종순군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 연산에 대한 닫힘
- 3.2. 동치 조건
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

종순군은 국소 콤팩트 하우스도르프 군의 일종으로, 하르 측도를 가지며, 좌(또는 우) 이동에 대해 불변인 링 측도를 갖는다. 종순군은 좌불변 또는 우불변 평균을 허용하는 경우 가환적이라고 정의되며, 군의 작용이 종순 작용을 가질 때 해당 작용을 종순 작용이라고 한다. 모든 유한군, 아벨 군, 콤팩트 군은 종순군에 속하며, 자유군은 종순군이 아니다. 폰 노이만은 1929년 종순군 개념을 도입했고, 1949년 말런 데이가 '종순군'이라는 용어를 사용했다.

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종순군

2. 정의

국소 콤팩트 하우스도르프 군 ''G''는 크기 변환까지 유일하게 좌(또는 우) 이동 불변인 비자명 링 측도, 즉 하르 측도를 갖는다. 이는 ''G''가 제2 가산일 때 보렐 정칙 측도이며, ''G''가 콤팩트일 때 좌측 측도와 우측 측도 모두 존재한다. 이 측도 공간 내의 본질적으로 유계인 가측 함수들의 바나흐 공간 ''L''^∞(''G'')를 고려한다(이는 하르 측도의 크기와 관계없이 독립적이다).

Hom(''L''^∞(''G''), '''R''')의 선형 범함수 Λ가 다음 조건을 만족하면 '''평균'''이라고 한다.

Λ의 노름이 1이다.
비음수 조건을 만족한다. 즉, ''f'' ≥ 0 거의 어디서나이면 Λ(''f'') ≥ 0이다.

Hom(''L''^∞(''G''), '''R''')의 평균 Λ가 ''g''·''f''(x) = ''f''(''g''⁻¹''x'') (또는 ''f''·''g''(x) = ''f''(''xg''⁻¹))에 대해 ''G''의 모든 ''g''와 ''L''^∞(''G'')의 ''f''에 대해 Λ(''g''·''f'') = Λ(''f'')를 만족하면 '''좌불변'''(또는 '''우불변''')이라고 한다.

국소 콤팩트 하우스도르프 군이 좌(또는 우)불변 평균을 허용하면 '''가환적'''이라고 한다.

Hom(''L''^∞(''G''), '''R''')을 ''G''의 하르 측도에 대해 절대 연속적인 유한 가법 보렐 측도 공간(ba 공간)과 동일시하면, 용어가 더 자연스러워진다. Hom(''L''^∞(''G''), '''R''')의 평균은 전체 군에 무게 1을 부여하는 ''G''에 대한 좌불변 유한 가법 보렐 측도를 유도한다.

2. 1. 종순 작용

군

G

와 측도 공간

(X,\mu)

가 주어졌다고 하자.

G

의

X

위의 왼쪽 작용

G\times X\to X

가 있고, 모든

g\in G

에 대하여

g\cdot

가 가측 함수라고 하자.

X

위의 실수 값 ∞-르베그 공간

\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)

은 실수 바나흐 공간이며, 그 위에는 다음과 같은

G

-왼쪽 작용이 존재한다.

:

(g\cdot f)(x)=f(g^{-1}\cdot x)

\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)

위의 '''불변 평균'''은 다음 조건들을 만족시키는, 연속 쌍대 공간의 원소

:

\phi\in\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)^*

이다.

$\|\phi\|_{\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)^*}=1$ . 즉, 작용소 노름이 1이다.
임의의 $f\in\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)$ 에 대하여, 만약 거의 어디서나 $f\ge0$ 이라면 (즉, $\mu(f^{-1}((-\infty,0)))=0$ 이라면), $\phi(f)\ge0$ 이다.
임의의 $f\in\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)$ 및 $g\in G$ 에 대하여, $\phi(g\cdot f)=\phi(f)$ 이다.

만약 불변 평균이 존재한다면, 군의 작용

\cdot\colon G\times X\to X

을 '''종순 작용'''(amenable action^영어)이라고 한다.

(만약

X

가 이산 공간일 경우,

\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)^*

는 유한 가법 측도의 공간과 같다.)

2. 2. 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군

국소 콤팩트 하우스도르프 위상군

G

에는 왼쪽 하르 측도와 오른쪽 하르 측도가 존재한다.

G

는 스스로 위의 왼쪽 및 오른쪽 작용을 갖는다. 이 경우,

G

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군을 '''종순군'''이라고 한다.

$G$ 의, $(G,\mu_{\text{LH}})$ 위의 왼쪽 작용은 종순 작용이다.
$G$ 의, $(G,\mu_{\text{RH}})$ 위의 오른쪽 작용은 종순 작용이다.

2. 3. 이산군

가산군의 경우 가가화성은 이산 위상이 부여된 군, 즉 이산군의 경우보다 간단하다.^[1]^[2]

'''정의.''' 이산군 ''G''가 다음 조건을 만족하는 측도(또는 평균)가 존재하면 '''종순군'''이라고 한다.

# '''확률 측도''': 전체 군 ''G''의 측도는 1이다.

# '''유한 가법''': 유한 개의 서로소 부분집합의 합집합의 측도는 각 부분집합의 측도의 합과 같다.

# '''왼쪽 불변''': 부분집합 ''A''와 ''G''의 원소 ''g''에 대해, ''A''의 측도는 ''gA''의 측도와 같다. (''gA''는 ''A''의 각 원소 ''a''에 대해 ''ga''를 원소로 갖는 집합, 즉 ''A''의 원소가 ''g''에 의해 왼쪽으로 이동된 집합이다.)

이는 ''G''가 유한 가법적인 왼쪽 불변 확률 측도를 가지면 종순군임을 의미한다. 측도는 ''G''의 임의의 원소가 ''A''에 속할 확률을 나타낸다고 볼 수 있다.

이산군

G

가 종순적이라는 것은, 공집합이 아닌 유한 부분 집합의 열

\{ S_n \}

이 존재하여 임의의 원소

g \in G

에 대해

:

\lim_{n \to \infty} \frac

= 0

이 성립하는 것을 말한다. 여기서

g S_n \triangle S_n

는

g S_n

과

S_n

의 대칭차집합이다.

이러한 열

\{ S_n \}

을

G

의 '''푈너 열'''(Følner sequence)이라고 한다.

2. 4. 푈너 열

이산군

G

가 순종적이라는 것은, 공집합이 아닌 유한 부분 집합의 열

\{ S_n \}

이 존재하여 임의의 원소

g \in G

에 대해

:

\lim_{n \to \infty} \frac

= 0

이 성립하는 것을 말한다(

g S_n \triangle S_n

는

g S_n

과

S_n

의 대칭차집합이다).^[1]^[2]

이러한 열

\{ S_n \}

을

G

의 '''푈너 열''' (Følner sequence)이라고 한다.

3. 성질

종순군은 가산(닫힌) 가환 부분군은 가환군이고, 모든 몫도 가환군이며, 가환군에 의한 군 확장 또한 가환군이 되는 등 여러 중요한 성질을 갖는다. 특히, 가환군의 유한 직접곱은 가환군이지만, 무한 곱은 그렇지 않을 수 있다.^[3] 가환군의 직접 극한은 가환군이다. 즉, 그룹이 가환 부분군의 방향족 합으로 작성될 수 있다면 가환군이다.

3. 1. 연산에 대한 닫힘

종순군의 부분군은 종순군이다.^[1]

종순군의 몫군은 종순군이다.^[2]

유한 개의 종순군의 직접곱은 종순군이다. (그러나 무한 개의 경우 이는 성립하지 못할 수 있다.)^[3]

3. 2. 동치 조건

제2 가산 콤팩트 하우스도르프 위상군의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

종순군이다.
복소수 바나흐 대수 $\operatorname L^\infty(G;\mathbb C)$ 는 종순 바나흐 대수이다.

가산 이산군 Γ의 경우, 가가성에 대한 동등 조건은 다음과 같다.^[1]^[2]

Γ는 가가군이다.
Γ가 (분리 가능한) 바나흐 공간 ''E''에서 등거리를 통해 작용하여 ''E''*의 닫힌 단위 공의 약하게 닫힌 볼록 부분집합 ''C''를 불변으로 유지하면, Γ는 ''C''에서 고정점을 갖는다.
ℓ^∞(Γ)에 왼쪽 불변 노름-연속 함수 ''μ''가 존재하며, ''μ''(1) = 1 이다. (이는 선택 공리를 필요로 한다).
ℓ^∞(Γ)의 모든 왼쪽 불변 분리 가능한 단일 C*-대수의 왼쪽 불변 상태 ''μ''가 존재한다.
Γ에 확률 측도 집합 ''μ''_''n''이 존재하며, 각 ''g'' ∈ Γ에 대해 ||''g'' · ''μ''_''n'' − ''μ''_''n''||₁은 0으로 수렴한다(M.M. Day).
Γ의 각 ''g''에 대해 ||''g'' · ''x_n'' − ''x_n''||₂가 0으로 수렴하는 ℓ²(Γ)의 단위 벡터 ''x_n''이 존재한다(J. Dixmier).
Γ의 각 ''g''에 대해 |''g'' · ''S_n'' Δ ''S_n''| / |''S_n''|가 0으로 수렴하는 Γ의 유한 부분집합 ''S_n''이 존재한다(Følner).
Γ를 생성하는 지지 집합을 가진 Γ에 대한 대칭 확률 측도 ''μ''가 있다면, ''μ''에 의한 컨볼루션은 ℓ²(Γ)에서 노름 1의 연산자를 정의한다(Kesten).
Γ가 (분리 가능한) 바나흐 공간 ''E''에서 등거리를 통해 작용하고 ℓ^∞(Γ, ''E''*)의 ''f''가 유계 1-코사이클, 즉 ''f''(''gh'') = ''f''(''g'') + ''g''·''f''(''h'')이면, ''f''는 1-코바운더리, 즉 어떤 φ ∈ ''E''*에 대해 ''f''(''g'') = ''g''·φ − φ이다(B.E. Johnson).
환원 군 C*-대수(환원 군 C*-대수 ''C_r*''(''G'') 참조)는 핵이다.
환원 군 C*-대수는 준대각이다(J. Rosenberg, A. Tikuisis, S. White, W. Winter).
Γ의 폰 노이만 군 대수(군과 관련된 폰 노이만 대수 참조)는 초유한이다(A. Connes).

4. 예

정수군은 국소 콤팩트 군의 한 예이다. 정수군에서 유계 함수 ''f''는 $f: \Z \to \R$ 유형의 유계 함수이며, 그 평균은 이동 평균 $\lim_n \frac{1}{2n+1} \sum_{k=-n}^n f(k)$ 이다. 가산군의 경우 가가화성은 이산 위상이 부여된 군, 즉 이산군의 경우보다 단순하다.^[1]^[2]

원군은 소형 군의 예로 생각할 수 있다. 함수 ''f'' ≥ 0의 그래프는 원 위에 있는 곡선처럼 보이며, 이는 종이 튜브의 끝을 찢어 만들 수 있다. 선형 범함수는 한 곳에서 종이를 잘라 다른 곳에 붙여 평평한 상단을 다시 만들면서 곡선을 평균화한다. 이것은 불변 평균, 즉 $\Lambda(f)=\int_{\mathbb{R}/\mathbb{Z}} f \ d\lambda$ 인 평균 값이며, 여기서 $\lambda$ 는 르베그 측도이다.

4. 1. 유한군

모든 유한군은 (이산 위상을 부여했을 때) 종순군이다. 이 경우 셈 확률 측도는 왼쪽·오른쪽 불변 평균을 이룬다.^[3]

4. 2. 아벨 군

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 아벨 군은 종순군이다. 특히, (이산 위상을 갖춘) 정수군은 종순군이다.^[3] 정수 군에서 유계 함수 ''f''는

f: \Z \to \R

유형의 유계 함수이며, 그 평균은 이동 평균

\lim_n \frac{1}{2n+1} \sum_{k=-n}^n f(k)

이다.

4. 3. 콤팩트 군

모든 콤팩트 군은 종순군이다. 하르 측도는 불변 평균이다(전체 측도 1을 취함).^[3]

4. 4. 기타

두 개 이상의 원소로 생성되는 자유군은 종순군이 아니며, 이를 부분군으로 갖는 군도 종순군이 아니다. 이는 자유군의 복잡한 구조와 관련이 있다.

5. 역사

참조

_[1] 기타
_[2] Mathworld Discrete Group http://mathworld.wol[...]
_[3] 기타
_[4] 간행물 On groups with full Banach mean value
_[5] 서적 Lectures on amenability Springer-Verlag
_[6] 서적 Invariant means on topological groups and their applications Van Nostrand Reinhold
_[7] 저널 Zur allgemeinen Theorie des Masses http://matwbn.icm.ed[...]

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