질량중심 (천문학)

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1. 개요
2. 이체 문제 (Two-body problem)
3. 상대론적 보정 (Relativistic corrections)
4. 질량중심 궤도 요소 (Selected baryocentric orbital elements)
참조

1. 개요

질량중심은 천문학 및 천체물리학에서 두 천체가 서로의 궤도를 도는 가상의 점으로, 각 천체의 타원 궤도의 초점 중 하나이다. 두 천체의 질량과 거리에 따라 위치가 결정되며, 질량중심이 더 무거운 천체 내부에 위치하면 가벼운 천체는 흔들리는 것처럼 보인다. 태양계의 경우, 태양과 행성 간의 질량 차이로 인해 질량중심이 태양 외부에 위치할 수 있으며, 행성의 궤도 요소와 태양의 상대적 운동을 계산하는 데 중요한 역할을 한다. 일반 상대성 이론에서는 질량중심 좌표계 설정에 대한 보정이 필요하며, 질량중심 궤도 요소는 천체의 궤도를 분석하는 데 사용된다.

2. 이체 문제 (Two-body problem)

질량중심은 각 천체의 타원 궤도의 초점 중 하나이다. 이는 천문학과 천체물리학 분야에서 중요한 개념이다. 단순한 두 천체의 경우, 주된 천체의 중심에서 질량중심까지의 거리 ''r''₁은 다음과 같이 주어진다.

:''r''₁ = a · (m₂ / (m₁ + m₂)) = a / (1 + (m₁ / m₂))

여기서:

''r''₁은 천체 1의 중심에서 질량중심까지의 거리

''a''는 두 천체의 중심 사이의 거리

''m''₁과 ''m''₂는 두 천체의 질량이다.

보조 천체의 궤도의 장반축인 ''r''₂는 ''r''₂ = ''a'' − ''r''₁로 주어진다.

질량중심이 더 무거운 천체 ''내부''에 위치할 때, 그 천체는 식별 가능한 궤도를 따르는 것이 아니라 "흔들리는" 것처럼 보일 것이다.

2. 1. 질량중심 계산

2. 2. 주-종속 천체 예시

질량중심이 더 무거운 천체 ''내부''에 위치할 때, 그 천체는 식별 가능한 궤도를 따르는 것이 아니라 "흔들리는" 것처럼 보인다.^[2] 태양계의 몇 가지 예시는 다음과 같다.

'''주-종속 예시'''
주	m₁ (지구 질량/Earth mass^영어)	종속	m₂ (지구 질량/Earth mass^영어)	a (km)	r₁ (km)	R₁ (km)	r₁/R₁
지구	1	달	0.0123	384,400	4,670^[2]	6,380	0.732
명왕성	0.0021	카론	0.000254	19,600	2,110	1,150	1.83
태양	333,000	지구	1	150,000,000	449	696,000	0.000646
태양	333,000	목성	318	778,000,000	742,000	696,000	1.07^[3]^[9]
태양	333,000	토성	95.2	1,430,000,000	409,000	696,000	0.588

''m''₁은 주의 질량(지구 질량 단위), ''m''₂는 종속의 질량(지구 질량 단위)
''a'' (km)는 두 천체 중심 사이의 평균 궤도 거리, ''r''₁ (km)는 주의 중심에서 질량 중심까지의 거리, ''R''₁ (km)는 주의 반지름
''r''₁/''R''₁이 1보다 작은 값은 질량 중심이 주의 내부에 있음을 의미

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2. 3. 태양의 예시

만약 ''m''₁ ≫ ''m''₂ (태양과 행성의 관계)라면, 비율 ''r''₁/''R''₁ 은 다음과 같이 근사된다.

:

\frac{a}{R_1} \cdot \frac{m_2}{m_1}.

따라서, 태양-행성계의 질량중심은 행성이 질량이 크고 태양으로부터 멀리 떨어져 있을 때 태양 외부에 위치한다.^[8]

:

{a \over R_\odot} \cdot {m_\mathrm{planet} \over m_\odot} > 1 \; \Rightarrow \; {a \cdot m_\mathrm{planet}} > {R_\odot \cdot m_\odot} \approx 2.3 \times 10^{11} \; m_\oplus \; \mbox{km} \approx 1530 \; m_\oplus \; \mbox{AU}

실제 태양의 운동을 계산하기 위해서는 네 개의 거대 행성(목성, 토성, 천왕성, 해왕성)의 운동만 고려하면 된다.^[8] 다른 모든 행성, 왜행성 등의 기여는 무시할 만하다. 네 개의 거대 행성이 태양의 같은 쪽에 일직선으로 놓여 있다면, 결합된 질량 중심은 태양 반지름의 약 1.17배, 즉 태양 표면으로부터 810,000 km 이상 위에 위치할 것이다.^[8]

모든 천체 궤도는 타원형이며, 천체 사이의 거리는 이심률 ''e''에 따라 근점과 원점 사이에서 달라진다. 따라서 질량중심의 위치도 변하며, 일부 계에서는 질량중심이 더 큰 천체의 ''내부에 있기도 하고 외부에 있기도 하다''.^[8] 이는 다음과 같은 경우에 발생한다.

:

\frac{1}{1-e} > \frac{r_1}{R_1} > \frac{1}{1+e}

3. 상대론적 보정 (Relativistic corrections)

고전역학(뉴턴 중력)에서는 질량중심 정의가 계산을 단순화한다. 그러나 일반 상대성 이론(아인슈타인 중력)에서는 관련 좌표계가 서로 다른 위치에서의 시계 속도 불일치를 완전히 반영하지 못하기 때문에 복잡한 문제가 발생한다.^[5] (Brumberg)는 일반 상대성 이론에서 질량중심 좌표를 설정하는 방법을 설명한다.^[5]

좌표계는 원격 측정을 통해 설정할 수 있는 전역 시간 좌표인 세계시를 포함한다. 개별 시계는 서로 다른 중력퍼텐셜의 영향을 받거나 다양한 속도로 움직여 이 표준과 일치하지 않으므로, 세계시는 자체 중력계 전체에서 매우 멀리 떨어져 있다고 가정되는 이상적인 시계와 동기화되어야 한다. 이 시간 표준을 질량중심 좌표 시간(TCB)이라고 한다.

4. 질량중심 궤도 요소 (Selected baryocentric orbital elements)

태양계의 일부 천체에 대한 질량중심 궤도 요소는 다음과 같다.^[4]

천체	장반축 (AU)	원일점 (AU)	공전주기 (년)
C/2006 P1 (맥넛)	2,050	4,100	92,600
C/1996 B2 (하야쿠타케)	1,700	3,410	70,000
C/2006 M4 (SWAN)	1,300	2,600	47,000
308933 2006 SQ372	799	1,570	22,600
87269 2000 OO67	549	1,078	12,800
90377 세드나	506	937	11,400
2007 TG422	501	967	11,200

이심률이 높은 천체의 경우, 주어진 시점에서 질량중심 좌표는 태양중심 좌표보다 더 안정적이다. 이는 질량중심 접선궤도가 목성의 11.8년 주기 궤도상 위치의 영향을 덜 받기 때문이다.^[6]

참조

_[1] OED barycentre
_[2] 웹사이트 Center of Gravity - an overview https://www.scienced[...]
_[3] 웹사이트 If You Think Jupiter Orbits the Sun, You're Mistaken https://science.hows[...] 2016-08-09
_[4] 웹사이트 Barycentric Osculating Orbital Elements for 2007 TG422 https://web.archive.[...] 2011-01-30
_[5] 서적 Essential Relativistic Celestial Mechanics Adam Hilger 1991
_[6] 논문 2006 SQ₃₇₂: A Likely Long-Period Comet from the Inner Oort Cloud 2009
_[7] 서적 Newton's Gravity: An Introductory Guide to the Mechanics of the Universe https://archive.org/[...] Springer Science & Business Media 2012-12
_[8] 문서 Mathematical Astronomy Morsels Willmann-Bell
_[9] 웹사이트 What's a Barycenter? http://spaceplace.na[...] Space Place @ NASA 2005-09-08
_[10] 논문 Evidence that Pluto's atmosphere does not collapse from occultations including the 2013 May 04 event https://www.research[...] 2015-01

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