채색 다항식

3. 정의

그래프 ''G''에 대해 P(G, k)^영어는 (적절한) 꼭짓점 ''k''-채색의 수를 나타낸다. 다른 표현으로는 P_G(k)^영어, χ_G(k)^영어, π_G(k)^영어 등이 있다. 임의의 정수 ''k'' ≥ 0에 대해 P(G, k)^영어 값을 갖는 유일한 다항식 P(G, x)^영어가 존재하는데, 이를 ''G''의 '''채색 다항식'''이라고 한다.

예를 들어 경로 그래프 P₃^영어에 ''k''개의 색을 칠하는 경우, 3개의 꼭짓점 중 첫 번째 꼭짓점에는 ''k''개의 색 중 하나를 선택할 수 있다. 두 번째 꼭짓점에는 남은 ''k'' - 1개의 색 중 하나를 선택할 수 있고, 마지막 세 번째 꼭짓점에는 두 번째 꼭짓점에서 선택한 색과 다른 ''k'' - 1개의 색 중 하나를 선택할 수 있다. 따라서 P₃^영어의 ''k''-색칠의 수는 이다. 변수 ''x''(반드시 정수일 필요는 없음)에 대해 이다. (색의 순서를 바꾸거나 ''G''의 자기동형사상에 의해서만 다른 색칠은 여전히 다른 것으로 간주한다.)

3. 1. 삭제-축소 정의

4. 성질

채색 다항식은 다음과 같은 성질을 갖는다.

• ''n''개의 꼭짓점을 가진 그래프 ''G''에 대해, 채색 다항식 $P(G,\; x)$는 정수 계수를 갖는 ''n''차 일계수 다항식이다.
• 채색수는 채색 다항식에서 0이 아닌 가장 작은 양의 정수이다.

• $P(G,\; -1)$은 $(-1)^$
  와 ''G''의 비순환 방향의 수를 곱한 값이다.^[4]

  1에서 계산된 도함수 $P\text{'}(G,\; 1)$는 채색 불변량 $\backslash theta(G)$와 절댓값이 같다.

  ''G''가 ''n''개의 꼭짓점과 ''c''개의 연결 성분 $G\_1,\; \backslash ldots,\; G\_c$를 가지는 경우:

  $x^0,\; \backslash ldots,\; x^\{c-1\}$의 계수는 0이다.

  $x^c,\; \backslash ldots,\; x^n$의 계수는 모두 0이 아니고 부호가 교대한다.

  $x^n$의 계수는 1이다(일계수 다항식).

  $x^\{n-1\}$의 계수는 $-|E(G)|$이다.

  $x^1$의 계수는 $(-1)^\{n-1\}$와 선택된 꼭짓점에서 유일한 싱크를 갖는 비순환 방향의 수를 곱한 값이다.^[5]

  모든 채색 다항식 계수의 절댓값은 로그 오목 수열을 형성한다.^[6]

  $P(G,\; x)\; =\; P(G\_1,\; x)P(G\_2,x)\; \backslash cdots\; P(G\_c,x)$

  ''G''가 $G\_1$과 $G\_2$의 클릭-합(즉, ''k''개의 꼭짓점의 클릭에서 두 개를 붙여서 얻은 그래프)이면,

  
  :$P(G,\; x)\; =\; \backslash frac\{P(G\_1,x)P(G\_2,x)\}\{x(x-1)\backslash cdots(x-k+1)\}.$

  
  
  • ''n''개의 꼭짓점을 가진 그래프 ''G''는'' 다음과 같은 경우에만 트리이다.

  
  :$P(G,\; x)\; =\; x(x-1)^\{n-1\}.$

  
  
  • $e\_k$를 정확히 ''k''개의 색상을 사용하는 채색수라 할 때, (색상의 이름을 바꿔서 서로 얻을 수 있는 채색은 하나로 계산)

  
  :$P(G,x)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^x\; \backslash binom\{x\}\{k\}\; k!\; \backslash cdot\; e\_k\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^x\; (x)\_k\; \backslash cdot\; e\_k,$

  
  
  • ($(x)\_k\; =\; x(x-1)(x-2)\backslash cdots(x-k+1)$는 떨어지는 계승)
  • $a\_k$를 $P(G,x)$의 ''k''번째 계수라 하면,

  
  :$P(G,x)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; a\_k\; x^k$

  
  
  • 스털링 수는 표준 기저와 떨어지는 계승 기저 사이의 기저 변환을 제공한다.

  
  :$a\_k\; =\; \backslash sum\_\{j=0\}^n\; (-1)^\{j-k\}\; \backslash begin\{bmatrix\}j\backslash \backslash k\backslash end\{bmatrix\}\; e\_j$ 그리고 $e\_k\; =\; \backslash sum\_\{j=0\}^n\; \backslash begin\{Bmatrix\}j\backslash \backslash k\backslash end\{Bmatrix\}\; a\_j.$

  
  
  • 채색다항식은 Khovanov 호몰로지와 밀접한 관련이 있는 호몰로지 이론에 의해 분류된다.^[10]

  4. 1. 기본 성질

  ''n''개의 꼭짓점을 가진 그래프 ''G''의 채색 다항식 $P(G,\; x)$는 다음과 같은 성질을 갖는다.

  
  
  • 정수 계수를 갖는 ''n''차 일계수 다항식이다.
  • $P(G,\; -1)$은 $(-1)^$

  와 ''$G$''의 비순환 방향의 수를 곱한 값이다.^[4]

  $x^n$의 계수는 1이다. (일계수 다항식)

  $x^\{n-1\}$의 계수는 $-|E(G)|$이다.

  ''n''개의 꼭짓점과 ''c개의'' 연결 성분 $G\_1,\; \backslash ldots,\; G\_c$을 가지는 경우,

  $x^0,\; \backslash ldots,\; x^\{c-1\}$의 계수는 0이다.

  $x^c,\; \backslash ldots,\; x^n$의 계수는 모두 0이 아니고 부호가 교대한다.

  ''n''개의 꼭짓점을 가진 그래프 ''$G$''가 트리인 경우, $P(G,\; x)\; =\; x(x-1)^\{n-1\}$이다.

  4. 2. 계수와 관련된 성질

  
  
  • ''n개의'' 꼭짓점을 갖는 그래프 ''G''의 채색 다항식 $P(G,\; x)$은 정수 계수를 갖는 ''n''차 일계수 다항식이다.
  • ''G''가 ''n개의'' 꼭짓점과 ''c개의'' 연결 성분 $G\_1,\; \backslash ldots,\; G\_c$를 가질 때:
  • $x^0,\; \backslash ldots,\; x^\{c-1\}$의 계수는 0이다.
  • $x^c,\; \backslash ldots,\; x^n$의 계수는 모두 0이 아니고 부호가 교대한다.
  • $x^n$의 계수는 1이다(일계수 다항식).
  • $x^\{n-1\}$의 계수는 $-|E(G)|$이다. (여기서 $|E(G)|$는 그래프 ''G''의 변의 개수이다.)
  • $x^1$의 계수는 $(-1)^\{n-1\}$과 선택된 꼭짓점에서 유일한 싱크를 갖는 비순환 방향의 수를 곱한 값이다.^[5]
  • 모든 채색 다항식 계수의 절댓값은 로그 오목 수열을 형성한다.^[6]

  4. 3. 채색 동치

  두 그래프가 동일한 채색 다항식을 갖는 경우 ''채색 동치''라고 한다. 동형 그래프는 동일한 채색 다항식을 가지지만, 동형이 아닌 그래프도 채색 동치일 수 있다. 예를 들어 ''n''개의 꼭짓점에 있는 모든 트리는 동일한 채색 다항식을 갖는다. 특히, $(x-1)^3x$는 클로 그래프와 4개의 꼭짓점에 대한 경로 그래프의 채색 다항식이다.^[7]
  
  

  

  
  
  그래프는 채색 다항식에 의해 결정되는 경우 ''채색적으로 유일하다''. 즉, ''$G$''가 채색적으로 유일하면, $P(G,\; x)\; =\; P(H,\; x)$일 때 ''$G$''와 ''$H$''가 동형임을 의미한다. 모든 순환 그래프는 채색적으로 유일하다.^[7]
  

  4. 4. 채색 근

  채색 다항식의 근(채색 근)은 그래프의 색칠 가능성과 관련된 정보를 제공한다. 채색 근은 복소 평면에서 조밀하게 분포한다.^[4]
  
  채색수는 채색 다항식에서 0이 아닌 가장 작은 양의 정수이며, 다음과 같이 표현된다.
  
  :$\backslash chi\; (G)=\backslash min\backslash \{\; k\backslash in\backslash mathbb\{N\}\; :\; P(G,\; k)\; >\; 0\; \backslash \}.$

  
  
  • 1에서 채색 다항식의 값 $P(G,-1)$은 $(-1)^$

  와 ''$G$''의 비순환 방향의 수를 곱한 값이다. 1에서 계산된 도함수 $P\text{'}(G,\; 1)$는 채색 불변량 $\backslash theta(G)$과 절대값이 같다.
  
  ''n''개의 꼭지점과 ''c''개의 연결 성분을 가진 그래프 ''$G$''의 채색 다항식 $P(G,\; x)$에 대해 다음이 성립한다.

  
  
  • $x^0,\; \backslash ldots,\; x^\{c-1\}$의 계수는 0이다.
  • $x^c,\; \backslash ldots,\; x^n$의 계수는 모두 0이 아니고 부호가 교대한다.
  • $x^n$의 계수는 1이다(일계수 다항식).
  • $x^\{n-1\}$의 계수는 $-|E(G)|$이다.
  • $x^1$의 계수는 $(-1)^\{n-1\}$와 선택된 꼭지점에서 유일한 싱크를 갖는 비순환 방향의 수를 곱한 값이다.^[5]
  • 모든 채색 다항식 계수의 절대값은 로그 오목 수열을 형성한다.^[6]

  4. 5. 모든 색을 사용한 색칠

  그래프 ''$G$''에 대해 $P(G,k)$는 vertex coloring^영어의 수를 계산한다. 임의의 정수 $k\backslash geq0$에 대한 값이 $P(G,k)$인 유일한 다항식$P(G,x)$가 존재하며, 이를 ''$G$''의 '''채색 다항식'''이라고 한다.
  
  예를 들어 경로 그래프$P\_3$에 색상 ''$k$''개를 칠하는 방법은 다음과 같이 생각할 수 있다. 3개의 꼭지점 중 첫 번째 꼭지점에는 ''$k$''가지 색 중 하나를 선택할 수 있다. 두 번째 꼭지점에는 첫 번째 꼭지점에 사용된 색을 제외한 $k\; -\; 1$가지 색 중 하나를 선택할 수 있다. 마지막 세 번째 꼭지점에는 두 번째 꼭지점에 사용된 색과 다른 $k\; -\; 1$가지 색 중 하나를 선택할 수 있다. 따라서 $P\_3$의 ''$k$-'' 채색의 수는 $P(P\_3,k)\; =\; k\; \backslash cdot\; (k-1)\; \backslash cdot\; (k-1)$이다. 변수 ''x''(반드시 정수일 필요는 없음)에 대해, $P(P\_3,x)=x(x-1)^2=x^3-2x^2+x$이다. (색상 순열이나 ''$G$''의 자기동형사상에 의해서만 다른 색상은 여전히 다른 것으로 간주된다.)
  
  ''n''개의 꼭지점을 가진 ''$G$''의 경우, 채색 다항식 $P(G,\; x)$은 정수 계수를 갖는 ''n''차 일계수 다항식이다.
  

  5. 응용

  채색 다항식은 그래프의 적절한 채색 수를 나타내는 다항식으로, 그래프 이론, 조합론, 통계 물리학 등 다양한 분야에서 응용된다.
  
  그래프의 채색은 정수 격자의 벡터로 표현될 수 있으며, 이때 각 변은 초평면과 연관된다. 주어진 그래프에 대한 이러한 초평면들의 집합을 그래프적 배열이라고 한다. 채색 다항식은 이 그래프적 배열을 피하는 격자점의 수를 계산한다.
  
  채색 다항식은 #P-난해 문제로, $k=0,\; 1,\; 2$인 경우를 제외하면 $P(G,\; k)$를 효율적으로 계산하는 것은 어렵다.^[16] 또한, $P(G,\; x)$의 근사 알고리즘도 알려져 있지 않다.^[17][18]
  

  5. 1. 그래프 이론

  채색 다항식은 그래프의 색수, 연결성, 순환 구조 등 그래프의 다양한 특성을 연구하는 데 활용된다.
  
  두 그래프가 동일한 채색 다항식을 갖는 경우 '''채색 동치'''라고 한다. 동형 그래프는 동일한 채색 다항식을 가지지만, 동형이 아닌 그래프도 채색 동형일 수 있다. 예를 들어 ''n''개의 꼭짓점을 갖는 모든 트리는 동일한 채색 다항식을 갖는다. 특히, $(x-1)^3x$는 클로 그래프와 4개의 꼭짓점에 대한 경로 그래프의 채색 다항식이다.
  
  그래프는 채색 다항식에 의해 결정되는 경우 '''채색적으로 유일하다'''고 한다. 즉, ''$G$''가 채색적으로 유일하면, $P(G,\; x)\; =\; P(H,\; x)$는 ''$G$''와 ''$H$''가 동형임을 의미한다. 모든 순환 그래프는 채색적으로 유일하다.^[7]
  
  각 꼭짓점에 자연수를 할당하면 그래프 색상이 정수 격자의 벡터라는 것을 관찰함으로써 그래프 색상에 대한 자연스러운 기하학적 관점이 있다. 두 꼭짓점 $i$, $j$에 동일한 색상을 지정하는 것은 채색 벡터의 $i$번째와 $j$번째 좌표가 동일함과 같다. 각 모서리는 초평면 $\backslash \{x\backslash in\backslash mathbb\; R^d:x\_i=x\_j\backslash \}$과 연관될 수 있다. 주어진 그래프에 대한 이러한 초평면의 모음을 '''그래프적 배열'''이라고 한다. 그래프의 적절한 채색은 금지된 초평면을 피하는 격자점이다. $k$개의 색상들의 집합으로 제한하면, 격자 점이 큐브 $[0,k]^n$에 포함된다. 이러한 맥락에서 채색 다항식은 그래픽 배열을 피한 $[0,k]$-큐브안의 격자점의 수를 계산한다.
  
  주어진 그래프의 3가지 색상 수를 계산하는 문제는 #P-완전 문제의 표준 예이므로 채색 다항식의 계수를 계산하는 문제는 #P-난해이다. 마찬가지로 주어진 ''G''에 대해 $P(G,\; 3)$를 계산하는 것도 #P-완전이다. 반면에, $k=0,1,2$에 대해 $P(G,\; k)$를 계산하기는 쉽다. 그래서 해당 문제는 다항식 시간 계산이 가능하다. $k>3$인 정수의 경우 문제는 #P-난해이며, 이는 $k=3$인 경우와 유사하게 확립되었다. $P(G,\; x)$는 세 개의 "쉬운 점"을 제외한 모든 ''x''(음의 정수 및 모든 복소수 포함)에 대해 #P-난해이다.^[16] 따라서 #P-난해의 관점에서 채색 다항식 계산의 복잡도가 완전히 이해된다.
  
  전개
  
  :$P(G,\; x)=\; a\_1\; x\; +\; a\_2x^2+\backslash cdots\; +a\_nx^n$
  
  에서 계수 $a\_n$는 항상 1과 같고 계수의 다른 여러 속성이 알려져 있다. 이는 일부 계수를 계산하기 쉬운지에 대한 의문을 제기한다. 그러나 고정된 ''r ≥ 1'' 와 주어진 그래프 ''G''에 대해 ''a_r'' 을 계산하는 계산 문제는 이분 평면 그래프의 경우에도 #P-난해이다.^[17]
  
  컴퓨팅을 위한 근사 알고리듬은 없다. $P(G,\; x)$ 세 가지 쉬운 점을 제외한 모든 ''$x$''로 알려져 있다. 정수점에서 $k=3,4,\backslash ldots$, 주어진 그래프가 ''k'' 채색이 될지 결정하는 해당 결정 문제는 NP-난해이다. 이러한 문제는 NP = RP이 아닌 한 제한된 오류 확률 알고리듬을 통해 어떤 곱셈 요소로 근사화될 수 없다. 모든 곱셈 근사법은 값 0과 1을 구별하여 제한된 오류 확률 다항식 시간에 결정 버전을 효과적으로 해결하기 때문이다. 특히, 동일한 가정 하에서 이는 FPRAS(완전 다항식 시간 무작위 근사 방식)의 가능성을 배제한다. NP = RP이 성립하지 않는 한, 임의의 ''x'' > 2에 대해 $P(G,\; x)$를 계산하는 FPRAS가 없다.^[18]
  

  5. 2. 조합론

  채색 다항식은 조합적 객체의 개수를 세는 문제에 응용될 수 있다. 그래프 색상을 정수 격자의 벡터로 보는 기하학적 관점에서, 두 꼭짓점 $i$, $j$에 같은 색을 지정하는 것은 채색 벡터의 $i$번째와 $j$번째 좌표가 같다는 것을 의미한다. 각 모서리는 초평면 $\backslash \{x\backslash in\backslash mathbb\; R^d:x\_i=x\_j\backslash \}$과 연관될 수 있으며, 주어진 그래프에 대한 이러한 초평면의 모음을 '''그래프적 배열'''이라고 한다. 그래프의 적절한 채색은 이러한 금지된 초평면을 피하는 격자점이다.
  
  $k$개의 색상 집합으로 제한하면, 격자 점은 큐브 $[0,k]^n$에 포함된다. 이러한 맥락에서 채색 다항식은 그래픽 배열을 피한 $[0,k]$-큐브 안의 격자점의 수를 계산한다.
  

  5. 3. 통계 물리학

  각 꼭짓점에 자연수를 할당하면 그래프 색상이 정수 격자의 벡터라는 것을 관찰할 수 있다. 이를 통해 그래프 색상에 대한 기하학적 관점을 얻을 수 있다. 두 꼭짓점 $i$, $j$에 동일한 색상을 지정하는 것은 채색 벡터의 $i$번째와 $j$번째 좌표가 같다는 의미이다. 각 모서리는 초평면 $\backslash \{x\backslash in\backslash mathbb\; R^d:x\_i=x\_j\backslash \}$과 연관될 수 있으며, 주어진 그래프에 대한 이러한 초평면의 모음을 '''그래프적 배열'''이라고 한다. 그래프의 적절한 채색은 이러한 금지된 초평면을 피하는 격자점이다. $k$개의 색상 집합으로 제한하면, 격자 점은 큐브 $[0,k]^n$에 포함된다. 이러한 맥락에서 채색 다항식은 그래픽 배열을 피한 $[0,k]$-큐브 안의 격자점의 수를 계산한다.
  

  6. 알고리듬

  채색 다항식을 계산하는 알고리듬에는 여러 가지가 있다.

  
  
  • 삭제-축소 알고리듬: 주어진 그래프에서 모서리를 삭제하거나 축소하는 과정을 반복하여 채색 다항식을 구하는 재귀적 알고리듬이다. 이 방법은 텃이 텃 다항식을 발견하는 계기가 되었다.^[3]
  • 효율적인 알고리듬: 삭제-축소 알고리듬 외에도 다양한 효율적인 알고리듬들이 연구되고 있다.

  
  
  채색 다항식의 근(채색 근)은 $P(G,\; x)=0$을 만족하는 $x$값이다. 0과 1은 모든 그래프에서 채색 근이 되며, 32/27보다 작거나 같은 실수에서는 채색 근이 존재하지 않는다.^[8] 황금비 $\backslash varphi$와 관련된 채색 근 연구도 진행되었다.^[9]
  

  6. 1. 삭제-축소 알고리듬

  ''k''-채색의 수는 ''k''에 대한 다항식이라는 사실은 삭제-축소 재귀 또는 기본 환원 정리라고 불리는 재귀 관계에 따른다.^[3] 이는 모서리 축소를 기반으로 한다. 한 쌍의 꼭짓점 $u$, $v$에 대해 그래프 $G/uv$는 두 꼭짓점을 병합하고 그 사이의 모서리를 제거하여 얻는다. $u$와 $v$가 ''G''에서 연결되어 있다면, $G-uv$는 그 모서리 $uv$를 제거하여 얻은 그래프를 나타낸다. 이 그래프의 ''k''-채색 수는 다음을 충족한다.
  
  :$P(G,k)=P(G-uv,\; k)-\; P(G/uv,k)$
  
  마찬가지로, 만약 $u$와 $v$가 ''$G$''에서 인접하지 않고 $G+uv$가 모서리 $uv$를 추가한 그래프라면, 다음이 성립한다.
  
  :$P(G,k)=\; P(G+uv,\; k)\; +\; P(G/uv,k)$
  
  이는 ''$G$''의 모든 ''k''-채색이 $u$와 $v$에 서로 다른 색상 또는 같은 색을 칠한다는 관찰에서 비롯된다. 첫 번째 경우에 이는 $G+uv$의 (적절한) ''k''-채색을 제공한다. 두 번째 경우에는 $G/uv$의 채색을 제공한다. 반대로, ''$G$''의 모든 ''k''-채색은 $G+uv$ 또는 (모서리 $u$$v$가 없을 경우) $G/uv$의 ''k''-채색으로부터 유일하게 얻을 수 있다.
  
  따라서 채색 다항식은 다음과 같이 재귀적으로 정의될 수 있다.
  
  :''n''개의 꼭짓점을 가지고 모서리가 없는 그래프의 경우 $P(G,x)=x^n$
  
  :모서리 $uv$가 있는 그래프 ''$G$''의 경우 $P(G,x)=P(G-uv,\; x)-\; P(G/uv,x)$
  
  모서리가 없는 그래프의 ''k''-채색 수는 $k^n$이므로, 모든 ''$G$''에 대해 다항식 $P(G,x)$는 모든 정수점 ''$x=k$''에서 ''k''-채색 수와 일치한다. 이는 모서리 수에 대한 귀납법으로 증명할 수 있다. 특히, 채색 다항식은 다음 점들을 통과하는 최대 ''n''차의 유일한 보간 다항식이다.
  
  :$\backslash left\; \backslash \{\; (0,\; P(G,\; 0)),\; (1,\; P(G,\; 1)),\; \backslash ldots,\; (n,\; P(G,\; n))\; \backslash right\; \backslash \}.$
  
  텃은 어떤 다른 그래프 불변량이 그러한 재귀를 만족하는지에 대한 호기심으로 인해 채색 다항식의 이변수 일반화인 텃 다항식 $T\_G(x,y)$을 발견하게 되었다.
  

  6. 2. 효율적인 알고리듬

  어떤 그래프도 0색일 수 없으므로 0은 항상 채색 근이다. 모서리가 없는 그래프만 단색일 수 있으므로 1은 적어도 하나의 모서리가 있는 모든 그래프의 채색 근이다. 반면, 이 두 점을 제외하고는 어떤 그래프도 32/27보다 작거나 같은 실수에서 채색 근을 가질 수 없다.^[8] 텃의 결과는 황금비 $\backslash varphi$를 연결하며, 채색 근에 대한 연구를 통해 채색 근이 $\backslash varphi^2$과 아주 가까운 곳에 존재함을 보여준다.^[9]
  

  6. 3. 계산 복잡도

  어떤 그래프도 0색일 수 없으므로 0은 항상 채색 다항식의 근이다. 모서리가 없는 그래프만 단색일 수 있으므로 1은 적어도 하나의 모서리가 있는 모든 그래프의 채색 다항식의 근이다. 반면, 이 두 점을 제외하고는 어떤 그래프도 32/27보다 작거나 같은 실수에서 채색 다항식의 근을 가질 수 없다.^[8] 텃의 결과는 황금비를 연결하며, 채색 다항식의 근에 대한 연구를 통해 채색 다항식의 근이 $\backslash varphi^2$과 아주 가까운 곳에 존재함을 보여준다. 따라서 실수선에는 그래프에 대한 채색 다항식의 근이 없는 큰 부분이 있지만, 복소 평면의 모든 점은 채색 다항식의 근에 임의로 가깝다.^[9]
  

  참조

  _[1] 하버드 인용 본문
  _[2] 하버드 인용 본문
  _[3] 하버드 인용 본문
  _[4] 하버드 인용 본문
  _[5] 하버드 인용 본문
  _[6] 하버드 인용 본문
  _[7] 하버드 인용 본문
  _[8] 하버드 인용 본문
  _[9] 하버드 인용 본문
  _[10] 하버드 인용 본문
  _[11] 하버드 인용 본문
  _[12] 하버드 인용 본문
  _[12] 하버드 인용 본문
  _[13] 하버드 인용 본문
  _[14] 하버드 인용 본문
  _[15] 하버드 인용 본문
  _[16] 하버드 인용 본문
  _[16] 하버드 인용
  _[17] 하버드 인용 본문
  _[18] 하버드 인용 본문
  

  ---

  
  본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
  모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
  하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
  따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.
  
  문의하기 : help@durumis.com