주기배가 분기

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1. 개요
2. 예시
3. 1차원 사상에서의 주기 배가 분기
4. 실험적 관찰
참조

1. 개요

주기 배가 분기는 동적 시스템에서 주기가 두 배로 증가하는 분기 유형을 의미한다. 로지스틱 맵, 쿠라모토-시바신스키 방정식, 수정된 필립스 곡선 등 다양한 시스템에서 나타나며, 혼돈으로의 전이 과정에서 중요한 역할을 한다. 실험적으로 대류 롤, 전자 회로 등에서 관찰되었으며, 1차원 사상과 같은 수학적 모델을 통해 이해할 수 있다.

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주기배가 분기
주기 배가 분기
개요
분야	역학계
관련 개념	분기 이론, 혼돈 이론, 페이겐바움 상수
상세 정보
설명	역학계에서 매개변수의 변화에 따라 주기적인 해의 주기가 두 배로 증가하는 현상
발생 조건	비선형 시스템에서 특정 매개변수 값에 도달할 때 발생
특징	초기에는 안정적인 주기를 가지는 시스템이 매개변수 변화에 따라 불안정해지면서 주기가 두 배로 늘어남. 이러한 주기 배가 과정이 반복되면서 시스템은 결국 혼돈 상태로 진입할 수 있음.
예시	로지스틱 사상 만델브로 집합
추가 정보
페이겐바움 상수와의 관계	주기 배가 분기가 일어나는 매개변수 값들의 간격은 페이겐바움 상수에 따라 기하급수적으로 감소함.
관련 링크
참고 자료	Period-doubling bifurcation - Wikipedia (영어) 周期倍分岐 - 维基百科，自由的百科全书 (중국어)

2. 예시

주기배가 분기의 예시로는 다음이 있다.

실수 $x$ 와 실수 파라미터 $\mu$ 를 사용한 1차원 사상

:

x \to f(x,\mu) = - x - \mu x + x^3

:

x = 0

은

\mu < 0

에서 안정적인 고정점(

f(x,\mu) = x

를 만족하는 1주기점)이지만,

\mu > 0

에서는 불안정하다.

\mu > 0

에서는

x = \pm \sqrt{\mu}

는 2주기점이 되고 안정적이다. 따라서

\mu

가 음수에서 양수로 증가하는 과정에서 0을 지나는 순간, 안정적인 고정점(1주기점)이 불안정해지고, 그 대신 안정적인 2주기점이 양쪽에 생겨난다.

로지스틱 맵
만델브로 집합의 실수 단면과 관련된 복소 이차 맵
쿠라모토-시바신스키 방정식
수정된 필립스 곡선

2. 1. 로지스틱 맵

로지스틱 맵은 다음과 같다.

:

x_{n+1} = r x_n (1 - x_n)

여기서

x_n

는 (이산) 시간

n = 0, 1, 2, \ldots

의 함수이다.^[3] 파라미터

r

은 구간

[0,4]

에 속하는 것으로 가정하며, 이 경우

x_n

는

[0,1]

에서 경계가 정해진다.

r

이 1과 3 사이일 때,

x_n

는 안정적인 고정점

x_* = (r-1)/r

로 수렴한다.

r

이 3과 3.44949 사이일 때,

x_n

은

r

에 따라 달라지는 두 값

x_*

와

x'_*

사이에서 영구적인 진동으로 수렴한다.

r

이 커질수록 4개의 값, 8개, 16개, 32개 등으로 진동이 나타난다. 이러한 주기 배가는

r \approx 3.56995

에서 절정에 달하며, 그 이후에는 더 복잡한 영역이 나타난다.

r

이 증가함에 따라,

r=3.83

근처와 같이 대부분의 시작 값이 하나 또는 소수의 안정적인 진동으로 수렴하는 몇 개의 간격이 있다.

어떤 양의 정수

n

에 대해 주기가

2^n

인 간격에서, 모든 점이 실제로 주기

2^n

을 갖는 것은 아니다. 이것들은 간격이 아닌 단일 점이다. 이러한 점들은 불안정한 궤도에 있다고 하며, 그 이유는 근처의 점들이 그들과 같은 궤도에 접근하지 않기 때문이다.

2. 2. 이차 맵

만델브로 집합의 실수 단면과 관련된 복소 이차 맵은 주기배가 분기를 시각적으로 보여주는 예시이다.

2. 3. 쿠라모토-시바신스키 방정식

쿠라모토-시바신스키 방정식은 주기 배가 분기를 나타내는 시공간적으로 연속적인 동적 시스템의 한 예이다. 이는 원래 화염 전파 모델로 도입된 가장 잘 연구된 비선형 편미분 방정식 중 하나이다.^[4]

1차원 쿠라모토-시바신스키 방정식은 다음과 같다.

:

u_t + u u_x + u_{xx} + \nu \, u_{xxxx} = 0

경계 조건에 대한 일반적인 선택은 공간적 주기성이다:

u(x + 2 \pi, t) = u(x,t)

.

\nu

의 큰 값의 경우

u(x,t)

는 정상(시간 독립) 해 또는 단순한 주기 궤도로 진화한다.

\nu

가 감소함에 따라 동역학은 결국 혼돈을 일으킨다. 질서에서 혼돈으로의 전이는 주기 배가 분기의 계단을 통해 발생하며,^[5]^[6] 그중 하나가 그림에 나와 있다.

2. 4. 수정된 필립스 곡선

필립스 곡선은 실업률과 인플레이션 간의 관계를 나타내는 곡선으로, 수정된 필립스 곡선 모델에서도 주기 배가 분기가 나타날 수 있다. 다음은 수정된 필립스 곡선에 대한 로지스틱 맵을 나타낸 것이다.

:

\pi_{t} = f(u_{t}) + b \pi_{t}^e

:

\pi_{t+1} = \pi_{t}^e + c (\pi_{t} - \pi_{t}^e)

:

f(u) = \beta_{1} + \beta_{2} e^{-u} \,

:

b > 0, 0 \leq c \leq 1, \frac {df} {du} < 0

여기서:

$\pi$ 는 실제 인플레이션을 나타낸다.
$\pi^e$ 는 예상 인플레이션을 나타낸다.
u는 실업률을 나타낸다.
$m - \pi$ 는 통화 공급 증가율을 나타낸다.

\beta_{1} = -2.5, \ \beta_{2} = 20, \ c = 0.75

를 유지하고

b

를 변경하면, 시스템은 주기 배가 분기를 거쳐 결국 카오스가 된다.

3. 1차원 사상에서의 주기 배가 분기

실수 파라미터 $\mu$ 를 사용하는 1차원 사상

: $x \to f(x,\mu) = - x - \mu x + x^3$

을 생각하자.

$x = 0$ 은 $\mu < 0$ 에서 안정적인 고정점( $f(x,\mu) = x$ 를 만족하는 1주기점)이다. 그러나 $\mu > 0$ 에서는 불안정하며, 또한 $\mu > 0$ 에서

: $f(\sqrt{\mu},\mu) = - \sqrt{\mu}$

: $f(- \sqrt{\mu},\mu) = \sqrt{\mu}$

이므로, $x = \pm \sqrt{\mu}$ 는 2주기점이 되고 안정적이다.

따라서 $\mu$ 가 음수에서 양수로 증가하는 과정에서 0을 지나는 순간, 안정적인 고정점(1주기점)이 불안정해지고, 그 대신 안정적인 2주기점이 양쪽에 생겨난다.

이로부터 위의 1차원 사상은 $\mu = 0$ 을 경계로 주기배가 분기를 일으켰다고 말한다.

4. 실험적 관찰

주기 배가는 여러 실험 시스템에서 관찰되었다.^[7] 주기 배가 연쇄에 대한 실험적 증거도 있다. 예를 들어, 물과 수은에서 대류 롤의 역학에서 4번의 주기 배가가 관찰되었다.^[8]^[9] 마찬가지로, 특정 비선형 전자 회로에서 4-5번의 배가가 관찰되었다.^[10]^[11]^[12] 그러나 연쇄에서 ''i''번째 배가 사건을 감지하는 데 필요한 실험적 정밀도는 ''i''에 따라 지수적으로 증가하여 연쇄에서 5번 이상의 배가 사건을 관찰하기 어렵게 만든다.^[13]

참조

_[1] 문서 Alligood (1996) et al., p. 532
_[2] 서적 Modern Classical Physics: Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics Princeton University Press
_[3] 문서 Strogatz (2015), pp. 360–373
_[4] 간행물 An in-depth numerical study of the two-dimensional Kuramoto–Sivashinsky equation
_[5] 간행물 Predicting chaos for infinite dimensional dynamical systems: the Kuramoto-Sivashinsky equation, a case study.
_[6] 간행물 The route to chaos for the Kuramoto-Sivashinsky equation
_[7] 문서 see Strogatz (2015) for a review
_[8] 간행물 Transition to Chaotic Behavior via a Reproducible Sequence of Period-Doubling Bifurcations
_[9] 간행물 Period doubling cascade in mercury, a quantitative measurement https://hal.archives[...]
_[10] 간행물 Period Doubling and Chaotic Behavior in a Driven Anharmonic Oscillator
_[11] 간행물 Evidence for Universal Chaotic Behavior of a Driven Nonlinear Oscillator http://www.escholars[...]
_[12] 간행물 Hopping Mechanism Generating1fNoise in Nonlinear Systems
_[13] 문서 Strogatz (2015), pp. 360–373

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