종순 바나흐 대수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 폰 노이만 대수
- 3.2. C*-대수
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

종순 바나흐 대수는 바나흐 대수의 일종으로, 특정 조건을 만족하는 대수이다. 바나흐 쌍가군, 유계 미분 등의 개념을 통해 정의되며, 1차 유계 호흐실트 호몰로지가 자명하다는 조건과 동치이다. 폰 노이만 대수의 경우 종순성은 초유한성과 동치이며, C* 대수의 경우 핵 C* 대수와 동치이다. 모든 C* 대수는 약종순 바나흐 대수이다. 가환 C*-대수, 유한 차원 C*-대수 등이 종순 바나흐 대수의 예시이며, 1972년에 개념이 도입되었다.

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종순 바나흐 대수

2. 정의

종순 바나흐 대수의 정의는 다소 기술적이지만, 핵심 아이디어는 복소수 바나흐 대수 $A$ 위의 특정 종류의 함수인 유계 미분( $\partial$ )이 항상 대수 구조 내부의 어떤 요소( $\phi$ )를 이용하여 "내부적"인 형태, 즉 $\partial(a) = a\phi - \phi a$ (보통 $\partial = [-, \phi]$ 로 표기)로 표현될 수 있다는 것이다.^[1] 이는 해당 대수의 구조적 성질과 밀접한 관련이 있다.

이 정의를 정확하게 이해하기 위해서는 바나흐 쌍가군과 유계 미분의 개념이 선행되어야 하며, 이에 대한 자세한 내용은 아래 하위 섹션에서 다룬다.

간단히 말해, 어떤 바나흐 대수 $A$ 가 종순이라는 것은, 그 대수와 관련된 모든 바나흐 쌍가군 $M$ 에 대해, $A$ 에서 $M$ 의 연속 쌍대 공간 $M^*$ 로 가는 모든 유계 미분이 위에서 언급한 내부 미분( $[-, \phi]$ )의 형태를 가진다는 것을 의미한다.^[1]

호흐실트 호몰로지의 언어를 사용하면, 이 조건은 1차 유계 호흐실트 호몰로지 군 $H^1(A, M^*)$ 이 모든 $M$ 에 대해 항상 자명하다(즉, 0과 같다)는 것과 동등하다. 이는 모든 유계 미분(1차 호흐실트 순환)이 내부 미분(1차 호흐실트 경계)임을 의미한다.^[1]

만약 위 조건을 모든 바나흐 쌍가군 $M$ 이 아닌, 특별히 $M=A$ 인 경우에만 만족하도록 약화시키면, 약종순 바나흐 대수(弱從順, weakly amenable Banach algebra^영어)라는 더 약한 개념을 얻게 된다.^[1]

2. 1. 바나흐 쌍가군

두 복소수 바나흐 대수

A

,

B

위의 '''바나흐 쌍가군'''

_AM_B

는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$(A,B)$ -쌍가군 $_AM_B$
$M$ 위의 복소수 바나흐 공간 구조 $(M,\|\|)$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

:

\sup_{a\in A\setminus\{0\},\;m\in M\setminus\{0\}}\|am\|/(\|a\|\|m\|)<\infty

:

\sup_{b\in B\setminus\{0\},\;m\in M\setminus\{0\}}\|mb\|/(\|m\|\|b\|)<\infty

이 경우, 연속 쌍대 공간

M^*

은 자연스럽게

(B,A)

-바나흐 쌍가군을 이룬다.

2. 2. 유계 미분

복소수 바나흐 대수

A

와

(A,A)

-바나흐 쌍가군

_AM_A

가 주어졌다고 하자.

M

의 값을 가지는 '''유계 미분'''(bounded derivation^영어)은 다음 두 조건을 만족시키는 복소수 선형 변환

\partial\colon A\to M

이다.

$\partial$ 는 미분이다. 즉, $A$ 에 속하는 임의의 원소 $a,b$ 에 대하여 $\partial(ab)=(\partial a)b+a\partial b$ 를 만족시킨다.
$\partial$ 는 유계 작용소이다.

2. 3. 종순 바나흐 대수

복소수 바나흐 대수

A

가 다음 조건을 만족시킨다면, '''종순 바나흐 대수'''라고 한다.

임의의 $(A,A)$ -바나흐 쌍가군 $_AM_A$ 및 유계 미분 $\partial\colon A\to M^*$ 에 대하여, $\partial=[-, \phi]$ 가 되는 $\phi\in M^*$ 가 존재한다. (여기서 $M^*$ 는 $M$ 의 연속 쌍대 공간이다.)

여기서 유계 미분들의 군은 1차 유계 호흐실트 순환들의 군으로,

[-, \phi]

꼴의 유계 미분들의 군은 1차 완전 호흐실트 순환들의 군으로 생각할 수 있다. 따라서 종순 바나흐 대수의 정의는 1차 유계 호흐실트 호몰로지가 자명하다는 조건과 동일하다.

만약 위 조건을

M=A

인 경우에만 성립하도록 약화시키면, '''약종순 바나흐 대수'''(弱從順, weakly amenable Banach algebra^영어)의 개념을 얻는다.

3. 성질

종순 바나흐 대수는 폰 노이만 대수 및 C* 대수와 관련하여 다음과 같은 중요한 성질을 가진다.

폰 노이만 대수 $A$ 가 종순 바나흐 대수인 것은 그것이 초유한성(hyperfiniteness^영어)이라는 특정 조건과 동치이다. 이러한 성질을 만족하는 폰 노이만 대수는 단사 폰 노이만 대수(injective von Neumann algebra^영어) 또는 초유한 폰 노이만 대수(hyperfinite von Neumann algebra^영어)라고도 불린다.

C* 대수 $A$ 의 경우, $A$ 가 종순 바나흐 대수인 것은 $A$ 로 생성되는 폰 노이만 대수가 종순 바나흐 대수인 것과 동치이다. 이러한 성질을 만족하는 C* 대수는 핵 C* 대수(nuclear C*-algebra^영어)라고도 불린다.

또한, 모든 C* 대수는 약종순 바나흐 대수이다.^[2]

3. 1. 폰 노이만 대수

폰 노이만 대수

A

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$A$ 가 종순 바나흐 대수이다.
$A$ 가 초유한성(hyperfiniteness^eng)을 만족한다. 이는 부분 폰 노이만 대수들의 증가하는 열 $A_0\subseteq A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots\subseteq A$ 가 존재하여, 다음 두 가지 조건을 모두 만족시키는 것을 의미한다.
* 각 $A_i$ 는 모두 유한 차원 폰 노이만 대수이다.
* 이들의 합집합 $\textstyle\bigcup_{i=0}^\infty A_i$ 는 $A$ 의 (노름 거리 위상에서의) 조밀 집합을 이룬다.

이러한 조건을 만족하는 종순 폰 노이만 대수는 단사 폰 노이만 대수(injective von Neumann algebra^eng) 또는 초유한 폰 노이만 대수(hyperfinite von Neumann algebra^eng)라고도 불린다.

3. 2. C*-대수

C* 대수

A

의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

종순 바나흐 대수이다.
$A$ 로 생성되는 폰 노이만 대수는 종순 바나흐 대수이다.

종순 C* 대수는 '''핵 C* 대수'''(nuclear C*-algebra^영어)라고도 불린다.

모든 C* 대수는 약종순 바나흐 대수이다.^[2]

4. 예

모든 가환 C*-대수는 종순 바나흐 대수이다.^[3] 모든 유한 차원 C*-대수는 종순 바나흐 대수이다.^[3]

어떤 국소 컴팩트 군 ''G''에 대한 군 대수 L¹(G)가 종순일 필요충분조건은 ''G''가 가산 군인 것이다.
C*-대수가 종순일 필요충분조건은 핵 C*-대수인 것이다.
콤팩트 공간이자 하우스도르프 공간인 ''X'' 위의 균등 대수가 종순일 필요충분조건은 그 대수가 자명한 경우, 즉 ''X'' 위의 모든 연속 함수(복소수 값을 가지는 함수)들의 대수인 ''C(X)''인 것이다.
만약 바나흐 대수 ''A''가 종순이고, ''A''에서 다른 바나흐 대수로 가는 연속 대수 준동형사상 θ가 존재하면, θ(A)의 폐포 역시 종순이다.

5. 역사

종순 바나흐 대수의 개념은 1972년에 도입되었다.^[4] 이후 알랭 콘이 폰 노이만 대수의 경우 종순성이 초유한성 등 여러 다양한 조건들과 동치임을 증명하였다.^[5]

참조

_[1] 서적 Classification of nuclear C*-algebras. Entropy in operator algebras Springer-Verlag 2002
_[2] 저널 All nuclear C*-algebras are amenable https://web.archive.[...] 2017-03-13
_[3] 서적 An introduction to the classification of amenable C*-algebras World Scientific 2001-11
_[4] 서적 Cohomology in Banach algebras https://web.archive.[...] 2017-03-13
_[5] 저널 Classification of injective factors 1976

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