전자 수
s	$\ell=0,\quad m_l=0$	1	2
p	$\ell=1,\quad m_l=-1,0,+1$	3	6
d	$\ell=2,\quad m_l=-2,-1,0,+1,+2$	5	10
f	$\ell=3,\quad m_l = -3,-2,-1,0,+1,+2,+3$	7	14
g	$\ell=4,\quad m_l = -4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4$	9	18

위 표는 각 방위 양자수(ℓ)에 따른 자기 양자수( $m_l$ )의 값과 그에 따른 부껍질당 전자 수를 나타낸다.

3. 각운동량과 자기 양자수

자기 양자수는 양자화 축(z축) 방향으로 투영된 각운동량의 크기를 나타낸다. z축 방향 각운동량( $L_z$ )은 자기 양자수와 디랙 상수의 곱으로 표현된다( $L_z = m_l \hbar$ ).^[7] 총 궤도 각운동량의 크기는 방위 양자수와 관련되어 있으며, 슈테른-게를라흐 실험을 통해 이러한 특성이 증명되었다.^[8]

3. 1. 불확정성 원리

양자화 축이라고 불리는 임의로 선택된 방향으로의 각운동량 투영을 나타내는 양자수

m_l

에 대해,

z

방향의 각운동량 크기인

L_z

는 다음 공식으로 주어진다.^[7]

:

L_z = m_l \hbar

.

원자 전자의 총 궤도 각운동량

\mathbf{L}

의 구성 요소는 그 크기가 부껍질의 방위 양자수

\ell

과 다음 방정식에 의해 관련된다.

:

L = \hbar \sqrt{\ell (\ell + 1)}

,

여기서

\hbar

는 디랙 상수이다.

\ell = 0

일 때

L = 0

이고, 높은

\ell

에 대해

L = \left( \ell + \tfrac{1}{2} \right) \hbar

에 근사한다. 양자역학의 불확정성 원리에 따라 세 축 모두에서 전자의 각운동량을 동시에 측정하는 것은 불가능하다. 이러한 특성은 오토 슈테른과 발터 게를라흐에 의한 슈테른-게를라흐 실험에서 처음으로 입증되었다.^[8]

4. 자기장 속에서의 자기 양자수

자기 양자수 $m_l$ 는 대략적으로 각운동량 벡터의 방향을 나타낸다. 자기 양자수는 자기장이 있을 때만 전자의 에너지에 영향을 미친다. 자기장이 없을 때는, 서로 다른 임의의 $m_l$ 값에 해당하는 모든 구면 조화 함수가 동일하기 때문이다. 자기 양자수는 외부 자기장으로 인한 원자 궤도의 에너지 변화를 결정한다 (제만 효과). 따라서 '자기' 양자수라는 이름이 붙었다. 그러나, 원자 궤도 내 전자의 실제 자기 쌍극자 모멘트는 전자의 각운동량뿐만 아니라, 스핀 양자수로 표현되는 전자의 스핀으로부터 발생한다.

각 전자는 자기장 내에서 자기 모멘트를 가지므로, 벡터 $\mathbf{L}$ 을 자기장과 평행하게 만들려는 토크를 받게 되는데, 이는 라모 세차 운동으로 알려진 현상이다.

참조

_[1] 웹사이트 Atomic Spectroscopy - A Compendium of Basic Ideas, Notation, Data, and Formulas https://www.nist.gov[...] NIST 2019
_[2] 서적 Quanta: A Handbook of Concepts Oxford University Press, USA 1991
_[3] 서적 Introduction to quantum mechanics Pearson Prentice Hall 2005
_[4] 웹사이트 Helium atom http://farside.ph.ut[...] 2010-07-20
_[5] 웹사이트 Hydrogen Schrodinger Equation http://hyperphysics.[...]
_[6] 웹사이트 Hydrogen Schrodinger Equation http://hyperphysics.[...]
_[7] 서적 Molecular Spectra and Molecular Structure D van Nostrand Company 1950
_[8] 웹사이트 Spectroscopy: angular momentum quantum number http://www.britannic[...] Encyclopædia Britannica

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