정역학적 평형

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1. 개요
2. 수학적 유도
3. 응용
참조

1. 개요

정역학적 평형은 유체 내에서 힘의 균형을 설명하는 개념으로, 정지 상태이거나 일정한 속도로 움직이는 유체에 작용하는 순 힘이 0인 상태를 의미한다. 이는 뉴턴의 운동 법칙, 나비에-스토크스 방정식, 일반상대론 등 다양한 방법으로 유도되며, 압력과 중력의 관계를 나타내는 미분 방정식 형태로 표현된다. 정역학적 평형은 유체역학, 천체물리학, 행성지질학, 대기과학 등 다양한 분야에 응용된다. 유체역학에서는 유체 정역학과 비중 측정에 활용되며, 천체물리학에서는 별과 행성의 구조 및 진화를 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 행성지질학에서는 천체의 형태를 결정하고, 행성과 왜행성을 구분하는 기준으로 사용된다. 대기과학에서는 대기압의 고도 변화를 설명하는 데 활용되며, 기상 예보 모델의 이론적 기반을 제공한다.

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정역학적 평형
설명
상세 정보
정의	유체 내의 압력 경도력과 중력 간의 완벽한 균형 상태
관련 분야	유체 정역학, 기상학, 천체 물리학
조건	유체가 정지해 있거나 유체가 일정한 속도로 움직임
주요 힘	압력 경도력 중력
응용
기상학	대기의 안정성 분석 및 기상 예측
해양학	해수 밀도 분포 및 해류 연구
천체 물리학	별의 내부 구조 및 행성 대기 모델링
방정식
기본 방정식	dp = -ρg dz (여기서 dp는 압력 변화, ρ는 밀도, g는 중력 가속도, dz는 높이 변화)
설명	이 방정식은 유체 내의 압력 변화가 밀도와 중력 가속도, 높이 변화에 의해 결정됨을 나타낸다.
관련 개념
유체 정역학	정지된 유체의 역학적 성질을 다루는 학문
대기압	대기가 누르는 압력
부력	유체 내에서 물체가 받는 위로 향하는 힘
추가 정보
중요성	다양한 자연 현상 및 공학적 응용에서 유체의 안정성과 평형을 이해하는 데 필수적이다.

2. 수학적 유도

뉴턴의 운동법칙에 따르면 정지해 있거나 일정한 속도로 움직이는 유체에 작용하는 순 힘은 0이다. 이는 힘의 평형을 이루어, 주어진 방향의 힘의 합이 반대 방향의 힘의 합과 같아야 함을 의미한다. 이러한 힘의 균형을 정역학적 평형이라고 한다.

정지 유체에 대해 생각해보면, 뉴턴 운동 법칙에 따라 이 유체에 작용하는 순 힘은 0이다. 즉, 유체에 위로 작용하는 힘은 아래로 작용하는 힘과 크기가 같아야 한다.

유체를 여러 개의 작은 육면체 부피 요소(유체 요소)로 나누어 생각할 수 있다. 단일 요소에 대한 고려를 통해 유체의 작용을 유도할 수 있다.

이 유체 요소에는 세 가지 힘이 작용한다. 유체 요소의 윗면(면적 A)에 대해 더 상층에 있는 유체로부터 가해지는 압력을 P_top라고 하면, 윗면에 작용하는 힘 F_top은 압력의 정의로부터 다음과 같다.

: $F_{\rm top} = P_{\rm top} \cdot A$

마찬가지로, 유체 요소의 아래쪽에서 밀어 올리는 압력 P_bottom에 의한 힘 F_bottom은 다음과 같다.

: $F_{\rm bottom} = - P_{\rm bottom} \cdot A$

여기서는 연직 아래 방향을 양의 방향으로 취하고 있으므로, 우변에 음의 부호가 붙는다.

마지막으로, 유체 요소 자체의 무게에 의해 아래쪽으로 힘이 작용한다. 유체의 밀도를 ρ, 유체 요소의 부피를 V, 중력 가속도를 g라고 하면, 이 힘은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $F_{\rm weight} = \rho \cdot g \cdot V$

여기서 부피 V는 유체 요소의 윗면·아랫면의 면적 A와 높이 h의 곱으로 바꿔 쓸 수 있다.

: $F_{\rm weight} = \rho \cdot g \cdot A \cdot h$

이 세 가지 힘의 평형을 고려하면, 유체 요소에 작용하는 힘의 합 F_total은 다음과 같다.

: $F_{\rm total} = F_{\rm top} + F_{\rm bottom} + F_{\rm weight} = P_{\rm top} \cdot A - P_{\rm bottom} \cdot A + \rho \cdot g \cdot A \cdot h$

여기서 유체 요소가 운동하지 않는 경우에는 이 합력은 0이 된다. 이 식을 A로 나누면,

: $0 = P_{\rm top} - P_{\rm bottom} + \rho \cdot g \cdot h$

또는

: $P_{\rm top} - P_{\rm bottom} = - \rho \cdot g \cdot h$

라는 식이 얻어진다. 여기서 P_top-P_bottom은 상하 면에 가해지는 압력의 차분이며, h는 유체 요소의 높이다. 여기서 이 높이가 충분히 작다고 가정하면, 이 방정식을 다음과 같이 미분 형태로 쓸 수 있다.

: $dP = - \rho \cdot g \cdot dh$

일반적으로 밀도는 압력의 함수이고, 또한 중력 가속도는 높이의 함수가 되므로, 이 방정식은 일반적으로 다음과 같이 나타낸다.

: $dP = - \rho(P) \cdot g(h) \cdot dh$

이 방정식은 나비에-스토크스 방정식을 풀어서도 얻을 수 있으며, 일반 상대성 이론에서도 유도할 수 있다.^[4]

2. 1. 뉴턴의 운동 법칙에서 유도

뉴턴의 운동법칙에 따르면 유체가 움직이지 않거나 일정한 속도를 가지려면 유체에 가해지는 합력은 0이 되어야 한다. 즉 어느 한 방향으로 가해지는 힘의 총합은 그와 반대 방향으로 가해지는 힘의 총합과 크기가 같고, 이 평형 상태를 정역학적 평형이라 한다.^[1]

유체 덩어리를 무수한 작은 직육면체 단위로 나눈다고 생각해 보자. 여기에 작용하는 힘은 3가지가 있다.^[1] 직육면체의 윗면과 아랫면에 작용하는 압력과 직육면체 자체의 중력에 의한 무게이다.

윗면에 작용하는 압력(

P_{top}

)에 의한 힘(

F_{top}

)은 압력의 정의에 의해 다음과 같다.^[1]

:

F_{top} = - P_{top} \cdot A.

아래쪽에 작용하는 압력(

P_{bottom}

)에 의한 힘(

F_{bottom}

)은 다음과 같다.^[1]

:

F_{bottom} = P_{bottom} \cdot A.

직육면체 자체의 무게에 의한 힘(

F_{weight}

)은 밀도가

\rho

, 부피가

V

, 표준중력이

g

일 때 다음과 같다.^[1]

:

F_{weight} = -\rho \cdot g \cdot V.

직육면체의 부피는 윗면 또는 아랫면의 면적에 높이를 곱한 것이므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.^[1]

:

F_{weight} = -\rho \cdot g \cdot A \cdot h

이 힘들이 평형을 이루기 위해 유체에 작용하는 합력은 다음과 같다.^[1]

:

\sum F = F_{bottom} + F_{top} + F_{weight} = P_{bottom} \cdot A - P_{top} \cdot A - \rho \cdot g \cdot A \cdot h.

유체의 속도가 일정하려면 이 합력이 0이 되어야 한다. 양변을

A

로 나누고 정리하면 다음과 같다.^[1]

:

0 = P_{bottom} - P_{top} - \rho \cdot g \cdot h.

:

P_{top} - P_{bottom} = - \rho \cdot g \cdot h.

P_{top} - P_{bottom}

는 압력의 변화를 의미하며,

h

는 단위부피의 높이, 즉 바닥에서의 거리 변화를 의미한다. 이 변화가 무한소로 작다고 가정하면, 식을 다음의 미분방정식으로 쓸 수 있다.^[1]

:

dP = - \rho \cdot g \cdot dh.

밀도는 압력에 따라 변화하고, 중력은 높이에 따라 변화하므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

dP = - \rho(P) \cdot g(h) \cdot dh.

강조 표시된 유체 부피가 가속되지 않으면 위쪽으로 작용하는 힘은 아래쪽으로 작용하는 힘과 같아야 합니다.

2. 2. 나비에-스토크스 방정식에서 유도

지구상의 정역학적 유체의 경우 다음과 같은 방정식이 성립한다.^[1]

:

dP = - \rho(P) \, g(h) \, dh

이 방정식은 평형 상태에 대한 3차원 나비에-스토크스 방정식을 풀어서 얻을 수 있다.^[1]

:

u = v = \frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial y} = 0

이때 유일하게 자명하지 않은 방정식은

z

에 관한 방정식이며, 다음과 같다.^[1]

:

\frac{\partial p}{\partial z} + \rho g = 0

따라서 정수압 평형은 나비에-스토크스 방정식의 특히 간단한 평형 해로 간주될 수 있다.^[1]

2. 3. 일반상대론에서 유도

완전 유체에 대한 에너지-운동량 텐서는 다음과 같다.

T^{\mu\nu} = \left(\rho c^{2} + P\right) u^\mu u^\nu + P g^{\mu\nu}

이를 아인슈타인 장 방정식

R_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} \left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} T\right)

에 대입하고, 다음 보존 조건을 사용하면

\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0

정적이고 구대칭적인 상대론적 별의 구조에 대한 톨만-오펜하이머-볼코프 방정식을 등방 좌표로 유도할 수 있다.

\frac{dP}{dr} = -\frac{G M(r)\rho(r)}{r^2} \left(1+\frac{P(r)}{\rho(r)c^2}\right) \left(1+\frac{4\pi r^3 P(r)}{M(r) c^2}\right) \left(1 - \frac{2GM(r)}{r c^2}\right)^{-1}

여기서 ''Ρ''와 ''ρ''는 상태 방정식 ''f''(''Ρ'',''ρ'') = 0으로 관련되어 있으며, ''f''는 별의 구성에 따라 달라지는 함수이다. ''M''(''r'')은 질량 밀도 ''ρ''(''r'')로 가중된 구의 엽상체이며, 가장 큰 구의 반경은 ''r''이다.

M(r) = 4\pi \int_0^r dr' \, r'^2 \rho(r').

비상대론적 극한 (

c \rightarrow \infty

)을 적용하면

\left(1+\frac{P(r)}{\rho(r)c^2}\right) \left(1+\frac{4\pi r^3P(r)}{M(r)c^2}\right) \left(1-\frac{2GM(r)}{r c^2} \right)^{-1} \rightarrow 1

이 되므로, 비상대론적 극한에서 톨만-오펜하이머-볼코프 방정식은 뉴턴의 정수압 평형으로 축소된다.

\frac{dP}{dr} = -\frac{GM(r)\rho(r)}{r^2} = -g(r)\,\rho(r)\longrightarrow dP = - \rho(h)\,g(h)\, dh

^[4]

3. 응용

정역학적 평형은 유체 정역학 및 평형의 원리와 관련된 유체에 관한 것이다. 정역학적 저울은 물속에서 물질의 무게를 측정하여 비중을 발견하는 데 사용되는 특별한 장치이다.

아이작 뉴턴 시대부터 유체가 우주에서 회전할 때 나타나는 평형 상태에 대한 많은 연구가 진행되었다. 이는 과거 유체였거나, 높은 응력을 받아 유체처럼 변형되는 별과 행성 등에 적용된다.

거대한 동반 천체가 있는 별은 조석력 때문에 회전만으로는 구형이 되기 어렵고 부등변 모양으로 변형되는데, 거문고자리 베타성이 그 예이다.

정역학적 평형은 은하단 내부 매질에서 중요하며, 은하단 중심부에 존재할 수 있는 유체의 양을 제한한다. 또한, 이 원리를 이용하여 은하단 내 암흑 물질의 속도 분산을 추정할 수 있다.

대기에서는 고도가 높아질수록 공기 압력이 감소한다. 이러한 압력 차이는 기압 경도력이라는 위쪽 방향의 힘을 발생시킨다. 중력은 이 힘과 균형을 이루어 대기가 지구에 묶여 있게 하고, 고도에 따른 압력 차이를 유지한다.

3. 1. 유체역학

뉴턴 운동 법칙에 따르면, 정지해 있거나 일정한 속도로 움직이는 유체는 알짜힘(순 힘)을 받지 않는다. 즉, 특정 방향으로 작용하는 힘은 반대 방향으로 작용하는 동일한 크기의 힘에 의해 상쇄된다. 이러한 힘의 균형 상태를 정역학적 평형이라고 한다.

유체는 작은 육면체 부피 요소들로 나눌 수 있으며, 이 작은 요소에 작용하는 힘을 분석함으로써 유체 전체의 움직임을 유추할 수 있다. 육면체 윗면에 작용하는 압력 ''P''에 의한 아래쪽 힘은 다음과 같다.

:

F_\text{top} = - P_\text{top} A

아랫면에서 위쪽으로 작용하는 압력에 의한 힘은 다음과 같다.

:

F_\text{bottom} = P_\text{bottom} A

또한, 부피 요소의 무게는 아래쪽으로 작용하는 힘을 발생시킨다. 밀도를 ''ρ'', 부피를 ''V'', 표준 중력을 ''g''라고 하면, 무게에 의한 힘은 다음과 같다.

:

F_\text{weight} = -\rho g V

육면체의 부피는 윗면 또는 아랫면의 면적 ''A''에 높이 ''h''를 곱한 값이므로, 무게에 의한 힘은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

F_\text{weight} = -\rho g A h

이 힘들의 균형을 통해 유체에 작용하는 총 힘을 계산하면 다음과 같다.

:

\sum F = F_\text{bottom} + F_\text{top} + F_\text{weight} = P_\text{bottom} A - P_\text{top} A - \rho g A h

유체가 정지해 있거나 등속 운동을 하는 경우, 이 힘의 합은 0이 된다. 양변을 ''A''로 나누면,

:

0 = P_\text{bottom} - P_\text{top} - \rho g h

또는,

:

P_\text{top} - P_\text{bottom} = - \rho g h

''P''_top − ''P''_bottom은 압력의 변화량이고, ''h''는 부피 요소의 높이 변화량이다. 이 변화가 매우 작다면, 위 식은 다음과 같은 미분 방정식 형태로 표현할 수 있다.

:

dP = - \rho g \, dh

밀도는 압력에 따라 변하고, 중력은 높이에 따라 변하므로, 최종적으로 다음과 같은 식을 얻는다.

:

dP = - \rho(P) \, g(h) \, dh

정역학적 평형은 유체 정역학 및 평형의 원리와 관련되어 있으며, 정역학적 저울은 물속에서 물질의 무게를 측정하여 비중을 발견하는 데 사용된다. 이 평형은 이상적인 유체가 정상적인 수평 층류 흐름에 있을 때, 또는 모든 유체가 정지해 있거나 일정한 속도로 수직 운동을 할 때 엄격하게 적용된다. 또한, 가속도가 무시할 수 있을 정도로 유속이 충분히 낮을 때도 만족스러운 근사치가 될 수 있다. 정수압 평형은 아르키메데스가 비중을 발견하는데 중요한 역할을 하였다.

일반적으로, 지구 대기의 수평 규모가 약 100km 이상인 현상이나, 해양의 대부분에서는 정역학적 평형이 성립한다고 간주할 수 있다.

3. 2. 천체물리학

항성 내부 층에서는 바깥으로 향하는 열압력과 중심으로 향하려는 무게압력이 정역학적 평형을 이룬다.^[22] 등방성 중력장은 항성을 최대한 조밀한 모양으로 만든다. 정역학적 평형 상태의 자전하는 항성은 납작하며 특정 각속도를 가진 매클로린 회전타원체가 된다. 극단적인 예로 자전주기가 12.5시간인 베가가 있는데, 베가는 이렇게 빠른 자전속도 때문에 적도지름이 극지름보다 20% 더 크다.^[22]

별의 특정 층에서는 바깥쪽으로 미는 압력 기울기와 위쪽 물질의 무게 사이에 정역학적 평형이 존재한다. 정역학적 평형을 가정하여 행성을 연구할 수도 있다. 정역학적 평형 상태에 있는 회전하는 별이나 행성은 일반적으로 편구형체이며, 세 개의 주요 축 중 두 개가 같고 세 번째 축보다 긴 타원체이다.

베가는 자전 주기가 12.5시간으로 짧아, 극지름보다 적도지름이 약 20% 더 크다.^[5]

거대한 동반 천체가 있는 별은 조석력의 영향으로 회전만으로는 구형이 될 별도 부등변 모양으로 변형된다. 이러한 예로는 거문고자리 베타성이 있다.^[9]

정역학적 평형은 은하단 내부 매질에서 중요하며, 은하단 코어에 존재할 수 있는 유체의 양을 제한한다. 또한, 정역학적 평형 원리를 이용하여 은하단 내 암흑 물질의 속도 분산을 추정할 수 있다.^[11]

3. 3. 행성지질학

2006년 국제천문연맹에서 채택한 행성의 정의에 따르면, 행성과 왜행성의 한 가지 정의적 특징은 자체 강성을 극복하고 정역학적 평형을 이룰 수 있을 만큼 충분한 중력을 가진 천체라는 것이다. 이러한 천체는 종종 플라네모의 분화된 내부 구조와 지질학을 갖지만, 4 베스타와 같이 정역학적 평형에 가깝거나 이전 정역학적 천체도 분화될 수 있으며, 일부 정역학적 천체(특히 칼리스토)는 형성 이후 완전히 분화되지 않았다. 종종 평형 모양은 지구와 같은 타원체이다. 그러나 동기 궤도에 있는 위성의 경우, 거의 일방향의 조석력이 부등변 타원체를 생성한다. 또한, 주장이 제기된 왜행성 Haumea|하우메아^영어는 빠른 자전으로 인해 부등변을 이루고 있지만, 현재는 평형 상태에 있지 않을 수 있다.

이전에는 얼음 천체가 암석 천체보다 정역학적 평형을 이루는 데 더 적은 질량이 필요하다고 여겨졌다. 평형 모양을 가진 것으로 보이는 가장 작은 천체는 396km의 얼음 위성 미마스인 반면, 명백히 평형이 아닌 모양을 가진 것으로 알려진 가장 큰 얼음 천체는 420km의 얼음 위성 프로테우스이며, 명백히 평형이 아닌 모양을 가진 가장 큰 암석 천체는 약 520km의 소행성 팔라스와 베스타이다. 그러나 미마스는 현재 자전에 대해 실제로 정역학적 평형 상태에 있지 않다. 정역학적 평형 상태로 확인된 가장 작은 천체는 945km의 얼음 왜행성 세레스인 반면, 정역학적 평형에서 눈에 띄는 편차를 보이는 가장 큰 천체는 주로 투과성 얼음과 거의 암석이 없는 이아페투스이다.^[12] 1469km의 이아페투스는 구형도 타원체도 아니다. 대신, 독특한 적도 능선으로 인해 호두와 같은 이상한 모양을 하고 있다.^[13] 일부 얼음 천체는 적어도 부분적으로는 지하 바다로 인해 평형 상태에 있을 수 있는데, 이는 국제천문연맹에서 사용하는 평형의 정의(내부 강체력을 극복하는 중력)가 아니다. 더 큰 천체조차 정역학적 평형에서 벗어나지만, 타원체이다. 예로는 3474km의 지구 달 (주로 암석),^[14] 및 4880km의 행성 수성 (주로 금속)이 있다.^[15]

2024년 Kiss et al.은 Quaoar|콰오아^영어가 현재 자전에 대해 정역학적 평형과 양립할 수 없는 타원체 모양을 가지고 있음을 발견했다. 그들은 콰오아가 원래 빠른 자전을 하고 정역학적 평형 상태에 있었지만, 위성 웨이워트의 조석력으로 인해 자전 속도가 느려지면서 그 모양이 "고정"되어 변하지 않았다고 가설을 세웠다.^[16] 만약 그렇다면, 이는 현재 자전에 대해 너무 납작한 이아페투스의 상황과 유사할 것이다.^[17]^[18] 이아페투스는 그럼에도 불구하고 일반적으로 행성급 위성으로 간주된다.^[19] 하지만 항상 그런 것은 아니다.^[20]

3. 4. 대기과학

대기 중에서는 고도가 높아질수록 공기의 압력이 감소한다. 이러한 압력 차이는 기압 경도력이라고 하는 상향력을 발생시킨다. 중력은 이를 상쇄하여 대기가 지구에 묶여 있게 하고 고도에 따른 압력 차이를 유지한다. 정역학적 평형의 개념으로부터 고도가 높아질수록 대기압이 낮아짐을 알 수 있다.^[1]

중력이 일정하다고 간주할 수 있는 경우의 정역학적 평형은, ''h''를 고도, ''g''를 중력 가속도라고 하면, 다음 식으로 나타낼 수 있다.

:

\frac{dP}{dh} = -\rho g

여기서 이상 기체의 상태 방정식

:

p = \rho RT

(''R'': 기체 상수, ''T'': 절대 온도)를 대입하면,

:

\frac{dP}{dh} = -\frac{Pg}{RT}

이 된다.

위의 식은 압력 기울기에 의한 수직 방향의 힘과 중력이 평형을 이룸을 나타낸다.

또한, 어떤 고도에서의 기압은, 무한 원방 (실질적으로는 대기권의 최원방)에서 해당 고도까지 존재하는 물질의 단위 면적당 무게를 수직 방향으로 적분한 것임을 알 수 있다.^[1]

참조

_[1] 서적 Fluid Mechanics McGraw-Hill 2008
_[2] 서적 Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics: Fundamentals and Large-scale Circulation https://books.google[...] Cambridge University Press 2006-11-06
_[3] 서적 Ocean Circulation in Three Dimensions https://books.google[...] Cambridge University Press 2019-03-14
_[4] 서적 Einstein gravity in a nutshell Princeton University Press 2013
_[5] 문서 Propositions X-XXIV (Motions of celestial bodies and the sea) https://en.wikisourc[...]
_[6] 서적 A Treatise on Fluxions https://ia800903.us.[...] 1742
_[7] 간행물 Les formes d'équilibre d'une masse fluide en rotation https://www.yumpu.co[...] 1892
_[8] 웹사이트 Gallery : The shape of Planet Earth http://www.josleys.c[...] Josleys.com 2014-06-15
_[9] 간행물 An Inquiry concerning the Figure of Such Planets as Revolve about an Axis, Supposing the Density Continually to Vary, from the Centre towards the Surface 1737
_[10] 간행물 On Attractions, and on Clairaut's Theorem https://ia801603.us.[...] 1849
_[11] 서적 Cosmology Oxford University Press 2008
_[12] 간행물 Sizes, shapes, and derived properties of the saturnian satellites after the Cassini nominal mission http://www.ciclops.o[...] 2010-07
_[13] 간행물 Iapetus' geophysics: Rotation rate, shape, and equatorial ridge 2007
_[14] 간행물 Evidence for a Past High-Eccentricity Lunar Orbit 2006-08-04
_[15] 서적 Mercury: The View after MESSENGER Cambridge University Press 2018
_[16] 간행물 The visible and thermal light curve of the large Kuiper belt object (50000) Quaoar 2024-03
_[17] 뉴스 Idiosyncratic Iapetus Science News 2007
_[18] 간행물 Sizes, shapes, and derived properties of the saturnian satellites after the Cassini nominal mission http://www.ciclops.o[...] 2015-09-25
_[19] 웹사이트 What Is A Planet? https://www.planetar[...] 2020-04-21
_[20] 간행물 Probabilistic Forecasting of the Masses and Radii of Other Worlds 2016
_[21] 문서 White (2008). p 63, 66.
_[22] 웹인용 Gallery : The shape of Planet Earth http://www.josleys.c[...] Josleys.com 2014-06-15

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