전압 분배 법칙

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1. 개요
2. 저항 분배
- 2.1. 저항 분배 공식
- 2.2. 부하 전압 분배
3. 임피던스 분배
4. 전압 분배기의 응용
참조

1. 개요

전압 분배 법칙은 직렬로 연결된 저항기에 걸리는 전압이 저항값에 비례하여 분배된다는 원리이다. 가장 기본적인 전압 분배 회로는 두 개의 저항으로 구성되며, 출력 전압은 입력 전압과 저항 값의 비율에 따라 결정된다. 이 법칙은 저항뿐만 아니라 임피던스를 사용하는 회로에도 적용되며, 유도성 및 용량성 분배기, 저역 통과 RC 필터 등 다양한 형태로 구현될 수 있다. 전압 분배기는 신호 레벨 조정, 센서 측정, 고전압 측정, 논리 레벨 변환, 전압계의 측정 범위 확장 등 다양한 응용 분야에서 활용된다.

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전압 분배 법칙

2. 저항 분배

저항 분배는 가장 기본적인 전압 분배 회로로, 둘 이상의 저항을 직렬로 연결하여 구성한다. 입력 전압(V_in)이 인가되면, 각 저항(R₁, R₂)에 걸리는 전압(V₁, V₂)은 저항값에 비례하여 분배된다. 이를 전압 분배 법칙, 전압 분배의 정리^[1]라고 한다.

n개의 직렬 저항으로 전압 분배를 할 때, 각 저항에 걸리는 전압의 비는 저항의 비와 같다.^[2]

분류:회로 이론

2. 1. 저항 분배 공식

V_1:V_2:V_3=R_1:R_2:R_3

||right||250px]]

두 개의 저항기가 오른쪽 그림과 같이 연결되었을 때, 출력 전압 ''V''_out는 다음과 같이 계산된다.

:

V_\mathrm{out} =  \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot V_\mathrm{in}

예를 들어 ''R''₁ = ''R''₂ 이면,

:

V_\mathrm{out} = \frac{1}{2} \cdot V_\mathrm{in}

더 구체적인 예시로, ''V''_out=6V이고 ''V''_in=9V (둘 다 흔히 사용되는 전압)라면, 대수학을 사용하여 풀 때, ''R''₂는 반드시 ''R''₁ 값의 두 배여야 한다. 이때 수식은 다음과 같다.

:

\frac{V_\mathrm{out}}{V_\mathrm{in}} = \frac{R_2}{R_1+R_2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

저항 분배는 두 저항의 값에 따라 0과 1 사이의 어떠한 전압비도 가능하다. 하지만, 부하가 없을 때에만 위의 저항 분배 법칙이 성립한다. 즉, 부하 저항이 무한대이고 ''R''₁로 흐르는 모든 전류는 ''R''₂로 흘러야 한다. 만약 전류가 부하 저항(''V''_out)으로 흐르면, 부하 저항은 ''V''_out의 전압을 결정하기 위해 ''R''₂와 병렬로 고려되어야 한다. 이 경우 ''V''_out의 전압은 다음과 같이 계산된다.

:

V_\mathrm{out} = \frac{R_2 \| R_\mathrm{L}}{R_1+R_2 \| R_\mathrm{L}} \cdot V_\mathrm{in} = \frac{R_2}{R_1+R_2+\frac{R_1R_2}{R_\mathrm{L}}} \cdot V_\mathrm{in}

여기서 ''R''_L은 ''R''₂와 병렬 연결된 부하 저항이다.

저항만으로는 전압을 반전시키거나 ''V''_out을 ''V''_in보다 높일 수 없다.

가장 간단한 전압 분배 회로는 그림과 같이 2개의 저항

R_1

,

R_2

로 구성된다.

R_1

과

R_2

의 직렬 회로에 인가된 직류 전압

V_{in}

에 의해 전류

I

가 흐를 때, 각 저항에 걸리는 전압

V_1

,

V_2

는 옴의 법칙에 의해 각각 다음과 같다.

:

V_1=R_1 I

:

V_2=R_2 I

여기서, 전류

I

는 다음과 같다.

:

I=\frac{V_{in}}{R_1+R_2}

따라서 전압 분배 회로의 출력 전압

V_{out}

는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

V_{out}=V_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}V_{in}

또한, 각각의 저항에 걸리는 전압은 그 저항의 저항값에 비례하므로, 전압 분배비는 다음과 같다.

:

V_1:V_2=R_1:R_2

n개의 직렬 저항으로 전압 분배를 할 때, k번째 저항에 걸리는 전압은 다음과 같으며,

:

V_k=\frac{R_k}{\sum_{i=1}^n R_i}V_{in}

전압 분배비는 다음과 같이 표현된다.

:

V_1:V_2: \cdots:V_n=R_1:R_2: \cdots:R_n

2. 2. 부하 전압 분배

저항 분배 회로에 부하 저항(''R''_L)이 연결되면, 출력 전압은 부하 저항의 영향을 받는다. ''R''₁로 흐르는 모든 전류는 ''R''₂로 흐르며, 부하 저항이 무한하다고 가정할 때, 부하 저항(''V''_out)으로 전류가 흐르게 된다. 이때 부하 저항은 ''V''_out의 전압을 결정하기 위해 ''R''₂와 병렬로 고려되어야 한다.

이러한 경우에, ''V''_out의 전압은 다음처럼 계산된다.

:

V_\mathrm{out} = \frac{R_2 \| R_\mathrm{L}}{R_1+R_2 \| R_\mathrm{L}} \cdot V_\mathrm{in} = \frac{R_2}{R_1+R_2+\frac{R_1R_2}{R_\mathrm{L}}} \cdot V_\mathrm{in}

여기서 ''R''_L은 ''R''₂와 병렬 연결된 부하 저항이다.

3. 임피던스 분배

전압 분배는 일반적으로 두 개의 저항을 사용하지만, 축전기, 인덕터, 또는 이들의 조합된 임피던스를 사용하여 구성할 수도 있다. 일반적인 임피던스 ''Z''₁, ''Z''₂를 사용한 전압 분배 공식은 다음과 같다.

:

V_\mathrm{out} = \frac{Z_2}{Z_1+Z_2} \cdot V_\mathrm{in}

접지를 기준으로 하는 전압 분배기는 그림과 같이 두 개의 전기 임피던스를 직렬로 연결하여 생성된다. 입력 전압은 직렬 임피던스 ''Z''₁과 ''Z''₂에 가해지며, 출력은 ''Z''₂에 걸리는 전압이다. ''Z''₁과 ''Z''₂는 저항, 인덕터, 캐패시터와 같은 소자의 조합으로 구성될 수 있다.

출력 전선의 전류가 0이면 입력 전압 ''V''_in과 출력 전압 ''V''_out 사이의 관계는 위와 같이 주어진다.

'''증명''' (옴의 법칙 사용):

:

V_\mathrm{in} = I\cdot(Z_1+Z_2)

:

V_\mathrm{out} = I\cdot Z_2

:

I = \frac {V_\mathrm{in}}{Z_1+Z_2}

:

V_\mathrm{out} = V_\mathrm{in} \cdot\frac {Z_2}{Z_1+Z_2}

이 회로의 전달 함수(분배기의 '''전압비'''라고도 함)는 다음과 같다.

:

H = \frac {V_\mathrm{out}}{V_\mathrm{in}} = \frac{Z_2}{Z_1+Z_2}

일반적으로 이 전달 함수는 주파수의 복소 변수인 유리 함수이다.

직류 전압을 분압하는 것과 마찬가지로, 교류 전압에서도 동일하게 생각할 수 있다. 이 경우, 전압과 전류, 분압에 사용하는 임피던스 소자(저항·인덕터·콘덴서)를 복소수 영역으로 확장하여 수행한다.

두 개의 임피던스 소자

Z_1

,

Z_2

로 구성한다고 생각한다.

Z_1

과

Z_2

의 직렬 회로에 인가된 교류 전압

v_{in}

에 의해 전류

i

가 흐를때, 각 저항에 걸리는 전압

v_1

,

v_2

는 교류 회로에서의 옴의 법칙에 의해 각각,

v_1=Z_1 i

,

v_2=Z_2 i

이다. 여기서, 전류

i

는

i=\frac{v_{in}}{Z_1+Z_2}

이므로, 분압 회로의 출력 전압

v_{out}

은

v_{out}=v_2=\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}v_{in}

이다.

3. 1. 유도성 분배기

유도성 분배기는 인덕턴스에 따라 교류(AC) 입력을 분할한다.

:

V_\mathrm{out} = \frac{L_2}{L_1 + L_2} \cdot V_\mathrm{in}

위 식은 상호 작용이 없는 인덕터를 위한 것이며, 상호 인덕턴스(예: 오토트랜스포머)는 결과에 영향을 미친다.^[1]

3. 2. 용량성 분배기

축전기를 사용한 전압 분배기는 직류 입력을 통과시키지 않는다.

교류 입력의 경우, 다음 공식이 적용된다.

:

V_\mathrm{out} = \frac{C_1}{C_1 + C_2} \cdot V_\mathrm{in}

캐패시티브 소자에서 누설 전류가 발생하면 두 임피던스를 사용하여 일반화된 식을 사용해야 한다. 적절한 비율로 병렬 ''R'' 및 ''C'' 소자를 선택하면 유용한 주파수 범위에서 동일한 분할 비율을 유지할 수 있다. 이는 측정 대역폭을 늘리기 위해 보상된 오실로스코프 프로브에 적용되는 원리이다.

3. 3. 저역 통과 RC 필터

저항과 커패시터를 직렬로 연결한 RC 회로는 저역 통과 필터로 동작한다. 전압 분배 원리를 이용하며, 주파수가 증가함에 따라 출력 전압은 감소한다.

그림 3과 같이 저항(R)과 커패시터(C)로 구성된 회로를 생각해 보자. ''Z''₁ = ''R''이고 ''Z''₂는 커패시터의 임피던스이며, 다음 식으로 주어진다.

:

Z_2 = -\mathrm{j}X_{\mathrm{C}} =\frac{1}{\mathrm{j} \omega C} \ ,

여기서 ''X''_C는 커패시터의 리액턴스이고, ''C''는 커패시터의 정전용량이며, ''j''는 허수 단위이고, ''ω''(오메가)는 입력 전압의 각주파수이다.

이 분배기는 다음과 같은 전압비를 갖게 된다.

:

\frac{V_\mathrm{out}}{V_\mathrm{in}}= \frac{Z_\mathrm{2}}{Z_\mathrm{1} + Z_\mathrm{2}}= \frac{\frac{1}{\mathrm{j} \omega C}}{\frac{1}{\mathrm{j} \omega C} + R}= \frac{1}{1 + \mathrm{j} \omega R C} \ .

곱 ''τ''(타우) = ''RC''는 회로의 시정수라고 한다.

이 비율은 주파수에 따라 달라지며, 주파수가 증가함에 따라 감소한다. 이 회로는 기본적인 (1차) 저역 통과 필터이다. 이 비율은 허수를 포함하며, 실제로 필터의 진폭과 위상 변화 정보를 모두 포함한다. 진폭비만 추출하려면 비율의 크기를 계산해야 한다. 즉,

:

\left| \frac{V_\mathrm{out}}{V_\mathrm{in}} \right| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega R C)^2}} \ .

콘덴서(C)의 임피던스는

\tfrac{1}{j\omega C}

이며, 출력 전압

v_{out}

은, 입력 전압의 각주파수를

\omega

라고 하면, 다음과 같다.

:

\begin{align}v_{out}&=\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}v_{in}\\&=\frac{\frac{1}{j \omega C}}{R + \frac{1}{j \omega C}}v_{in}\\&=\frac{1}{1+j \omega CR}v_{in}\end{align}

이 전압 분배 회로는 각주파수가 작으면

v_{out}

이 커지고, 각주파수가 크면

v_{out}

이 작아지는 저역 통과 필터이다. 또한, 입력 전압과 출력 전압에서는 위상이 다르다. 이 경우, 전압에 대한 전류의 위상차

\theta

는,

:

\theta=\tan^{-1}(\frac{1}{\omega CR})

로 주어지며, 전압보다 전류의 위상이 앞선다.^[1]

4. 전압 분배기의 응용

전압 분배기는 신호 레벨 조정, 증폭기의 능동 소자 바이어스, 전압 측정 등에 사용된다. 휘트스톤 브리지와 멀티미터는 모두 전압 분배기를 포함한다. 가변 저항은 많은 라디오의 볼륨 조절 장치에서 가변 전압 분배기로 사용된다.

4. 1. 센서 측정

전압 분배기는 마이크로컨트롤러를 사용하여 센서의 저항을 측정할 수 있게 해준다.^[1] 센서를 알려진 저항과 직렬로 연결하여 전압 분배기를 구성하고, 여기에 알려진 전압을 가한다. 마이크로컨트롤러의 아날로그-디지털 변환기를 분배기 중간 탭에 연결하면 탭 전압을 측정할 수 있다. 측정된 전압, 알려진 저항 및 전압을 통해 센서 저항을 계산한다. 이 방법은 서미스터나 RTD와 같은 온도 센서의 저항 측정에 주로 쓰인다.

가변 저항기를 저항 요소로 사용하는 것도 흔한 예이다. 가변 저항기의 축을 돌리면 저항이 증가하거나 감소하는데, 이 저항 변화는 축의 각도 변화와 대응된다. 안정적인 전압 기준과 함께 사용하면, 출력 전압을 아날로그-디지털 변환기로 보내 각도를 표시할 수 있다. 이러한 회로는 제어 노브의 값을 읽는 데 널리 사용된다.

4. 2. 고전압 측정

전압 분배기는 매우 높은 고전압을 축소하여 전압계로 측정할 수 있게 한다. 고전압은 분배기에 가해지고, 미터의 입력 범위 내에 있는 더 낮은 전압을 출력하는 분배기 출력이 미터로 측정된다. 이 목적으로 특별히 설계된 고전압 저항 분배 프로브는 최대 100kV의 전압을 측정하는 데 사용될 수 있다. 이러한 프로브에는 특수 고전압 저항이 사용되는데, 이는 높은 입력 전압을 견딜 수 있어야 하고 정확한 결과를 얻기 위해서는 일치하는 온도 계수와 매우 낮은 전압 계수를 가져야 하기 때문이다. 정전 용량 분배 프로브는 일반적으로 100kV 이상의 전압에 사용되는데, 이는 이러한 고전압에서 저항 분배 프로브의 전력 손실로 인해 발생하는 열이 과도할 수 있기 때문이다.

고전압(HV) 저항 분배 프로브. 측정하려는 HV(''V''_in)는 코로나 볼 프로브 팁에 인가되고 접지는 검은색 케이블을 통해 분배기의 다른 쪽 끝에 연결된다. 분배기 출력(''V''_out)은 케이블 옆의 커넥터에 나타난다.

4. 3. 논리 레벨 변환

전압 분배기는 서로 다른 작동 전압을 사용하는 두 회로를 연결하기 위한 간단한 논리 레벨 변환기로 사용될 수 있다. 예를 들어, 어떤 논리 회로는 5V에서 작동하고 다른 회로는 3.3V에서 작동하는 경우가 있다. 5V 논리 출력을 3.3V 입력에 바로 연결하면 3.3V 회로가 영구적으로 손상될 수 있다. 이럴 때, 3.3/5의 출력 비율을 가진 전압 분배기를 사용하면 5V 신호를 3.3V로 낮출 수 있다. 이렇게 하면 3.3V 회로를 손상시키지 않고도 두 회로가 서로 통신할 수 있다.

이 방법이 가능하려면 5V 소스 임피던스와 3.3V 입력 임피던스가 매우 작거나 일정해야 하며, 분배기 저항 값은 이러한 임피던스를 고려해야 한다. 입력 임피던스가 용량성(capacitive)이면 순수 저항 분배기는 데이터 전송 속도를 제한한다. 이는 상단 저항과 직렬로 커패시터를 추가하여 분배기의 양쪽을 저항성뿐만 아니라 용량성으로 만들어 어느 정도 해결할 수 있다.

4. 4. 배율기

점선 안은 측정기의 지시부 및 내부 저항

r

, 배율기는

R

]]

전압계의 측정 범위를 넓히기 위해 사용되는 저항을 배율기라고 부른다.^[1]^[2]

오른쪽 그림에서 점선 안의 전압 측정기(검류계 G)의 최대 측정 전압(풀 스케일)은

V_1

이고, 그때 흐르는 전류는

I

, 측정기의 내부 저항은

r

이다.

이 측정기로 더 큰 전압을 측정하려면, 측정 전압을 가했을 때 흐르는 전류가

I

이하가 되도록 외부 저항

R

을 전압계와 직렬로 연결한다. 최대 측정 전압을 원하는 배율로 설정했을 때, 최대 측정 전류는 같으므로 다음과 같은 식이 성립한다.

:

I=\frac{V_1}{r}=\frac{V_1+V_2}{r+R}

예를 들어 측정 범위를 10배로 늘리려면,

V_1 \times 10

이

V_1+V_2

와 같으므로, 다음과 같이 계산하여 저항값을 설정할 수 있다.

:

\frac{V_1}{r}=\frac{10V_1}{r+R}

:

\therefore r+R=10r

:

\therefore R=9r

^[1]^[2]

참조

_[1] 웹사이트 A very quick and dirty introduction to Sensors, Microcontrollers, and Electronics; Part Three: how sensors and actuators work and how to hook them up to a microcontroller http://www.ieec.uned[...] 2014-07-02
_[2] 서적 SN74HCS72 Schmitt-Trigger Input Dual D-Type Negative-Edge-Triggered Flip-Flops With Clear and Preset https://www.ti.com/l[...] Texas Instruments Incorporated 2020-06

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