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칸 확대

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목차

1. 개요

칸 확장은 세 개의 범주와 두 개의 함자에서 시작하여, 주어진 함자를 따라 다른 함자를 확장하는 방법으로, 왼쪽 칸 확장과 오른쪽 칸 확장 두 가지가 있다. 칸 확장은 극한, 쌍대극한, 수반 함자와 밀접한 관련이 있으며, 범주론의 중요한 개념 중 하나이다. 다니엘 칸에 의해 도입되었으며, 손더스 매클레인은 칸 확대의 개념이 범주론의 다른 모든 근본적인 개념을 포함한다고 언급했다.

2. 정의

세 개의 범주 \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}와 두 개의 함자 X : \mathbf{A} \to \mathbf{C}, F : \mathbf{A} \to \mathbf{B}가 주어졌다고 하자. 칸 확대는 함자 X를 함자 F를 '따라' 확장하여 새로운 함자 \mathbf{B} \to \mathbf{C}를 구성하는 방법이다. 칸 확대에는 '''왼쪽 칸 확대'''와 '''오른쪽 칸 확대'''의 두 가지 종류가 있다.

오른쪽 칸 확장은 함자 R: \mathbf{B} \to \mathbf{C}와 자연 변환 \epsilon: RF \to X로 구성되며, 이는 아래 다이어그램으로 표현될 수 있다.

오른쪽 칸 확장. 함자 R과 자연 변환 ε을 찾는 문제이다.


이 쌍 (R, \epsilon)은 특정 여보편성을 만족한다. 즉, 임의의 다른 함자 M: \mathbf{B} \to \mathbf{C}와 자연 변환 \mu: MF \to X에 대해, 이들을 관련시키는 유일한 자연 변환 \delta: M \to R이 존재한다. 함자 ''R''은 종종 \operatorname{Ran}_FX로 표기된다.

왼쪽 칸 확대는 오른쪽 칸 확대의 쌍대 개념이다. 이는 함자 L: \mathbf{B} \to \mathbf{C}와 자연 변환 \eta: X \to L F로 구성되며, 아래 다이어그램으로 나타낼 수 있다.

왼쪽 칸 확장. 함자 L과 자연 변환 η를 찾는 문제이다.


이 쌍 (L, \eta)는 특정 보편성을 만족한다. 즉, 임의의 다른 함자 M: \mathbf{B} \to \mathbf{C}와 자연 변환 \alpha: X \to M F에 대해, 이들을 관련시키는 유일한 자연 변환 \sigma: L \to M이 존재한다. 함자 ''L''은 종종 \operatorname{Lan}_FX로 표기된다.

모든 보편적 구성과 마찬가지로, 칸 확대는 존재한다면 동형을 제외하고 유일하게 결정된다.

2. 1. 대역적 칸 확대

범주 \mathcal C, \mathcal C', \mathcal D와 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal C', X\colon\mathcal C\to\mathcal D가 주어졌을 때, 칸 확대는 함자 X를 함자 F를 '따라' 확장하여 새로운 함자 \mathcal C' \to \mathcal D를 구성하는 방법이다. 이는 주어진 함자의 정보를 이용하여 그 정의역을 확장하는 일반적인 방법론을 제공한다.

칸 확대에는 '''왼쪽 칸 확대'''(left Kan extension|영어)와 '''오른쪽 칸 확대'''(right Kan extension|영어)의 두 가지 주요 유형이 있으며, 이 둘은 서로 쌍대적인 관계에 있다.

이러한 칸 확대는 수반 함자의 개념을 통해 정의될 수 있다. 함자 F는 함자 범주 사이에 합성을 통해 함자 F^*\colon[\mathcal C',\mathcal D]\to[\mathcal C,\mathcal D]를 유도한다. 왼쪽 칸 확대 \operatorname{Lan}_FX는 F^*의 왼쪽 수반 함자 F_!를 X에 적용한 결과(F_!(X))로 정의될 수 있으며, 오른쪽 칸 확대 \operatorname{Ran}_FX는 F^*의 오른쪽 수반 함자 F_*를 X에 적용한 결과(F_*(X))로 정의될 수 있다.

또한, 칸 확대는 보편적 성질을 이용하여 특징지을 수도 있다. 왼쪽 칸 확대는 특정 자연 변환과 함께 보편성을 만족하는 함자로 정의되며, 오른쪽 칸 확대는 특정 자연 변환과 함께 여보편성을 만족하는 함자로 정의된다. 이러한 보편적 성질 덕분에 칸 확대가 존재한다면, 이는 동형을 제외하고 유일하게 결정된다.

각각의 칸 확대에 대한 구체적인 정의, 존재 조건, 계산 방법 등은 아래의 하위 섹션에서 더 자세히 설명된다.

2. 1. 1. 왼쪽 칸 확대

범주 \mathcal C, \mathcal C' 및 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal C'가 주어졌다고 가정하자. F와의 합성은 임의의 범주 \mathcal D에 대하여 두 함자 범주 사이의 함자 F^*\colon[\mathcal C',\mathcal D]\to[\mathcal C,\mathcal D] (여기서 F^*(X) = X \circ F)를 정의한다. 만약 F^*가 왼쪽 수반 함자 F_!\dashv F^*를 갖는다면, 임의의 함자 X\colon\mathcal C\to\mathcal D에 대하여 함자 F_!(X)\colon\mathcal C'\to\mathcal D를 X의 F에 대한 '''왼쪽 칸 확대'''(left Kan extension|영어)라고 한다. 왼쪽 칸 확대는 \operatorname{Lan}_FX로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 Y\colon \mathcal C'\to\mathcal D에 대하여 자연 동형

:\hom_{[\mathcal C,\mathcal D]}(X,F^*Y)\cong\hom_{[\mathcal C',\mathcal D]}(\operatorname{Lan}_FX,Y)

이 존재한다.

왼쪽 칸 확대는 보편적 성질을 사용하여 정의할 수도 있다. 세 개의 범주 \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}와 두 개의 함자 X : \mathbf{A} \to \mathbf{C}, F : \mathbf{A} \to \mathbf{B}가 주어졌다고 하자. '''X를 F를 따라 확장하는 왼쪽 칸 확장'''은 함자 L: \mathbf{B} \to \mathbf{C}와 자연 변환 \eta: X \to L F로 구성되며, 이는 다음 보편적 성질을 만족한다: 임의의 다른 함자 M: \mathbf{B} \to \mathbf{C}와 자연 변환 \alpha: X \to M F에 대해, 아래 다이어그램을 가환하게 만드는 유일한 자연 변환 \sigma: L \to M이 존재한다.

여기서 \sigma_F는 \mathbf{A}의 모든 대상 a에 대해 \sigma_F(a) = \sigma(Fa): LF(a) \to MF(a)인 자연 변환이다. 함자 ''L''은 종종 \operatorname{Lan}_FX로 표기된다.

왼쪽 칸 확대는 오른쪽 칸 확대의 쌍대 개념이다. 이는 관련된 자연 변환들의 방향을 반대로 하여 얻을 수 있다. 모든 보편적 구성과 마찬가지로, 왼쪽 칸 확대가 존재한다면 그것은 고유한 동형 사상을 제외하고 유일하게 결정된다. 즉, 만약 L과 M이 모두 X의 F에 따른 왼쪽 칸 확장이고 \eta: X \to LF, \alpha: X \to MF가 해당하는 자연 변환이라면, \alpha = \sigma_F \circ \eta를 만족하는 유일한 동형 사상 \sigma: L \to M이 존재한다.

2. 1. 2. 오른쪽 칸 확대

범주 \mathcal C, \mathcal C' 및 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal C'가 주어졌다고 하자. F와의 합성은 임의의 범주 \mathcal D에 대하여 두 함자 범주 사이의 함자 F^*\colon[\mathcal C',\mathcal D]\to[\mathcal C,\mathcal D]를 정의하며, 이는 F^*\colon X\mapsto X\circ F로 주어진다.

만약 F^*가 오른쪽 수반 함자 F_*를 갖는다면 (F^*\dashv F_*), 임의의 함자 X\colon\mathcal C\to\mathcal D에 대하여 함자 F_*(X)\colon\mathcal C'\to\mathcal D를 X의 F에 대한 '''오른쪽 칸 확대'''(right Kan extension영어)라고 한다. 오른쪽 칸 확대는 \operatorname{Ran}_FX로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 Y\colon \mathcal C'\to\mathcal D에 대하여 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.

:\hom_{[\mathcal C,\mathcal D]}(F^*Y,X)\cong\hom_{[\mathcal C',\mathcal D]}(Y,\operatorname{Ran}_FX)

오른쪽 칸 확대는 보편성을 사용하여 다음과 같이 정의할 수도 있다. 세 개의 범주 \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}와 두 개의 함자 X : \mathbf{A} \to \mathbf{C}, F : \mathbf{A} \to \mathbf{B}가 주어졌다고 하자.

X를 F를 따라 확장하는 '''오른쪽 칸 확장'''은 함자 R: \mathbf{B} \to \mathbf{C}와 자연 변환 \epsilon: RF \to X로 구성되며, 이는 다음 다이어그램으로 표현될 수 있다.

이 쌍 (R, \epsilon)은 다음과 같은 보편성을 만족한다. 즉, 임의의 다른 함자 M: \mathbf{B} \to \mathbf{C}와 자연 변환 \mu: MF \to X에 대해, 아래 다이어그램을 가환하게 만드는 유일한 자연 변환 \delta: M \to R가 존재한다.

여기서 \delta_F는 \mathbf{A}의 모든 대상 a에 대해 \delta_F(a) = \delta(Fa): MF(a) \to RF(a)인 자연 변환이다.

함자 ''R''은 종종 \operatorname{Ran}_FX로 표기된다. 다른 보편적 구성과 마찬가지로, 오른쪽 칸 확대는 존재한다면 동형을 제외하고 유일하게 결정된다.

2. 2. 국소 칸 확대

위에서 정의된 대역적 칸 확대 함자인 \operatorname{Lan}_F 및 \operatorname{Ran}_F가 일반적으로 존재하지 않을 수 있다. 하지만 특정 함자 X에 대해서는 \operatorname{Lan}_FX 또는 \operatorname{Ran}_FX가 존재할 수 있다.

이러한 경우를 국소 칸 확대(local Kan extension영어)라고 하며, 그 정의는 대역적 칸 확대의 정의를 특정 함자 X에 대해 국소화한 것이다.

구체적으로, 함자 X의 함자 F에 대한 (국소) 왼쪽 칸 확대는 다음 두 요소로 구성된다.

  • 함자 \operatorname{Lan}_FX\colon\mathcal C'\to\mathcal D
  • 자연 동형 \hom_{[\mathcal C,\mathcal D]}(X,F^*(-))\cong\hom_{[\mathcal C',\mathcal D]}(\operatorname{Lan}_FX,-)


마찬가지로, 함자 X의 함자 F에 대한 (국소) 오른쪽 칸 확대는 다음 두 요소로 구성된다.

  • 함자 \operatorname{Ran}_FX\colon\mathcal C'\to\mathcal D
  • 자연 동형 \hom_{[\mathcal C,\mathcal D]}(F^*Y,X)\cong\hom_{[\mathcal C',\mathcal D]}(Y,\operatorname{Ran}_FX)

3. 성질

칸 확대는 극한, 쌍대극한, 수반 함자, 엔드, 코엔드 등 다양한 범주론적 개념과 밀접하게 연관되어 있다. 특정 조건 하에서 칸 확대는 극한이나 쌍대극한을 사용하여 계산될 수 있으며, 엔드나 코엔드를 이용한 공식으로도 표현 가능하다. 예를 들어, 작은 범주 '''A'''와 여완비 범주 '''C'''가 주어졌을 때, 함자 X:\mathbf{A}\to\mathbf{C}의 함자 F:\mathbf{A}\to\mathbf{B}에 대한 왼쪽 칸 확대는 여극한으로 정의될 수 있다. 쌍대적으로, '''C'''가 완비 범주일 경우 오른쪽 칸 확대는 극한으로 정의된다.

또한, 특정 함자에 대한 칸 확대는 해당 함자의 극한이나 쌍대극한과 동일한 개념으로 이해될 수 있다. 구체적으로, \mathcal{C}에서 하나의 대상과 사상만 갖는 범주 \mathbf{1}로 가는 유일한 함자 E에 대해, 함자 F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}의 극한은 F의 E에 대한 오른쪽 칸 확대 \mathrm{Ran}_E F와 같고, 쌍대극한은 왼쪽 칸 확대 \mathrm{Lan}_E F와 같다. 칸 확대와 수반 함자 사이의 관계 역시 중요한 성질 중 하나이다.

3. 1. 극한과 쌍대극한

1이 하나의 대상 및 그 항등 사상만을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 함자 X\colon\mathcal C\to\mathcal D에 대하여, X의 \mathcal C\to1에 대한 오른쪽 칸 확대는 X의 극한이며, 왼쪽 칸 확대는 X의 쌍대극한이다.

함자 X:\mathbf{A}\to\mathbf{C}와 F:\mathbf{A}\to\mathbf{B}가 주어졌다고 하자. 만약 \mathbf{A}가 작은 범주이고 \mathbf{C}가 여완비 범주이면, X의 F에 대한 왼쪽 칸 확대 \mathrm{Lan}_FX가 존재하며, \mathbf{B}의 각 대상 b에 대해 다음과 같이 여극한으로 계산된다.

:(\mathrm{Lan}_F X)(b) = \varinjlim_{(a, f:Fa \to b) \in (F \downarrow b)} X(a)

여기서 여극한은 콤마 범주 (F \downarrow b) 위에서 계산된다.

쌍대적으로, 만약 \mathbf{A}가 작은 범주이고 \mathbf{C}가 완비 범주이면, X의 F에 대한 오른쪽 칸 확대 \mathrm{Ran}_FX가 존재하며, \mathbf{B}의 각 대상 b에 대해 다음과 같이 극한으로 계산된다.

:(\operatorname{Ran}_F X)(b) = \varprojlim_{(a, g:b \to Fa) \in (b \downarrow F)} X(a)

여기서 극한은 콤마 범주 (b \downarrow F) 위에서 계산된다.

함자 F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}의 극한과 쌍대극한은 칸 확장을 사용하여 나타낼 수도 있다. E를 \mathcal{C}에서 \mathbf{1}(하나의 대상과 하나의 사상으로 이루어진 범주, 즉 범주론적 의미의 종대상)으로 가는 유일한 함자라고 하자. 그러면 F의 극한은 다음과 같이 표현된다.

:\mathrm{lim}F=\mathrm{Ran}_E F

마찬가지로 F의 쌍대극한은 다음과 같이 표현된다.

:\mathrm{colim}F=\mathrm{Lan}_E F

3. 2. (여)엔드

두 개의 함자 X:\mathbf{A}\to\mathbf{C}와 F:\mathbf{A}\to\mathbf{B}가 주어졌을 때, '''A'''의 모든 대상 ''a''와 ''a''에 대해, 그리고 '''B'''의 모든 대상 ''b''에 대해, 코파워 \mathbf{B}(Fa',b)\cdot Xa가 '''C'''에 존재한다고 가정하자. 그러면 함자 ''X''는 ''F''를 따라 왼쪽 칸 확장 \operatorname{Lan}_FX을 가지며, 이는 '''B'''의 모든 대상 ''b''에 대해 다음 코엔드가 존재할 경우 아래와 같이 계산된다.

:(\operatorname{Lan}_FX)b=\int^a \mathbf{B}(Fa,b)\cdot Xa

쌍대적으로, 오른쪽 칸 확장은 다음 엔드 공식을 사용하여 계산할 수 있다.

:(\operatorname{Ran}_FX)b=\int_a Xa^{\mathbf{B}(b,Fa)}

또한, 두 개의 함자 K:\mathbf{M}\to\mathbf{C} 와 T:\mathbf{M}\to\mathbf{A}가 주어졌다고 하자. 이때, '''M'''의 임의의 대상 ''m''과 ''m'' 및 '''C'''의 임의의 대상 ''c''에 대해, '''A''' 위의 코파워 \mathbf{C}(Km',c)\cdot Tm을 가진다고 가정한다. 만약 다음의 코엔드가 임의의 '''C'''의 대상 ''c''에 대해 존재하면, 함자 ''T''는 ''K''에 따른 왼쪽 칸 확장 ''L''을 가지며, '''C'''의 임의의 대상 ''c''에 대해 다음이 성립한다.

:Lc=(\mathrm{Lan}_KT)c=\int^m\mathbf{C}(Km,c)\cdot Tm

쌍대적으로, 오른쪽 칸 확장은 다음 공식으로 계산할 수 있다.

:(\mathrm{Ran}_KT)c=\int_mTm^{\mathbf{C}(c,Km)}

3. 3. 수반 함자

함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D의 왼쪽 수반 함자는, 만약 존재한다면, 항등 함자 \operatorname{Id}_{\mathcal C}의 F에 대한 오른쪽 칸 확대 F_*\operatorname{Id}_{\mathcal C}\colon \mathcal D\to\mathcal C와 같다.

:F_*\operatorname{Id}_{\mathcal C}\dashv F

구체적으로, 함자 F : \mathbf{C} \to \mathbf{D}가 왼쪽 수반 함자를 가지는 필요충분조건은 항등 함자 \operatorname{Id} : \mathbf{C} \to \mathbf{C}의 F를 따른 오른쪽 칸 확대 \operatorname{Ran}_F \operatorname{Id}가 존재하고, 이 칸 확대가 F에 의해 보존되는 것이다. 이 경우 왼쪽 수반자는 \operatorname{Ran}_F \operatorname{Id}로 주어지며, 이 칸 확대는 임의의 함자 \mathbf{C} \to \mathbf{E}에 의해서도 보존되는데, 이를 절대 칸 확대라고 한다.

마찬가지로, 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D의 오른쪽 수반 함자는, 만약 존재한다면, 항등 함자 \operatorname{Id}_{\mathcal D}의 F에 대한 왼쪽 칸 확대 F_!\operatorname{Id}_{\mathcal D}\colon \mathcal D\to\mathcal C와 같다.

:F\dashv F_!\operatorname{Id}_{\mathcal D}

쌍대적으로, 함자 F가 오른쪽 수반 함자를 가지는 필요충분조건은 항등 함수의 F를 따른 왼쪽 칸 확장이 존재하고 F에 의해 보존되는 것이다.

4. 예

칸 확대는 범주론의 여러 중요한 개념들을 포괄하는 일반적인 구조로 볼 수 있다. 대표적인 예로 함자의 극한과 쌍대극한, 그리고 수반 함자 관계가 있다.

4. 1. 극한과 쌍대극한

함자의 극한과 쌍대극한은 칸 확대의 특수한 경우로 볼 수 있다.[1]

1을 하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주라고 하자. 이는 범주론에서 종결 대상에 해당한다. 임의의 함자 X\colon\mathcal C\to\mathcal D가 주어졌을 때, \mathcal C에서 1로 가는 유일한 함자 E를 생각할 수 있다. 이때 X의 E에 대한 오른쪽 칸 확대 \operatorname{Ran}_E X는 X의 극한과 같으며, 왼쪽 칸 확대 \operatorname{Lan}_E X는 X의 쌍대극한과 같다.

:\lim X = \operatorname{Ran}_E X

:\operatorname{colim} X = \operatorname{Lan}_E X

더 나아가, 함자 X:\mathbf{A}\to\mathbf{C}와 F:\mathbf{A}\to\mathbf{B}가 주어졌다고 하자. 만약 \mathbf{A}가 작은 범주이고 \mathbf{C}가 여완비 범주라면, X의 F에 따른 왼쪽 칸 확장 \mathrm{Lan}_FX가 존재한다. 이는 각 대상 b \in \mathbf{B}에 대해 다음과 같은 여극한으로 계산될 수 있다.

:(\mathrm{Lan}_F X)(b) = \varinjlim_{f:Fa \to b} X(a)

여기서 여극한은 콤마 범주 (F \downarrow b) 위에서 취해진다.

쌍대적으로, 만약 \mathbf{A}가 작은 범주이고 \mathbf{C}가 완비 범주라면, X의 F에 따른 오른쪽 칸 확장 \mathrm{Ran}_FX가 존재하며, 이는 극한으로 계산될 수 있다.

4. 2. 수반 함자

함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D의 왼쪽 수반 함자는, 만약 존재한다면, 항등 함자 \operatorname{Id}_{\mathcal C}의 F에 대한 오른쪽 칸 확대 F_*\operatorname{Id}_{\mathcal C}\colon \mathcal D\to\mathcal C이다.

:F_*\operatorname{Id}_{\mathcal C}\dashv F

왼쪽 수반 함자가 존재할 필요충분조건은 항등 함자 \operatorname{Id}_{\mathcal C}의 F를 따른 오른쪽 칸 확장 \operatorname{Ran}_F \operatorname{Id}_{\mathcal C}가 존재하고, 이 칸 확장이 F에 의해 보존되는 것이다. 이 경우 왼쪽 수반 함자는 \operatorname{Ran}_F \operatorname{Id}_{\mathcal C}이며, 이 칸 확장은 임의의 함자 \mathcal C \to \mathcal E에 대해서도 보존되므로 "절대 칸 확장"이라고 불린다.

함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D의 오른쪽 수반 함자는, 만약 존재한다면, 항등 함자 \operatorname{Id}_{\mathcal D}의 F에 대한 왼쪽 칸 확대 F_!\operatorname{Id}_{\mathcal D}\colon \mathcal D\to\mathcal C이다.

:F\dashv F_!\operatorname{Id}_{\mathcal D}

쌍대적으로, 오른쪽 수반 함자는 항등 함자 \operatorname{Id}_{\mathcal D}의 F를 따른 왼쪽 칸 확장 \operatorname{Lan}_F \operatorname{Id}_{\mathcal D}가 존재하고 이것이 F에 의해 보존될 때 존재한다.

5. 역사

다니얼 칸이 1960년에 도입하였다. 손더스 매클레인은 칸 확대의 중요성에 대하여 다음과 같이 적었다.

모든 개념은 칸 확대이다. […] 칸 확대의 개념은 범주론의 다른 모든 근본적인 개념을 포함한다.
All concepts are Kan extensions. […] The notion of Kan extensions subsumes all the other fundamental concepts of category theory.영어


— 손더스 매클레인[1]


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