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팽창 (형태학)

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목차

1. 개요

팽창은 형태학에서 사용되는 연산으로, 이진 및 회색조 이미지 처리에 적용된다. 이진 팽창은 민코프스키 합과 동일하며, 이미지 A를 구조 요소 B로 팽창시키는 것은 B의 중심이 A 내부로 이동할 때 B가 덮는 점들의 자취로 이해할 수 있다. 팽창은 병진 불변, 단조 증가, 가환 등의 특성을 가지며, 회색조 팽창은 이미지와 구조적 함수의 상한을 사용하여 정의된다. 완비 격자에서 팽창은 상한에 대해 분배되고 최소 원소를 보존하는 연산으로 정의된다.

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팽창 (형태학)
개요
이름팽창 (Dilation)
분야수학적 형태학
연산 종류기본 연산
연산 대상이진 이미지, 회색조 이미지
구조 요소구조 요소 (Structuring element) 사용
활용 분야이미지 처리
컴퓨터 비전
정의
정의팽창은 구조 요소 B를 사용하여 이미지 A의 형태를 변환하는 연산임. 구조 요소 B의 원점을 이미지 A의 각 픽셀에 위치시키고, B가 A와 겹치는 영역의 픽셀 값을 최대값으로 설정하는 방식으로 수행됨.
수식 표현(A ⊕ B)(x, y) = max{A(x - i, y - j) + B(i, j) | (x - i, y - j) ∈ Domain[A]; (i, j) ∈ Domain[B]}
이진 이미지 팽창
설명이진 이미지 A를 구조 요소 B로 팽창시키는 것은 B를 A 위로 움직이면서 B의 원점이 A의 전경 픽셀 위에 놓일 때마다 B를 이미지에 쓰는 것과 같음.
수식 표현(A ⊕ B)(x, y) = max{A(x - i, y - j) + B(i, j)}
조건A(x - i, y - j) ∈ A and B(i, j) ∈ B
결과B가 A와 겹치는 픽셀 중 하나라도 전경 픽셀이면 결과 픽셀은 전경 픽셀이 됨.
회색조 이미지 팽창
설명회색조 이미지의 팽창은 이진 이미지의 팽창과 유사하지만, 최대값을 취하는 대신 픽셀 값을 더하여 수행됨.
수식 표현(A ⊕ B)(x, y) = max{A(x - i, y - j) + B(i, j) | (x - i, y - j) ∈ Domain[A]; (i, j) ∈ Domain[B]}
속성
이동 불변성팽창은 이동 불변성을 가짐. 즉, 입력 이미지를 이동시킨 후 팽창한 결과는 팽창 후 이미지를 동일하게 이동시킨 결과와 같음.
증가성팽창은 증가성을 가짐. 즉, 입력 이미지의 일부가 증가하면 팽창 결과도 증가함.
교환성팽창은 교환성을 가짐. 즉, A를 B로 팽창하는 것은 B를 A로 팽창하는 것과 같음.
분배성팽창은 합집합에 대해 분배성을 가짐.
활용
이미지 처리노이즈 제거
객체 연결
틈 메우기
특징 추출
컴퓨터 비전객체 인식
이미지 분할
예시
이진 이미지 팽창 예시작은 원을 사용하여 큰 원을 팽창시키면 큰 원이 더 커짐.
회색조 이미지 팽창 예시작은 사각형을 사용하여 회색조 이미지를 팽창시키면 이미지의 밝은 영역이 확장됨.

2. 이진 팽창

짙은 파란색 사각형을 원판으로 팽창해서 둥근 모서리가 있는 밝은 파란색 사각형을 만든다.


이진 형태학에서 팽창은 기본적인 연산 중 하나로, 이미지를 구조 요소라는 작은 패턴을 이용하여 변형시키는 과정이다. 이 연산은 이동에 대해 불변(병진 불변)하며, 민코프스키 덧셈과 동일한 개념으로 볼 수 있다.

수학적으로 이진 이미지는 유클리드 공간 '''R'''''d'' 또는 정수 격자 '''Z'''''d''의 부분집합 ''A''로 표현할 수 있다. 이때 구조 요소 ''B'' 역시 같은 공간의 부분집합이다. 이미지 ''A''를 구조 요소 ''B''로 팽창시킨 결과는 구조 요소 ''B''의 모든 점 ''b''에 대해, 이미지 ''A''를 벡터 ''b''만큼 평행 이동시킨 집합 A_b들의 합집합으로 정의된다.

::A \oplus B = \bigcup_{b\in B} A_b

팽창 연산은 교환 법칙이 성립하므로, 이미지 ''A''의 각 점 ''a''에 대해 구조 요소 ''B''를 평행 이동시킨 집합 B_a들의 합집합으로도 표현할 수 있다.

::A \oplus B = B \oplus A = \bigcup_{a\in A} B_a

간단히 말해, 구조 요소 ''B''의 기준점(주로 중심)을 이미지 ''A''의 모든 전경 픽셀 위에 놓았을 때, 구조 요소 ''B''가 차지하는 모든 픽셀의 집합이 팽창된 결과 이미지가 된다. 예를 들어, 원점을 중심으로 하는 정사각형 이미지를 원점을 중심으로 하는 원판 구조 요소로 팽창시키면, 모서리가 둥근 더 큰 정사각형 형태가 만들어진다.

팽창은 구조 요소 ''B''의 대칭 집합 ''B''''s''를 이용하여 다음과 같이 정의되기도 한다.

::A \oplus B = \{z \in E \mid (B^s)_z \cap A \neq \varnothing\}

이는 ''B''의 대칭 집합을 이동시킨 (B^s)_z가 원래 이미지 ''A''와 적어도 한 점 이상 겹치는 모든 점 ''z''의 집합이 팽창 결과임을 의미한다.

2. 1. 정의



이진 형태학에서 팽창은 이동 불변(병진 불변) 연산자이며, 민코프스키 덧셈과 동일하다.

수학적 형태학에서 이진 이미지는 유클리드 공간 '''R'''''d'' 또는 정수 격자 '''Z'''''d''의 부분집합으로 간주한다. 여기서 ''d''는 차원이다. ''E''를 유클리드 공간 또는 정수 격자, ''A''를 ''E'' 안의 이진 이미지, ''B''를 구조 요소라고 하자. 구조 요소 ''B'' 역시 '''R'''''d'' 또는 '''Z'''''d''의 부분집합이다.

구조 요소 ''B''에 의한 이미지 ''A''의 팽창은 다음과 같이 정의된다:

::A \oplus B = \bigcup_{b\in B} A_b,

여기서 ''A''''b''는 ''A''를 벡터 ''b''만큼 평행이동 시킨 집합, 즉 A_b = \{a+b \mid a \in A\}이다.

팽창 연산은 교환 법칙이 성립하므로, 다음과 같이 표현할 수도 있다:

::A \oplus B = B \oplus A = \bigcup_{a\in A} B_a.

이 정의에 따르면, 팽창은 구조 요소 ''B''의 원점(만약 있다면)을 이미지 ''A''의 모든 점 위로 이동시키면서, 각 위치에서 ''B''가 차지하는 모든 점들의 합집합을 구하는 것과 같다.

만약 구조 요소 ''B''가 원점을 중심으로 한다면, ''B''에 의한 ''A''의 팽창은 ''B''의 중심이 ''A'' 내부의 점들을 지날 때 ''B''에 속한 점들이 그리는 자취(locus)로 이해할 수 있다. 예를 들어, 원점을 중심으로 하는 한 변의 길이가 10인 정사각형 ''A''를 원점을 중심으로 하는 반지름 2인 원판 ''B''로 팽창시키면, 원점을 중심으로 하고 모서리가 둥근 한 변의 길이가 14인 정사각형이 만들어진다. 이때 둥근 모서리의 반지름은 2가 된다.

팽창은 다음과 같은 방식으로도 정의할 수 있다:

::A \oplus B = \{z \in E \mid (B^s)_z \cap A \neq \varnothing\},

여기서 ''B''''s''는 ''B''의 대칭 집합, 즉 B^s = \{x \in E \mid -x \in B\}이며, (B^s)_z는 ''B''''s''를 벡터 ''z''만큼 평행 이동시킨 집합이다. 이 정의는 구조 요소 ''B''의 대칭 집합 ''B''''s''를 벡터 ''z''만큼 평행 이동시킨 집합 (B^s)_z가 이미지 ''A''와 하나 이상의 점을 공유하는(즉, 교집합이 공집합이 아닌) 모든 점 ''z''의 집합이 팽창 결과임을 의미한다.

2. 2. 예시

A가 다음의 11x11 행렬이고, B가 다음의 3x3 구조 요소라고 가정해 보자.

'''행렬 A:'''

11x11 행렬 A
1234567891011
100000000000
201111001110
301111001110
401111111110
501111111110
601100011110
701100011110
801100011110
901111111000
1001111111000
1100000000000



'''구조 요소 B:'''

3x3 구조 요소 B (중심은 (2,2))
123
1111
2111
3111



팽창 연산은 A에서 값이 1인 각 픽셀 위치에 구조 요소 B의 중심(이 예시에서는 B의 (2,2) 위치)을 겹쳐서 놓는 방식으로 수행된다. 이때 겹쳐진 B의 모든 픽셀(값이 1인 부분)에 해당하는 위치들이 결과 행렬에서 1이 된다.

A를 B로 팽창시킨 결과는 다음과 같은 11x11 행렬이다.

'''팽창 결과 (A ⊕ B):'''

팽창 연산 결과 행렬
1234567891011
111111111111
211111111111
311111111111
411111111111
511111111111
611111111111
711110111111
811111111111
911111111111
1011111111100
1111111111100


2. 3. 이진 팽창의 특성



이진 팽창 연산은 다음과 같은 특성을 가진다.

  • 병진 불변이다.
  • 단조증가한다. 즉, A\subseteq C이면 A\oplus B \subseteq C\oplus B이다.
  • 가환 연산이다.
  • 구조적 요소 ''B''에 ''E''의 원점이 포함되어 있다면, 확장적이다. 즉, A\subseteq A\oplus B이다.
  • 결합법칙을 만족한다. 즉, (A\oplus B)\oplus C = A\oplus (B\oplus C)이다.
  • 합집합에 대해 분배법칙이 성립한다.

3. 회색조 팽창

회색조 형태학에서 팽창 연산은 이미지의 밝기 값을 주변 픽셀과 구조 요소라고 불리는 함수를 이용하여 확장하는 방법이다. 각 픽셀의 값은 구조 요소가 정의하는 이웃 범위 내 값들과 구조 함수의 값을 고려하여 계산된 상한으로 대체된다. 이를 통해 이미지에서 밝은 영역은 확장되고 어두운 영역은 축소되는 효과를 얻을 수 있다.

구체적인 수학적 정의와, 계산을 단순화하기 위해 자주 사용되는 단순 구조 요소(flat structuring element)를 적용했을 때의 연산 방식은 하위 섹션에서 더 자세히 설명한다. 유계이고 이산적인 경우, 특히 단순 구조 요소를 사용하면 팽창 연산은 이동하는 창 내에서 최댓값을 찾는 순서통계량 필터의 한 형태로 단순화될 수 있다.

3. 1. 정의

회색조 형태학에서 이미지는 유클리드 공간이나 격자 ''E''에서 \mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}로 대응되는 함수이다. 여기서 \mathbb{R}은 실수의 집합이고, \infty는 어떤 실수보다 큰 수를, -\infty는 어떤 실수보다 작은 수를 의미한다.

회색조 구조 요소는 같은 형태의 "구조적 함수"라고 불리는 함수이다.

이미지를 ''f''(''x'')로, 구조적 함수를 ''b''(''x'')로 나타낼 때, ''b''에 대한 ''f''의 회색조 팽창은 다음과 같이 정의된다.

::(f\oplus b)(x)=\sup_{y\in E}[f(y)+b(x-y)]

여기서 "sup"는 상한을 의미한다.

5x5 크기의 단순한 구조적 함수를 사용하는 회색조 이미지 팽창의 예시. 위 그림은 원본 이미지의 각 픽셀에 구조적 함수를 적용하는 창을 보여준다. 아래 그림은 결과로 나타나는 팽창된 이미지이다.


형태학적 적용에서는 단순한 구조적 요소를 사용하는 것이 일반적이다. 단순한 구조적 함수는 다음 형태를 가지는 함수 ''b''(''x'')이다.

::b(x)=\left\{\begin{array}{ll}0,&x\in B\\-\infty,&\text{otherwise}\end{array}\right.

여기서 B\subseteq E는 구조 함수의 지지 집합이다.

이 경우, 팽창 연산은 다음과 같이 단순화된다.

::(f\oplus b)(x)=\sup_{y\in E}[f(y)+b(x-y)]=\sup_{z\in E}[f(x-z)+b(z)]=\sup_{z\in B}[f(x-z)]

(''x'' = (''px'', ''qx''), ''z'' = (''pz'', ''qz'')라고 가정하면, ''x'' − ''z'' = (''px'' − ''pz'', ''qx'' − ''qz'')이다.)

유계이고 이산적인 경우(''E''가 격자이고 ''B''가 유계 집합일 때), 상한(sup) 연산자는 최대값(max)으로 대체될 수 있다. 따라서, 이 경우의 팽창은 움직이는 창(구조적 함수의 지지 집합 ''B''의 대칭 이동) 내 원소들 중 최대값을 반환하는 순서통계량 필터의 특정한 경우로 볼 수 있다.

3. 2. 단순한 구조적 함수



형태학적 적용에서 단순한 구조적 요소(flat structuring element)를 사용하는 것은 흔하다. 단순한 구조적 함수는 다음 형태를 가지는 함수 ''b''(''x'')이다:

::b(x)=\left\{\begin{array}{ll}0,&x\in B,\\-\infty,&\text{otherwise},\end{array}\right.

여기서 B는 유클리드 공간 또는 격자 ''E''의 부분 집합이다. 즉, 구조적 함수는 지지 집합 ''B'' 안에서는 값이 0이고, 그 외의 영역에서는 음의 무한대 값을 가진다.

이 경우, 팽창 연산은 다음과 같이 크게 단순화된다:

::(f\oplus b)(x)=\sup_{y\in E}[f(y)+b(x-y)]=\sup_{z\in E}[f(x-z)+b(z)]=\sup_{z\in B}[f(x-z)].

여기서 ''sup''는 상한을 나타낸다. 이 식은 구조 요소 ''B''를 이미지 위에서 이동시키면서, ''B'' 내의 각 점 ''z''에 대해 원본 이미지 ''f''의 ''x''-''z'' 위치에서의 값들 중 가장 큰 값을 찾는 것을 의미한다.

경계가 있고 이산적인 경우(''E''가 격자이고 ''B''가 유계이면), 상한 연산자는 최댓값 연산자로 대체될 수 있다. 따라서, 단순한 구조적 함수를 이용한 팽창은 이동하는 창(구조 함수의 지지 집합 ''B''의 대칭 이동) 내에 있는 이미지 값들 중 최댓값을 반환하는 순서통계량 필터의 특별한 경우로 볼 수 있다.

4. 완비 격자에서 팽창

완비격자는 모든 부분집합이 상한과 하한을 가지는 부분 순서 집합이다. 특히, 이는 최소 원소와 최대 원소 (또한 "전체 집합"으로 표기)를 포함한다.

(L,\leq)를 하한과 상한이 각각 \wedge과 \vee로 표시되는 완비 격자라고 하자. 전체 집합과 최소 원소는 각각 ''U''와 \varnothing로 표시된다. 또한, \{ X_{i} \}를 ''L''의 원소들의 모음이라고 하자.

팽창은 상한에 대해 분배되고, 최소 원소를 보존하는 임의의 연산자 \delta: L\rightarrow L이다. 즉, 다음이 참이다.


  • \bigvee_i\delta(X_i)=\delta\left(\bigvee_i X_i\right),
  • \delta(\varnothing)=\varnothing.


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