카라테오도리 확장 정리

3. 성질

카라테오도리 확장을 통해 얻어진 측도는 다음과 같은 성질을 갖는다.

• 집합 반환 ''S'' 위에서 정의되는 유한 가법 측도 μ는, ''S''에 의해 생성되는 집합환으로 연장할 수 있으며, 그러한 연장은 유일하게 결정된다. 확장된 유한 가법 측도는 ''S''에 속하는 집합의 열 ''A''_''i''에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

4. 집합환과 집합반환

반환은 주어진 집합 $\backslash Omega$의 부분집합족 $\backslash mathcal\{S\}$가 다음 성질을 만족하면 이를 반환이라 한다.

• $\backslash varnothing\; \backslash in\; \backslash mathcal\{S\}$
• 모든 $A,\; B\; \backslash in\; \backslash mathcal\{S\}$에 대해, $A\; \backslash cap\; B\; \backslash in\; \backslash mathcal\{S\}$이다 (쌍별 교집합에 닫혀 있다).
• 모든 $A,\; B\; \backslash in\; \backslash mathcal\{S\}$에 대해, $A\; \backslash setminus\; B\; =\; \backslash coprod\_\{i=1\}^n\; K\_i$를 만족하는 유한 개의 서로소 집합 $K\_i\; \backslash in\; \backslash mathcal\{S\},\; i\; =\; 1,\; 2,\; \backslash ldots,\; n$이 존재한다 (상대적 여집합은 유한 개의 서로소 합집합으로 나타낼 수 있다).

4. 1. 집합환

• $\backslash mathcal\{R\}$은 공집합을 포함한다: $\backslash varnothing\; \backslash in\; \backslash mathcal\{R\}$
• $\backslash mathcal\{R\}$는 합집합에 대해 닫혀 있다: 임의의 $A,\; B\; \backslash in\; \backslash mathcal\{R\}$에 대해, $A\; \backslash cup\; B\; \backslash in\; \backslash mathcal\{R\}$가 성립한다.
• $\backslash mathcal\{R\}$은 차집합에 대해 닫혀 있다: 임의의 $A,\; B\; \backslash in\; \backslash mathcal\{R\}$에 대해, $A\; \backslash setminus\; B\; \backslash in\; \backslash mathcal\{R\}$가 성립한다.

5. 한-콜모고로프 정리

집합의 대수 $\backslash Sigma\_0$가 집합 $X$의 부분 집합들로 구성된다고 가정하자. 다음의 집합 함수를 고려한다.

:$\backslash mu\_0\; :\; \backslash Sigma\_0\; \backslash to\; [0,\; \backslash infty]$

이 함수는 '시그마 가산적'이다. 즉,

:$\backslash mu\_0\backslash left(\backslash bigcup\_\{n=1\}^\backslash infty\; A\_n\backslash right)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash mu\_0(A\_n)$

는 $\backslash cup\_\{n=1\}^\backslash infty\; A\_n\; \backslash in\; \backslash Sigma\_0$를 만족하는 $\backslash Sigma\_0$의 원소들의 서로소인 집합족 $\backslash \{A\_n\; :\; n\; \backslash in\; \backslash N\backslash \}$에 대해 성립한다. (이 두 가지 속성을 만족하는 함수 $\backslash mu\_0$는 준 측도라고 알려져 있다.)

그러면, $\backslash mu\_0$는 $\backslash Sigma\_0$에 의해 생성된 $\backslash sigma$-대수 $\backslash Sigma$에서 정의된 측도로 확장된다. 즉, 다음과 같은 측도가 존재한다.

:$\backslash mu\; :\; \backslash Sigma\; \backslash to\; [0,\; \backslash infty]$

이 측도의 $\backslash Sigma\_0$로의 제한은 $\backslash mu\_0$와 일치한다.

만약 $\backslash mu\_0$가 $\backslash sigma$-유한하다면, 이 확장은 유일하다.

6. 증명

카라테오도리 확장 정리의 증명은 여러 단계로 이루어진다.

우선, $\backslash mu^*$가 추상적 외측도라는 것을 증명한다. $\backslash mu^*(\backslash varnothing)=0$이며, $A\backslash subseteq\; B\backslash subseteq\; X$라면 $\backslash mu^*(A)\backslash le\backslash mu^*(B)$이다. $\backslash mu^*$가 가산 준가법성을 만족시킨다는 것을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 부분 집합 $A\_1,A\_2,\backslash dots\backslash subseteq\; X$에 대하여, 임의의 양의 실수 $\backslash epsilon>0$ 및 $i\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$에 대하여,

:$\backslash sum\_\{j=1\}^\backslash infty\backslash mu\_0(A\_\{ij\})\backslash le\backslash mu^*(A\_i)+\backslash frac\backslash epsilon\{2^i\}$

이며 $\backslash textstyle\; A\_i\backslash subseteq\backslash bigcup\_\{j=1\}^\backslash infty\; A\_\{ij\}$인 $A\_\{i1\},A\_\{i2\},\backslash dots\backslash in\backslash Sigma\_0$이 존재한다. $\backslash textstyle\backslash bigcup\_\{i=1\}^\backslash infty\; A\_i\backslash subseteq\backslash bigcup\_\{i=1\}^\backslash infty\backslash bigcup\_\{j=1\}^\backslash infty\; A\_\{ij\}$이므로,

:$\backslash mu^*\backslash left(\backslash bigcup\_\{i=1\}^\backslash infty\; A\_i\backslash right)\backslash le\backslash sum\_\{i=1\}^\backslash infty\backslash sum\_\{j=1\}^\backslash infty\backslash mu\_0(A\_\{ij\})\backslash le\backslash sum\_\{i=1\}^\backslash infty\backslash mu^*(A\_i)+\backslash epsilon$

이다.

$\backslash mu^*$-카라테오도리 가측 집합의 집합 $\backslash Sigma$가 $\backslash mathcal\; P(X)$의 부분 시그마 대수라는 사실과 $\backslash mu=\backslash mu^*|\_\backslash Sigma$는 그 위의 완비 측도라는 사실은 $\backslash mu^*$가 (추상적) 외측도라는 세 가지 조건만을 사용하여 증명된다. $\backslash Sigma$가 $\backslash mathcal\; P(X)$의 부분 불 대수임을 보인다. $\backslash varnothing\backslash in\backslash Sigma$이며, 임의의 $A\backslash in\backslash Sigma$에 대하여 $X\backslash setminus\; A\backslash in\backslash Sigma$이다. $\backslash Sigma$가 유한 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보인다. 임의의 $A,B\backslash in\backslash Sigma$ 및 $S\backslash subseteq\; X$에 대하여,

:$\backslash begin\{align\}$

\mu^*(S)

& = \mu^*(S\cap A)+\mu^*(S\setminus A) \\

& = \mu^*((S\cap A)\cap B)+\mu^*((S\cap A)\setminus B)+\mu^*((S\setminus A)\cap B)+\mu^*((S\setminus A)\setminus B)) \\

& = \mu^*(S\cap(A\cap B))+\mu^*(S\cap(A\setminus B))+\mu^*(S\cap(B\setminus A))+\mu^*(S\setminus(A\cup B)) \\

& \ge \mu^*(S\cap(A\cup B))+\mu^*(S\setminus(A\cup B)) \\

& \ge \mu^*(S)

\end{align}

이므로, $A\backslash cup\; B\backslash in\backslash Sigma$이다. 첫째, 둘째 줄의 등호는 각각 $A,B\backslash in\backslash Sigma$ 때문이며, 마지막 두 줄의 부등호는 $\backslash mu^*$의 가산 준가법성 때문이다.

$\backslash Sigma$가 $\backslash mathcal\; P(X)$의 부분 시그마 대수임을 보인다. $\backslash Sigma$가 서로소 집합의 가산 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 서로소 집합 $A\_1,A\_2,\backslash dots,\backslash in\backslash Sigma$ 및 임의의 부분 집합 $S\backslash subseteq\; X$에 대하여, 임의의 $n\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$에 대하여,

:$\backslash begin\{align\}$

\mu^*(S)

& = \mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^nA_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^nA_i\right) \\

& \ge \mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^nA_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\

& =\mu^*(S\cap A_n)+\mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\

& =\mu^*(S\cap A_n)+\mu^*(S\cap A_{n-1})+\mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^{n-2}A_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\

& \vdots \\

& =\sum_{i=1}^n\mu^*(S\cap A_i)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)

\end{align}

이다. 첫째, 셋째 줄의 등호는 각각 $\backslash textstyle\backslash bigcup\_\{i=1\}^nA\_i,A\_n\backslash in\backslash Sigma$ 때문이며, 둘째 줄의 등호는 $\backslash mu^*$의 단조성 때문이다. $n$에 대한 극한을 취하면

:$\backslash begin\{align\}$

\mu^*(S)

& \ge \sum_{i=1}^\infty\mu^*(S\cap A_i)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\

& \ge \mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\

& \ge \mu^*(S)

\end{align}

를 얻는다. 둘째, 셋째 부등식은 $\backslash mu^*$의 가산 준가법성 때문이다.

$\backslash mu=\backslash mu^*|\_\backslash Sigma$가 $\backslash Sigma$ 위의 완비 측도를 이룸을 보인다. 위 증명에서 $\backslash textstyle\; S=\backslash bigcup\_\{j=1\}^\backslash infty\; A\_j$를 취하면

:$\backslash begin\{align\}$

\mu^*\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\right)

& = \sum_{i=1}^\infty\mu^*\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\cap A_i\right)

+ \mu^*\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\

& = \sum_{i=1}^\infty\mu^*(A_i)+\mu^*(\varnothing) \\

& = \sum_{i=1}^\infty\mu^*(A_i)

\end{align}

를 얻으며, 이에 따라 $\backslash mu$는 $\backslash Sigma$ 위의 측도를 이룬다. 임의의 외측도가 0인 집합의 부분 집합이 $\backslash mu^*$-카라테오도리 가측 집합임을 보이면 된다. $A\backslash subseteq\; X$가 $\backslash mu^*(A)=0$을 만족시키며, $B\backslash subseteq\; A$라고 하자.

:$\backslash begin\{align\}$

\mu^*(S)

& \le \mu^*(S\cap B)+\mu^*(S\setminus B) \\

& = \mu^*(S\setminus B) \\

& \le \mu^*(S)

\end{align}

이다. 첫째 줄의 부등호는 $\backslash mu^*$의 가산 준가법성, 둘째 줄의 등호는 $S\backslash cap\; B\backslash subseteq\; A$ 및 $\backslash mu^*$의 단조성, 셋째 줄의 부등호는 $S\backslash setminus\; B\backslash subseteq\; S$ 및 $\backslash mu^*$의 단조성 때문이다.

$\backslash Sigma\_0\backslash subseteq\backslash Sigma$를 증명한다. 임의의 $A\backslash in\backslash Sigma\_0$ 및 $S\backslash subseteq\; X$에 대하여, 임의의 양의 실수 $\backslash epsilon>0$에 대하여,

:$\backslash sum\_\{i=1\}^\backslash infty\backslash mu\_0(A\_i)\backslash le\backslash mu^*(S)+\backslash epsilon$

이며 $\backslash textstyle\; S\backslash subseteq\backslash bigcup\_\{i=1\}^\backslash infty\; A\_i$인 $A\_1,A\_2,\backslash dots\backslash in\backslash Sigma\_0$이 존재한다. 각 $i\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$에 대하여, $\backslash textstyle\; A\_i\backslash setminus\; A=\backslash bigcup\_\{j=1\}^\{n\_i\}B\_\{ij\}$인 서로소 집합 $B\_\{i1\},\backslash dots,B\_\{in\_i\}\backslash in\backslash Sigma\_0$을 취하면,

:$S\backslash cap\; A\backslash subseteq\backslash bigcup\_\{i=1\}^\backslash infty(A\_i\backslash cap\; A)$

:$S\backslash setminus\; A\backslash subseteq\backslash bigcup\_\{i=1\}^\backslash infty(A\_i\backslash setminus\; A)=\backslash bigcup\_\{i=1\}^\backslash infty\backslash bigcup\_\{j=1\}^\{n\_i\}B\_\{ij\}$

이므로,

:$\backslash begin\{align\}$

\mu^*(S)

& \le \mu^*(S\cap A)+\mu^*(S\setminus A) \\

& \le \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i\cap A)+\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^{n_i}\mu_0(B_{ij}) \\

& = \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i) \\

& \le \mu^*(S)+\epsilon

\end{align}

이다. 첫째 줄의 부등호는 $\backslash mu^*$의 가산 준가법성, 셋째 줄의 등호는 준측도 $\backslash mu\_0$의 가산 가법성 때문이다.

$\backslash mu\_0$의 단조성을 증명한다. $A,B\backslash in\backslash Sigma\_0$이며 $A\backslash subseteq\; B$라고 하면 $\backslash textstyle\; B\backslash setminus\; A=\backslash bigcup\_\{i=1\}^nC\_i$인 서로소 집합 $C\_1,\backslash dots,C\_n\backslash in\backslash Sigma\_0$을 고를 수 있다.

:$\backslash mu\_0(B)=\backslash mu\_0(A)+\backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash mu\_0(C\_i)\backslash ge\backslash mu(A)$

이다.

준측도 $\backslash mu\_0$의 가산 준가법성을 증명한다. $A\_1,A\_2,\backslash dots\backslash in\backslash Sigma\_0$이며 $\backslash textstyle\backslash bigcup\_\{i=1\}^\backslash infty\; A\_i\backslash in\backslash Sigma\_0$이라고 하면 각 $i\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$에 대하여,

:$B\_i\; =\; A\_i\backslash setminus\backslash bigcup\_\{j=1\}^\{i-1\}A\_j\; =\; \backslash bigcup\_\{j=1\}^\{n\_i\}B\_\{ij\}$

인 서로소 집합 $B\_\{i1\},\backslash dots,B\_\{in\_i\}\backslash in\backslash Sigma\_0$을 고를 수 있다. 각 $i\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$에 대하여

:$C\_i\; =\; A\_i\backslash cap\backslash bigcup\_\{j=1\}^\{i-1\}A\_j\; =\; A\_i\backslash cap\backslash bigcup\_\{k=1\}^\{i-1\}B\_k=\backslash bigcup\_\{k=1\}^\{i-1\}\backslash bigcup\_\{j=1\}^\{n\_j\}(A\_i\backslash cap\; B\_\{kj\})$

이므로,

:$\backslash begin\{align\}$

\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)

& = \sum_{i=1}^\infty\mu_0(B_i\cup C_i) \\

& = \sum_{i=1}^\infty\left(\sum_{j=1}^{n_i}\mu_0(B_{ij})+\sum_{k=1}^{i-1}\sum_{j=1}^{n_k}\mu_0(A_i\cap B_{kj})\right) \\

& \ge \sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^{n_i}\mu_0(B_{ij}) \\

& = \mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)

\end{align}

이다. 둘째, 넷째 줄의 등호는 준측도 $\backslash mu\_0$의 가산 가법성 때문이다.

$\backslash mu|\_\{\backslash Sigma\_0\}=\backslash mu\_0$를 증명한다. 임의의 $A\backslash in\backslash Sigma\_0$에 대하여, 임의의 양의 실수 $\backslash epsilon>0$에 대하여,

:

이며 $\backslash textstyle\; A\backslash subseteq\backslash bigcup\_\{i=1\}^\backslash infty\; A\_i$인 $A\_1,A\_2,\backslash dots\backslash in\backslash Sigma\_0$이 존재한다.

:$\backslash begin\{align\}$

\mu^*(A)

& \le \mu_0(A) \\

& = \mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty(A\cap A_i)\right) \\

& \le \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A\cap A_i) \\

& \le \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i) \\

& < \mu^*(A)+\epsilon

\end{align}

이다. 첫째 줄의 부등호는 $\backslash mu^*$의 정의, 셋째, 넷째 줄의 부등호는 각각 준측도 $\backslash mu\_0$의 가산 준가법성, 단조성 때문이다.

확장된 측도의 $\backslash sigma(\backslash Sigma\_0)$에서의 유일성을 증명한다. 임의의 두 측도 $\backslash mu\_1,\backslash mu\_2\backslash colon\backslash Sigma\backslash to[0,\backslash infty]$에 대하여, $\backslash mu\_1|\_\{\backslash Sigma\_0\}=\backslash mu\_2|\_\{\backslash Sigma\_0\}$이며, 준측도 $\backslash mu\_1|\_\{\backslash Sigma\_0\}$이 시그마 유한 준측도라면, $\backslash mu\_1|\_\{\backslash sigma(\backslash Sigma\_0)\}=\backslash mu\_2|\_\{\backslash sigma(\backslash Sigma\_0)\}$임을 보이면 된다. 이에 대한 증명에는 $\backslash Sigma\_0$가 π계(유한 교집합에 대한 닫힘)라는 것을 제외한 $\backslash Sigma\_0$에 대한 추가 조건은 사용되지 않는다.

:$\backslash mathcal\; A=\backslash \{A\backslash in\backslash Sigma\backslash colon\backslash forall\; B\backslash in\backslash Sigma\_0\backslash setminus\backslash mu\_1^\{-1\}(\backslash infty)\backslash colon\backslash mu\_1(A\backslash cap\; B)=\backslash mu\_2(A\backslash cap\; B)\backslash \}$

라고 하면, $\backslash mathcal\; A$는 λ계이며 $\backslash Sigma\_0\backslash subseteq\backslash mathcal\; A$이므로, π-λ 정리에 따라 $\backslash sigma(\backslash Sigma\_0)\backslash subseteq\backslash mathcal\; A$이다. $\backslash textstyle\; X=\backslash bigcup\_\{i=1\}^\backslash infty\; B\_i$이며 인 $B\_1,B\_2,\backslash dots\backslash in\backslash Sigma\_0$을 취하면, 임의의 $A\backslash in\backslash sigma(\backslash Sigma\_0)$에 대하여,

:$\backslash begin\{align\}$

\mu_1(A)

& = \mu_1\left(\bigcup_{i=1}^\infty(A\cap B_i)\right) \\

& = \lim_{n\to\infty}\mu_1\left(\bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\right) \\

& = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1\le i_1<\cdots
& = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1\le i_1<\cdots
& = \mu_2(A)

\end{align}

이다. 셋째 줄의 등호는 포함배제의 원리 때문이며, 넷째 줄의 등호는 각

7. 예시

카라테오도리 확장은 여러 가지 예시를 갖는다.

• σ-유한하지 않은 전측도의 확장은 σ-유한하더라도, 생성된 σ-대수로의 확장이 하나 이상 존재할 수 있다. 유리수 닫힌-열린 구간을 이용하여 계수 측도를 확장할 수 있는데, 이때 유일성이 보장되지 않는 예시를 구성할 수 있다.
• 전측도가 σ^영어-유한하지 않다면, 전측도의 확장 자체가 σ^영어-유한하더라도, 생성된 σ^영어-대수로의 확장이 하나 이상 존재할 수 있다. 이는 σ^영어-유한하지 않은 공간에 대한 몇 가지 형태의 푸비니 정리가 실패하는 것과 관련이 있다.^[1]

7. 1. 실수의 반개구간

7. 2. 계수 측도

7. 3. 푸비니 정리

• 부분 집합의 측도는 수평 단면의 측도의 합이다. 이것은 가능한 가장 작은 확장이다. 여기서 대각선은 측도 0을 갖는다.^[1]
• 부분 집합의 측도는 $\backslash int\_0^1n(x)dx$이며, 여기서 $n(x)$는 주어진 $x$ 좌표를 갖는 부분 집합의 점의 수이다. 대각선은 측도 1을 갖는다.^[1]
• 카라테오도리 확장은 가능한 가장 큰 확장이다. 유한 측도를 갖는 임의의 부분 집합은 가산 개의 수평선들의 합집합에 포함된다. 특히 대각선은 무한대 측도를 갖는다.^[1]

8. 역사

오늘날 카라테오도리 가측 집합이라고 불리는 개념은 콘스탄티노스 카라테오도리가 도입하였다.^[7][8] 오늘날 카라테오도리 확장 정리라고 불리는 정리는 모리스 르네 프레셰가 증명하였다.^[9] 얼마 지나지 않아 카라테오도리의 방법을 통한 카라테오도리 확장 정리의 더 간단한 증명이 발견되었으며, 이는 안드레이 콜모고로프,^[10][11] 한스 한,^[12] 에베르하르트 호프^[13][14]의 논문·저서에 소개되었다.

참조

_[1] 인용 Paul Loya http://www.math.bing[...]
_[2] 서적 Probability Theory 2014
_[3] 웹사이트 Caratheodory's Extension http://www.probabili[...]
_[4] 서적 Probability and Measure Theory Academic Press
_[5] 인용
_[6] 인용
_[7] 저널
_[8] 서적
_[9] 저널
_[10] 저널
_[11] 서적
_[12] 저널
_[13] 저널
_[14] 서적