적중과 비적중 변환

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1. 개요
2. 수학적 정의
- 2.1. 구조 요소
- 2.2. 적중과 비적중 변환
3. 구조 요소의 예시 (2차원)
4. 응용
참조

1. 개요

적중과 비적중 변환은 이진 형태학에서 사용되는 연산으로, 이미지 내에서 특정 패턴의 위치를 찾아내는 데 활용된다. 이 변환은 서로소인 두 구조 요소 C와 D로 구성된 합성 구조 요소 (C, D)를 사용하며, 이미지 A에 대한 적중과 비적중 변환은 (A ⊖ C) ∩ (Ac ⊖ D)로 정의된다. 여기서 Ac는 A의 여집합을 의미한다. 적중과 비적중 변환은 얇게 하기, 패턴 검출, 가지치기, 오일러 지표 계산 등 다양한 응용 분야에 적용된다.

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적중과 비적중 변환

2. 수학적 정의

이진 형태학에서 이미지는 ''d''차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^d$ 이나 정수 격자 $\mathbb{Z}^d$ 의 부분집합으로 표현된다. 공간이나 격자는 ''E''로 표기한다.

2. 1. 구조 요소

구조 요소는 침식, 팽창, 열기, 닫기와 같은 형태학적 연산에서 다른 이진 이미지를 탐색하는 데 사용되는, 이진 이미지로 표현된 단순하고 미리 정의된 모양이다.

''C''와 ''D''를 C ∩ D = ∅인 두 구조 요소라고 가정한다. 이 (''C'',''D'') 쌍은 종종 '합성 구조 요소'라고 불린다.

2. 2. 적중과 비적중 변환

C

와

D

를

C\cap D=\emptyset

인 두 구조적 요소로 둔다. 이 (

C

,

D

) 쌍은 종종 '합성 구조적 요소'라고 불린다.

B

=(

C

,

D

)에 의한 주어진 이미지

A

의 적중과 비적중 변환은 다음과 같다:

::

A\odot B=(A\ominus C)\cap(A^c\ominus D)

,

여기서

A^c

는

A

의 여집합을 의미한다.

즉,

E

에 있는 점

x

는

C

를

x

로 이동했을 때

A

와 맞고

D

를 이동시키면 맞지 않는 (

A

의 배경에 맞는) 점일 때, 적중과 비적중 변환의 결과에 있다.

3. 구조 요소의 예시 (2차원)

다음은 2차원 이진 이미지에서 다양한 형태학적 연산에 사용되는 몇 가지 일반적인 구조 요소의 예시이다.

적중과 비적중 변환은 서로소인 구조 요소를 쌍으로 사용한다. 다음 구조 요소들을 사용하여 이미지에서 다양한 볼록 코너 포인트를 찾을 수 있다.

3. 1. Element 1: 왼쪽 하단 볼록 모서리

이 마스크는 왼쪽 하단 볼록 모서리를 식별하며, '1'은 모서리와 그 주변을 나타내고, '0'은 배경을 나타내며, 'X'는 무관 조건을 나타낸다. 이는 모서리 픽셀과 직접 인접한 픽셀이 특정 구성을 형성하는 패턴과 일치하도록 설계되었다. 이는 이진 이미지에서 왼쪽 하단 볼록 모서리를 찾는 데 도움이 된다.

3. 2. Element 2: 왼쪽 상단 볼록 모서리

'1'은 모서리와 그 주변을, '0'은 배경을, 'X'는 무관 조건(don't-care condition)을 나타낸다. 이 마스크는 모서리 픽셀과 바로 인접한 픽셀이 특정 구성을 형성하는 패턴을 일치시키도록 설계되었다. 이는 이진 이미지에서 왼쪽 위 볼록 모서리를 찾는 데 도움이 된다.

3. 3. Element 3: 오른쪽 상단 볼록 모서리

이 마스크는 오른쪽 상단 볼록 모서리를 감지하며, 모서리와 그 주변을 나타내는 '1', 배경을 나타내는 '0', 무관 조건을 나타내는 'X'의 패턴을 사용한다. 이는 모서리 픽셀과 바로 인접한 픽셀이 특정 구성을 형성하는 패턴과 일치하도록 설계되었다. 이는 이진 이미지에서 오른쪽 상단 볼록 모서리를 찾는 데 도움이 된다.

3. 4. Element 4: 오른쪽 하단 볼록 모서리

이 마스크는 우측 하단 볼록 모서리를 대상으로 하며, '1'은 모서리와 인접한 픽셀을, '0'은 배경을, 'X'는 무관 조건을 나타낸다. 이 마스크는 모서리 픽셀과 직접 인접한 픽셀이 특정 구성을 이루는 패턴과 일치하도록 설계되었다. 이는 이진 이미지에서 우측 하단 볼록 모서리의 위치를 찾는 데 도움이 된다.

4. 응용

적중과 비적중 변환은 이미지 처리에서 다양한 용도로 활용된다.

얇게 하기(Thinning): 이미지의 골격을 추출한다.
패턴 검출(Pattern Detection): 이미지에서 특정 패턴을 찾거나, 선의 끝점을 식별하여 불필요한 가지를 제거한다.
가지치기(Pruning): 선의 끝점을 식별하여 원치 않는 가지를 제거한다.
오일러 지표 계산: 이미지의 오일러 지수를 계산한다.

4. 1. 얇게 하기 (Thinning)

얇게 하기는 이미지의 골격을 추출하는 데 사용되는 연산이다.

E=\mathbb{Z}^2

에서 8개의 합성 구조 요소

B_1,\ldots,B_8

(각각 90°, 180°, 270° 회전)을 이용하여 얇게 하기를 수행할 수 있다. 이미지 ''A''의 얇게 하기는 다음 연산을 수렴할 때까지 반복하여 얻는다. 여기서

X\otimes B_i=X\setminus (X\odot B_i)

이고,

\setminus

는 차집합을 의미한다.

:

C_1=\{(0,0),(-1,-1),(0,-1),(1,-1)\}

및

D_1=\{(-1,1),(0,1),(1,1)\}

,

:

C_2=\{(-1,0),(0,0),(-1,-1),(0,-1)\}

및

D_2=\{(0,1),(1,1),(1,0)\}

각각 90°, 180°, 270° 회전한 것이다. 대응하는 합성 구조적 요소는

B_1,\ldots,B_8

로 표기한다.

모든 1에서 8까지의 ''i''와, 이진 이미지 ''X''에 대해서, 다음을 정의한다:

::

X\otimes B_i=X\setminus (X\odot B_i),

이미지 ''A''의 얇게하기는 수렴할 때까지 주기적 반복을 통해 얻어진다:

:

A\otimes B_1\otimes B_2\otimes\ldots\otimes B_8\otimes B_1\otimes B_2\otimes\ldots

텍스트에 설명된 구조 요소 Ci, Di, Bi. 윗 두 행은 C1+D1과 C2+D2의 쌍을 보여준다. 아래 두 행은 B1-B8이 (C1+D1)과 (C2+D2)를 회전시켜 생성되는 방식을 보여준다. B1-B8의 번호는 임의적이다. (흰색 픽셀은 이러한 집합에 포함되지 않으며, 간격을 이해하기 위해 표시된다. 빨간색과 파란색 픽셀은 집합 구성원 자격만 식별하며 픽셀의 실제 색상 값을 나타내지 않는다.)

4. 2. 패턴 검출 (Pattern Detection)

정의에 의하면, 적중과 비적중 변환은 입력 이미지에서 특정 패턴(합성 구조 요소 ''B''로 특정된)이 나타나는 위치를 정확하게 찾아낸다. 또한, 선의 끝점을 식별하여 원치 않는 가지를 제거하기 위해 선을 축소하는 데에도 사용될 수 있다.

4. 3. 가지치기 (Pruning)

가지치기는 적중과 비적중 변환을 통해 선의 끝점을 식별하여 원치 않는 가지를 제거하는 데 사용된다.

4. 4. 오일러 지표 계산

적중과 비적중 변환을 통해 이미지의 오일러 지수를 계산할 수 있다.

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