자유 아벨 군

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1. 개요

자유 아벨 군은 기저를 갖는 아벨 군으로, 여러 가지 정의와 동치 조건을 가진다. 아벨 군 A의 부분 집합 B가 기저가 되기 위한 조건은 임의의 원소 a가 B의 유한 부분 집합 S와 정수 계수의 선형 결합으로 유일하게 표현되거나, B에서 다른 아벨 군 C로 가는 함수 f에 대해 A에서 C로 가는 유일한 군 준동형이 존재한다는 것이다. 아벨 군 A가 자유 아벨 군이 되기 위한 조건은 기저를 갖거나, A가 정수들의 직합과 동형이거나, 정수환의 자유 가군이거나, 특정 형태의 군 표시를 갖는 것이다. 자유 아벨 군의 기저의 크기는 같으며, 이를 계수라고 하며, 이는 벡터 공간의 차원에 대응된다. 자유 아벨 군은 정수의 덧셈군, 정수 격자, 다항식 덧셈군, 유리수 곱셈군 등 다양한 예시를 가지며, 직합, 정수 값 함수, 형식 합, 군 표현을 통해 구성될 수 있다. 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이며, 두 자유 아벨 군은 계수가 같을 때에만 동형이다. 자유 아벨 군은 대수적 위상수학, 대수 기하학, 복소해석학, 군환 등 다양한 분야에서 응용된다.

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자유 아벨 군
정의
설명	자유 아벨 군은 군 연산이 가환인 자유군이다.
성질	유한 생성 자유 아벨 군은 정수환 위의 유한 생성 자유 가군과 같다.
형식적 정의
정의	집합 위의 자유 아벨 군은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 아벨 군 이다.
보편 성질	임의의 아벨 군 와 함수 : → 에 대하여, 군 준동형 : → 가 유일하게 존재하여, ∘ = 가 성립한다. 여기서 : → 는 포함 사상이다.
범주론적 정의	자유 아벨 군은 집합 범주에서 아벨 군 범주로 가는 자유 함자의 상이다.
구성
집합 위의 자유 아벨 군	기저 를 갖는 자유 아벨 군은 기저 에 의하여 생성되는 자유 가군, 즉 정수 계수 가군 ^(B)이다.
표현	의 원소에 계수를 곱한 꼴의 모든 형식적인 유한 합 ab}}들의 집합으로 구성되며, 여기서 각 }}는 정수이고 각 }}는 의 원소이다.
연산	두 형식적인 합의 덧셈은 단순히 그 합들을 형식적인 합으로 합치는 것으로 정의된다.
영원	영원은 계수가 모두 인 형식적인 합이다.
역원	형식적인 합 ab}}의 역원은 형식적인 합 (−a)b}}이다.
가환군	이 군은 가환군이다.
성질
랭크	자유 아벨 군의 랭크는 그 기저의 크기이며, 이는 자유 아벨 군을 유일하게 결정한다.
유일성	즉, 두 자유 아벨 군이 서로 동형일 필요충분조건은 그 랭크가 같은 것이다.
정수 계수 가군	모든 정수 계수 가군은 자유 아벨 군의 몫군과 동형이다.
사영 가군	아벨 군은 사영 가군일 필요충분조건은 자유 아벨 군인 것이다.
완전 가법성	자유 아벨 군은 완전 가법군이다.
예시
정수	정수들의 덧셈군 는 랭크 의 자유 아벨 군이다.
자유 아벨 군	모든 자유 아벨 군은 어떤 집합 에 대하여 ^(B)와 동형이다.
유한 생성 아벨 군	모든 유한 생성 아벨 군은 어떤 음이 아닌 정수 과 양의 정수 }}, …, }}에 대하여 ⁿ × Z/}}Z × ⋯ × Z/}}Z와 동형이다.
관련 개념
자유군	자유군은 군 연산이 가환일 필요가 없는 군이다.
아벨화	임의의 군의 아벨화는 그 군의 몫군으로서, 아벨 군을 이룬다.
참고 문헌
참고 문헌	(영어) Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). _Abstract Algebra_ (영어) (3판). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-43334-7. MR 2286236. Zbl 1037.00003. (영어) Lang, Serge (2002). _Algebra_. Graduate Texts in Mathematics (영어). 211 (Revised third edition). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556. Zbl 0984.00001.
외부 링크
외부 링크	Free Abelian Group - PlanetMath (영어) Definition:Free Abelian Group - ProofWiki (영어) Free Abelian Group - Wolfram MathWorld (영어)

2. 정의

아벨 군 $A$의 '''기저'''는 다음 두 조건을 만족하는 부분집합 $B$이다.

$A$의 모든 원소 $a$는 $B$의 유한 부분집합 원소들의 정수 계수 선형 결합으로 유일하게 표현된다. 즉, $a = \sum_{b\in S}n_bb$ 를 만족하는 유한 집합 $S\subset B$와 정수 $n_b\in\mathbb Z$가 유일하게 존재한다.
임의의 아벨 군 $C$와 함수 $f\colon B\to C$에 대해, $B$ 위에서 $f$와 일치하는 유일한 군 준동형 $\phi\colon A\to C$가 존재한다. 즉, $\phi|_B=f$이다.

'''자유 아벨 군'''은 기저를 갖는 아벨 군으로, 다음 조건 중 하나를 만족하는 아벨 군이다.

$A$는 하나 이상의 기저를 갖는다.
$A$는 정수들의 직합 $\mathbb Z^{\oplus\kappa}$과 동형이다. ($\kappa$는 기수)
$A$는 정수환의 자유 가군이다.
$A$는 $\langle b_i\;(i\in I)|b_ib_j=b_jb_i\forall i,j\in I\rangle$ 꼴의 표시를 갖는다. ($I$는 임의의 집합)

자유 아벨 군의 모든 기저의 크기는 같으며, 이 기수를 '''계수'''(rank^영어})라 부른다. 이는 벡터 공간의 차원과 유사한 개념이다.

자유 아벨 군은 다음의 성질을 만족하는 아벨 군이다.^[41]

이항 연산: 집합 $S$와 $+$ 기호로 표시되는 이항 연산(반드시 숫자의 덧셈일 필요는 없음)이 주어진다.
교환 법칙과 결합 법칙: $S$의 모든 원소 $x$, $y$, $z$에 대해 $x+y=y+x$이고 $(x+y)+z=x+(y+z)$이다.
항등원: 모든 원소 $x$에 대해 $x+0=0+x=x$인 항등원 $0$이 $S$에 존재한다.
역원: $S$의 모든 원소 $x$는 $x+(-x)=0$을 만족하는 역원 $-x$를 갖는다.

기저는 $S$의 부분집합 $B$이며, $S$의 모든 원소는 유한 개의 기저 원소 $b_i$와 0이 아닌 정수 $k_i$에 대해, $k_i$가 양수이면 $b_i$를 $k_i$번 더하고, 음수이면 $b_i$의 역원을 $-k_i$번 더하는 방식으로 유일하게 표현된다.^[41] 항등원은 항상 0개의 기저 원소의 조합(빈 합)으로 표현되며, 다른 조합으로는 표현될 수 없다.

2. 1. 기저의 조건

아벨 군

A

의 부분 집합

B\subset A

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족하는 집합

B

를

A

의 '''기저'''라고 한다.

임의의 $a\in A$ 에 대하여, $a=\sum_{b\in S}n_bb$ 인 유한 집합 $S\subset B$ 및 정수 $n_b\in\mathbb Z$ 가 유일하게 존재한다.
임의의 아벨 군 $C$ 및 함수 $f\colon B\to C$ 에 대하여, $\phi|_B=f$ 인 유일한 군 준동형 $\phi\colon A\to C$ 가 존재한다.

이는

S

의 모든 원소가 유한하게 많은 기저 원소

b_i

를 선택하고, 각 선택된 기저 원소에 대해 0이 아닌 정수

k_i

를 선택하고,

k_i

가 양수인 경우 기저 원소

b_i

의

k_i

복사본을 더하고,

k_i

가 음수인 경우 각 기저 원소에 대해

-k_i

복사본을 더하는 고유한 방식으로 형성될 수 있는 속성을 갖는다는 것을 의미한다.^[41] 특별한 경우로, 항등원은 항상 빈 합에 대한 일반적인 규칙에 따라 0개의 기저 원소의 조합으로 형성될 수 있으며, 항등원을 나타내는 다른 조합을 찾을 수 없어야 한다.

예를 들어 일반적인 덧셈 연산 하의 정수

\mathbb{Z}

는 기저

\{1\}

을 갖는 자유 아벨 군을 형성한다.^[41] 정수는 교환 법칙과 결합 법칙을 만족하고, 0을 덧셈 항등원으로 가지며, 각 정수는 덧셈 역원인 그 자신의 음수를 갖는다. 각 비음수

x

는

1

의

x

복사본의 합이고, 각 음수 정수

x

는

-1

의

-x

복사본의 합이므로, 기저 속성이 만족된다.

정수 데카르트 좌표를 가진 평면의 점으로 구성된 2차원 정수 격자

\mathbb Z^2

는 벡터 덧셈 하에서 기저

\{(1,0),(0,1)\}

을 갖는 자유 아벨 군을 형성한다.^[41] 이 기저에 대해, 원소

(4,3)

은

(4,3) = 4 \cdot (1,0) + 3 \cdot (0,1)

로 쓸 수 있으며, 여기서 '곱셈'은 예를 들어

4 \cdot (1,0) := (1,0) + (1,0) + (1,0) + (1,0)

과 같이 정의된다. 이 기저에서

(4,3)

을 쓸 수 있는 다른 방법은 없다. 그러나

\{(1,0),(1,1)\}

과 같은 다른 기저를 사용하면

(4,3) = (1,0) + 3\cdot (1,1)

로 쓸 수 있다.

유클리드 평면의 격자. 두 개의 파란색 격자점을 더하면 다른 격자점이 생성된다. 이 덧셈 연산으로 형성된 그룹은 자유 아벨 군이다.

일반적으로, 모든 격자는 유한 생성 아벨 군을 형성한다.^[42]

d

차원 정수 격자

\mathbb Z^d

는

d

개의 단위 벡터로 구성된 자연적인 기저를 가지지만, 다른 많은 기저도 있다.

M

이 행렬식이

\pm 1

인

d\times d

정수 행렬이면,

M

의 행은 기저를 형성하고, 역으로 정수 격자의 모든 기저는 이 형식을 갖는다.^[43]

2. 2. 자유 아벨 군의 정의

아벨 군 $A$의 부분 집합 $B\subset A$에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 $A$의 '''기저'''(基底, basis^영어)라고 한다.

임의의 $a\in A$에 대하여, $a=\sum_{b\in S}n_bb$인 유한 집합 $S\subset B$ 및 정수 $n_b\in\mathbb Z$가 유일하게 존재한다.
임의의 아벨 군 $C$ 및 함수 $f\colon B\to C$에 대하여, $\phi|_B=f$인 유일한 군 준동형 $\phi\colon A\to C$가 존재한다.

아벨 군 $A$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아벨 군을 '''자유 아벨 군'''이라고 한다.

$A$는 하나 이상의 기저를 갖는다.
$A\cong\mathbb Z^{\oplus\kappa}$인 기수 $\kappa$가 존재한다. 여기서 $\mathbb Z^{\oplus\kappa}$는 $\kappa$개의 $\mathbb Z$들의 직합이다.
$A$는 정수환의 자유 가군이다.
$A$는 $\langle b_i\;(i\in I)|b_ib_j=b_jb_i\forall i,j\in I\rangle$의 꼴의 표시를 갖는다. 여기서 $I$는 임의의 집합이다.

자유 아벨 군은 기저를 갖는 아벨 군이다.^[41] 여기서 아벨 군은 원소의 집합 $S$와 $+$ 기호로 표시되는 이항 연산(숫자와 같은 통상적인 덧셈일 필요는 없다)에 의해 설명되며, 다음 속성을 따른다.

연산 $+$는 교환 법칙과 결합 법칙을 가지며, 이는 $S$의 모든 원소 $x$, $y$, $z$에 대해 $x+y=y+x$이고 $(x+y)+z=x+(y+z)$임을 의미한다. 따라서 이 연산을 사용하여 $S$의 두 개 이상의 원소를 결합할 때, 원소의 순서와 묶음은 결과에 영향을 미치지 않는다.
$S$는 모든 원소 $x$에 대해 $x+0=0+x=x$의 속성을 가진 항등원(통상적으로 $0$으로 표시)을 포함한다.
$S$의 모든 원소 $x$는 $x+(-x)=0$을 만족하는 역원 $-x$를 갖는다.

기저는 $S$의 원소의 부분 집합 $B$로, $S$의 모든 원소가 유한하게 많은 기저 원소 $b_i$를 선택하고, 각 선택된 기저 원소에 대해 0이 아닌 정수 $k_i$를 선택하고, $k_i$가 양수인 경우 기저 원소 $b_i$의 $k_i$ 복사본을 더하고, $k_i$가 음수인 경우 각 기저 원소에 대해 $-k_i$ 복사본을 더하는 고유한 방식으로 형성될 수 있는 속성을 갖는다.^[41] 특별한 경우로, 항등원은 항상 빈 합에 대한 일반적인 규칙에 따라 0개의 기저 원소의 조합으로 형성될 수 있으며, 항등원을 나타내는 다른 조합을 찾을 수 없어야 한다.

$F$가 기저 $B$를 갖는 자유 아벨 군이면, 다음과 같은 보편성 (universal property)이 성립한다.

; 자유 아벨 군의 보편성: $B$에서 아벨 군 $A$로의 모든 임의의 함수 $f$에 대해, $f$의 확장인 $F$에서 $A$로의 유일한 군 준동형이 존재한다.^[45]

보편성의 일반적인 성질에 따라, 기저 $B$를 갖는 아벨 군은 동형을 제외하고 유일하다는 것을 이 사실이 보여준다. 이로 인해 보편성을 기저 $B$의 자유 아벨 군의 정의로 사용할 수 있으며, 모든 다른 정의가 동치임을 보여준다.^[50]

2. 3. 계수 (Rank)

자유 아벨 군의 모든 기저(basis)는 같은 크기를 가지며, 이 기수를 자유 아벨 군의 '''계수'''(rank^영어})라고 한다. 이는 벡터 공간의 차원에 대응되는 개념이다.^[61]

같은 자유 아벨 군의 두 기저는 같은 기수를 가지므로, 기저의 기수는 해당 군의 불변량을 형성하며 이를 계수라고 한다.^[73] 두 자유 아벨 군은 계수가 같을 때에만 서로 동형이다.^[61] 자유 아벨 군은 계수가 유한한 수 ''n''일 때에만 유한 생성되며, 이 경우 군은

\mathbb{Z}^n

과 동형이다.^[42]

정수 데카르트 좌표를 가진 평면의 점으로 구성된 2차원 정수 격자는 벡터 덧셈 하에서 기저 { (1,0), (0,1) }을 갖는 자유 아벨 군을 형성한다.^[41] 이 기저에 대해, 원소 (4,3)은 4 · (1,0) + 3 · (0,1)로 쓸 수 있으며, 여기서 '곱셈'은 예를 들어 4 · (1,0) := (1,0) + (1,0) + (1,0) + (1,0)과 같이 정의된다. 이 기저에서 (4,3)을 쓸 수 있는 다른 방법은 없다. 그러나 { (1,0), (1,1) }와 같은 다른 기저를 사용하면 (4,3) = (1,0) + 3 · (1,1)로 쓸 수 있다.

차원의 정수 격자는 개의 단위 벡터로 이루어진 자연 기저를 갖지만, 다른 기저도 많이 갖는다. 이 정수 행렬이고 행렬식이 ±1이면, 의 열은 기저를 이루고, 반대로 정수 격자의 모든 기저는 이 형태이다.^[43]

이러한 계수의 개념은 자유 아벨 군에서 반드시 자유일 필요는 없는 아벨 군으로 일반화될 수 있다. 아벨 군 ''G''의 계수는 몫군 ''G''/''F''가 꼬임군인 ''G''의 자유 아벨 부분군 ''F''의 계수로 정의된다. 동치이지만, 그것은 자유 부분군을 생성하는 ''G''의 극대 부분집합의 농도이다. 다시 한번, 이것은 군의 불변량이다. 즉, 부분군의 선택에 의존하지 않는다.^[62]

3. 성질

자유 아벨 군은 다음과 같은 중요한 성질들을 갖는다.

부분군: 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이다. 이는 리하르트 데데킨트가 증명하였다.^[63]
직합: 임의의 개수의 자유 아벨 군들의 직합은 자유 아벨 군이다.
직접곱: 유한 개의 자유 아벨 군들의 직접곱은 (직합과 같으므로) 자유 아벨 군이다. 그러나 무한 개의 자유 아벨 군의 경우에는 성립하지 않는다.
텐서곱: 유한 개의 자유 아벨 군들의 텐서곱은 자유 아벨 군이다.

임의의 두 자유 아벨 군에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동형이다.

서로 동형이다.
계수가 (기수로서) 같다.

계수가 2 이상인 자유 아벨 군은 자유군이 아니다.

군의 직적은 각 군의 원소들의 튜플로 구성되며, 성분별 덧셈을 사용한다. 두 자유 아벨 군의 직적은 그 자체가 자유 아벨 군이며, 두 군의 기저의 서로소 합집합을 기저로 가진다.^[44] 더 일반적으로, 유한 개의 자유 아벨 군의 직적은 자유 아벨 군이다. 예를 들어,

d

-차원 정수 격자는

d

개의 정수 군

\Z

의 복사본의 직적과 동형이다. 자명한 군

\{0\}

역시 자유 아벨 군으로 간주되며, 기저는 공집합이다.^[45] 이는 빈 곱, 즉 0개의

\Z

의 복사본의 직적으로 해석될 수 있다.

무한 개의 자유 아벨 군의 직적은 자유 아벨 군이 아닐 수 있다.^[44] 예를 들어, 베어-슈페커 군은 비가산 무한 군으로, 가산 무한 개의

\mathbb{Z}

의 복사본의 직적으로 형성되는데, 1937년 라인홀트 베어에 의해 자유 아벨 군이 아님이 증명되었다.^[46]

모든 자유 아벨 군은

\mathbb{Z}

의 복사본들의 직합으로 표현될 수 있으며, 각 복사본은 기저의 각 원소에 해당한다.^[49]^[66] 이 구성을 통해 모든 집합

B

는 자유 아벨 군의 기저가 될 수 있다.^[50]

주어진 집합

B

에 대해, 원소가 정수 값을 갖는 함수를

\mathbb{Z}^{(B)}

로 정의할 수 있으며, 여기서 위첨자의 괄호는 0이 아닌 유한 개의 값만 갖는 함수만 포함한다는 것을 나타낸다. 만약

f(x)

와

g(x)

가 이러한 두 함수라면,

f+g

는

f

와

g

의 값의 합인 함수이다. 즉,

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

이다. 이 점별 덧셈 연산은

\mathbb{Z}^{(B)}

에 아벨 군의 구조를 부여한다.

주어진 집합

B

의 각 원소

x

는

e_x(x)=1

이고, 모든

y\ne x

에 대해

e_x(y)=0

인 함수

e_x

인

\mathbb{Z}^{(B)}

의 한 멤버에 해당한다.

\mathbb{Z}^{(B)}

의 모든 함수

f

는 유한 개의 기저 원소의 선형 결합으로 유일하게 표현된다.

:

f=\sum_{\{x\mid f(x)\ne 0\}} f(x) e_x.

따라서 이러한 원소

e_x

는

\mathbb{Z}^{(B)}

의 기저를 형성하며,

\mathbb{Z}^{(B)}

는 자유 아벨 군이다. 이러한 방식으로 모든 집합

B

는 자유 아벨 군의 기저로 만들 수 있다.^[50]

\mathbb{Z}^{(B)}

의 원소는 '''형식적 합'''으로 쓸 수 있으며, 각 항이 0이 아닌 정수와

B

의 서로 다른 원소의 곱으로 쓰여진 유한 개의 항의 합 형태이다. 이러한 표현식은 항의 순서에 관계없이 동일한 항을 가질 때 동일한 것으로 간주되며, 항의 합집합을 형성하고, 동일한 기저 원소를 가진 항을 결합하기 위해 정수 계수를 더하고, 이 결합이 0의 계수를 생성하는 항을 제거하여 더할 수 있다. 또한 유한 개

B

원소의 부호가 있는 멀티셋으로 해석할 수도 있다.

군의 표현은 군을 생성하는 원소의 집합과, 항등원을 주는 생성자의 곱인 "관계자"의 집합으로 구성된다. 기저

B

를 갖는 자유 아벨 군은 생성자가

B

의 원소이고, 관계자가

B

원소 쌍의 교환자인 표현을 갖는다. 여기서 두 원소

x

와

y

의 교환자는 곱

x^{-1}y^{-1}xy

이다. 이 곱을 항등원으로 설정하면

xy

가

yx

와 같아져

x

와

y

가 교환된다. 모든 생성자 쌍이 교환하면, 생성자의 모든 곱의 쌍도 교환한다. 따라서 이 표현에 의해 생성된 군은 아벨 군이며, 표현의 관계자는 그것이 아벨 군임을 보장하는 데 필요한 최소한의 관계자 집합을 형성한다.^[54]

생성자 집합이 유한하면, 자유 아벨 군의 표현도 유한하다. 이 사실과 자유 아벨 군의 모든 부분군이 자유 아벨 군이라는 사실을 함께 사용하면, 모든 유한 생성 아벨 군이 유한하게 표현될 수 있음을 증명할 수 있다.

3. 1. 부분군

자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이다. 이는 리하르트 데데킨트가 증명하였다.^[63] 이 결과는 모든 자유군의 부분군이 자유군이라는 닐센-슈라이어 정리의 전조이며, 무한 순환군의 모든 비자명 부분군은 무한 순환군이다라는 사실의 일반화이다.

이 증명에는 선택 공리가 필요하다.^[64] 존의 보조정리(선택 공리와 동등한 가정 중 하나)를 사용한 증명은 세르주 랭의 ''대수학''에서 찾아볼 수 있다.^[65] 솔로몬 레프셰츠와 어빙 카플란스키는 존의 보조정리 대신 정렬 원리를 사용하면 더 직관적인 증명이 가능하다고 주장한다.^[66]

유한 생성 자유 아벨 군의 경우, 증명은 더 쉽고 선택 공리를 필요로 하지 않으며, 더 정확한 결과를 얻을 수 있다. 만약

G

가 유한 생성 자유 아벨 군

F

의 부분군이면,

G

는 자유군이며

F

의 기저

(e_1, \ldots, e_n)

와

d_1|d_2|\ldots|d_k

(즉, 각 숫자가 다음 숫자를 나눈다)인 양의 정수들이 존재하여

(d_1e_1,\ldots, d_ke_k)

가

G

의 기저가 된다. 게다가, 수열

d_1,d_2,\ldots,d_k

는 기저에 의존하지 않고

F

와

G

에만 의존한다.^[67] 이 정리의 존재 부분에 대한 구성적 증명은 정수 행렬의 스미스 정규형을 계산하는 모든 알고리즘에 의해 제공된다.^[68] 유일성은 임의의

r\le k

에 대해, 행렬의 랭크

r

소행렬식들의 최대공약수가 스미스 정규형 계산 중에 변경되지 않으며, 계산 종료 시 곱

d_1\cdots d_r

이 된다는 사실에서 비롯된다.^[69]

3. 2. 직합과 직접곱

자유 아벨 군의 직합은 자유 아벨 군이다. 유한 개의 자유 아벨 군의 직접곱은 직합과 같으므로 자유 아벨 군이다. 그러나 무한 개의 자유 아벨 군의 경우 이는 성립하지 않는다.^[44] 예를 들어, 베어–스페커 군

\mathbb{Z}^\mathbb{N}

은 비가산 무한 군으로, 가산 무한 개의

\mathbb{Z}

의 복사본의 직적으로 구성되는데, 1937년 라인홀트 베어에 의해 자유 아벨 군이 아님이 증명되었다.^[46] 에른스트 슈페커는 1950년에

\mathbb{Z}^\mathbb{N}

의 모든 가산 부분군은 자유 아벨 군임을 증명했다.^[47] 무한 개의 자유 아벨 군으로부터 자유 아벨 군을 얻기 위해서는 군의 직합을 사용해야 한다. 직합은 유한 개의 군에서는 직적과 동일하지만, 무한 개의 군에서는 다르다. 직합의 원소는 각 군의 원소들의 튜플이지만, 유한 개를 제외한 모든 원소가 해당 군의 항등원이라는 제약이 있다. 무한 개의 자유 아벨 군의 직합은 여전히 자유 아벨 군이며, 기저는 모든 원소가 항등원이고 한 원소만 해당 군의 기저의 일부인 튜플로 구성된다.^[44]

3. 3. 텐서곱

유한 개의 자유 아벨 군들의 텐서곱은 자유 아벨 군이다.

3. 4. 동형 조건

임의의 두 자유 아벨 군에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

서로 동형이다.
계수가 (기수로서) 같다.

같은 자유 아벨 군의 두 기저는 같은 기수를 가지므로, 기수의 기수는 해당 군의 불변량을 형성하며 이를 계수라고 한다. 두 자유 아벨 군은 계수가 같을 때에만 서로 동형이다.^[1] 자유 아벨 군은 계수가 유한한 수

n

일 때에만 유한 생성되며, 이 경우 군은

\mathbb{Z}^n

과 동형이다.^[2]

3. 5. 베어-슈페커 군 (Baer-Specker Group)

'''베어-슈페커 군'''(Baer–Specker group^영어)

\mathbb Z^{\times\aleph_0}

은 가산 무한 개의 무한 순환군들의 직접곱으로, 자유 아벨 군이 아니다.^[46] 그러나 이 군의 모든 가산 부분군은 자유 아벨 군이다.^[47] 예를 들어

\mathbb{Z}^\mathbb{N}

(

\mathbb{Z}

의 가산 개의 복사본의 직적으로 구성되는 비가산군)은 1937년 라인홀트 베어에 의해 자유 아벨 군이 아님이 증명되었고, 에른스트 스페커는 1950년에

\mathbb{Z}^\mathbb{N}

의 모든 가산 부분군은 자유 아벨 군임을 증명했다.

4. 예시

자명군은 자명하게 계수가 0인 자유 아벨 군을 이룬다.

베어-슈페커 군(Baer–Specker群, Baer–Specker group^영어) $\mathbb Z^{\times\aleph_0}$ (즉, 가산 무한 개의 무한 순환군들의 직접곱)은 자유 아벨 군이 아니다. 그러나 이 군의 모든 가산 부분군은 자유 아벨 군이다.

정수 계수를 갖는 단일 변수 $x$ 의 다항식은 다항식 덧셈 하에서 자유 아벨 군을 형성하며, $x$ 의 거듭제곱을 기저로 한다. 이는 추상적으로 양의 유리수의 곱셈 그룹과 군 동형 사상(동형)이다. 예를 들어 유리수 $5/27$ 은 처음 세 개의 소수 $2, 3, 5$ 에 대해 $0, -3, 1$ 의 지수를 가지며, 이는 다항식 $-3x+x^2$ 에 해당한다. 이러한 매핑은 두 그룹의 원소 사이에 전단사를 정의하고, 그룹 구조를 보존하는 준동형 사상이므로 동형 사상이다.^[3]

주어진 기저에 따른 각 그룹 원소의 표현은 고유하지만, 자유 아벨 군은 일반적으로 둘 이상의 기저를 가질 수 있으며, 서로 다른 기저는 일반적으로 원소의 서로 다른 표현을 초래한다. 예를 들어, 기저의 임의의 원소를 그 역원으로 대체하면 다른 기저를 얻는다.

대수적 위상수학에서 사슬은 단순체의 형식 합이며, 사슬군은 원소가 사슬인 자유 아벨 군이다.^[52] 대수 기하학에서, 리만 곡면의 인자는 곡면의 점의 형식 합으로 이루어진 비가산 자유 아벨 군이다.^[53]

4. 1. 정수 덧셈군

정수의 덧셈군

(\mathbb Z,+)

은 계수가 1인 자유 아벨 군이다. 일반적인 덧셈 연산 하의 정수는 기저

\{1\}

을 갖는 자유 아벨 군을 형성한다. 정수는 교환적이고 결합적이며, 0을 덧셈 항등원으로 갖고, 각 정수는 덧셈 역원인 그 자신의 음수를 갖는다. 각 비음수

x

는

1

의

x

복사본의 합이고, 각 음수 정수

x

는

-1

의

-x

복사본의 합이므로 기저 속성 또한 만족된다.

4. 2. 정수 격자 (Integer Lattice)

정수 격자(integer lattice)는 데카르트 좌표가 정수인 평면상의 점들로, 벡터 덧셈(vector addition) 하에서 자유 아벨 군을 이룬다.^[41]

\Z^2

는 기저 을 갖는다. 원소

(4,3)

은

(4,3) = 4 \cdot (1,0) + 3 \cdot (0,1)

로 표현 가능하며, 여기서 '곱셈'은

4 \cdot (1,0) := (1,0) + (1,0) + (1,0) + (1,0)

과 같이 정의된다. 이 기저에서는

(4,3)

을 표현하는 다른 방법은 없다. 그러나 같은 다른 기저를 사용하면,

f_1 = (1,0)

,

f_2 = (1,1)

일 때,

(4,3) = f_1 + 3 f_2

로 쓸 수 있다.

일반적으로 모든 격자는 유한 생성 아벨 군이며 자유 아벨 군이다.^[42]

d

차원 정수 격자

\Z^d

는

d

개의 단위 벡터로 구성된 자연 기저를 갖지만, 다른 기저도 많다.

M

이 행렬식이

\pm 1

인

d\times d

정수 행렬이면,

M

의 행은 기저를 형성하고, 반대로 정수 격자의 모든 기저는 이 형식을 갖는다.^[43] 2차원의 경우에 대해 더 자세한 내용은 기본 주기 쌍을 참조하라.

4. 3. 유리수 곱셈군

소수를 기저로 하는 양의 유리수의 곱셈 연산은 자유 아벨 군을 형성한다.^[4] 곱셈은 교환 법칙과 결합 법칙을 만족하고, 숫자 1을 항등원으로 가지며, 모든 양의 유리수 x는 1/x를 역원으로 갖는다. 소수가 곱셈에 대한 기저를 형성한다는 것은 산술의 기본 정리에서 비롯된다. 산술의 기본 정리에 따르면, 모든 양의 정수는 유한하게 많은 소수 또는 그 역수의 곱으로 정수 분해될 수 있다.^[4]

q=a/b가 가장 간단한 형태로 표현된 양의 유리수이면, q는 a와 b의 소인수 분해에 나타나는 소수의 유한한 조합으로 표현될 수 있다. 이 조합에서 사용되는 각 소수의 복사본 수는 a의 소인수 분해에서의 지수이거나, b의 소인수 분해에서의 지수의 음수이다.^[4]

5. 구성 (Constructions)

어떤 집합 $B$ 가 주어졌을 때, 이 집합을 기저로 하는 자유 아벨 군을 구성하는 방법에는 여러 가지가 있다. 이들은 모두 동형(isomorphic)이며, 다음은 그 방법들이다.

직합(Direct Sum): 정수의 가법군 $\mathbb{Z}$ 의 복사본들의 직합으로 구성할 수 있다.
정수 값 함수(Integer Functions): 집합 $B$ 위에서 정의된, 0이 아닌 유한 개의 값을 갖는 정수 값 함수들의 집합인 $\mathbb{Z}^{(B)}$ 로 구성할 수 있다. 여기서, $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 이러한 두 함수라면, $f+g$ 는 각 점에서 $f$ 와 $g$ 값의 합을 값으로 갖는 함수이다. 즉, $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ 이다. 이러한 점별 덧셈 연산은 $\mathbb{Z}^{(B)}$ 에 아벨 군의 구조를 부여한다.^[51]
형식 합(Formal Sums): $B$ 원소들의 유한한 부호 있는 중복집합(multiset) 또는 형식 합(formal sum)으로 구성할 수 있다. 형식 합은 각 항이 0이 아닌 정수와 $B$ 의 서로 다른 원소의 곱으로 쓰여진 유한 개의 항의 합 형태의 표현식이다. 항의 순서는 상관없으며, 동일한 항을 가질 때 같은 것으로 간주된다. 항을 더할 때는 항의 합집합을 형성하고, 동일한 기저 원소를 가진 항을 결합하기 위해 정수 계수를 더하며, 이 결합이 0의 계수를 생성하는 항은 제거한다.
군 표현(Group Presentation): 군의 표현을 통해 구성할 수 있다. 기저 $B$ 를 갖는 자유 아벨 군은, $B$ 의 원소 전체를 생성원의 집합으로 하고, $B$ 원소 쌍의 교환자 전체를 기본 관계자의 집합으로 하는 표현을 갖는다. 여기서 두 원소 $x$ 와 $y$ 의 교환자는 곱 $x^{-1}y^{-1}xy$ 이다. 이 곱을 항등원으로 설정하면 $xy$ 가 $yx$ 와 같아져 $x$ 와 $y$ 가 교환됨을 의미한다.^[54]

두 자유 아벨 군의 텐서곱은 항상 곱하는 두 군의 기저의 데카르트 곱을 기저로 갖는 자유 아벨 군이 된다.^[48]

격자는 유한 생성 아벨 군이며 자유 아벨 군을 이룬다.^[42]

d

차원 정수 격자는

d

개의 단위 벡터로 이루어진 자연 기저를 갖지만, 다른 기저도 많이 갖는다.

d \times d

정수 행렬

M

의 행렬식이

\pm 1

이면,

M

의 열은 기저를 이루고, 반대로 정수 격자의 모든 기저는 이 형태이다.^[43] 2차원의 경우에 대한 더 자세한 내용은 주기의 기본 쌍(fundamental pair of periods)을 참조하라.

대수 기하학에서, 리만 곡면의 인자(유리형 함수의 영점과 극의 조합)는 비가산 자유 아벨 군을 이루며, 이는 곡면의 점들의 형식 합으로 구성된다.^[53] 대수적 위상수학에서, 사슬(chain)은 단순체의 형식 합이며, 사슬군은 원소가 사슬인 자유 아벨 군이다.^[52]

5. 1. 직합 (Direct Sum)

정수 전체는 덧셈 연산 하에서 기저 을 갖는 자유 아벨 군을 이룬다. 모든 정수 은 기저원의 정수 계수 선형 결합(구체적으로는 계수 을 갖는 결합 )이다.

두 자유 아벨 군의 직적은 그 자체로 자유 아벨 군이며, 두 군의 기저의 (집합으로서의) 직합이 기저가 된다^[44]。보다 일반적으로 자유 아벨 군의 임의의 유한 개의 직적은 자유 아벨 군이다. 예를 들어 -차원 정수 격자는 정수의 가법군 의 개의 복사본의 직적과 동형이다.

자명군 또한 공집합을 기저로 하는 자유 아벨 군으로 간주될 수 있다^[45]。이는 의 개의 복사본의 직적으로 해석할 수 있다.

자유 아벨 군의 무한족에 대해서는 그 직적(각 군에서 하나씩 원소를 가져와서 만들어지는 묶음 전체로 이루어진 족에 점별 가법을 넣은 것)은 자유 아벨 군이 아닐 수 있다^[44]。 예를 들어

\mathbb{Z}^\mathbb{N}

(

\mathbb{Z}

의 가산 개의 복사본의 직적으로서 구성되는 비가산군)은 1937년에 에 의해 자유 아벨 군이 아님이 증명되었다^[46]。

유한 개의 군의 직합은 직적과 같지만, 직합 인자가 무한 개인 경우에는 직적과 달리, 그 원소는 유한 개를 제외하고 모두가 단위 원소와 같은 각 군으로부터의 원소의 묶음으로 이루어진다. 직합 인자가 유한 개인 경우와 마찬가지로, 무한 개의 자유 아벨 군의 직합은 자유 아벨성을 유지하며, 그 기저는 직합 인자의 기저의 상호소모(의 상)에 의해 주어진다^[44]。

임의의 자유 아벨 군은, 기저의 각 원소에 대해 하나씩 의 복사본을 부여하여, 의 복사본의 직합으로 기술할 수 있다^[49]^[66]。이 구성은 임의의 집합 를 자유 아벨 군의 기저로 만드는 것을 가능하게 한다^[50]。

5. 2. 정수 값 함수 (Integer Functions)

\mathbb{Z}^{(B)}

는 주어진 집합

B

위에서 정의되며, 0이 아닌 값을 갖는 유한 개의 정수 값 함수들의 집합으로 표현할 수 있다. 만약

f(x)

와

g(x)

가 이러한 두 함수라면,

f+g

는 각 점에서

f

와

g

값의 합을 값으로 갖는 함수이다. 즉,

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

이다. 이러한 점별 덧셈 연산은

\mathbb{Z}^{(B)}

에 아벨 군의 구조를 부여한다.^[51]

주어진 집합

B

의 각 원소

x

에 대해,

e_x(x)=1

이고 모든

y\ne x

에 대해

e_x(y)=0

인 함수

e_x

는

\mathbb{Z}^{(B)}

의 한 원소에 해당한다.

\mathbb{Z}^{(B)}

의 모든 함수

f

는 유한 개의 기저 원소의 선형 결합으로 유일하게 표현된다.

:

f=\sum_{\{x\mid f(x)\ne 0\}} f(x) e_x.

따라서 이러한 원소

e_x

는

\mathbb{Z}^{(B)}

의 기저를 형성하며,

\mathbb{Z}^{(B)}

는 자유 아벨 군이다. 이러한 방식으로 모든 집합

B

는 자유 아벨 군의 기저가 될 수 있다.^[51]

5. 3. 형식 합 (Formal Sums)

\mathbb{Z}^{(B)}

의 원소는 각 항이 0이 아닌 정수와

B

의 서로 다른 원소의 곱으로 쓰여진 유한 개의 항의 합 형태의 표현식인 '''형식적 합'''(formal sum)으로 나타낼 수 있다. 이러한 표현식에서 항의 순서는 상관없으며, 동일한 항을 가질 때 같은 것으로 간주된다. 항을 더할 때는 항의 합집합을 형성하고, 동일한 기저 원소를 가진 항을 결합하기 위해 정수 계수를 더하며, 이 결합이 0의 계수를 생성하는 항은 제거한다. 또한, 형식적 합은 유한 개의

B

원소의 부호가 있는 멀티셋(중복집합)으로 해석할 수도 있다.

예를 들어, 정수 전체는 덧셈 연산 하에서 기저 을 갖는 자유 아벨 군을 이룬다. 모든 정수 은 기저 원소의 정수 계수 선형 결합(구체적으로는 계수 을 갖는 결합 )이다.

정수의 직교 좌표를 갖는 평면 상의 점으로 이루어진 2차원 정수 격자(integer lattice)는 벡터의 덧셈(vector addition) 하에서 기저 을 갖는 자유 아벨 군을 이룬다.^[41]

e_1 = (1,0)

및

e_2 = (0,1)

이라면, 원소 은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

(4,3) = 4 e_1 + 3 e_2

여기서 '스칼라 곱'은

4 e_1 := e_1 + e_1 + e_1 + e_1

로 정의된다. 이 기저에서 을 쓰는 다른 방법은 존재하지 않지만, 와 같은 다른 기저를 취하면,

f_1 = (1,0)

,

f_2 = (1,1)

라고 할 때, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

(4,3) = f_1 + 3 f_2

.

대수적 위상수학에서, 사슬(chain)은 단순체의 형식 합이며, 사슬군은 원소가 사슬인 자유 아벨 군이다.^[52]

5. 4. 군 표현 (Presentation)

모든 집합은 자유 아벨 군의 기저가 될 수 있으며, 이는 군 동형 사상까지 유일하게 결정된다. 주어진 기저 집합에 대한 자유 아벨 군은 군 제시를 포함한 여러 방법으로 구성될 수 있다.^[54]

군의 표현은 군을 생성하는 원소의 집합(임의의 원소는 생성원의 유한 개의 곱으로 쓸 수 있다)과 기본 관계자(단위원과 같아지는 생성원의 곱)의 집합으로 구성된다.^[54] 기저

B

를 갖는 자유 아벨 군은 생성자가

B

의 원소이고, 관계자가

B

원소 쌍의 교환자인 표현을 갖는다. 여기서 두 원소

x

와

y

의 교환자는 곱

x^{-1}y^{-1}xy

이다. 이 곱을 항등원으로 설정하면

xy

가

yx

와 같아져

x

와

y

가 교환됨을 의미한다. 더 일반적으로, 모든 생성자 쌍이 교환하면, 생성자의 모든 곱의 쌍도 교환한다. 따라서, 이 표현에 의해 생성된 군은 아벨 군이며, 표현의 관계자는 그것이 아벨 군임을 보장하는 데 필요한 최소한의 관계자 집합을 형성한다.^[54]

생성자 집합이 유한하면, 자유 아벨 군의 표현도 유한하다. 왜냐하면 표현에 포함할 서로 다른 교환자가 유한 개밖에 없기 때문이다. 이 사실과, 자유 아벨 군의 모든 부분군이 자유 아벨 군이라는 사실을 함께 이용하면, 모든 유한 생성 아벨 군이 유한하게 표현될 수 있음을 증명할 수 있다.^[55] 즉,

G

가 집합

B

에 의해 유한하게 생성되면,

G

는

B

상의 자유 아벨 군을 그 표현의 관계자에 의해 생성된 자유 아벨 부분군으로 나눈 몫군이다. 이 부분군 자체는 자유 아벨 군이므로 유한하게 생성되며, 그 기저(

B

에 대한 교환자와 함께)는

G

의 표현에 대한 유한한 관계자 집합을 형성한다.^[55]

6. 가군 (Module)으로서의 자유 아벨 군

정수 위의 가군은 실수 또는 유리수 위의 벡터 공간과 유사하게 정의된다. 즉, 서로 더할 수 있는 요소들의 시스템으로 구성되며, 이 덧셈 연산과 호환되는 정수를 이용한 스칼라 곱셈 연산이 있다. 모든 아벨군은 다음과 같이 정의된 스칼라 곱셈 연산을 사용하여 정수 위의 가군으로 간주될 수 있다.^[56]

$0\,x=0$
$1\,x=x$
$n\,x=x+ (n-1)\,x,\quad$	if $n>1$
$n\,x=-((-n)\,x),$	if $n<0$

그러나 벡터 공간과 달리, 모든 아벨군이 기저를 갖는 것은 아니므로, 기저를 갖는 아벨군에 "자유"라는 특별한 이름이 붙는다.^[57] 자유 가군은 기본 환에 대한 직접합으로 나타낼 수 있는 가군이므로, 자유 아벨군과 자유 Z-module|Z-가군^영어은 동등한 개념이다. 즉, 각 자유 아벨군은 (위의 곱셈 연산을 사용하여) 자유 Z-module|Z-가군^영어이며, 각 자유 Z-module|Z-가군^영어은 이러한 방식으로 자유 아벨군에서 파생된다.

자유 아벨군의 많은 중요한 속성은 주 아이디얼 정역 위의 자유 가군으로 일반화될 수 있다.^[58] 예를 들어, 주 아이디얼 정역 위의 자유 가군의 부분 가군은 자유 가군이다.

7. 보편 성질 (Universal Property)

기저 $B$를 갖는 자유 아벨 군 $F$는 다음과 같은 보편 성질을 갖는다. 즉, $B$에서 아벨 군 $A$로 가는 모든 함수 $f$에 대해, $F$에서 $A$로 가는, $f$를 확장하는 유일한 군 준동형사상이 존재한다.^[45] 군 준동형사상은 군 곱셈 법칙과 일치하는, 한 군에서 다른 군으로의 사상으로, 사상 전후에 곱셈을 수행하면 동일한 결과가 생성된다.

보편 성질의 일반적인 성질에 의해, 기저 $B$를 갖는 아벨 군은 동형 사상까지 유일하다. 따라서 보편 성질은 기저 $B$를 갖는 자유 아벨 군의 정의로 사용될 수 있으며, 이 성질에 의해 정의된 군의 유일성은 다른 모든 정의가 동등함을 보여준다.^[50]

자유 아벨 군이 "자유"라고 불리는 것은 이러한 보편 성질 때문이다. 즉, 이들은 아벨 군의 범주에서 자유 대상이며, 아벨 군을 대상으로, 준동형사상을 사상으로 갖는 범주이다. 기저에서 해당 자유 아벨 군으로의 사상은 집합에서 아벨 군으로의 함자이며, 아벨 군에서 집합으로의 망각 함자에 수반 함자이다. 그러나, ''자유 아벨'' 군은 빈 기저를 갖는 자유 아벨 군(랭크 0, 자명군 생성) 또는 기저에 단 하나의 원소만 갖는 경우(랭크 1, 무한 순환군 생성)를 제외하고는 자유군이 아니다. 다른 아벨 군은 자유군이 아닌데, 자유군에서는 $a$와 $b$가 기저의 서로 다른 원소일 경우 $ab$는 $ba$와 달라야 하지만, 자유 아벨 군에서는 모든 원소 쌍에 대해 두 곱셈이 동일해야 하기 때문이다. 일반적인 군 범주에서 $ab=ba$를 요구하는 것은 추가적인 제약 조건이지만, 이는 아벨 군의 범주에서는 필수적인 성질이다.

8. 꼬임 (Torsion)과 나뉨성 (Divisibility)

모든 자유 아벨 군은 꼬임이 없는 아벨 군이다. 즉, 항등원이 아닌 군 원소 $x$ 와 $nx=0$ 을 만족하는 0이 아닌 정수 $n$ 이 존재하지 않는다.^[45] 반대로, 모든 유한 생성 꼬임이 없는 아벨 군은 자유 아벨 군이다.^[70]

유리수의 덧셈군 $\mathbb{Q}$ 는 꼬임이 없지만 자유 아벨 군이 아닌 (그러나 유한 생성되지 않은) 아벨 군의 예시이다.^[71] $\mathbb{Q}$ 가 자유 아벨 군이 아닌 한 가지 이유는 $\mathbb{Q}$ 가 가분군이기 때문이다. 즉, 모든 원소 $x\in\mathbb{Q}$ 와 모든 0이 아닌 정수 $n$ 에 대해 $x$ 를 다른 원소 $y=x/n$ 의 스칼라 배수 $ny$ 로 표현할 수 있다. 반대로, 자명하지 않은 자유 아벨 군은 가분군이 될 수 없는데, 자유 아벨 군에서 기저 원소는 다른 원소의 배수로 표현될 수 없기 때문이다.^[72]

9. 대칭성 (Symmetry)

임의의 군 자기동형 사상은 해당 군의 대칭성을 자체로의 가역 준동형 사상으로 기술할 수 있다. 가환군에서는 항등 사상이 아닌 모든 자기동형 사상은 외부 자기동형 사상이다. 이들은 함수 합성 연산에 따라 주어진 군의 또 다른 군인 자기동형 군을 형성한다. 유한 랭크 $n$ 의 자유 아벨 군의 자기동형 군은 일반 선형군 $\operatorname{GL}(n,\mathbb{Z})$ 이며, 이는 자유 자기동형 군의 특정 기저에 대해 구체적으로 행렬 곱셈 연산 하에서 $n\times n$ 가역 정수 행렬의 집합으로 기술할 수 있다. 자유 아벨 군 $\mathbb{Z}^n$ 에 대한 대칭성으로서의 군 작용은 단지 행렬-벡터 곱셈일 뿐이다.

두 무한 랭크 자유 아벨 군의 자기동형 군은 두 랭크가 2차 논리 관점에서 동일한 기수일 경우에만 서로 동일한 1차 논리 이론을 갖는다. 이 결과는 자기 자신의 역이 되는 자기동형 사상인 자유 아벨 군의 대합의 구조에 달려 있다. 자유 아벨 군의 기저가 주어지면, 기저 원소의 서로소 쌍을 서로 매핑하거나 선택된 기저 원소의 임의의 하위 집합을 부정하고 다른 기저 원소는 고정된 대합을 찾을 수 있다. 반대로, 자유 아벨 군의 모든 대합에 대해, 대합에 의해 모든 기저 원소가 쌍으로 교환되거나, 부정되거나, 변경되지 않고 남겨지는 군의 기저를 찾을 수 있다.^[1]

10. 다른 군과의 관계

자유 아벨 군이 두 군 $A/B$ 의 몫군이라면, $A$ 는 직접 합 $B\oplus A/B$ 이다.^[77]

임의의 아벨 군 $A$ 가 주어지면, 항상 자유 아벨 군 $F$ 와 $F$ 에서 $A$ 로의 전사 군 준동형사상이 존재한다. 주어진 군 $A$ 로의 전사 사상을 구성하는 한 가지 방법은 $F=\mathbb{Z}^{(A)}$ 를 형식적인 합으로 표현된 $A$ 위의 자유 아벨 군으로 두는 것이다. 그런 다음 전사 사상은 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $\sum_{\{x\mid a_x\ne 0\}} a_x e_x \mapsto \sum_{\{x\mid a_x\ne 0\}} a_x x,$

여기서 $a_x$ 는 주어진 형식적 합에서 기저 원소 $e_x$ 의 정수 계수이고, 첫 번째 합은 $F$ 에 있고, 두 번째 합은 $A$ 에 있다.^[73]^[74] 이 전사 사상은 함수 $e_x\mapsto x$ 를 확장하는 유일한 군 준동형사상이며, 따라서 그 구성은 보편적 성질의 한 예시로 볼 수 있다.

$F$ 와 $A$ 가 위와 같을 때, $F$ 에서 $A$ 로의 전사 사상의 커널 $G$ 또한 자유 아벨 군인데, 이는 $F$ 의 부분군(항등원으로 매핑되는 원소의 부분군)이기 때문이다. 따라서 이 군들은 짧은 완전열

: $0\to G\to F\to A\to 0$

을 형성하며, 여기서 $F$ 와 $G$ 는 모두 자유 아벨 군이고 $A$ 는 몫군 $F/G$ 와 동형이다. 이것은 $A$ 의 자유 분해이다.^[75] 또한, 선택 공리를 가정하면,^[76] 자유 아벨 군은 정확히 아벨 군의 범주에서 사영 대상이다.^[77]

11. 응용 (Applications)

자유 아벨 군은 대수적 위상수학과 대수기하학에서 중요한 응용 사례를 갖는다.

대수적 위상수학에서 ''k''-사슬은 ''k''차원 단순체들의 형식적인 합으로 정의되며, 이러한 ''k''-단순체들의 모임은 자유 아벨 군의 기저를 형성한다. 이 자유 아벨 군을 사슬 군이라고 부른다. 단순체는 위상 공간, 단순 복합체의 ''k''-단순체 집합, 또는 다양체의 특이 호몰로지 ''k''-단순체 집합 등에서 가져온다. 각 ''k''차원 단순체는 ''(k-1)''차원 단순체들의 형식적인 합으로 표현되는 경계를 가지며, 자유 아벨 군의 보편 성질에 따라 경계 연산자는 ''k''-사슬에서 ''(k-1)''-사슬로의 군 준동형으로 확장된다. 이렇게 연결된 사슬 군들은 사슬 복합체를 이루며, 이는 호몰로지 이론의 기반이 된다.

대수기하학에서 약수는 대수 다양체(다항식 방정식 시스템의 해 집합)의 코드 차원 1 부분 다양체의 추상 형식을 형성하며, 자유 아벨 군으로 구성된다.^[1] 방정식 시스템의 자유도가 하나인 경우(해는 대수 곡선 또는 리만 곡면을 형성함) 부분 다양체는 고립된 점으로 구성될 때 코드 차원 1을 가지며, 이 경우 약수는 다시 다양체의 점들의 부호가 있는 집합이 된다.^[1] 콤팩트 리만 곡면의 메로모픽 함수는 유한 개의 영점과 극점을 가지며, 그 약수는 곡면의 점에 대한 자유 아벨 군의 부분군을 형성한다. 함수의 곱셈 또는 나눗셈은 군 요소의 덧셈 또는 뺄셈에 해당한다.^[1]

임의의 군 $G$에 대한 정수환 군환 $\Z[G]$는 덧셈군이 $G$ 위의 자유 아벨 군인 환이다.^[1]

11. 1. 대수적 위상수학 (Algebraic Topology)

대수적 위상수학에서, ''k''차원 단순체의 형식적인 합을 ''k''-사슬이라고 하며, ''k''-단순체의 모음을 기저로 갖는 자유 아벨 군을 사슬 군이라고 한다. 단순체는 일반적으로 어떤 위상 공간에서 가져오며, 예를 들어 단순 복합체의 ''k''-단순체 집합이나 다양체의 특이 호몰로지 ''k''-단순체 집합으로 가져온다. 임의의 ''k''차원 단순체는 ''(k-1)''차원 단순체의 형식적인 합으로 나타낼 수 있는 경계를 가지며, 자유 아벨 군의 보편 성질에 의해 이 경계 연산자는 ''k''-사슬에서 ''(k-1)''-사슬로의 군 준동형으로 확장될 수 있다. 이처럼 경계 연산자로 연결된 사슬 군의 체계는 사슬 복합체를 형성하며, 사슬 복합체 연구는 호몰로지 이론의 기초를 형성한다.

11. 2. 대수기하학 (Algebraic Geometry) 및 복소해석학 (Complex Analysis)

대수기하학에서 약수는 대수 다양체(다항식 방정식 시스템의 해 집합)의 코드 차원 1 부분 다양체의 추상 형식을 형성하며, 자유 아벨 군으로 구성된다.^[1] 방정식 시스템의 자유도가 하나인 경우(해는 대수 곡선 또는 리만 곡면을 형성함) 부분 다양체는 고립된 점으로 구성될 때 코드 차원 1을 가지며, 이 경우 약수는 다시 다양체의 점들의 부호가 있는 집합이 된다.^[1] 콤팩트 리만 곡면의 메로모픽 함수는 유한 개의 영점과 극점을 가지며, 그 약수는 곡면의 점에 대한 자유 아벨 군의 부분군을 형성한다. 함수의 곱셈 또는 나눗셈은 군 요소의 덧셈 또는 뺄셈에 해당한다.^[1] 약수가 되려면 자유 아벨 군의 요소는 중복도의 합이 0이어야 하며, 곡면에 따라 특정 추가 제약 조건을 충족해야 한다.^[1]

11. 3. 군환 (Group Ring)

임의의 군 $G$에 대한 정수환 군환 $\Z[G]$는 덧셈군이 $G$ 위의 자유 아벨 군인 환이다.^[1] $G$가 유한 아벨 군일 때, $\Z[G]$에서 단위의 곱셈군은 유한군과 유한 생성 자유 아벨 군의 직적의 구조를 갖는다.^[2]^[3]

참조

_[1] 간행물 Algebraic Curves and Riemann Surfaces https://books.google[...] American Mathematical Society
_[2] 서적 Algebraic Curves and Riemann Surfaces https://books.google[...] American Mathematical Society
_[3] 서적 Algebra https://books.google[...] Alpha Science International Ltd.
_[4] 서적 Advanced Modern Algebra https://books.google[...] American Mathematical Society
_[5] 서적 Advanced Number Theory with Applications https://books.google[...] CRC Press
_[6] 논문 On the group ring of a finite abelian group
_[7] 논문 Abelian groups without elements of finite order
_[8] 논문 Injectivity, projectivity, and the axiom of choice
_[9] 논문 Counting the positive rationals: A brief survey
_[10] 간행물 Problems on mapping class groups and related topics American Mathematical Society
_[11] 간행물 Models, modules and abelian groups Walter de Gruyter, Berlin
_[12] 서적 Dictionary of Classical and Theoretical Mathematics https://books.google[...] CRC Press
_[13] 서적 Theory of Algebraic Functions of One Variable https://books.google[...] American Mathematical Society
_[14] 서적 Computational Topology: An Introduction https://books.google[...] American Mathematical Society
_[15] 서적 Infinite Abelian Group Theory University of Chicago Press
_[16] 간행물 Abelian Groups Springer
_[17] 서적 Algebraic Topology https://books.google[...] Cambridge University Press
_[18] 논문 The units of group-rings
_[19] 서적 The Structure of Compact Groups: A Primer for Students - A Handbook for the Expert https://books.google[...] Walter de Gruyter
_[20] 간행물 Algebra Springer
_[21] 서적 Topics in the Theory of Group Presentations Cambridge University Press
_[22] 서적 Applied Discrete Structures https://books.google[...] New Age International
_[23] 서적 Set Theory and Metric Spaces https://books.google[...] American Mathematical Society
_[24] 문서 Lang Algebra
_[25] 서적 Lattice Basis Reduction: An Introduction to the LLL Algorithm and Its Applications https://books.google[...] CRC Press
_[26] 간행물 Introduction to Topological Manifolds Springer
_[27] 간행물 Groups: An introduction to ideas and methods of the theory of groups Springer
_[28] 서적 Homology https://books.google[...] Springer
_[29] 간행물 Finitely Generated Abelian Groups and Similarity of Matrices over a Field Springer
_[30] 서적 Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence https://books.google[...] Courier Dover Publications
_[31] 서적 An Introduction to Algebraic Topology https://books.google[...] Springer
_[32] 간행물 Computation with Finitely Presented Groups Cambridge University Press
_[33] 논문 Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen
_[34] 서적 Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry Mathematical Association of America
_[35] 서적 Symmetries https://books.google[...] Springer
_[36] 간행물 Logic and its Applications American Mathematical Society
_[37] 간행물 On characters of coprime operator groups and the Glauberman character correspondence
_[38] 서적 An Elementary Approach to Homological Algebra https://books.google[...] CRC Press
_[39] 간행물 On characterising distributability
_[40] 서적 Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology https://books.google[...] Springer
_[41] 서적 Symmetries https://books.google[...] Springer
_[42] 서적 Advanced Number Theory with Applications https://books.google[...] CRC Press
_[43] 서적 Lattice Basis Reduction: An Introduction to the LLL Algorithm and Its Applications https://books.google[...] CRC Press
_[44] 문서 Hungerford 1974
_[45] 서적 Introduction to Topological Manifolds https://books.google[...] Springer
_[46] 간행물 Abelian groups without elements of finite order
_[47] 간행물 Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen
_[48] 간행물 Models, modules and abelian groups Walter de Gruyter, Berlin
_[49] 서적 Homology https://books.google[...] Springer
_[50] 서적 Algebra https://books.google[...] Springer
_[51] 서적 Applied Discrete Structures https://books.google[...] New Age International
_[52] 서적 Dictionary of Classical and Theoretical Mathematics https://books.google[...] CRC Press
_[53] 서적 Algebraic Curves and Riemann Surfaces https://books.google[...] American Mathematical Society
_[54] 문서 Hungerford 1974
_[55] 문서 Johnson 2001
_[56] 서적 Algebra https://books.google[...] Alpha Science Int'l Ltd.
_[57] 서적 Advanced Modern Algebra https://books.google[...] American Mathematical Society
_[58] 서적 Algebraic Topology https://books.google[...] Cambridge University Press
_[59] 문서 Hungerford 1974
_[60] 문서 Hungerford 1974
_[61] 문서 Hungerford 1974
_[62] 서적 An Introduction to Algebraic Topology https://books.google[...] Springer
_[63] 서적 Topics in the Theory of Group Presentations Cambridge University Press
_[64] 간행물 Injectivity, projectivity, and the axiom of choice
_[65] 문서 Lang Algebra
_[66] 서적 Set Theory and Metric Spaces https://books.google[...] American Mathematical Society
_[67] 문서 Hungerford 1974
_[68] 문서 Johnson 2001
_[69] 서적 Finitely Generated Abelian Groups and Similarity of Matrices over a Field Springer
_[70] 문서 Hungerford 1974
_[71] 인용
_[72] 인용
_[73] 서적 The Structure of Compact Groups: A Primer for Students - A Handbook for the Expert https://books.google[...] Walter de Gruyter
_[74] 인용
_[75] 서적 Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology https://books.google[...] Springer
_[76] 서적 Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence https://books.google[...] Courier Dover Publications
_[77] 서적 Infinite Abelian group theory University of Chicago Press

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