카앵 상수

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1. 개요
2. Continued fraction expansion (연분수 전개)
3. Best approximation order (최적 근사 차수)
참조

1. 개요

카앵 상수는 연분수 전개와 무리수 척도 3을 갖는 최적 근사 차수 3을 특징으로 하는 무리수이다. 카앵 상수의 연분수 전개는 정수의 제곱으로 이루어져 있으며, 실베스터 수열의 항을 사용하여 표현할 수 있다. 이 상수는 초월수이며, 수렴 수열과의 관계를 통해 최적 근사 차수를 정의하고 계산할 수 있다.

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수학 상수 - 허수 단위
허수 단위 i는 i² = −1을 만족하는 수로, 실수 체계에서는 정의되지 않는 음수의 제곱근을 나타내며 복소수 체계의 기본 구성 요소로서 복소평면에서 90° 회전하는 효과를 가지며 1, i, -1, -i를 주기적으로 순환하는 특징을 가진다.
수학 상수 - 실베스터 수열
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카앵 상수
일반 정보
수식	$\displaystyle C = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{q^{i(i+1)/2}} = 0.64341054629\ldots$
값	0.64341054629...
유형	초월수
추가 정보
성질	카앵 상수는 초월수이다.
관련 항목	수학 상수

2. Continued fraction expansion (연분수 전개)

카앵 상수는 실베스터 수열과 밀접하게 관련된 독특한 연분수 전개 형태를 가진다. 자연에서 발생하는 대부분의^[1] 수학 상수들은 연분수 전개에서 알려진 간단한 패턴이 없는 것과는 대조적이다.

2. 1. 연분수 전개의 형태

자연에서 발생하는 대부분의^[1] 수학 상수들은 그들의 연분수 전개에서 알려진 간단한 패턴이 없다. 그럼에도 불구하고, 카앵 상수

C

의 완전한 연분수 전개는 다음과 같다.

:

C = \left[a_0^2; a_1^2, a_2^2, a_3^2, a_4^2, \ldots\right] = [0;1,1,1,4,9,196,16641,\ldots]

여기서 계열

:0, 1, 1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ...^영어

는 점화 관계에 의해 정의된다.

:

a_0 = 0,~a_1 = 1,~a_{n+2} = a_n\left(1 + a_n a_{n+1}\right)~\forall~n\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}.

이 전개의 모든 부분 몫은 정수의 제곱이다. 데이비슨과 셜릿은

C

가 초월수임을 증명하기 위해 연분수 전개를 사용했다.

또는, 실베스터 수열의 항을 통해 카앵 상수의 연분수 전개에서 부분 몫을 표현할 수 있다. 이를 위해

n \geq 1

에 대한 귀납법을 통해

1+a_n a_{n+1} = s_{n-1}

임을 증명한다. 실제로,

1+a_1 a_2 = 2 = s_0

을 가지며, 어떤

n \geq 1

에 대해

1+a_n a_{n+1} = s_{n-1}

이 성립한다면,

:

1+a_{n+1}a_{n+2} = 1+a_{n+1} \cdot a_n(1+a_n a_{n+1})= 1+a_n a_{n+1} + (a_na_{n+1})^2 = s_{n-1} + (s_{n-1}-1)^2 = s_{n-1}^2-s_{n-1}+1 = s_n,

여기서 첫 번째 단계에서

(a_n)_{n \geq 0}

에 대한 재귀를 사용하고 마지막 단계에서

(s_n)_{n \geq 0}

에 대한 재귀를 사용했다. 결과적으로,

a_{n+2} = a_n \cdot s_{n-1}

은 모든

n \geq 1

에 대해 성립하며, 여기서 쉽게 결론을 내릴 수 있다.

:

C = [0;1,1,1,s_0^2, s_1^2, (s_0s_2)^2, (s_1s_3)^2, (s_0s_2s_4)^2,\ldots]

.

2. 2. 실베스터 수열과의 관계

카앵 상수의 연분수 전개의 부분 몫은 실베스터 수열의 항을 통해 표현할 수 있다. 이를 위해 $n \geq 1$에 대한 귀납법을 통해 $1+a_n a_{n+1} = s_{n-1}$임을 증명한다. 실제로, $1+a_1 a_2 = 2 = s_0$을 가지며, 어떤 $n \geq 1$에 대해 $1+a_n a_{n+1} = s_{n-1}$이 성립한다면, 다음과 같다.

$1+a_{n+1}a_{n+2} = 1+a_{n+1} \cdot a_n(1+a_n a_{n+1})= 1+a_n a_{n+1} + (a_na_{n+1})^2 = s_{n-1} + (s_{n-1}-1)^2 = s_{n-1}^2-s_{n-1}+1 = s_n$

여기서 첫 번째 단계에서 $(a_n)_{n \geq 0}$에 대한 재귀를 사용하고 마지막 단계에서 $(s_n)_{n \geq 0}$에 대한 재귀를 사용했다. 결과적으로, $a_{n+2} = a_n \cdot s_{n-1}$은 모든 $n \geq 1$에 대해 성립하며, 여기서 쉽게 결론을 내릴 수 있다.

$C = [0;1,1,1,s_0^2, s_1^2, (s_0s_2)^2, (s_1s_3)^2, (s_0s_2s_4)^2,\ldots]$

2. 3. 초월성 증명

데이비슨과 셜릿은 연분수 전개를 이용하여 카앵 상수가 초월수임을 증명하였다.^[1]

3. Best approximation order (최적 근사 차수)

카앵 상수는 최적 근사 차수 3을 갖는 무리수이다.^[2]

3. 1. 최적 근사 차수의 정의

카앵 상수 ''C''는 최적 근사 차수

q^{-3}

을 갖는다. 즉, 다음 부등식을 만족하는 상수

K_1, K_2 > 0

가 존재한다.

:

0 < \Big| C - \frac{p}{q} \Big| < \frac{K_1}{q^3}

는 무한히 많은 해

(p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}

를 가지는 반면, 부등식

0 < \Big| C - \frac{p}{q} \Big| < \frac{K_2}{q^3}

는 유한 개의 해

(p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}

를 갖는다.

이는

C

가 무리수 척도 3을 갖는다는 사실을 암시하지만 (동치 관계는 아니다).^[2]

(p_n/q_n)_{n \geq 0}

을 카앵 상수의 수렴 수열로 나타낸다(즉, 모든

n \geq 1

에 대해

q_{n-1} = a_n

).^[2]

a_{n+2} = a_n \cdot s_{n-1}

과

(s_n)_{n \geq 0}

에 대한 재귀식으로부터 다음이 도출된다.

:

\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}^2} = \frac{a_{n} \cdot s_{n-1}}{a_{n-1}^2 \cdot s_{n-2}^2} = \frac{a_n}{a_{n-1}^2} \cdot \frac{s_{n-2}^2 - s_{n-2} + 1}{s_{n-1}^2} = \frac{a_n}{a_{n-1}^2} \cdot \Big( 1 - \frac{1}{s_{n-1}} + \frac{1}{s_{n-1}^2} \Big)

모든

n \geq 1

에 대해. 결과적으로, 극한

:

\alpha := \lim_{n \to \infty} \frac{q_{2n+1}}{q_{2n}^2} = \prod_{n=0}^\infty \Big( 1 - \frac{1}{s_{2n}} + \frac{1}{s_{2n}^2}\Big)

와

\beta := \lim_{n \to \infty} \frac{q_{2n+2}}{q_{2n+1}^2} = 2 \cdot \prod_{n=0}^\infty \Big( 1 - \frac{1}{s_{2n+1}} + \frac{1}{s_{2n+1}^2}\Big)

(

s_0 = 2

임을 상기)는

\sum_{n=0}^\infty \Big| \frac{1}{s_{n}} - \frac{1}{s_{n}^2} \Big|

의 절대 수렴에 의해 무한 곱의 기본적인 속성에 의해 모두 존재한다. 수치적으로,

0 < \alpha < 1 < \beta < 2

임을 확인할 수 있다. 따라서 잘 알려진 부등식

:

\frac{1}{q_n(q_n + q_{n+1})} \leq \Big| C - \frac{p_n}{q_n} \Big| \leq \frac{1}{q_nq_{n+1}}

는 다음을 산출한다.

:

\Big| C - \frac{p_{2n+1}}{q_{2n+1}} \Big| \leq \frac{1}{q_{2n+1}q_{2n+2}} = \frac{1}{q_{2n+1}^3 \cdot\frac{q_{2n+2}}{q_{2n+1}^2}} < \frac{1}{q_{2n+1}^3}

and

\Big| C - \frac{p_n}{q_n} \Big| \geq \frac{1}{q_n(q_n + q_{n+1})} > \frac{1}{q_n(q_n + 2q_{n}^2)} \geq \frac{1}{3q_n^3}

모든 충분히 큰

n

에 대해. 따라서

C

는 최적 근사 차수 3을 갖는다(

K_1 = 1

and

K_2 = 1/3

).

3. 2. 카앵 상수의 최적 근사 차수

카앵 상수 ''C''는 최적 근사 차수 q|큐^영어^-3을 갖는다. 즉, 다음 부등식을 만족하는 상수 K|케이^영어₁, K|케이^영어₂ > 0가 존재한다.

:

0 < \Big| C - \frac{p}{q} \Big| < \frac{K_1}{q^3}

는 무한히 많은 해

(p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}

를 가지는 반면, 부등식

0 < \Big| C - \frac{p}{q} \Big| < \frac{K_2}{q^3}

는 유한 개의 해

(p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}

를 갖는다.

이는 ''C''가 무리수 척도 3을 갖는다는 사실을 암시하지만(동치 관계는 아니다), 이는 Duverney와 Shiokawa(2020)에 의해 처음 관찰되었다.^[2]

증명을 위해,

(p_n/q_n)_{n \geq 0}

을 카앵 상수의 수렴 수열로 나타낸다(즉, 모든 ''n'' ≥ 1에 대해

q_{n-1} = a_n

).^[2]

이제

a_{n+2} = a_n \cdot s_{n-1}

과

(s_n)_{n \geq 0}

에 대한 재귀식으로부터 다음이 도출된다.

:

\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}^2} = \frac{a_{n} \cdot s_{n-1}}{a_{n-1}^2 \cdot s_{n-2}^2} = \frac{a_n}{a_{n-1}^2} \cdot \frac{s_{n-2}^2 - s_{n-2} + 1}{s_{n-1}^2} = \frac{a_n}{a_{n-1}^2} \cdot \Big( 1 - \frac{1}{s_{n-1}} + \frac{1}{s_{n-1}^2} \Big)

모든

n \geq 1

에 대해. 결과적으로, 극한

:

\alpha := \lim_{n \to \infty} \frac{q_{2n+1}}{q_{2n}^2} = \prod_{n=0}^\infty \Big( 1 - \frac{1}{s_{2n}} + \frac{1}{s_{2n}^2}\Big)

와

\beta := \lim_{n \to \infty} \frac{q_{2n+2}}{q_{2n+1}^2} = 2 \cdot \prod_{n=0}^\infty \Big( 1 - \frac{1}{s_{2n+1}} + \frac{1}{s_{2n+1}^2}\Big)

(

s_0 = 2

임을 상기하라)는

\sum_{n=0}^\infty \Big| \frac{1}{s_{n}} - \frac{1}{s_{n}^2} \Big|

의 절대 수렴에 의해 무한 곱의 기본적인 속성에 의해 모두 존재한다. 수치적으로,

0 < \alpha < 1 < \beta < 2

임을 확인할 수 있다. 따라서 잘 알려진 부등식

:

\frac{1}{q_n(q_n + q_{n+1})} \leq \Big| C - \frac{p_n}{q_n} \Big| \leq \frac{1}{q_nq_{n+1}}

는 다음을 산출한다.

:

\Big| C - \frac{p_{2n+1}}{q_{2n+1}} \Big| \leq \frac{1}{q_{2n+1}q_{2n+2}} = \frac{1}{q_{2n+1}^3 \cdot\frac{q_{2n+2}}{q_{2n+1}^2}} < \frac{1}{q_{2n+1}^3}

and

\Big| C - \frac{p_n}{q_n} \Big| \geq \frac{1}{q_n(q_n + q_{n+1})} > \frac{1}{q_n(q_n + 2q_{n}^2)} \geq \frac{1}{3q_n^3}

모든 충분히 큰

n

에 대해. 따라서 ''C''는 최적 근사 차수 3을 갖는다(

K_1 = 1 \text{ and } K_2 = 1/3

), 여기서 다음을 만족하는 모든 해

(p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}

를 사용한다.

:

0 < \Big| C - \frac{p}{q} \Big| < \frac{1}{3q^3}

는 반드시 카앵 상수로 수렴한다.

3. 3. 수렴 수열과의 관계

카앵 상수

C

는 최적 근사 차수

q^{-3}

을 갖는다. 즉, 다음 부등식을 만족하는 상수

K_1, K_2 > 0

가 존재한다.^[2]

:

0 < \Big| C - \frac{p}{q} \Big| < \frac{K_1}{q^3}

는 무한히 많은 해

(p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}

를 가지는 반면, 부등식

0 < \Big| C - \frac{p}{q} \Big| < \frac{K_2}{q^3}

는 유한 개의 해

(p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}

를 갖는다.

이는

C

가 무리수 척도 3을 갖는다는 사실을 암시하지만, 이는 동치 관계는 아니다.

(p_n/q_n)_{n \geq 0}

을 카앵 상수의 수렴 수열로 나타낸다(즉, 모든

n \geq 1

에 대해

q_{n-1} = a_n

).^[2]

a_{n+2} = a_n \cdot s_{n-1}

과

(s_n)_{n \geq 0}

에 대한 재귀식으로부터 다음이 도출된다.

:

\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}^2} = \frac{a_{n} \cdot s_{n-1}}{a_{n-1}^2 \cdot s_{n-2}^2} = \frac{a_n}{a_{n-1}^2} \cdot \frac{s_{n-2}^2 - s_{n-2} + 1}{s_{n-1}^2} = \frac{a_n}{a_{n-1}^2} \cdot \Big( 1 - \frac{1}{s_{n-1}} + \frac{1}{s_{n-1}^2} \Big)

모든

n \geq 1

에 대해. 결과적으로, 극한

:

\alpha := \lim_{n \to \infty} \frac{q_{2n+1}}{q_{2n}^2} = \prod_{n=0}^\infty \Big( 1 - \frac{1}{s_{2n}} + \frac{1}{s_{2n}^2}\Big)

와

\beta := \lim_{n \to \infty} \frac{q_{2n+2}}{q_{2n+1}^2} = 2 \cdot \prod_{n=0}^\infty \Big( 1 - \frac{1}{s_{2n+1}} + \frac{1}{s_{2n+1}^2}\Big)

(

s_0 = 2

임을 상기)는

\sum_{n=0}^\infty \Big| \frac{1}{s_{n}} - \frac{1}{s_{n}^2} \Big|

의 절대 수렴에 의해 무한 곱의 기본적인 속성에 의해 모두 존재한다. 수치적으로,

0 < \alpha < 1 < \beta < 2

임을 확인할 수 있다. 따라서 잘 알려진 부등식

:

\frac{1}{q_n(q_n + q_{n+1})} \leq \Big| C - \frac{p_n}{q_n} \Big| \leq \frac{1}{q_nq_{n+1}}

는 다음을 산출한다.

:

\Big| C - \frac{p_{2n+1}}{q_{2n+1}} \Big| \leq \frac{1}{q_{2n+1}q_{2n+2}} = \frac{1}{q_{2n+1}^3 \cdot\frac{q_{2n+2}}{q_{2n+1}^2}} < \frac{1}{q_{2n+1}^3}

and

\Big| C - \frac{p_n}{q_n} \Big| \geq \frac{1}{q_n(q_n + q_{n+1})} > \frac{1}{q_n(q_n + 2q_{n}^2)} \geq \frac{1}{3q_n^3}

모든 충분히 큰

n

에 대해. 따라서

C

는 최적 근사 차수 3을 가지며, 다음을 만족하는 모든 해

(p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}

를 사용한다.

:

0 < \Big| C - \frac{p}{q} \Big| < \frac{1}{3q^3}

는 반드시 카앵 상수로 수렴한다.

참조

_[1] 문서
_[2] OEIS
_[3] 인용 Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues
_[4] 인용 Continued fractions for some alternating series

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