지수열

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
- 4.1. 리만 곡면
- 4.2. 지수열
참조

1. 개요

지수열은 복소다양체 M 위에서 정칙 함수와 가역 정칙 함수의 층을 연결하는 짧은 완전열이다. 지수 함수를 통해 정의되며, 층 코호몰로지의 긴 완전열을 유도한다. 지수열은 로그의 존재, 천 특성류, 슈타인 다양체 등과 관련이 있으며, 리만 곡면의 경우 구체적인 형태를 갖는다. 특히, 리만 곡면의 야코비 다양체와 네롱-세베리 군을 계산하는 데 사용된다.

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지수열

2. 정의

복소다양체 $M$ 위에서, $\mathcal O_M$ 이 정칙 함수의 층, $\mathcal O_M^\times$ 이 가역 정칙 함수의 층이라고 하자. 이는 둘 다 아벨 군의 층이다. 그렇다면, 지수 함수

: $\exp(2\pi i\cdot(-))\colon\mathbb C\to\mathbb C^\times$

로부터, 층의 사상

: $\exp\colon\mathcal O_X\to\mathcal O_X^\times$

을 정의할 수 있다. 이로 인하여, 다음과 같은 층의 짧은 완전열이 존재한다.

: $0\to\underline{\mathbb Z}\to \mathcal O_M\xrightarrow{\exp(2\pi i\cdot)}\mathcal O_M^\times \to 0$

여기서 $\underline{\mathbb Z}$ 는 $\mathbb Z$ 의 값을 갖는 상수층이다.

임의의 열린집합 $U\subseteq M$ 에 대하여, 단면 함자 $\Gamma(U;-)$ 를 취하면, 층 코호몰로지의 긴 완전열을 얻을 수 있다.^[1]

2. 1. 층 (수학)

복소다양체

M

위에서,

\mathcal O_M

은 정칙 함수의 층,

\mathcal O_M^\times

은 가역 정칙 함수의 층이다.^[1] 이들은 둘 다 아벨 군의 층이다. 지수 함수

:

\exp(2\pi i\cdot(-))\colon\mathbb C\to\mathbb C^\times

로부터, 층의 사상

:

\exp\colon\mathcal O_X\to\mathcal O_X^\times

을 정의할 수 있다. 이로 인하여, 다음과 같은 층의 짧은 완전열이 존재한다.

:

0\to\underline{\mathbb Z}\to \mathcal O_M\xrightarrow{\exp(2\pi i\cdot)}\mathcal O_M^\times \to 0

여기서

\underline{\mathbb Z}

는

\mathbb Z

의 값을 갖는 상수층이다.

임의의 열린집합

U\subseteq M

에 대하여, 단면 함자

\Gamma(U;-)

를 취하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.

:

0\to H^0(U;\underline{\mathbb Z})\to H^0(U;\mathcal O_M)\to H^0(U;\mathcal O_M^\times)\to H^1(U;\underline{\mathbb Z})\to H^1(U;\mathcal O_M)\to H^1(U;\mathcal O_M^\times)\toH^2(U;\underline{\mathbb Z})\to H^2(U;\mathcal O_M)\to H^2(U;\mathcal O_M^\times)\to\cdots

이를 '''지수열'''이라고 한다.^[1]

2. 2. 짧은 완전열

복소다양체

M

위에서,

\mathcal O_M

이 정칙 함수의 층,

\mathcal O_M^\times

이 가역 정칙 함수의 층이라고 하자. 이는 둘 다 아벨 군의 층이다. 그렇다면, 지수 함수

:

\exp(2\pi i\cdot(-))\colon\mathbb C\to\mathbb C^\times

로부터, 층의 사상

:

\exp\colon\mathcal O_X\to\mathcal O_X^\times

을 정의할 수 있다. 이로 인하여, 다음과 같은 층의 짧은 완전열이 존재한다.

:

0\to\underline{\mathbb Z}\to \mathcal O_M\xrightarrow{\exp(2\pi i\cdot)}\mathcal O_M^\times \to 0

여기서

\underline{\mathbb Z}

는

\mathbb Z

의 값을 갖는 상수층이다.

임의의 열린집합

U\subseteq M

에 대하여, 단면 함자

\Gamma(U;-)

를 취하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.

:

0\to H^0(U;\underline{\mathbb Z})\to H^0(U;\mathcal O_M)\to H^0(U;\mathcal O_M^\times)\to H^1(U;\underline{\mathbb Z})\to H^1(U;\mathcal O_M)\to H^1(U;\mathcal O_M^\times)\toH^2(U;\underline{\mathbb Z})\to H^2(U;\mathcal O_M)\to H^2(U;\mathcal O_M^\times)\to\cdots

이를 '''지수열'''이라고 한다.^[1]

2. 3. 긴 완전열

복소다양체

M

위에서,

\mathcal O_M

이 정칙 함수의 층,

\mathcal O_M^\times

이 가역 정칙 함수의 층이라고 하자. 이는 둘 다 아벨 군의 층이다. 그렇다면, 지수 함수

:

\exp(2\pi i\cdot(-))\colon\mathbb C\to\mathbb C^\times

로부터, 층의 사상

:

\exp\colon\mathcal O_X\to\mathcal O_X^\times

을 정의할 수 있다. 이로 인하여, 다음과 같은 층의 짧은 완전열이 존재한다.

:

0\to\underline{\mathbb Z}\to \mathcal O_M\xrightarrow{\exp(2\pi i\cdot)}\mathcal O_M^\times \to 0

여기서

\underline{\mathbb Z}

는

\mathbb Z

의 값을 갖는 상수층이다.

임의의 열린집합

U\subseteq M

에 대하여, 단면 함자

\Gamma(U;-)

를 취하면, 층 코호몰로지의 긴 완전열을 얻을 수 있다.^[1]

3. 성질

3. 1. 로그의 존재

지수 함수

\exp

의 역함수

\log

가 (적어도 하나 이상) 존재하려면, 지수층 완전열

:

0\to H^0(U;\underline{\mathbb Z})\to H^0(U;\mathcal O_M)\xrightarrow{\exp(2\pi i\cdot)}H^0(U;\mathcal O_M^\times)\to H^1(U;\underline{\mathbb Z})

에서,

\exp

가 전사 함수여야 한다. 따라서,

U

가 단일 연결 공간이라면 (

H^0(U;\mathbb Z)\cong H^1(U;\mathbb Z)\cong 0

), 어디서도 0이 아닌 모든 함수는 (적어도 하나의) 로그를 취할 수 있다.

예를 들어,

U=\mathbb C^\times

인 경우,

z\mapsto1/z

는 어디서도 0이 아니지만, 로그를 취할 수 없다.

3. 2. 천 특성류

해석적 선다발과 그 천 특성류 사이의 관계는 지수층 완전열을 통해 설명할 수 있다.^[1] 지수열

:

\cdots\to H^1(U;\underline{\mathbb Z})\to H^1(U;\mathcal O_M)\to H^1(U;\mathcal O_M^\times)\toH^2(U;\underline{\mathbb Z})\to H^2(U;\mathcal O_M)\to\cdots

에서,

H^1(U;\mathcal O_M^\times)

는

U

의 피카르 군(해석적 선다발의 텐서곱군)이다. 따라서, 사상

H^1(U;\mathcal O_M^\times)\to H^2(M;\mathbb Z)

는 해석적 선다발을 그 천 특성류로 대응시킨다.

만약

U

가 슈타인 다양체인 경우, 카르탕 B정리에 의하여

:

H^1(U;\mathcal O_M)\cong H^2(U;\mathcal O_M)\cong0

이다. 따라서

:

H^1(U;\mathcal O_M^\times)\cong H^2(U;\mathbb Z)

이다. 즉, 해석적 선다발들은 2차 코호몰로지류와 (천 특성류에 의하여) 일대일 대응한다.

3. 3. 슈타인 다양체

지수열에서

H^1(U;\mathcal O_M^\times)

는

U

의 피카르 군(해석적 선다발의 텐서곱군)이다.^[1] 따라서, 사상

H^1(U;\mathcal O_M^\times)\to H^2(M;\mathbb Z)

는 해석적 선다발을 그 천 특성류로 대응시킨다.

슈타인 다양체인 경우, 카르탕 B정리에 의하여

:

H^1(U;\mathcal O_M)\cong H^2(U;\mathcal O_M)\cong0

이다. 따라서

:

H^1(U;\mathcal O_M^\times)\cong H^2(U;\mathbb Z)

이다. 즉, 해석적 선다발들은 2차 코호몰로지류와 (천 특성류에 의하여) 일대일 대응한다.

4. 예

$\Sigma_g$ 가 종수 $g$ 의 연결 콤팩트 리만 곡면이라고 하자. 그렇다면 특이 코호몰로지 군들은 다음과 같다.^[1]

: $H^1(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})\cong\mathbb Z^{2g}$

: $H^0(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})\cong H^2(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})\cong\mathbb Z$

: $H^i(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})=0\qquad\forall i>2$

또한, 연결 콤팩트 리만 곡면 위의 정칙 함수는 상수 함수밖에 없으므로, 다음이 성립한다.^[1]

: $H^0(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C$

: $H^0(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C^\times$

또한, 돌보 코호몰로지에 의하여 다음이 성립한다.^[1]

: $H^1(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C^{h^{0,1}}=\mathbb C^g$

: $H^p(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C^{h^{0,p}}=0\qquad\forall p>1$

따라서, 지수열은 다음과 같다.^[1]

: $0\to \mathbb Z\to\mathbb C\to\mathbb C^\times\to\mathbb Z^{2g}\to\mathbb C^g\to\operatorname{Pic}(\Sigma_g)\to\mathbb Z\to0\to0\to0\to\cdots$

여기서, $\exp(2\pi i\cdot)\colon\mathbb C\to\mathbb C^\times$ 는 전사 함수이므로, 이 부분은 끊어 없앨 수 있다. 따라서, 지수열의 자명하지 않은 부분은 다음과 같다.^[1]

: $0\to\mathbb Z^{2g}\to\mathbb C^g\to\operatorname{Pic}(\Sigma_g)\to\mathbb Z\to0$

따라서, 야코비 다양체(피카르 군의 항등원의 연결 성분)는 다음과 같다.^[1]

: $\operatorname J(\Sigma_g)=\operatorname{Pic}^0(\Sigma_g)\cong\mathbb C^g/\mathbb Z^{2g}$

또한, 네롱-세베리 군은 다음과 같다.^[1]

: $\operatorname{NS}(\Sigma_g)=\operatorname{Pic}(X)/\operatorname J(\Sigma_g)=\mathbb Z$

이 동형은 인자의 차수에 의하여 주어진다.^[1]

4. 1. 리만 곡면

종수

g

의 연결 콤팩트 리만 곡면

\Sigma_g

의 특이 코호몰로지 군은 다음과 같다.^[1]

:

H^1(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})\cong\mathbb Z^{2g}

:

H^0(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})\cong H^2(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})\cong\mathbb Z

:

H^i(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})=0\qquad\forall i>2

연결 콤팩트 리만 곡면 위의 정칙 함수는 상수 함수뿐이므로, 다음이 성립한다.^[1]

:

H^0(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C

:

H^0(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C^\times

돌보 코호몰로지에 의하여 다음이 성립한다.^[1]

:

H^1(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C^{h^{0,1}}=\mathbb C^g

:

H^p(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C^{h^{0,p}}=0\qquad\forall p>1

따라서, 지수열의 자명하지 않은 부분은 다음과 같다.^[1]

:

0\to\mathbb Z^{2g}\to\mathbb C^g\to\operatorname{Pic}(\Sigma_g)\to\mathbb Z\to0

야코비 다양체(피카르 군의 항등원의 연결 성분)는 다음과 같다.^[1]

:

\operatorname J(\Sigma_g)=\operatorname{Pic}^0(\Sigma_g)\cong\mathbb C^g/\mathbb Z^{2g}

네롱-세베리 군은 다음과 같다.^[1]

:

\operatorname{NS}(\Sigma_g)=\operatorname{Pic}(X)/\operatorname J(\Sigma_g)=\mathbb Z

이 동형은 인자의 차수에 의하여 주어진다.^[1]

4. 2. 지수열

리만 곡면에 대한 지수열의 구체적인 형태는 다음과 같다.^[1]

\Sigma_g

가 종수

g

의 연결 콤팩트 리만 곡면이라고 하자. 그렇다면 특이 코호몰로지 군들은 다음과 같다.

:

H^1(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})\cong\mathbb Z^{2g}

:

H^0(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})\cong H^2(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})\cong\mathbb Z

:

H^i(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})=0\qquad\forall i>2

또한, 연결 콤팩트 리만 곡면 위의 정칙 함수는 상수 함수밖에 없으므로, 다음이 성립한다.

:

H^0(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C

:

H^0(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C^\times

또한, 돌보 코호몰로지에 의하여 다음이 성립한다.

:

H^1(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C^{h^{0,1}}=\mathbb C^g

:

H^p(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C^{h^{0,p}}=0\qquad\forall p>1

따라서, 지수열은 다음과 같다.

:

0\to \mathbb Z\to\mathbb C\to\mathbb C^\times\to\mathbb Z^{2g}\to\mathbb C^g\to\operatorname{Pic}(\Sigma_g)\to\mathbb Z\to0\to0\to0\to\cdots

여기서,

\exp(2\pi i\cdot)\colon\mathbb C\to\mathbb C^\times

는 전사 함수이므로, 이 부분은 끊어 없앨 수 있다. 따라서, 지수열의 자명하지 않은 부분은 다음과 같다.

:

0\to\mathbb Z^{2g}\to\mathbb C^g\to\operatorname{Pic}(\Sigma_g)\to\mathbb Z\to0

따라서, 야코비 다양체(피카르 군의 항등원의 연결 성분)는 다음과 같다.

:

\operatorname J(\Sigma_g)=\operatorname{Pic}^0(\Sigma_g)\cong\mathbb C^g/\mathbb Z^{2g}

또한, 네롱-세베리 군은 다음과 같다.

:

\operatorname{NS}(\Sigma_g)=\operatorname{Pic}(X)/\operatorname J(\Sigma_g)=\mathbb Z

이 동형은 인자의 차수에 의하여 주어진다.

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