제동 복사

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1. 개요

제동 복사는 독일어로 "제동하다"와 "복사"를 의미하는 단어의 조합으로, 금속 물질에서 전자가 감속될 때 방출되는 복사를 지칭한다. 이는 외부 및 내부 제동 복사로 분류되며, 가속되는 하전 입자가 에너지를 방출하는 현상으로 설명된다. 제동 복사는 총 방사 전력, 각도 분포, 양자역학적 설명을 통해 분석되며, X선관, 베타 붕괴, 천체물리학, 전기 방전 등 다양한 분야에 응용된다. 특히 X선관에서는 연속 X선 스펙트럼을 생성하고, 천체물리학에서는 은하단 내 가스 및 H II 영역의 빛을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

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제동 복사
개요
35 kVp에서 몰리브덴 타겟 엑스선관의 방출 스펙트럼의 예시.
다른 이름	제동 복사, 감속 복사
종류	전자기파
발생 원인	하전 입자가 다른 하전 입자에 의해 가속되거나 감속될 때 하전 입자가 자기장을 통과할 때
관련 현상	싱크로트론 복사
상세 정보
설명	하전 입자가 다른 하전 입자(보통 원자핵)의 쿨롱장에 의해 가속될 때 방출되는 전자기파 하전 입자가 갑자기 감속하거나 방향이 바뀔 때 발생
스펙트럼	연속적인 스펙트럼을 가짐 최대 에너지 제한: 입자의 초기 운동 에너지에 의해 결정
엑스선관	전자를 금속 타겟에 충돌시켜 엑스선을 생성하는 데 사용 생성된 엑스선의 스펙트럼은 브렘스슈트랄룽과 타겟 물질의 특성 엑스선으로 구성
플라즈마	플라즈마에서 전자와 이온 사이의 충돌로 인해 발생
천체물리학	성간 매질에서 전자와 이온 사이의 상호 작용으로 인해 발생 다양한 천체에서 복사 메커니즘으로 작용
추가 정보
어원	독일어 "Bremsstrahlung" (제동 복사)에서 유래
활용	X선 발생 장치 암 치료 산업 분야

2. 어원

독일어로 Bremsen^de은 "제동하다", Strahlung^de은 "복사"를 뜻한다. 금속 물질에서 전자가 감속될 때 방출되는 복사를 묘사한 것이다.

3. 분류

제동 복사는 외부 제동 복사와 내부 제동 복사로 분류할 수 있다.

3. 1. 외부 제동 복사

외부 제동 복사(outer bremsstrahlung^영어)는 물질 안에서 갑자기 멈추면서 이온화에 의한 복사로 에너지를 잃는 것을 말한다. 이것은 에너지가 50keV 이상의 전자들에서 보이는 현상이다.

3. 2. 내부 제동 복사

내부 제동 복사(inner bremsstrahlung^영어)는 핵자의 전이에서 가능한 에너지의 광자보다 작거나 거의 같은 최대 에너지의 방출을 초래하는 현상으로, 베타 붕괴 시 방출되는 복사의 경우에 적용된다. 내부 제동 복사는 외부 제동 복사를 일으키는 방법과 같이, 원자 붕괴를 겪으면서 핵 영역에서 전기장의 갑작스러운 변화에 의해 유발된다. 전자와 양전자 방출에서, 베타 입자의 증가하는 에너지의 연속적으로 감소하는 제동 복사의 스펙트럼과 함께, 전자/핵의 쌍으로부터 광자의 에너지가 나온다. 전자 포획에서 에너지는 뉴트리노에서 나오며, 그 스펙트럼은 보통 중성미자 에너지의 약 1/3에서 최대이다.^[27]

"내부" 제동 복사는 전자가 생성되고 핵을 떠날 때 에너지 손실(붕괴를 겪고 있는 핵 영역의 강한 전기장으로 인한)로 인해 발생한다. 이러한 방사선은 핵의 베타 붕괴의 특징이지만, 베타 전자가 양성자를 떠날 때 생성되는 자유 중성자의 양성자로의 베타 붕괴에서 가끔(덜 흔하게) 관찰된다.

베타 붕괴에 의한 전자 및 양전자 방출에서 광자의 에너지는 전자-핵자 쌍에서 나오며, 제동 복사의 스펙트럼은 베타 입자의 에너지가 증가함에 따라 지속적으로 감소한다. 전자 포획의 경우, 에너지는 중성미자의 손실로 발생하며, 스펙트럼은 일반적인 중성미자 에너지의 약 3분의 1에서 가장 크고, 일반적인 중성미자 에너지에서 0의 전자기 에너지로 감소한다. 전자 포획의 경우, 제동 복사가 하전 입자가 방출되지 않더라도 방출된다는 점에 유의해야 한다. 대신, 제동 복사 방사선은 포획된 전자가 흡수되기 위해 가속될 때 생성되는 것으로 생각할 수 있다. 이러한 방사선은 연성 감마선과 동일한 주파수에 있을 수 있지만, 감마 붕괴의 날카로운 스펙트럼 선을 전혀 나타내지 않으므로 기술적으로 감마선은 아니다.^[27]

내부 과정은 외부에서 오는 전자(즉, 다른 핵에 의해 방출됨)가 핵에 충돌하여 발생하는 "외부" 제동 복사와 대조된다.^[27]

4. 고전적 설명

양자역학적 효과가 무시될 때, 가속되는 하전 입자는 라모 공식과 그 상대론적 일반화에 의해 설명된 대로 에너지를 방출한다.^[2]^[3]^[4]

전자기 복사를 생성하기 위해 먼저 일정한 속도로 움직이다가 빠르게 멈추는 (음전하) 전하에 의해 생성된 전기장의 필드 라인 및 크기를 보여줍니다.

4. 1. 총 방사 전력

총 방사 전력은 다음과 같다.^[2]

:

P = \frac{2 \bar q^2 \gamma^4}{3 c}\left( \dot{\beta}^2 + \frac{\left(\boldsymbol{\beta} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}\right)^2}{1 - \beta^2}\right),

여기서

\boldsymbol\beta = \frac{\mathbf v}{c}

는 입자의 속도를 빛의 속도로 나눈 값,

\gamma = {1}/{\sqrt{1-\beta^2}}

는 로렌츠 인자,

\varepsilon_0

는 진공 유전율,

\dot{\boldsymbol{\beta}

는

\boldsymbol\beta

의 시간에 대한 미분,

q

는 입자의 전하량이다.

속도가 가속도와 평행한 경우(즉, 선형 운동) 이 식은 다음과 같이 단순화된다.^[3]

:

P_{a \parallel v} = \frac{2 \bar q^2 a^2 \gamma^6}{3 c^3},

여기서

a \equiv \dot{v} = \dot{\beta}c

는 가속도이다. 속도에 수직인 가속도(

\boldsymbol{\beta} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}} = 0

)의 경우(예: 싱크로트론), 총 전력은 다음과 같다.

:

P_{a \perp v} = \frac{2 \bar q^2 a^2 \gamma^4 }{3c^3}.

두 극한의 경우 방사 전력은

\gamma^4

(

a \perp v

) 또는

\gamma^6

(

a \parallel v

)에 비례한다.

E = \gamma m c^2

이므로, 동일한 에너지를 가진 입자의 경우 총 방사 전력은

m^{-4}

또는

m^{-6}

에 비례한다. 이는 전자가 뮤온, 양성자, 알파 입자와 같은 무거운 하전 입자보다 제동 복사로 에너지를 훨씬 더 빠르게 잃는 이유를 설명한다. TeV 에너지 전자-양전자 충돌기(예: 제안된 국제 선형 충돌기)가 원형 터널(상수 가속도 필요)을 사용할 수 없는 반면, 양성자-양성자 충돌기(예: 거대 강입자 충돌기)는 원형 터널을 사용할 수 있는 이유가 바로 여기에 있다. 전자는 제동 복사로 인해 양성자보다

(m_\text{p}/m_\text{e})^4 \approx 10^{13}

배 더 빠르게 에너지를 잃는다.

원자 번호(

Z

)가 작은 경우, 자유 전자가 원자 또는 분자의 껍질 전자에 산란되는 것이 중요한 메커니즘으로 간주된다.^[35] 전자-전자 제동 복사는

Z

의 함수이고, 일반적인 전자-핵 제동 복사는

Z^2

의 함수이므로, 전자-전자 제동 복사는 금속에서는 무시할 수 있다. 하지만 공기 중에서는 지상 감마선 섬광 생성에 중요한 역할을 한다.^[36]

4. 2. 각도 분포

방사 전력은 각도의 함수로 나타낼 수 있으며, 가장 일반적인 공식은 다음과 같다.^[4]

:

\frac{d P}{d\Omega} = \frac{\bar q^2}{4\pi c} \frac{\left|\hat{\mathbf n} \times \left(\left(\hat{\mathbf n} - \boldsymbol{\beta}\right) \times \dot{\boldsymbol{\beta}}\right)\right|^2}{\left(1 - \hat{\mathbf n}\cdot\boldsymbol{\beta}\right)^5}

여기서

\hat{\mathbf n}

는 입자에서 관찰자를 가리키는 단위 벡터이고,

d\Omega

는 무한소 입체각이다.

속도가 가속도와 평행한 경우(예: 선형 운동) 이 식은 다음과 같이 단순화된다.^[4]

:

\frac{dP_{a \parallel v}}{d\Omega} = \frac{\bar q^2a^2}{4\pi c^3}\frac{\sin^2 \theta}{(1 - \beta \cos\theta)^5}

여기서

\theta

는

\boldsymbol{\beta}

와 관찰 방향

\hat{\mathbf n}

사이의 각도이다. 이 경우, 방사 전력은 특정 각도에서 최댓값을 갖는다.

5. 양자역학적 설명

제동 복사에 대한 완전한 양자역학적 처리는 매우 복잡하다. 조머펠트는 1931년에 순수한 쿨롱 퍼텐셜을 사용하는 "진공 경우"에 대한 정확한 해를 발표했다.^[5] 이 해는 복잡한 수학을 포함하며, 이후 카르차스(Karzas)와 레터(Latter)에 의해 여러 수치 계산이 발표되었다.^[6] 최근에는 바인베르크(Weinberg)^[7], 프라들러(Pradler) 및 젬멜로크(Semmelrock)^[8] 등에 의해 다른 근사 공식들이 제시되었다.

여기서는 양자역학적 처리에 몇 가지 단순화를 적용하여 비상대론적 경우를 다룬다. 질량 $m_\text{e}$ , 전하 $-e$ , 초기 속도 $v$ 를 가진 전자가 전하 $Ze$ 와 수 밀도 $n_i$ 를 가진 무거운 이온 가스의 쿨롱 장에서 감속하는 경우를 생각한다. 방출되는 복사는 주파수 $\nu=c/\lambda$ 와 에너지 $h\nu$ 를 가진 광자이다.

방사율 $j(v,\nu)$ 는 양자 및 기타 보정을 설명하는 가운트 인자 ''g''_ff를 사용하여 다음과 같이 근사적으로 표현할 수 있다.

$j(v,\nu) = {8\pi\over 3\sqrt3} {Z^2\bar e^6 n_i \over c^3m_\text{e}^2v}g_{\rm ff}(v,\nu)$

$h\nu > mv^2/2$ 이면 $j(\nu,v) = 0$ 이다. 즉, 전자는 광자를 방출할 충분한 운동 에너지를 가지고 있지 않다. 일반적인 양자역학적 공식은 매우 복잡하며, 일반적으로 수치 계산을 통해 구한다.

다음과 같은 추가적인 가정을 통해 근사 결과를 얻을 수 있다.

진공 상호작용: 플라스마 주파수 $\nu_{\rm pe} \propto n_{\rm e}^{1/2}$ 보다 훨씬 큰 광자 주파수에 대해 플라스마 스크리닝 효과와 같은 배경 매질의 영향은 무시한다. ( $n_{\rm e}$ 는 플라스마 전자 밀도)
연성 광자: $h\nu\ll m_\text{e}v^2/2$ , 즉, 광자 에너지는 초기 전자 운동 에너지보다 훨씬 적다.

이러한 가정 하에, 두 개의 무차원 매개변수

\eta_Z \equiv Z \bar e^2/\hbar v

와

\eta_\nu \equiv h\nu/2m_\text{e}v^2

를 도입할 수 있다.

\eta_Z

는 전자-이온 쿨롱 상호작용의 강도를,

\eta_\nu

는 광자 "연성"을 측정한다.

\eta_Z\ll 1

의 극한에서, 양자역학적 본 근사는 다음과 같다.

g_\text{ff,Born} = {\sqrt3 \over \pi}\ln{1\over\eta_\nu}

반대 극한

\eta_Z\gg 1

에서, 완전한 양자역학적 결과는 순수하게 고전적인 결과로 축소된다.

g_\text{ff,class} = {\sqrt3\over\pi}\left[\ln\left({1\over \eta_Z\eta_\nu}\right)- \gamma \right]

여기서

\gamma\approx 0.577

은 오일러-마스케로니 상수이다.

가운트 인자는

g_\text{ff} \approx \ln(b_\text{max}/b_\text{min})

로 이해할 수 있다.

b_{\max}

와

b_{\min}

는 전자-이온 충돌에 대한 최대 및 최소 "충돌 매개변수"이다.

b_{\rm max}=v/\nu

이며,

b_{\rm min}

은 양자역학적 드 브로이 파장

\approx h/m_\text{e} v

와 고전적 최단 접근 거리

\approx \bar e^2 / m_\text{e} v^2

중 더 큰 값이다.

위의 근사는 로그의 인수가 클 때 적용되며, 1보다 작을 때는 무효가 된다. 완전한 계산에 대한 대략적인 근사는 다음과 같다.

g_\text{ff} \approx \max\left[1, {\sqrt3\over\pi} \ln\left[{1\over \eta_\nu\max(1,e^\gamma\eta_Z)}\right] \right]

베테와 하이틀러는 제동 복사의 완전한 양자역학적 설명을 처음으로 수행했다.^[31] 그들은 원자핵에서 산란되는 전자에 대한 평면파를 가정하고, 방출된 광자의 주파수와 관련된 단면적을 유도했다. 쌍생성에 양자역학적 대칭성을 보이는 사중 미분 단면적은 복잡한 수식으로 표현된다.

실용적인 응용(예: 몬테카를로 코드)에서는 방출된 광자의 주파수와 입사 전자의 각도 사이의 관계가 중요하다. 쾨른(Köhrn)과 에베르트는 베테와 하이틀러의 사중 미분 단면적을 적분하여 이 관계를 나타내는 식을 유도했다.^[32]

분석 결과, 정지 에너지(511 keV)보다 큰 운동 에너지를 가진 전자는 정방향으로 광자를 방출하는 반면, 작은 에너지를 가진 전자는 등방성으로 광자를 방출한다.

5. 1. 열 제동 복사 (매질 내 방출 및 흡수)

이 절에서는 거시적인 매질 내에서 제동 복사 방출과 그 역과정인 흡수 과정(역 제동 복사라고 함)에 대해 논한다. 일반적인 과정에 적용되는 복사 전달 방정식은 다음과 같다.^[1]

:

\frac{1}{c} \partial_t I_\nu + \hat \mathbf n\cdot\nabla I_\nu = j_\nu-k_\nu I_\nu

여기서

I_\nu(t,\mathbf x)

는 복사 스펙트럼 강도, 즉 편광을 모두 합한 (면적 × 광자 속도 공간의 입체각 × 광자 진동수)당 전력이다.

j_\nu

는 방출률이고,

k_\nu

는 흡수율이다.

j_\nu

와

k_\nu

는 복사가 아닌 물질의 특성이며, 매질 내의 모든 입자를 고려한다.

I_\nu

가 공간과 시간에 걸쳐 균일하다면 전달 방정식의 좌변은 0이 되며, 다음과 같다.^[1]

:

I_\nu={j_\nu \over k_\nu}

물질과 복사가 어떤 온도에서 열적 평형 상태에 있다면

I_\nu

는 반드시 흑체 스펙트럼이어야 한다.^[1]

:

B_\nu(\nu, T_\text{e}) = \frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu/k_\text{B}T_\text{e}} - 1}

j_\nu

와

k_\nu

는

I_\nu

와 독립적이므로, 물질이 어떤 온도에서 평형 상태에 있을 때마다

j_\nu/k_\nu

는 흑체 스펙트럼이어야 한다. 이는 복사의 상태와 관계없이 성립한다. 이를 통해 평형 상태에 있는 물질의 경우

j_\nu

와

k_\nu

중 하나만 알면 즉시 둘 다 알 수 있다.^[1]

5. 2. 플라즈마 내 제동 복사 (근사 고전적 결과)

플라즈마 내의 자유 전자는 이온과의 지속적인 충돌로 인해 브렘스스트라hlung를 생성한다. 이러한 현상에 대한 완전한 분석은 이진 쿨롱 충돌과 집단(유전체) 거동을 모두 고려해야 한다. Bekefi는 이 과정에 대한 자세한 설명을 제공하며,^[9] Ichimaru는 간략한 설명을 제공한다.^[10]

맥스웰-볼츠만 분포를 따르는 열 전자(

T_\text{e}

온도)를 가진 균일한 플라즈마에서, 브렘스스트라hlung 복사의 스펙트럼 전력 밀도(단위 각 주파수 및 입체각 당 전력)는 Bekefi의 연구에 의해 다음과 같이 계산된다.

:

{dP_\mathrm{Br} \over d\omega} = \frac{8\sqrt 2}{3\sqrt\pi} {\bar e^6 \over (m_\text{e} c^2)^{3/2}} \left[1-{\omega_{\rm p}^2 \over \omega^2}\right]^{1/2} {Z_i^2 n_i n_\text{e} \over (k_{\rm B} T_\text{e})^{1/2}} E_1(y),

여기서 사용된 각 변수는 다음과 같다.

$\omega_p \equiv (n_\text{e} e^2/\varepsilon_0m_\text{e})^{1/2}$ 는 전자 플라즈마 주파수
$\omega$ 는 광자 주파수
$n_\text{e}, n_i$ 는 각각 전자 및 이온의 수 밀도
$Z_i$ 는 이온의 전하수
$k_{\rm B}$ 는 볼츠만 상수
$m_\text{e}$ 는 전자의 질량
$c$ 는 광속
$\bar e$ 는 전자의 전하량과 관련된 상수

위 식에서 두 번째 괄호 안의 인자는 플라즈마 내 광파의 굴절률을 나타내며,

\omega < \omega_{\rm p}

일 때 방출이 크게 억제됨을 보여준다. 즉, 플라즈마 진동수보다 낮은 주파수에서는 제동 복사가 거의 발생하지 않는다.

특수 함수

E_1

은 지수 적분으로 정의되며, 단위가 없는 변수

y

는 다음과 같다.

:

y = \frac{1}{2} {\omega^2 m_\text{e} \over k_\text{max}^2 k_\text{B} T_\text{e}}

k_\text{max}

는 이진 충돌로 인해 발생하는 최대 파수이며, 이온 종에 따라 달라진다.

k_\text{B} T_\text{e} > Z_i^2 E_\text{h}

(일반적인 플라즈마 조건)일 때,

k_\text{max} = 1 / \lambda_\text{B}

이며, 여기서

E_\text{h} \approx 27.2

eV는 하트리 에너지이고,

\lambda_\text{B} = \hbar / (m_\text{e} k_\text{B} T_\text{e})^{1/2}

는 전자 열 드브로이 파장이다.

일반적인 경우, 즉

k_m = 1/\lambda_B

일 때,

:

y = \frac{1}{2} \left[\frac{\hbar\omega}{k_\text{B} T_\text{e}}\right]^2.

y\ll 1

인 경우,

E_1(y)

는 다음과 같이 근사할 수 있다.

:

E_1(y) \approx -\ln [y e^\gamma]

(

\gamma \approx 0.577

는 오일러-마스체로니 상수)

이때 주요 로그 항은 쿨롱 로그와 유사하며, 다른 충돌 플라즈마 계산에서도 나타난다.

5. 3. 상대론적 보정

매우 높은 온도에서는 이 공식에 상대론적 보정이 적용된다. 즉, 볼츠만 상수(

k_\text{B}

)와 절대온도(

T_\text{e}

)의 곱을 electron rest energy|전자 정지 에너지^영어(

m_\text{e} c^2

)로 나눈 값(

k_\text{B} T_\text{e}/m_\text{e} c^2

) 차수의 추가 항이 포함된다.^[13]

5. 4. 제동 복사 냉각

플라스마가 광학적으로 얇은 경우, 제동 복사선은 플라스마를 떠나 플라스마 내부 에너지의 일부를 운반한다. 이러한 효과를 ''제동 복사 냉각''이라고 한다. 이는 일종의 복사 냉각이다. 제동 복사에 의해 운반되는 에너지를 ''제동 복사 손실''이라고 하며, 이는 일종의 복사 손실을 나타낸다. 일반적으로 플라스마 냉각이 바람직하지 않은 경우(예: 핵융합 플라스마) ''제동 복사 손실''이라는 용어를 사용한다.^[2]

6. 극성 제동 복사

극성 제동 복사(때로는 "원자 제동 복사"라고도 함)는 입사된 하전 입자의 쿨롱장에 의해 표적 원자가 분극될 때 표적의 원자 전자가 방출하는 방사선이다.^[14]^[15] 극성 제동 복사가 전체 제동 복사 스펙트럼에 기여하는 바는 비교적 질량이 큰 입자,^[16] 공명 과정,^[17] 및 자유 원자를 포함하는 실험에서 관찰되었다.^[18] 그러나 고체 표적에 충돌하는 고속 전자를 사용하는 실험에서 극성 제동 복사가 상당한 기여를 하는지에 대한 논쟁이 여전히 존재한다.^[19]^[20]^[21]

"극성"이라는 용어는 방출된 제동 복사가 편광되어 있다는 것을 암시하기 위한 것이 아니라는 점에 유의해야 한다. 또한 극성 제동 복사의 각도 분포는 이론적으로 일반 제동 복사와 매우 다르다.^[22]

7. 응용

X-선관에서 전자는 진공 상태에서 전기장에 의해 가속되어 금속 "표적"에 충돌하며, 이때 제동 복사에 의해 X-선이 방출된다.^[23] 이 X-선은 특정 에너지에서 날카로운 봉우리가 있는 연속 스펙트럼을 가지는데, 이는 제동 복사와 표적 원자의 특성 X-선 때문이다.^[24] 크라머스 법칙은 방출되는 X-선의 파장에 대한 강도 분포를 설명하며,^[25] Duane–Hunt 법칙은 입사 전자의 제한된 에너지로 인한 컷오프(최소 파장)를 설명한다.^[26]

베타 붕괴를 하는 물질도 제동 복사로 인해 연속 스펙트럼을 가진 약한 방사선을 방출한다. 이는 베타 입자가 정지하거나 감속하면서 생성되는 2차 방사선이다.^[27] 내부 제동 복사는 전자가 핵을 떠날 때 에너지 손실로 발생하며, 베타 붕괴에서뿐만 아니라 자유 중성자가 양성자로 붕괴할 때도 드물게 관찰된다. 전자 포획의 경우에도 제동 복사가 발생하는데, 이는 포획된 전자가 흡수되기 위해 가속될 때 생성되는 것으로 생각할 수 있다.

차폐와 관련하여, 밀도가 높은 물질(예: 납)로 베타 방사선을 차폐하면 제동 복사 자체가 위험할 수 있으므로, 플렉시글라스, 플라스틱, 목재, 물과 같은 저밀도 물질로 차폐해야 한다.^[28]

천체물리학에서 은하단의 주요 광원은 ~의 은하단 내 가스이며, 여기서 방출되는 빛은 열적 제동 복사로 특징지어진다. 이 복사는 X-선 에너지 범위에 있으며, 여러 우주 망원경을 통해 관찰할 수 있다. 제동 복사는 H II 영역의 전파 파장에서 지배적인 방출 메커니즘이기도 하다.

전기 방전의 경우, 전자가 공기 분자와 산란하면서 제동 복사 광자를 생성한다. 이러한 광자는 육상 감마선 섬광으로 나타나며, 낮은 산소 비율을 가진 질소-산소 혼합물에서 방전의 전파와 형태에 영향을 미친다.^[29]^[30]

7. 1. X선관

X-선관에서 전자는 진공 상태에서 전기장에 의해 가속되어 "표적"이라고 하는 금속 물질에 충돌한다. 전자가 표적에 부딪힐 때 제동 복사에 의해 X-선이 방출된다.^[23] 출력 스펙트럼은 특정 에너지에서 날카로운 봉우리가 있는 연속 X-선 스펙트럼으로 구성되는데, 전자는 제동 복사에 의한 것이고 후자는 표적의 원자와 관련된 특성 X-선이다.^[24]

연속 스펙트럼의 모양은 크라머스 법칙에 의해 대략적으로 설명된다. 크라머스 법칙은 방출되는 X-선의 파장(

\lambda

)에 대한 강도(광자 수) 분포(

I

)로 주어진다.^[25]

:

I(\lambda) \, d\lambda = K \left( \frac{\lambda}{\lambda_{\min}} - 1 \right)\frac{d\lambda}{\lambda^2}

여기서

K

는 표적 원소의 원자 번호에 비례하는 상수이고,

\lambda_{\min}

은 Duane–Hunt 법칙에 의해 주어지는 최소 파장이다.

Duane–Hunt 법칙에 따르면, 스펙트럼은

\lambda_{\min}

에서 컷오프(cut-off)를 가지는데, 이는 입사하는 전자의 제한된 에너지 때문이다. 예를 들어, 튜브의 전자가 60 kV로 가속되면 60 keV의 운동 에너지를 얻게 되고, 표적에 부딪힐 때 최대 60 keV의 에너지를 가진 X-선을 생성할 수 있다. 최대 60 keV의 에너지를 가진 광자는 최소 파장을 가지므로 연속 X-선 스펙트럼은 해당 파장에서 컷오프를 갖는다.^[26] 저파장 컷오프에 대한 공식은 다음과 같다.

:

\lambda_\min = \frac{h c}{e V} \approx \frac{1239.8}{V}\,\mathrm{pm/kV}

여기서

h

는 플랑크 상수,

c

는 빛의 속도,

V

는 전자가 가속되는 전압,

e

는 기본 전하이다.

7. 2. 베타 붕괴

베타 붕괴를 하는 물질은 제동 복사로 인해 연속 스펙트럼을 가진 약한 방사선을 나타낸다. 이때 제동 복사는 1차 방사선인 베타 입자가 정지하거나 감속하면서 생성되는 2차 방사선의 일종이다.^[27]

내부 제동 복사(inner bremsstrahlung^영어)는 전자가 핵을 떠날 때 에너지 손실로 인해 발생한다. 이러한 방사선은 핵의 베타 붕괴에서 나타나지만, 자유 중성자가 양성자로 베타 붕괴할 때도 드물게 관찰된다. 베타 붕괴에 의한 전자 및 양전자 방출에서 광자의 에너지는 전자-핵자 쌍에서 나오며, 제동 복사의 스펙트럼은 베타 입자의 에너지가 증가함에 따라 지속적으로 감소한다.

전자 포획의 경우, 에너지는 중성미자의 손실로 발생하며, 스펙트럼은 일반적인 중성미자 에너지의 약 3분의 1에서 가장 크다. 전자 포획에서 제동 복사는 하전 입자가 방출되지 않더라도 방출된다. 이는 포획된 전자가 흡수되기 위해 가속될 때 생성되는 것으로 생각할 수 있다.

내부 제동 복사는 외부에서 오는 전자가 핵에 충돌하여 발생하는 "외부" 제동 복사와 대조된다.^[27]

의 붕괴와 같이, 밀도가 높은 물질(예: 납)로 베타 방사선을 차폐하면 제동 복사 자체가 위험할 수 있다. 이러한 경우, 플렉시글라스(루사이트), 플라스틱, 목재, 또는 물과 같은 저밀도 물질로 차폐해야 한다.^[28]

7. 3. 천체물리학

은하단의 지배적인 광원 구성 요소는 섭씨 ~의 은하단 내 가스이다. 은하단 내 가스에서 방출되는 빛은 열적 제동 복사로 특징지어진다. 이 복사는 X선 에너지 범위에 있으며, 찬드라 X선 관측선, XMM-뉴턴, ROSAT, ASCA, EXOSAT, 스자쿠, RHESSI와 같은 우주 기반 망원경을 통해 쉽게 관찰할 수 있다.

제동 복사는 또한 전파 파장에서 H II 영역의 지배적인 방출 메커니즘이기도 하다.

7. 4. 전기 방전

전기 방전에서, 예를 들어 두 전극 사이의 실험실 방전이나 구름과 지면 사이 또는 구름 내부의 번개 방전과 같은 경우, 전자는 공기 분자와 산란하면서 제동 복사 광자를 생성한다. 이러한 광자는 육상 감마선 섬광으로 나타나며 전자, 양전자, 중성자 및 양성자 빔의 원천이다.^[29] 제동 복사 광자의 출현은 또한 낮은 산소 비율을 가진 질소-산소 혼합물에서 방전의 전파와 형태에 영향을 미친다.^[30]

참조

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