조르당 측도

2. 정의

유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n$에서, 조르당 측도는 먼저 데카르트 곱으로 정의된다. 유계 반열린 구간들의 데카르트 곱은 다음과 같다.

:$$C\; =\; [a\_1,\; b\_1)\; \backslash times\; [a\_2,\; b\_2)\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; [a\_n,\; b\_n)$$

여기서 모든 끝점 $a\_i$와 $b\_i$는 유한 실수이고, 왼쪽에서 닫히고 오른쪽에서 열린 구간이다. 이러한 집합을 $n$차원 직사각형 또는 간단히 직사각형이라고 부르며, 이 직사각형의 조르당 측도는 구간 길이의 곱으로 정의된다.

:$$m(C)\; =\; (b\_1\; -\; a\_1)\; (b\_2\; -\; a\_2)\; \backslash cdots\; (b\_n\; -\; a\_n).$$

다음으로, 유한 개의 합집합인 단순 집합(때로는 다각형이라고도 한다)을 고려한다.

:$$S\; =\; C\_1\; \backslash cup\; C\_2\; \backslash cup\; \backslash cdots\; \backslash cup\; C\_k$$ ($k\; \backslash geq\; 1$)

$S$의 조르당 측도를 개별 직사각형의 측도의 합으로 정의할 수는 없다. 왜냐하면 이러한 표현은 고유하지 않으며 직사각형 사이에 상당한 겹침이 있을 수 있기 때문이다. 하지만, 이러한 단순 집합 $S$는 서로 상호소인 직사각형들의 합집합으로 다시 쓸 수 있으며, 이때 조르당 측도 $m(S)$는 상호소 직사각형의 측도들의 합으로 정의된다.^[7]

유계 집합이 단순 집합에 의해 "잘 근사"되는 경우 조르당 가측으로 정의한다. 이는 함수가 조각별 상수 함수에 의해 잘 근사되는 경우 리만 적분 가능하다는 것과 동일하다.

형식적으로, 유계 집합 $B$에 대해, 유클리드 공간 $\backslash Reals^n$ 속 유계 집합 $E\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$의 '''조르당 외측도'''(-外測度, outer Jordan measure}})는 해당 집합을 포함하는 초등 집합(구간들의 곱집합의 유한 합집합)들의 측도의 하한으로 정의된다.:$\{\backslash mu\_\{\backslash operatorname\; J영어^*(E)=\backslash inf\backslash left\backslash \{\backslash sum\_\{i=1\}^m\backslash prod\_\{j=1\}^n(b\_\{ij\}-a\_\{ij\})\backslash colon\; m\backslash in\backslash mathbb\; N,\backslash ;a\_i,b\_i\backslash in\backslash mathbb\; R,\backslash ;a\_i\backslash le\; b\_i,\backslash ;\backslash bigsqcup\_\{i=1\}^m\backslash prod\_\{j=1\}^n[a\_\{ij\},b\_\{ij\})\backslash supseteq\; E\backslash right\backslash \}$

유클리드 공간 $\backslash Reals^n$ 속 유계 집합 $E\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$의 '''조르당 내측도'''(-內測度, B/inner Jordan measure}})는 해당 집합에 포함되는 초등 집합들의 측도의 상한으로 정의된다.

:$\{\backslash mu\_\{\backslash operatorname\; J\}\}\_*(E)=\backslash sup\backslash left\backslash \{\backslash sum\_\{i=1\}^m\backslash prod\_\{j=1\}^n(b\_\{ij\}-a\_\{ij\})\backslash colon\; m\backslash in\backslash mathbb\; N,\backslash ;a\_i,b\_i\backslash in\backslash mathbb\; R,\backslash ;a\_i\backslash le\; b\_i,\backslash ;\backslash bigsqcup\_\{i=1\}^m\backslash prod\_\{j=1\}^n[a\_\{ij\},b\_\{ij\})\backslash subseteq\; E\backslash right\backslash \}$

여기서 $\backslash textstyle\backslash bigsqcup$은 분리 합집합이다.

엄밀히, 유계 집합 {{mvar^영어의 '''조르당 내측도'''(''inner Jordan measure'')를 $$m\_*(B)\; :=\; \backslash sup\_\{S\backslash subset\; B\}\; m(S)$$로, 또한 '''조르당 외측도'''(''outer Jordan measure'')를 $$m^*(B)\; :=\; \backslash inf\_\{S\backslash supset\; B\}\; m(S)$$로 각각 정의한다.^[4]

이때, 하한과 상한은 구간의 곱집합들의 유한 합집합으로 나타낼 수 있는 유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n$ 속의 '''초등 집합'''(初等集合, B/elementary set}}) $S$에 대해 계산된다. 집합 의 내측도와 외측도가 일치할 때를 말하며, 그 공통된 값을 단순히 의 '''조르당 측도'''라고 부른다.

유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n$ 속의 유계 집합 $E\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $E$를 '''조르당 가측 집합'''(-可測集合, 경계]]이다.

조르당 가측 집합 $E\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$의 '''조르당 측도'''는 다음과 같이 정의된다.^[4]

:$\backslash mu\_\{\backslash operatorname\; J\}(E)$

={\mu_{\operatorname J}}^*(E)

={\mu_{\operatorname J/Jordan measurable set}})이라고 한다.^[4]

• $\{\backslash mu\_\{\backslash operatorname\; J\}\}^*(E)=\{\backslash mu\_\{\backslash operatorname\; J\}\}\_*(E)$
• $\{\backslash mu\_\{\backslash operatorname\; J\}\}^*(\backslash partial\; E)=0$
• 임의의 양의 실수 $\backslash epsilon>0$에 대하여, $A\_\backslash epsilon\backslash subseteq\; E\backslash subseteq\; B\_\backslash epsilon$이며 인 초등 집합 $A\_\backslash epsilon,B\_\backslash epsilon\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$이 존재한다.

2. 1. 조르당 외측도와 조르당 내측도

2. 2. 조르당 가측 집합

• $\{\backslash mu\_\{\backslash operatorname\; J\}\}^*(E)=\{\backslash mu\_\{\backslash operatorname\; J\}\}\_*(E)$
• $\{\backslash mu\_\{\backslash operatorname\; J\}\}^*(\backslash partial\; E)=0$
• 임의의 양의 실수 $\backslash epsilon>0$에 대하여, $A\_\backslash epsilon\backslash subseteq\; E\backslash subseteq\; B\_\backslash epsilon$이며 인 초등 집합 $A\_\backslash epsilon,B\_\backslash epsilon\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$이 존재한다.

2. 3. 조르당 측도