즈남 문제

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1. 개요
2. 즈남 문제
- 2.1. 정의
- 2.2. 부적절한 즈남 문제
3. 역사
4. 예시
5. 이집트 분수와의 관계
- 5.1. 즈남 문제의 유한한 단위분수들
- 5.2. 약한 즈남 문제의 이집트 분수 표현
6. 해의 개수
7. 알려진 사실과 미해결 문제
참조

1. 개요

즈남 문제는 k개의 정수 집합에서 각 정수가 다른 정수들의 곱에 1을 더한 값의 진약수가 되는 집합을 찾는 문제이다. 1972년 슈테판 즈남이 제기했으며, 부적절한 즈남 문제와 관련이 있다. 즈남 문제의 해는 이집트 분수와 연관되며, 해의 개수는 k에 따라 다르다. k가 고정되지 않으면 해가 무한히 많으며, 홀수만으로 구성된 해의 존재 여부는 미해결 문제로 남아있다.

2. 즈남 문제

즈남 문제는 집합 내 각 정수가 집합 내 다른 정수들의 곱에 1을 더한 값의 진약수가 되는 정수 집합이 무엇인지 묻는 문제이다.^[1] 즉, $k$ 가 주어졌을 때, 어떤 정수 집합 $\{n_1, \ldots, n_k\}$ 이 존재하여, 각 $i$ 에 대해 $n_i$ 가 $\Bigl(\prod_{j \ne i}^n n_j\Bigr) + 1$ 을 나누지만, 같지는 않은지를 묻는 문제이다.

2. 1. 정의

k개의 정수로 이루어진 집합 {n₁, ..., nₖ}에서, 각 i에 대해 nᵢ가 (Π(j≠i) nⱼ) + 1을 나누지만, 같지는 않은 조건을 만족하는 집합을 찾는 문제이다.^[1]

이와 밀접하게 관련된 문제는 집합 내 각 정수가 집합 내 다른 정수들의 곱에 1을 더한 값의 약수가 되는 정수 집합에 관한 것이다(반드시 진약수일 필요는 없음).^[1] 이 문제는 문헌에서 이름이 붙여지지 않은 것으로 보이며, 부적절한 즈남 문제라고 지칭한다.^[1] 즈남 문제의 모든 해는 부적절한 즈남 문제의 해이기도 하지만, 그 반대는 성립하지 않는다.^[1]

2. 2. 부적절한 즈남 문제

즈남 문제와 밀접하게 관련된 문제로, 집합 내 각 정수가 집합 내 다른 정수들의 곱에 1을 더한 값의 약수가 되는 (반드시 진약수일 필요는 없음) 정수 집합에 관한 문제가 있다. 이 문제는 문헌에서 별도로 이름이 붙여지지 않았으므로, 여기서는 부적절한 즈남 문제라고 부른다. 모든 즈남 문제의 해는 부적절한 즈남 문제의 해이기도 하지만, 그 역은 성립하지 않는다.^[1]

3. 역사

즈남 문제는 1972년 슬로바키아 수학자 슈테판 즈남의 이름을 따서 명명되었다. 1971년 Barbeau는 k=3에 대한 부적절한 즈남 문제를 제기했으며, 1973년 Mordell은 즈남과 독립적으로 k≤5에 대한 부적절한 문제의 모든 해를 찾았다. 1975년 Skula는 즈남 문제가 k<5에 대해 풀 수 없음을 보였고, J. 야나크가 k=5에 대한 해 {2, 3, 11, 23, 31}을 찾았다고 밝혔다.^[1]

4. 예시

실베스터 수열은 각 항이 이전 항들의 곱에 1을 더한 정수 수열이다. 이 수열을 일찍 멈추면 {2, 3, 7, 43}과 같은 집합이 생성되는데, 이 집합은 가장 큰 값이 다른 항들의 곱에 1을 더한 값과 같고, 진약수가 아니라는 점을 제외하면 즈남 문제의 조건을 거의 충족한다.^[1] 따라서 이는 부적절한 즈남 문제의 해는 되지만, 일반적으로 정의된 즈남 문제의 해는 아니다.

k=5에 대한 적절한 즈남 문제의 해는 {2, 3, 7, 47, 395}이다. 다음은 이 해가 즈남 문제의 조건을 만족함을 보여주는 계산 과정이다.

3 × 7 × 47 × 395 + 1 = 389866	이 값은 2로 나누어지지만 2와 같지 않다.
2 × 7 × 47 × 395 + 1 = 259911	이 값은 3으로 나누어지지만 3과 같지 않다.
2 × 3 × 47 × 395 + 1 = 111391	이 값은 7로 나누어지지만 7과 같지 않다.
2 × 3 × 7 × 395 + 1 = 16591	이 값은 47로 나누어지지만 47과 같지 않다.
2 × 3 × 7 × 47 + 1 = 1975	이 값은 395로 나누어지지만 395와 같지 않다.

5. 이집트 분수와의 관계

부정 즈남 문제의 해는 방정식 Σ(1/xᵢ) + Π(1/xᵢ) = y의 해와 같으며, 여기서 y와 각 xᵢ는 정수이다. 알려진 모든 해는 y=1이므로, Σ(1/xᵢ) + Π(1/xᵢ) = 1을 만족한다. 이는 숫자 1을 이집트 분수의 합으로 나타내는 단위 분수의 표현으로 이어진다. 즈남 문제에 관한 여러 논문은 이 방정식의 해를 연구한다. 브렌튼(Brenton)과 힐(Hill)은 1988년에 표면의 특이점 분류에 대한 위상수학에서 이 방정식의 적용을 설명했고^[1], 도마라츠키(Domaratzki), 엘룰(Ellul), 샬릿(Shallit), 왕(Wang)은 2005년에 비결정적 유한 오토마타 이론에 대한 적용을 설명했다.^[2]

5. 1. 즈남 문제의 유한한 단위분수들

Znám^영어 문제의 단위분수 세트의 분모들은 일반적으로 소수이며, 소수 유사완전수의 단위분수들이다.

:

\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2 \cdot 3}\right) = 1

:

\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{11} + \frac{1}{23} + \frac{1}{31}\right) + \left(\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 23 \cdot 31}\right) = 1

:

\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{47} + \frac{1}{415} + \frac{1}{8111}\right) + \left(\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 47 \cdot 415 \cdot 8111}\right) = 1

:

\qquad\qquad\qquad \vdots

5. 2. 약한 즈남 문제의 이집트 분수 표현

:

\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2 \cdot 3}\right)=1

:

\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right) =1-\left(\frac{1}{2 \cdot 3}\right)

:

\frac{1}{2}+\frac{1}{3} =\frac{1}{1}-\frac{1}{6}

:

\frac{5}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}

6. 해의 개수

즈남 문제의 해의 개수는 모든 k에 대해 유한하므로, 각 k에 대한 총 해의 수를 세는 것이 의미가 있다.^[2] Sun(1983)은 각 k≥5에 대해 (적절한) 즈남 문제에 대한 해가 적어도 하나 존재함을 보였다. Sun의 해는 실베스터 수열과 유사한 재귀 관계를 기반으로 하지만, 다른 초기 값 집합을 사용한다.^[2] k=5부터 시작하는 작은 k 값에 대한 해의 개수는 다음과 같다.^[2]

: 2, 5, 18, 96

현재, k=9와 k=10에 대해 몇 가지 해가 알려져 있지만, 해당 k 값에 대해 얼마나 많은 해가 아직 발견되지 않았는지는 불분명하다. 하지만, k가 고정되지 않으면 해가 무한히 많다.

Cao & Jing (1998)은 각 k≥12에 대해 적어도 39개의 해가 존재함을 보였는데, 이는 더 적은 해의 존재를 증명하는 이전 결과를 개선한 것이다.^[2] Sun & Cao (1988)는 각 k 값에 대한 해의 수가 k와 함께 단조 증가한다는 추측을 제기했다.^[2]

즈남 문제의 해가 홀수만 사용하여 존재하는지는 알려져 있지 않다. 한 가지 예외를 제외하고, 모든 알려진 해는 2로 시작한다. 즈남 문제 또는 부적절한 즈남 문제의 해에 있는 모든 수가 소수이면, 그들의 곱은 원시 유사 완전수이다.^[2] 이러한 유형의 해가 무한히 많이 존재하는지는 알려져 있지 않다.

7. 알려진 사실과 미해결 문제

k^영어 ≥ 12에 대해 적어도 39개의 해가 존재한다.^[2] 각 k^영어 값에 대한 해의 수가 k^영어와 함께 단조 증가한다는 추측이 있다. 즈남 문제의 해가 홀수만 사용하여 존재하는지는 알려져 있지 않다. 즈남 문제 또는 부적절한 즈남 문제의 해에 있는 모든 수가 소수이면, 그들의 곱은 원시 유사 완전수이다. 이러한 유형의 해가 무한히 많이 존재하는지는 알려져 있지 않다.

참조

_[1] 참고문헌
_[2] 참고문헌
_[3] 웹사이트 ZnamsProblem http://mathworld.wol[...]

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