정지 시간

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1. 개요
2. 정의
3. 예
4. 국소화
- 4.1. 국소 마팅게일 과정
- 4.2. 국소 적분 가능 과정
5. 정지 시간의 유형
6. 임상 시험에서의 정지 규칙
참조

1. 개요

정지 시간은 확률론에서 사용되는 개념으로, 확률 과정의 특정 시점을 결정하는 데 사용된다. 전순서 집합 T와 여과 확률 공간이 주어졌을 때, 정지 시간 τ는 τ ≤ t인 사건의 발생 여부가 시각 t에서 알려진 정보만으로 확인할 수 있는 함수이다. 정지 시간은 이산 시간, 일반적인 경우, 적응 과정 등 다양한 맥락에서 정의되며, 확률 과정의 속성을 국소적으로 일반화하는 데 활용된다. 정지 시간은 예측 가능, 접근 가능, 완전 접근 불가능의 세 가지 유형으로 분류되며, 임상 시험에서 시험 중단 여부를 결정하는 정지 규칙으로도 사용된다.

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정지 시간
정지 시간
정의	확률 변수가 특정 조건을 만족하는 시점
수학적 표현	τ
관련 개념	마르코프 모멘트

2. 정의

상계 $\infty\in T$ 를 갖는 전순서 집합 $(T,\le)$ 와 여과 확률 공간 $(\Omega,\mathcal F_t,\Pr)_{t\in T}$ 이 주어졌을 때, '''정지 시간'''은 다음 조건을 만족시키는 함수 $\tau\colon \Omega \to T$ 이다.

: $\forall t\in T\colon \{\omega\in\Omega\colon \tau(\omega)\le t\} \in\mathcal F_t$

즉, $\tau \le t$ 인 사건 발생 여부는 시각 $t\in T$ 에서 알려진 정보 $\mathcal F_t$ 만으로 확인할 수 있어야 한다. 순서 위상의 보렐 가측 공간 구조를 부여하면, 이는 확률 변수 $\tau \colon(\Omega,\mathcal F_\infty,\Pr) \to T$ 를 정의한다.

확률 과정의 정지 시간은 그 자연 여과 확률 공간에 대한 정지 시간을 의미한다.

2. 1. 이산 시간

상계

\infty\in T

를 갖는 전순서 집합

(T,\le)

와 여과 확률 공간

(\Omega,\mathcal F_t,\Pr)_{t\in T}

이 주어졌을 때, '''정지 시간'''은 다음 조건을 만족시키는 함수

\tau\colon \Omega \to T

이다.

:

\forall t\in T\colon \{\omega\in\Omega\colon \tau(\omega)\le t\} \in\mathcal F_t

즉,

\tau \le t

인 사건 발생 여부는 시각

t\in T

에서 알려진 정보

\mathcal F_t

만으로 확인할 수 있어야 한다. 순서 위상의 보렐 가측 공간 구조를 부여하면, 이는 확률 변수

\tau \colon(\Omega,\mathcal F_\infty,\Pr) \to T

를 정의한다.

확률 과정의 정지 시간은 그 자연 여과 확률 공간에 대한 정지 시간을 의미한다.

2. 2. 일반적인 경우

여과 확률 공간

(\Omega,\mathcal F_t,\Pr)_{t\in T}

이 주어졌을 때, '''정지 시간'''은 다음 조건을 만족시키는 함수

\tau\colon \Omega \to T

이다.

:

\forall t\in T\colon \{\omega\in\Omega\colon \tau(\omega)\le t\} \in\mathcal F_t

이는

\tau \le t

인 사건 발생 여부를 시각

t\in T

에서 알려진 정보

\mathcal F_t

만으로 확인할 수 있음을 의미한다.

정의에 따라,

T

에 순서 위상의 보렐 가측 공간 구조를 부여하면, 이는 확률 변수

\tau \colon(\Omega,\mathcal F_\infty,\Pr) \to T

를 정의한다.

확률 과정의 정지 시간은 그 자연 여과 확률 공간에 대한 정지 시간을 의미한다.

\tau

를 여과 확률 공간

(\Omega, \mathcal F, (\mathcal F_t)_{t \in T}, P)

에서

T

의 값을 갖는 확률 변수라고 할 때, 대부분의 경우

T=[0,+ \infty)

이다.

\tau

가 다음 조건을 만족하면,

\tau

를 정지 시간(여과

\mathbb F= (\mathcal F_t)_{t \in T}

에 관하여)이라고 한다.

:

\{ \tau \leq t \} \in \mathcal F_t

for all

t \in T

2. 3. 적응 과정

확률 변수

\tau

가 필터링된 확률 공간

(\Omega, \mathcal F, (\mathcal F_t)_{t \in T}, P)

에서

T

값을 갖도록 정의되었다고 하자. 그러면

\tau

는 다음과 같이 정의된 확률 과정

X=(X_t)_{t \in T}

가 필터링

\mathbb F= (\mathcal F_t)_{t \in T}

에 대해 적응 과정이면 정지 시간이라고 한다.

:

X_t:= \begin{cases} 1 & \text{ if } t < \tau \\ 0 &\text{ if } t \geq \tau \end{cases}

3. 예

위너 확률 과정에서 어떤 보렐 집합에 도달하는 시간은 자연 여과 확률 공간에 대한 정지 시간을 이룬다.^[2]

룰렛 게임에서 특정 조건을 만족하는 베팅 전략은 정지 시간에 해당하지만, 미래의 정보에 의존하는 전략은 정지 시간이 아니다. 예를 들어, 정확히 다섯 게임을 하는 것은 정지 시간 ''τ'' = 5에 해당하며 정지 규칙에 해당한다. 돈이 다 떨어지거나 500게임을 할 때까지 게임을 하는 것도 정지 규칙에 해당한다.

하지만, 지금까지 얻은 최대 금액을 얻을 때까지 게임을 하는 것은 현재와 과거뿐만 아니라 미래에 대한 정보가 필요하므로 정지 규칙에 해당하지 않으며 정지 시간을 제공하지 않는다. 돈을 두 배로 만들 때까지 게임을 하는 것은 돈을 두 배로 만들지 못할 양의 확률이 있으므로 정지 규칙에 해당하지 않는다. 반면, 돈을 두 배로 만들거나 돈이 다 떨어질 때까지 게임을 하는 것은, 플레이하는 게임 수에 잠재적으로 제한이 없더라도, 유한한 시간 안에 멈출 확률이 1이므로 정지 규칙에 해당한다.

확률 과정 $(B_t)_{t\geq 0}$ 인 브라운 운동을 생각해 보자. 여기서 각 $B_t$ 는 확률 공간 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 에 정의된 확률 변수이다. $\mathcal{F}_t$ 를 $0\leq s \leq t$ 이고 $A\subseteq \mathbb{R}$ 이 보렐 집합인 형태 $(B_s)^{-1}(A)$ 의 모든 집합에 의해 생성된 ''σ''-대수라고 함으로써 이 확률 공간에 여과를 정의한다. 직관적으로, 사건 ''E''는 시간 0부터 시간 ''t''까지 브라운 운동을 관찰하는 것만으로 ''E''가 참인지 거짓인지 결정할 수 있는 경우에만 $\mathcal{F}_t$ 에 속한다.^[2]

예를 들어, $\tau:=\inf \{t\geq 0 \mid B_t = a\}$ 는 브라운 운동이 값 ''a''에 도달하는 즉시 멈추는 정지 규칙에 해당하며, 이는 정지 시간의 예시이다.^[2] 또한 $\tau:=\inf \{t\geq 1 \mid B_s > 0 \text{ for all } s\in[t-1,t]\}$ 와 같이, 브라운 운동이 연속적인 길이 1시간 동안 양수였던 즉시 멈추는 정지 규칙도 정지 시간이다. 일반적으로, τ₁과 τ₂가 정지 시간인 경우, 그들의 최소값, 최대값, 합 역시 정지 시간이다.^[2]

일반적으로, τ₁과 τ₂가 $\left(\Omega, \mathcal{F}, \left\{ \mathcal{F}_{t} \right \}_{t \geq 0}, \mathbb{P}\right)$ 에서 정지 시간인 경우, 그들의 최솟값 $\tau _1 \wedge \tau _2$ , 그들의 최댓값 $\tau _1 \vee \tau _2$ , 그리고 그들의 합 ''τ''₁ + ''τ''₂ 역시 정지 시간이다.^[2] 하지만 차와 곱의 경우에는 멈춰야 할 시점을 결정하기 위해 "미래를 볼" 필요가 있을 수 있기 때문에 정지 시간이 아닐 수 있다.

도달 시간은 정지 시간의 중요한 예시가 될 수 있지만, 특정 도달 시간이 정지 시간임을 보이는 것은 더 어려울 수 있으며, 이는 데뷔 정리로 알려져 있다.^[2]

3. 1. 룰렛 게임

룰렛 게임에서 특정 조건을 만족하는 베팅 전략은 정지 시간에 해당하지만, 미래의 정보에 의존하는 전략은 정지 시간이 아니다. 예를 들어, 정확히 다섯 게임을 하는 것은 정지 시간 ''τ'' = 5에 해당하며 정지 규칙에 해당한다. 돈이 다 떨어지거나 500게임을 할 때까지 게임을 하는 것도 정지 규칙에 해당한다.

하지만, 지금까지 얻은 최대 금액을 얻을 때까지 게임을 하는 것은 현재와 과거뿐만 아니라 미래에 대한 정보가 필요하므로 정지 규칙에 해당하지 않으며 정지 시간을 제공하지 않는다. 돈을 두 배로 만들 때까지 게임을 하는 것은 돈을 두 배로 만들지 못할 양의 확률이 있으므로 정지 규칙에 해당하지 않는다. 반면, 돈을 두 배로 만들거나 돈이 다 떨어질 때까지 게임을 하는 것은, 플레이하는 게임 수에 잠재적으로 제한이 없더라도, 유한한 시간 안에 멈출 확률이 1이므로 정지 규칙에 해당한다.

3. 2. 브라운 운동

위너 확률 과정에서 어떤 보렐 집합에 도달하는 시간은 자연 여과 확률 공간에 대한 정지 시간을 이룬다.^[2] 예를 들어,

\tau:=\inf \{t\geq 0 \mid B_t = a\}

는 브라운 운동이 값 ''a''에 도달하는 즉시 멈추는 정지 규칙에 해당하며, 이는 정지 시간의 예시이다.^[2] 또한

\tau:=\inf \{t\geq 1 \mid B_s > 0 \text{ for all } s\in[t-1,t]\}

와 같이, 브라운 운동이 연속적인 길이 1시간 동안 양수였던 즉시 멈추는 정지 규칙도 정지 시간이다. 일반적으로, τ₁과 τ₂가 정지 시간인 경우, 그들의 최소값, 최대값, 합 역시 정지 시간이다.^[2]

도달 시간은 정지 시간의 중요한 예시가 될 수 있지만, 특정 도달 시간이 정지 시간임을 보이는 것은 더 어려울 수 있으며, 이는 데뷔 정리로 알려져 있다.^[2]

3. 3. 정지 시간의 결합

확률 과정

(B_t)_{t\geq 0}

인 브라운 운동을 생각해 보자. 여기서 각

B_t

는 확률 공간

(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})

에 정의된 확률 변수이다.

\mathcal{F}_t

를

0\leq s \leq t

이고

A\subseteq \mathbb{R}

이 보렐 집합인 형태

(B_s)^{-1}(A)

의 모든 집합에 의해 생성된 ''σ''-대수라고 함으로써 이 확률 공간에 여과를 정의한다. 직관적으로, 사건 ''E''는 시간 0부터 시간 ''t''까지 브라운 운동을 관찰하는 것만으로 ''E''가 참인지 거짓인지 결정할 수 있는 경우에만

\mathcal{F}_t

에 속한다.^[2]

일반적으로, τ₁과 τ₂가

\left(\Omega, \mathcal{F}, \left\{ \mathcal{F}_{t} \right \}_{t \geq 0}, \mathbb{P}\right)

에서 정지 시간인 경우, 그들의 최솟값

\tau _1 \wedge \tau _2

, 그들의 최댓값

\tau _1 \vee \tau _2

, 그리고 그들의 합 ''τ''₁ + ''τ''₂ 역시 정지 시간이다.^[2] 하지만 차와 곱의 경우에는 멈춰야 할 시점을 결정하기 위해 "미래를 볼" 필요가 있을 수 있기 때문에 정지 시간이 아닐 수 있다.

4. 국소화

정지 시간은 특정 확률 과정의 속성을, 필요한 속성이 국소적인 의미에서만 충족되는 상황으로 일반화하는 데 자주 사용된다. 먼저, ''X''가 과정이고 τ가 정지 시간인 경우, ''X''^''τ''는 시간 ''τ''에서 정지된 과정 ''X''를 나타내는 데 사용된다.

: $X^\tau_t=X_{\min(t,\tau)}$

그런 다음, ''X''는 정지 시간 시퀀스 τ_''n''이 무한대로 증가하고 해당 과정에 대해 다음과 같은 경우 속성 ''P''를 국소적으로 만족한다고 한다.

: $\mathbf{1}_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n}$

속성 ''P''를 만족합니다. 시간 인덱스 집합 ''I'' = [0, ∞)를 갖는 일반적인 예는 다음과 같다.

'''국소 마팅게일 과정'''. 과정 ''X''가 국소 마팅게일이고 càdlàg이며, 무한대로 증가하는 정지 시간 시퀀스 τ_''n''이 존재하여

:

\mathbf{1}_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n}

각 ''n''에 대해 마팅게일이다.

'''국소 적분 가능 과정'''. 비음수이고 증가하는 과정 ''X''는 무한대로 증가하는 정지 시간 시퀀스 ''τ''_''n''이 존재하여 국소적으로 적분 가능하다.

:

\operatorname{E} \left [\mathbf{1}_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n} \right ]<\infty

각 ''n''에 대해.

4. 1. 국소 마팅게일 과정

정지 시간은 확률 과정의 속성을 일반화하는 데 사용된다. ''X''가 과정이고 τ가 정지 시간인 경우, ''X''^''τ''는 시간 ''τ''에서 정지된 과정 ''X''를 나타내며,

X^\tau_t=X_{\min(t,\tau)}

로 표현된다.

과정 ''X''는 정지 시간 시퀀스 τ_''n''이 무한대로 증가하고,

\mathbf{1}_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n}

이 속성 ''P''를 만족하는 경우, 속성 ''P''를 국소적으로 만족한다고 한다.

시간 인덱스 집합 ''I'' = [0, ∞)를 갖는 경우의 예시는 다음과 같다.

'''국소 마팅게일 과정'''. 과정 ''X''가 국소 마팅게일이고 càdlàg이며, 무한대로 증가하는 정지 시간 시퀀스 τ_''n''이 존재하여 $\mathbf{1}_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n}$ 이 각 ''n''에 대해 마팅게일이다.

4. 2. 국소 적분 가능 과정

정지 시간은 특정 확률 과정의 속성을, 필요한 속성이 국소적인 의미에서만 충족되는 상황으로 일반화하는 데 자주 사용된다. 먼저, ''X''가 과정이고 τ가 정지 시간인 경우, ''X''^''τ''는 시간 ''τ''에서 정지된 과정 ''X''를 나타내는 데 사용된다.

:

X^\tau_t=X_{\min(t,\tau)}

과정 ''X''는 정지 시간 시퀀스 τ_''n''이 무한대로 증가하고 해당 과정에 대해 다음과 같은 경우 속성 ''P''를 국소적으로 만족한다고 한다.

:

\mathbf{1}_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n}

시간 인덱스 집합 ''I'' = [0, ∞)를 갖는 경우, 비음수이고 증가하는 과정 ''X''는 무한대로 증가하는 정지 시간 시퀀스 ''τ''_''n''이 존재하여 국소적으로 적분 가능하다.

:

\operatorname{E} \left [\mathbf{1}_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n} \right ]<\infty

5. 정지 시간의 유형

정지 시간은 시간 지수 집합 ''I'' = [0, ∞)를 가지며, 언제 발생할지 예측 가능성에 따라 여러 유형으로 나뉜다.

예측 가능 시간

정지 시간 ''τ''가 예측 가능하다는 것은, ''τ'' > 0일 때마다 ''τ''_''n'' < ''τ''를 만족하는 정지 시간 ''τ''_''n''의 증가하는 수열의 극한과 같을 경우를 의미한다. 수열 ''τ''_''n''은 ''τ''를 "예고"한다고 하며, 예측 가능한 정지 시간은 때때로 "예고 가능"이라고도 한다. 예측 가능한 정지 시간의 예로는 연속적이고 적응된 과정의 도달 시간이 있다. 만약 ''τ''가 연속적이고 실수 값을 갖는 과정 ''X''가 어떤 값 ''a''와 같아지는 첫 번째 시간이라면, 이는 ''τ''_''n'' 수열에 의해 예고되는데, 여기서 ''τ''_''n''은 ''X''가 ''a''로부터 1/''n'' 거리 내에 있는 첫 번째 시간이다.

접근 가능 시간

접근 가능한 정지 시간은 예측 가능한 시간의 수열로 덮일 수 있는 시간이다. 즉, 정지 시간 ''τ''가 접근 가능하다는 것은, P(''τ'' = ''τ''_''n'' for some ''n'') = 1이며, 여기서 ''τ''_''n''은 예측 가능한 시간이다.

완전 접근 불가능 시간

정지 시간 ''τ''가 '''완전히 접근 불가능'''하다는 것은, 정지 시간의 증가하는 수열에 의해 절대로 예고될 수 없다는 것을 의미한다. 즉, 모든 예측 가능한 시간 ''σ''에 대해 P(''τ'' = ''σ'' < ∞) = 0이다. 완전히 접근 불가능한 정지 시간의 예로는 푸아송 과정의 점프 시간이 있다.

모든 정지 시간 ''τ''는 접근 가능한 시간과 완전히 접근 불가능한 시간으로 고유하게 분해될 수 있다. 즉, ''σ'' < ∞일 때마다 ''τ'' = ''σ''이고, ''υ'' < ∞일 때마다 ''τ'' = ''υ''이며, ''σ'' = ''υ'' = ∞일 때마다 ''τ'' = ∞가 되는 고유한 접근 가능한 정지 시간 σ와 완전히 접근 불가능한 시간 υ가 존재한다. 이 분해 결과의 설명에서 정지 시간은 거의 확실하게 유한할 필요가 없으며, ∞가 될 수도 있다.

5. 1. 예측 가능 시간

정지 시간 ''τ''가 예측 가능하다는 것은, ''τ'' > 0일 때마다 ''τ''_''n'' < ''τ''를 만족하는 정지 시간 ''τ''_''n''의 증가하는 수열의 극한과 같을 경우를 의미한다. 수열 ''τ''_''n''은 ''τ''를 "예고"한다고 하며, 예측 가능한 정지 시간은 때때로 "예고 가능"이라고도 한다. 예측 가능한 정지 시간의 예로는 연속적이고 적응된 과정의 도달 시간이 있다.

5. 2. 접근 가능 시간

접근 가능한 정지 시간은 예측 가능한 시간들의 수열로 덮일 수 있다. 즉, 정지 시간 ''τ''가 접근 가능하다는 것은 P(''τ'' = ''τ''_''n'' for some ''n'') = 1이며, 여기서 ''τ''_''n''은 예측 가능한 시간이다.

5. 3. 완전 접근 불가능 시간

완전 접근 불가능 시간은 정지 시간의 증가하는 수열에 의해 절대로 예고될 수 없다. 즉, 모든 예측 가능한 시간 ''σ''에 대해 P(''τ'' = ''σ'' < ∞) = 0이다. 푸아송 과정의 점프 시간이 완전 접근 불가능 시간의 예시이다.

6. 임상 시험에서의 정지 규칙

임상 시험에서는 중간 분석 결과에 따라 시험을 조기에 중단할지 여부를 결정하는 정지 규칙이 사용된다. 이러한 정지 규칙은 위양성 결과의 위험을 줄이기 위해 설계된다. 중간 분석은 위양성 결과의 위험을 초래하므로, 중단 경계를 사용하여 중간 분석의 횟수와 시기를 결정한다. 이를 알파 지출이라고 하며, 위양성률을 나타낸다. 각 R번의 중간 검사에서 가능성이 사용된 방법에 따라 달라지는 임계값 p 미만이면 시험이 중단된다. 순차 분석은 중간 결과에 기반하여 임상 시험을 조기에 중단하는 방법론이다.

참조

_[1] 서적 Random Measures, Theory and Applications Springer
_[2] 간행물 On simple representations of stopping times and stopping time sigma-algebras
_[3] 서적 Random Measures, Theory and Applications Springer

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