칸토어 집합

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 구성
5. 변형
6. 역사적 배경
참조

1. 개요

칸토어 집합은 구간 [0, 1]에서 시작하여 각 구간을 3등분한 후 가운데 열린 구간을 제거하는 과정을 무한히 반복하여 남는 점들의 집합으로 정의된다. 이 과정은 닫힌 형식으로 표현될 수 있으며, 각 점은 무한 이진 트리를 통과하는 경로로 고유하게 위치한다. 칸토어 집합은 르베그 측도가 0이지만, 비가산 무한 개의 점을 포함하며, 프랙탈의 일종으로 자기 유사성을 갖는다. 이 집합은 비가산 집합이며, 실수 집합과 같은 크기를 가진다. 칸토어 집합은 스미스-볼테라-칸토어 집합, 확률적 칸토어 집합, 칸토어 먼지 등 다양한 변형이 존재하며, 푸리에 급수 연구에서 시작되어 무한 집합에 대한 이론 발전에 영향을 미쳤다.

2. 정의

칸토어 집합은 다음과 같이 만들어진다.^[36]

1. 처음 구간은 구간 [0, 1]에서 시작한다.

2. [0, 1] 구간을 3등분한 후, 가운데 열린구간 (, )을 제외한다. 그러면 [0, ] ∪ [, 1]이 남는다.

3. 두 구간 [0, ], [, 1]의 가운데 구간을 제외한다. [0, ] ∪ [, ] ∪ [, ] ∪ [, 1]

4. 계속해서 반복한다.

이 과정을 통해 남는 점들의 집합이 칸토어 집합이다.

앞 단계의 구간을 크기로 줄인 다음 두 개를 배치하는 방식으로도 같은 집합을 얻을 수 있다. 즉:

:''C''₀ = [0,1]

:''C_n'' = ''C''_''n''-1/3 ∪ (2/3 + ''C''_''n''-1/3)

칸토어 삼진 집합 는 선분 집합에서 열린 중간 삼등분을 반복적으로 삭제하여 생성된다.^[8] 먼저 구간 [0, 1]에서 열린 중간 삼등분 (, )을 삭제하여 두 개의 선분 [0, ] ∪ [, 1]을 남긴다. 다음으로, 이러한 나머지 각 선분의 열린 중간 삼등분을 삭제하여 네 개의 선분 [0, ] ∪ [, ] ∪ [, ] ∪ [, 1]을 남긴다.

칸토어 삼진 집합은 이 무한한 과정의 어떤 단계에서도 삭제되지 않은 구간 [0, 1]의 모든 점을 포함한다. 이 사실은 다음과 같이 재귀적으로 설명할 수 있다.

:''C''₀ := [0,1]

:''C_n'' := ''C''_''n''-1/3 ∪ (2/3 + ''C''_''n''-1/3) = (''C''_''n''-1 ∪ (2 + ''C''_''n''-1)) (단, ''n'' ≥ 1)

: (단, ''m'' ≥ 0)

이 과정의 처음 여섯 단계를 아래 그림에 나타낸다.

자기 유사 변환 ''T_L''(''x'')=''x''/3, 및 을 이용하면 칸토어 집합에 대한 명시적 닫힌 공식은 다음과 같다.^[8]

:

여기서 모든 중간 삼등분은 이를 둘러싼 닫힌 구간 [,] = [,]에서 열린 구간 (,)로 제거된다.

또는 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

여기서 이전 닫힌 구간 [,] = [,]의 중간 삼등분 (,)은 [,] ∪ [,]과의 교차를 통해 제거된다.

이러한 중간 삼등분을 제거하는 과정은 유한 분할 규칙의 간단한 예이다. 칸토어 삼진 집합의 여집합은 프랙탈 스트링의 예이다.

산술적 측면에서 칸토어 집합은 단위 구간 [0, 1]의 모든 실수로 구성되며, 이들은 삼진법(밑수 3) 분수로 표현하기 위해 숫자 1이 필요하지 않다. 위 그림에서 알 수 있듯이, 칸토어 집합의 각 점은 무한히 깊은 이진 트리를 통과하는 경로로 고유하게 위치하며, 여기서 경로는 점이 삭제된 세그먼트의 어느 쪽에 있는지에 따라 각 레벨에서 왼쪽 또는 오른쪽으로 회전한다. 각 왼쪽 회전을 0으로, 각 오른쪽 회전을 2로 나타내면 점에 대한 삼진 분수가 생성된다.

칸토어 집합은 제외되지 않은 점들의 집합으로 정의되므로, 남아있는 단위 구간의 비율(즉, 측도)은 제거된 총 길이를 통해 알 수 있다. 이 총 길이는 기하 급수이다.

:

따라서 남은 비율은 1 − 1 = 0이다.

이 계산은 칸토어 집합이 0이 아닌 길이를 가진 어떤 구간도 포함할 수 없음을 시사한다. 제거된 구간들의 길이의 합이 원래 구간의 길이와 같다는 것을 고려할 때, 무언가가 남아있다는 것이 놀랍게 보일 수 있다. 그러나 과정을 자세히 살펴보면, 남아있는 무언가가 있어야 하는데, 각 구간의 "중간 1/3"을 제거하는 것은 열린 집합(그 끝점을 포함하지 않는 집합)을 제거하는 것을 포함하기 때문이다. 따라서 원래 구간 [0, 1]에서 선분 (, )을 제거하면 점 과 이 남는다. 이후 단계에서는 이러한 (또는 다른) 끝점을 제거하지 않는데, 이는 제거된 구간이 항상 남아있는 구간의 내부에 있기 때문이다. 따라서 칸토어 집합은 공집합이 아니며, 실제로 비가산 무한 개의 점을 포함한다(무한 이진 트리에서 경로의 관점에서 위에서 설명한 바와 같다).

'단지' 구성 세그먼트의 끝점만 남는 것처럼 보일 수 있지만, 그것도 사실이 아니다. 예를 들어 숫자 는 고유한 삼진법 형태 0.020202... = 를 갖는다. 이 숫자는 아래쪽 1/3에 있고, 그 1/3의 위쪽 1/3에 있으며, 그 위쪽 1/3의 아래쪽 1/3에 있는 등이다. 이 숫자는 중간 세그먼트 중 하나에 절대 속하지 않으므로, 제거되지 않는다. 그러나 또한 중간 세그먼트의 끝점도 아닌데, 1/3의 어떤 거듭제곱의 배수도 아니기 때문이다.^[9] 세그먼트의 모든 끝점은 ''종료'' 삼진법 분수이며 집합에 포함된다.

: (⊂ '''N'''₀ ⋅ 3^-'''N'''₀)

이것은 가산 무한 집합이다. 기수에 관해서, 칸토어 집합의 대부분의 원소는 구간의 끝점도 아니고 와 같은 유리수 점도 아니다. 실제로 칸토어 집합 전체는 가산적이지 않다.

칸토어 집합은 기하학적으로는 선분을 3등분하여, 얻어진 3개의 선분의 가운데 것을 제거하는 조작을 재귀적으로 반복하여 만들어지는 집합이다. 여기서 제거하는 선분은 열린구간이다. 즉, 단위 구간 ''I'' = [0, 1]에서, 1번째 조작에서는 (, )을 제거하고, 2번째 조작에서는 (, )와 (, )을 제거하고, 이와 같이 조작을 무한히 반복하여 남은 부분 집합이 칸토어 집합이다.

위에서 아래로 3등분한 가운데를 빼는 조작을 반복한다. 그 극한이 칸토어 집합이다. 위 그림은 조작을 6회 반복한 상태까지 나타낸다.

최초의 집합을 ''C''₀ = ''I'', 1번째 조작 후의 집합을 ''C''₁, 2번째 조작 후의 집합을 ''C''₂, … 로 하고, ''n'' 번째 조작 후의 집합을 ''C_n''이라고 할 때, 합집합의 형식으로는 각 집합은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

''C''₀ = [0, 1]

''C''₁ = [0, ] ∪ [, 1]

''C''₂ = [0, ] ∪ [, ] ∪ [, ] ∪ [, 1]

…

''C_n'' = [0,]∪…∪[,1]

''C_n''과 그 바로 앞의 ''C''_''n''−1과의 관계는 다음과 같이 주어진다.

:''C_n'' = ''C''_''n''-1/3 ∪ (2/3 + ''C''_''n''-1/3)

이 칸토어 집합이 된다. 칸토어 집합을 단순히 기호 ''C''로 나타내면, 초기 단위 구간 ''I''와의 차집합으로 다음과 같은 닫힌 식으로 나타낼 수 있다.^[36]

:''C''=''I'' \ (,)

칸토어 집합의 또 다른 구성 방법으로는 다음과 같은 이산 역학계의 사상 ''f'': ''I'' → ''A''에 의한 것이 있다.

:

''f''(''x'')=

3''x'' (''x'' < )

3(1-''x'') ( ≤ ''x'')

임의의 초기점을 ''x''₀ ∈ ''I''라고 하고, ''f''의 ''n''회 반복 합성을 ''f ⁿ''이라고 할 때, 가 되지 않는 ''x''₀를 원소로 하는 집합이 칸토어 집합이 된다.

이 역학계는 기울기 3으로 한 텐트 사상이라고 할 수 있다. 일반적인 텐트 사상의 기울기는 [0, 2]의 범위로 생각되며, 이 기울기 범위라면 ''x''₀ ∈ ''I''인 한 치역 ''A''도 최대 ''I''이며, ''x''가 발산하는 일은 없다. 그러나 기울기가 2를 넘으면, 대부분의 초기점은 유한한 ''n''회 반복 후에 ''I''의 밖으로 나가게 되어, ''I'' 안으로 두 번 다시 돌아오지 않게 된다. 기울기 3에서도 대부분의 점에서 발산하지만, 칸토어 집합 ''C''에 속하는 ''x''₀만이 발산하지 않는다. 따라서, 칸토어 집합은 다음과 같다.

:''C'' = {''x''₀ : lim_{''n'' → ∞}''f ⁿ''(''x''₀) ≠ -∞}

3. 성질

칸토어 집합은 프랙탈의 일종으로 자기 유사성을 가지며, 하우스도르프 차원은 $\frac {\ln 2}{\ln 3}=0.6309\cdots$ 로, 1보다 작은 값을 가진다. 르베그 측도는 0이지만, 그 농도는 실수 집합과 같은 비가산 집합이다.

칸토어 집합은 자기 자신을 두 개의 복사본으로 축소하고 이동시킨 것과 같기 때문에 자기 유사성을 갖는다. 왼쪽과 오른쪽으로 자기 유사 변환하는 두 함수 $T_L(x)=x/3$ 및 $T_R(x)=(2+x)/3$ 의 합집합과 같으며, 이는 동형 사상까지 칸토어 집합을 불변으로 유지한다.

: $T_L(\mathcal{C})\cong T_R(\mathcal{C})\cong \mathcal{C}=T_L(\mathcal{C})\cup T_R(\mathcal{C}).$

스케일링과 자기 유사성에는 항상 어떤 형태의 보존 법칙이 존재한다. 칸토어 집합의 경우, 구성 과정의 각 단계에서 남는 모든 구간들의 $d_f$ 차 모멘트(여기서 $d_f=\ln(2)/\ln(3)$ 은 프랙탈 차원 중 하나인 하우스도르프 차원이다) 합은 항상 1이다.^[12]^[13]

칸토어 집합 구성의 $n$ 번째 단계에는 $2^n$ 개의 크기가 $1/3^n$ 인 구간들이 존재한다. 만약 남는 구간들을 $x_1, x_2, \ldots, x_{2^n}$ 으로 표시한다면, $x_1^{d_f}+x_2^{d_f}+\cdots+x_{2^n}^{d_f}=1$ 인데, 그 이유는 $x_1=x_2= \cdots =x_{2^n}=1/3^n$ 이기 때문이다.

3. 1. 크기

칸토어 집합은 비가산 집합이며, 그 크기(cardinality)는 연속체 가설에서의 실수 집합의 크기와 같다. 칸토어 집합의 원소는 삼진법 전개에서 0과 2로만 표현되는 수와 일대일 대응된다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

:

f \left( \sum_{k=1}^\infty a_k 3^{-k} \right) = \sum_{k=1}^\infty (a_k/2) 2^{-k}

칸토어 집합

\mathcal{C}

에서 닫힌 구간 [0,1]로 가는 함수 ''f''는 전사 함수이며, 칸토어-베른슈타인-슈뢰더 정리에 의해

\mathcal{C}

의 기수는 [0,1]의 기수와 같다.

[0,1] 구간의 점들을 삼진법 표기법으로 생각하면, 칸토어 집합을 만드는 과정에서 제거되지 않는 숫자는 n번째 숫자가 1이 아닌 삼진 표현을 가져야 한다. 칸토어 집합에 속하는 숫자는 0과 2로만 구성된 숫자 표현을 허용해야 한다. 예를 들어 1, , 과 같은 숫자는 삼진수가 0과 2로만 구성되어 칸토어 집합에 속한다.

\mathcal{C}

에서 [0,1]로 가는 함수는 0과 2로만 구성된 삼진수를 취하고, 모든 2를 1로 바꾼 후, 그 수열을 실수의 이진법 표현으로 해석한다.

[0,1]의 임의의 숫자 ''y''에 대해, 그 이진법 표현은 모든 1을 2로 바꿔서

\mathcal{C}

의 숫자 ''x''의 삼진법 표현으로 변환될 수 있다. 따라서 ''f''는 전사 함수이다. 그러나 ''f''는 단사 함수가 아니다.

칸토어 집합은 원래 구간만큼 많은 점을 포함하지만, 0이 아닌 길이를 가진 구간을 포함하지 않으며, 어떤 구간에서도 조밀하지 않다. 칸토어 집합의 모든 원소는 유리수이거나 초월수이다.^[10]^[9]^[11]

3. 2. 측도 및 위상수학적 성질

칸토어 집합은 르베그 측도가 0이다.^[9] 각 단계에서 빠지는 구간의 길이를 모두 합하면 1이 되기 때문이다.

:

\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right) = 1

칸토어 집합은 조밀한 곳이 없는 집합이며, 완전 집합이다.^[9] 칸토어 집합의 모든 점은 칸토어 집합의 집적점이지만, 내부점은 아니다.

칸토어 집합은 가산 무한 개의 두 원소 이산 공간의 곱공간

\{0,1\}^{\aleph_0}

과 위상동형이다.^[9] 이는 p-진 정수의 집합과도 동일시될 수 있다. 칸토어 공간의 이러한 특성은 콤팩트 공간의 곱으로, 칸토어 공간이 티호노프 정리를 통해 콤팩트하다는 것을 보여준다.

칸토어 집합의 작은 귀납적 차원은 0이다.^[9] 칸토어 집합은 일반적인 거리 메트릭을 사용하거나

2^\mathbb{N}

에 대한 p-진 메트릭을 사용하여 거리 공간으로 만들 수 있다. 이 두 메트릭은 칸토어 집합에 동일한 위상을 생성한다.

칸토어 집합은 완전 분리 완비 콤팩트 거리 공간이다. 모든 비어 있지 않은 완전 분리 완비 콤팩트 거리 공간은 칸토어 집합과 위상 동형이다.

칸토어 집합은 이진 수열의 콤팩트 군으로 볼 수 있으며, 자연스러운 하르 측도를 갖는다. 정규화하면 무한 시퀀스의 동전 던지기 모형이 된다. 또한, 구간에 대한 일반적인 르베그 측도는 칸토어 집합의 하르 측도의 이미지이며, 삼진법 집합으로의 자연스러운 주입은 특이 측도의 전형적인 예시이다.

르베그 측도 이론에서 칸토어 집합은 가산할 수 없고 측도가 0인 집합의 예시이다.^[15] 칸토어 집합은 [0,1]의 부분 집합으로서 제1 범주 집합(또는 가늘은 집합)이다.

3. 3. 프랙털 성질

칸토어 집합은 자기닮음 성질을 가지는 프랙털이다. 칸토어 집합을 ⅓ 크기로 줄이면 원래 칸토어 집합의 왼쪽 부분과 같다. 따라서 칸토어 집합의 하우스도르프 차원은 다음과 같다.

:

\frac {\ln 2}{\ln 3}=0.6309\cdots

칸토어 집합은 프랙털의 전형적인 예시이다. 자기 자신을 두 개의 복사본으로 축소하고 이동시킨 것과 같기 때문에 자기 유사성을 갖는다. 더 정확하게 말하면, 칸토어 집합은 자신을 왼쪽과 오른쪽으로 자기 유사 변환하는 두 함수,

T_L(x)=x/3

및

T_R(x)=(2+x)/3

의 합집합과 같으며, 이는 동형 사상까지 칸토어 집합을 불변으로 유지한다.

:

T_L(\mathcal{C})\cong T_R(\mathcal{C})\cong \mathcal{C}=T_L(\mathcal{C})\cup T_R(\mathcal{C}).

칸토어 집합은 프랙탈의 일종으로 자기 유사성을 가지며, 프랙탈 차원의 하나인 하우스도르프 차원은 약 0.6309로, 1보다 작은 값을 가진다.

3. 4. 보존 법칙

스케일링과 자기 유사성에는 항상 어떤 형태의 보존 법칙이 존재한다는 것이 밝혀졌다. 칸토어 집합의 경우, 구성 과정의 각 단계에서 남는 모든 구간들의

d_f

차 모멘트(여기서

d_f=\ln(2)/\ln(3)

은 프랙탈 차원 중 하나인 하우스도르프 차원이다) 합은 항상 1이다.^[12]^[13]

칸토어 집합 구성의

n

번째 단계에는

2^n

개의 크기가

1/3^n

인 구간들이 존재한다. 만약 남는 구간들을

x_1, x_2, \ldots, x_{2^n}

으로 표시한다면,

x_1^{d_f}+x_2^{d_f}+\cdots+x_{2^n}^{d_f}=1

인데, 그 이유는

x_1=x_2= \cdots =x_{2^n}=1/3^n

이기 때문이다.

4. 구성

칸토어 집합은 선분을 3등분하여 가운데 구간을 제거하는 과정을 반복하여 만들어지는 프랙탈 구조의 집합이다. 이 과정은 기하학적으로 다음과 같이 설명할 수 있다.

1. 초기 구간 [0, 1]에서 시작한다.

2. [0, 1] 구간을 3등분 한 후, 가운데 열린구간 (1/3, 2/3)을 제거한다. 그러면 [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]이 남는다.

3. 남은 두 구간 [0, 1/3], [2/3, 1] 각각에 대해 다시 가운데 구간을 제거한다.

4. 이 과정을 무한히 반복한다.

이러한 과정을 통해 만들어지는 집합을 수식으로 표현하면 다음과 같다.^[36]

: $C_n=\frac{C_{n-1}}{3} \cup \left(\frac{2}{3}+\frac{C_{n-1}}{3}\right)$

: $C=I \setminus \bigcup_{m=1}^\infty \bigcup_{k=0}^{3^{m-1}-1} \left(\frac{3k+1}{3^m},\frac{3k+2}{3^m}\right).$

여기서,

C₀ = [0,1]
C_n은 n번째 단계에서 남은 구간들의 집합
C는 최종적으로 남는 칸토어 집합

이 과정의 처음 여섯 단계는 아래 그림과 같다.

칸토어 집합은 역학계 관점에서도 구성할 수 있다. 기울기가 3인 텐트 사상을 이용하면, 초기값이 특정 조건을 만족할 때 칸토어 집합이 만들어진다.^[36]

:

f(x)=\left\{\begin{matrix}3 x & x < \frac{1}{2} \\ \\3 (1-x) & \frac{1}{2} \le x\end{matrix}\right.

임의의 초기점 ''x''₀ ∈ [0, 1]에서 시작하여 함수 f를 반복 적용했을 때,

\lim_{n \to \infty}f^n(x_0) = -\infty

가 되지 않는 ''x''₀를 원소로 하는 집합이 칸토어 집합이 된다. 즉, 칸토어 집합은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

C=\left\{x_0 : \lim_{n \to \infty}f^n(x_0) \ne -\infty \right\}

5. 변형

칸토어 집합은 다양한 방식으로 변형될 수 있다.

스미스-볼테라-칸토어 집합: 각 구간의 가운데 1/3을 제거하는 대신 다른 비율을 제거하여 만들 수 있다. 예를 들어 각 구간에서 가운데 8/10을 제거하면, 0과 9로만 이루어진 소수로 표현 가능한 \[0, 1] 사이의 숫자들로 구성된 집합이 된다. 각 단계에서 제거되는 구간의 비율이 고정되면 남는 구간의 길이는 0으로 수렴하여 결국 측도가 0인 집합이 된다. 그러나 제거되는 구간의 비율을 각 단계에서 줄여나가면, 양의 르베그 측도를 가지면서도 조밀한 곳이 없는 집합을 만들 수 있다.
확률적 칸토어 집합: 균등하게 나누는 대신 무작위로 나누는 방식으로 수정할 수 있다. 또한, 시간을 통합하기 위해 사용 가능한 모든 간격을 나누는 대신 각 단계에서 사용 가능한 간격 중 하나만 나눌 수 있다. 확률적 삼진 칸토어 집합의 경우 프랙탈 차원은 0.5616이며 이는 결정적 상대물인 0.6309보다 작다. 확률 이진 칸토어 집합의 경우 프랙탈 차원은 p이며 이는 다시 결정적 상대물인 ln (1+p)/ln 2^영어보다 작다.^[12]^[13]^[20]^[42]
칸토어 먼지: 칸토어 집합의 다차원 버전이다. 칸토어 집합과 그 자체의 유한한 데카르트 곱을 취하여 형성될 수 있으며, 이를 칸토어 공간으로 만든다. 칸토어 집합과 마찬가지로 칸토어 먼지는 영 측도를 갖는다.^[21]

5. 1. 스미스-볼테라-칸토어 집합

칸토어 집합을 만들 때 각 구간의 가운데 1/3을 제거하는 대신, 다른 비율을 제거하여 다양한 변형을 만들 수 있다. 예를 들어 각 구간에서 가운데 8/10을 제거하면, 0과 9로만 이루어진 소수로 표현 가능한 \[0, 1] 사이의 숫자들로 구성된 집합이 된다.

각 단계에서 제거되는 구간의 비율이 고정되면 남는 구간의 길이는 0으로 수렴하여 결국 측도가 0인 집합이 된다. 그러나 제거되는 구간의 비율을 각 단계에서 줄여나가면, 양의 르베그 측도를 가지면서도 조밀한 곳이 없는 집합을 만들 수 있다.

예를 들어 n번째 단계에서 각 구간 가운데에서 길이

r^n

(

r \leq 1/3

)인 구간을 제거하면, 제거된 구간의 총 길이는

\sum_{n=1}^\infty 2^{n-1}r^n = r/(1-2r)

이고, 남은 집합의 르베그 측도는

\lambda = (1-3r)/(1-2r)

가 된다.

r=1/4

인 경우가 스미스-볼테라-칸토어 집합이며, 이 집합의 르베그 측도는 1/2이다.

5. 2. 확률적 칸토어 집합

칸토어 집합은 균등하게 나누는 대신 무작위로 나누는 방식으로 수정할 수 있다. 또한, 시간을 통합하기 위해 사용 가능한 모든 간격을 나누는 대신 각 단계에서 사용 가능한 간격 중 하나만 나눌 수 있다. 확률 삼진 칸토어 집합의 경우 결과 프로세스는 다음 비율 방정식으로 설명할 수 있다.^[12]^[13]

:

\frac{\partial c(x,t)}{\partial t} =-\frac{x^2}{2} c(x,t) + 2\int_x^\infty (y-x)c(y,t) \, dy,

그리고 확률 이진 칸토어 집합의 경우^[20]

:

=-xc(x,t)+(1+p)\int_x^\infty c(y,t) \, dy,

여기서

c(x,t)dx

는

x

와

x+dx

사이의 크기를 갖는 간격의 수이다. 삼진 칸토어 집합의 경우 프랙탈 차원은

0.5616

이며 이는 결정적 상대물인

0.6309

보다 작다. 확률 이진 칸토어 집합의 경우 프랙탈 차원은

p

이며 이는 다시 결정적 상대물인

\ln (1+p)/\ln 2

보다 작다. 확률 이진 칸토어 집합의 경우

c(x,t)

에 대한 해는 동적 스케일링을 나타내며, 장기적 한계에서의 해는

t^{-(1+d_f)}e^{-xt}

이며, 여기서 확률 이진 칸토어 집합의 프랙탈 차원은

d_f=p

이다. 삼진 칸토어 집합과 마찬가지로 확률 삼진 및 이진 칸토어 집합의

d_f

차 모멘트(

\int x^{d_f} c(x,t) \, dx = \text{constant}

) 또한 보존된 양이다.

자연계의 프랙탈은 순식간에 나타나기보다는, 선택의 자유를 즐기듯 적절한 무작위성을 띠면서 시시각각 발전해 나가는 것이다. 작은 구간을 등간격이 아닌 무작위 간격으로 분할하도록, 칸토어 집합의 구성을 수정하는 것을 생각해 보자. 이어서, 시간 경과를 고려하기 위해, 각 단계에서 조작할 수 있는 모든 구간을 분할하는 대신, 그 중 하나만 분할하도록 한다. 이 확률적 삼진 칸토어 집합의 경우, 완성된 집합을 다음 지연 방정식으로 기술할 수 있다.

:

{\partial c(x,t) \over \partial t} = -{x^2\over 2}c(x,t)+2\int_x^\infty (y-x)c(y,t) \, dy

또한 확률적 이진 칸토어 집합^[42]에 대해서는 다음 식으로 쓸 수 있다.

:

{\partial c(x,t)\over\partial t} = -xc(x,t)+(1+p)\int_x^\infty c(y,t) \, dy

단, c(x, t)dx^영어는 길이가 x^영어에서 x + dx^영어 사이인 구간의 수를 나타낸다. 확률적 삼진 칸토어 집합의 프랙탈 차원은

0.5616

으로, 일반적인 결정론적 삼진 칸토어 집합의

0.6309

보다 작다. 확률적 이진 칸토어 집합의 경우, 프랙탈 차원은 p^영어이며, 이것 또한 결정론적일 경우의

\ln (1+p)/\ln 2

보다 작다. 확률적 이진 칸토어 집합의 경우, c(x, t)^영어에 대한 해는 동적 스케일링을 보이며, 그 해는 충분한 시간이 경과한 극한에서

t^{-(1+d_f)}e^{-xt}

가 된다. 단, 확률적 이진 칸토어 집합의 프랙탈 차원을 1=d로 둔다. 어느 경우든, 삼진 칸토어 집합과 마찬가지로, 확률적 이진 또는 삼진 칸토어 집합의 d차 모멘트 (

\int x^{d_f}c(x,t)dx = \text{constant}

)는 보존량이 된다.

5. 3. 칸토어 먼지

칸토어 먼지는 칸토어 집합의 다차원 버전이다. 칸토어 집합과 그 자체의 유한한 데카르트 곱을 취하여 형성될 수 있으며, 이를 칸토어 공간으로 만든다. 칸토어 집합과 마찬가지로 칸토어 먼지는 영 측도를 갖는다.^[21]

칸토어 집합의 또 다른 2차원 유사물은 시에르핀스키 카펫인데, 여기서 정사각형은 9개의 작은 정사각형으로 나뉘고 가운데 정사각형이 제거된다. 남은 정사각형은 각각 다시 9개로 나뉘고 가운데가 제거되며, 이것이 무한히 반복된다.^[22] 이것의 3차원 유사물 중 하나는 멩거 스펀지이다.

6. 역사적 배경

칸토어 집합은 오늘날 칸토어 삼진 집합 $\mathcal C$ 라고 불리는 것으로, 1874년 게오르크 칸토어가 삼각 급수와 관련된 연구에서 처음으로 제시하였다.^[23]^[24] 칸토어는 이 집합을 "어떤 구간에서도, 아무리 작더라도, 모든 곳에서 조밀하지 않은 완전 점 집합"의 예로 제시했다.^[23] 그는 $\mathcal C$ 를 삼진법 전개로 묘사했는데, "수식 $z=c_1/3 +c_2/3^2 + \cdots + c_\nu/3^\nu +\cdots$ 로 주어지는 모든 실수 집합으로, 여기서 계수 $c_\nu$ 는 임의로 0과 2의 두 값을 가지며, 수열은 유한 개 또는 무한 개의 원소로 구성될 수 있다"고 했다.^[23]

칸토어는 삼각 급수의 유일성에 관한 결과로 인해 도출 집합을 연구하게 되었고,^[24] 이는 그가 무한 집합에 대한 추상적이고 일반적인 이론을 발전시키는 데 큰 영향을 미쳤다. 칸토어 자신은 칸토어 집합을 일반적인 추상적 방법으로 정의했으며, 삼진법 구성은 어디에도 조밀하지 않은 완전 집합이라는 보다 일반적인 개념의 한 예로 언급했을 뿐이다.

필레 섬에 있는 고대 이집트 건물의 주두에는 칸토어 집합과 유사한 무늬가 새겨져 있다. 칸토어의 사촌은 이집트 학자였으므로 칸토어도 그것을 보았을 가능성이 있다.

참조

_[1] 논문 On the integration of discontinuous functions https://zenodo.org/r[...] 1874
_[2] 논문 Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung http://www.digizeits[...] 1880
_[3] 서적 Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics https://archive.org/[...] Birkhäuser Verlag 1999
_[4] 서적 Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos Penguin 1997-06-26
_[5] 논문 Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V http://www.digizeits[...] 2011-01-10
_[6] 서적 Chaos and Fractals: New Frontiers of Science https://archive.org/[...] Springer Verlag 2004
_[7] 서적 Classical Descriptive Set Theory https://link.springe[...] Springer New York, NY 1995
_[8] 논문 A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets 2006
_[9] 간행물 The Cantor set contains $\tfrac{1}{4}$ ? Really? 2001-01
_[10] 문서
_[11] 서적 Real Analysis https://archive.org/[...] Cambridge University Press 2000
_[12] 논문 Multiscaling in Stochastic Fractals 1994
_[13] 논문 Models of fragmentation and stochastic fractals 1995
_[14] 서적 General Topology Addison-Wesley 1968
_[15] 웹사이트 Theorem 36: the Cantor set is an uncountable set with zero measure http://theoremofthew[...] 2012-09-27
_[16] 서적 The Geometry of Fractal Sets http://mate.dm.uba.a[...] Cambridge University Press 1986-07-24
_[17] 서적 Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise Dover 1991
_[18] 서적 Counterexamples in analysis Holden-Day 1964
_[19] 웹사이트 Radial Cantor Set http://gist.github.c[...]
_[20] 논문 Dyadic Cantor set and its kinetic and stochastic counterpart 2014
_[21] 서적 Getting Acquainted With Fractals https://books.google[...] Walter de Gruyter
_[22] 서적 Getting Acquainted With Fractals https://books.google[...] Walter de Gruyter
_[23] 웹사이트 "Foundations of a general theory of sets: A mathematical-philosophical investigation into the theory of the infinite", English translation by James R Meyer https://www.jamesrme[...] 2022-05-16
_[24] 논문 A Note on the History of the Cantor Set and Cantor Function https://www.jstor.or[...] 1994
_[25] 서적 The fractal geometry of nature https://www.worldcat[...] 1983
_[26] 논문 On the integration of discontinuous functions.
_[27] 간행물 Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung http://www.digizeits[...]
_[28] 논문 Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue
_[29] 서적 Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics Birkhäuser Verlag
_[30] 간행물 Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos
_[31] 간행물 Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V http://www.digizeits[...]
_[32] 간행물 Chaos and Fractals: New Frontiers of Science Springer Verlag
_[33] 서적 カオス力学系の基礎ピアソン・エデュケーション
_[34] 서적 フラクタル幾何学　上筑摩書房
_[35] 서적 Geometry Activities from Many Cultures https://books.google[...] Walch Publishing 1997-01-01
_[36] 논문 A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets
_[37] 논문 Multiscaling in Stochastic Fractals
_[38] 논문 Models of fragmentation and stochastic fractals
_[39] 논문 On A Sequence of Cantor Fractals
_[40] 웹사이트 the Cantor set is an uncountable set with zero measure http://theoremofthew[...]
_[41] 서적 Fractals, Chaos, Power Laws Dover
_[42] 간행물 Dyadic Cantor set and its kinetic and stochastic counterpart
_[43] 서적 Getting Acquainted With Fractals https://books.google[...] Walter de Gruyter

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