코쥘 복합체

2. 정의

가환환 $R$와 그 위의 가군 $M$, 그리고 $R$-가군 준동형 $\backslash phi\backslash colon\; M\backslash to\; R$가 주어졌을 때, 쐐기곱을 통해 외대수 $K\_\backslash bullet=\backslash bigwedge^\backslash bullet\; M$은 결합 등급 가환 $R$-대수가 된다.

이 위에 경계 사상 $\backslash partial\_i\backslash colon\; K\_i\backslash to\; K\_\{i-1\}$을 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash partial\_i\backslash colon\; e\_1\backslash wedge\backslash cdots\backslash wedge\; e\_n\backslash mapsto\backslash sum\_\{i=1\}^n(-1)^\{i+1\}\backslash phi(e\_i)e\_1\backslash wedge\backslash cdots\backslash wedge\backslash hat\; e\_i\backslash wedge\backslash cdots\; e\_n$

여기서 $\backslash cdots\backslash wedge\backslash hat\; e\_i\backslash wedge\backslash cdots$는 쐐기곱에서 $e\_i$만을 제외한다는 뜻이다. $\backslash partial\_i\backslash circ\backslash partial\_\{i+1\}=0$이므로, $(K\_\backslash bullet(R,M,\backslash phi),\backslash partial)$은 사슬 복합체이자 미분 등급 대수를 이룬다. 이를 '''코쥘 복합체'''라고 한다.

$R$-가군 $M$ 및 사상 $\backslash phi\backslash colon\; M\backslash to\; R$이 주어졌을 때, $M$의 '''코쥘 호몰로지'''는 그 코쥘 복합체의 호몰로지다.

:$H\_i(M,\backslash phi)=\backslash frac\{\backslash ker\backslash partial\_i\}\{\backslash operatorname\{im\}\backslash partial\_\{i-1\}\}$

마찬가지로, $M$의 '''코쥘 코호몰로지'''는 그 쌍대 복합체 $K^i=\backslash hom\_\{R\backslash text\{-Mod\}\}(K\_i,R)$의 코호몰로지다.

가환환 ''A''와 ''A''-선형 사상 ''s: A^r → A''에 대해, ''R''을 가환환, ''E''를 ''R'' 위의 유한 계수 ''r''의 자유 가군이라고 하자. $\backslash bigwedge^i\; E$는 ''E''의 ''i''차 외대수로 표기한다. 가군 준동형사상 $s\backslash colon\; E\; \backslash to\; R$이 주어졌을 때, '''''s''에 관련된 코쥘 복합체'''는 ''R''-가군의 사슬 복합체이다.

:$K\_\{\backslash bullet\}(s)\backslash colon\; 0\; \backslash to\; \backslash bigwedge^r\; E\; \backslash overset\{d\_r\}\; \backslash to\; \backslash bigwedge^\{r-1\}\; E\; \backslash to\; \backslash cdots\; \backslash to\; \backslash bigwedge^1\; E\; \backslash overset\{d\_1\}\backslash to\; R\; \backslash to\; 0$,

여기서 미분 $d\_k$는 다음과 같이 주어진다: ''E''의 임의의 $e\_i$에 대하여,

:$d\_k\; (e\_1\; \backslash wedge\; \backslash dots\; \backslash wedge\; e\_k)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^k\; (-1)^\{i+1\}\; s(e\_i)\; e\_1\; \backslash wedge\; \backslash cdots\; \backslash wedge\; \backslash widehat\{e\_i\}\; \backslash wedge\; \backslash cdots\; \backslash wedge\; e\_k$.

위첨자 $\backslash widehat\{\backslash cdot\}$는 해당 항이 생략되었음을 의미한다.

만약 ''M''이 유한 생성 ''R''-가군이라면, 다음과 같이 설정한다:

:$K\_\{\backslash bullet\}(s,\; M)\; =\; K\_\{\backslash bullet\}(s)\; \backslash otimes\_R\; M$,

이것은 다시 유도된 미분 $(d\; \backslash otimes\; 1\_M)(v\; \backslash otimes\; m)\; =\; d(v)\; \backslash otimes\; m$을 갖는 사슬 복합체이다.

코쥘 복합체의 ''i''차 호몰로지

:$\backslash operatorname\{H\}\_i(K\_\{\backslash bullet\}(s,\; M))\; =\; \backslash operatorname\{ker\}(d\_i\; \backslash otimes\; 1\_M)/\backslash operatorname\{im\}(d\_\{i+1\}\; \backslash otimes\; 1\_M)$

는 '''''i''차 코쥘 호몰로지'''라고 불린다.

2. 1. 가환환 계수

2. 2. 자유 가군 계수

3. 성질

코쥘 복합체 ''K_s''는 사슬 복합체이자 dg 대수이다.^[1] 이는 다음과 같은 사상으로 정의된다.

:$K\_s\backslash otimes\; K\_s\backslash \; \backslash to\backslash \; K\_s\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash ,\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash ,\; \backslash \; \backslash \; \backslash ,\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; (\backslash alpha\_1\backslash wedge\backslash cdots\; \backslash wedge\backslash alpha\_k)\backslash otimes\; (\backslash beta\_1\backslash wedge\backslash cdots\backslash wedge\backslash beta\_\backslash ell)\backslash \; \backslash mapsto\backslash \; \backslash alpha\_1\backslash wedge\backslash cdots\backslash wedge\; \backslash alpha\_k\backslash wedge\backslash beta\_1\backslash wedge\backslash cdots\backslash wedge\backslash beta\_\backslash ell$

코쥘 복합체는 텐서 곱으로 표현 가능하다. $s=(s\_1,\backslash dots\; ,\; s\_r)$이면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[2]

:$K\_\{s\}\backslash \; \backslash simeq\backslash \; K\_\{s\_1\}\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; K\_\{s\_r\}$

여기서 $\backslash otimes$는 ''A''-가군들의 유도 텐서 곱을 의미한다.^[2]

$s\_1,\; \backslash dots,\; s\_r$이 정규 수열을 이루는 경우, 사상 $K\_s\; \backslash to\; A/(s\_1,\; \backslash dots,\; s\_r)$는 준동형사상이다. 즉,

:$\backslash operatorname\{H\}^i(K\_s)\backslash \; =\backslash \; 0,\backslash qquad\; i\backslash ne\; 0,$

이며, 모든 ''s''에 대해 $H^0(K\_s)\; =\; A/(s\_1,\backslash dots,\; s\_r)$이다.

대수다양체나 스킴 위의 연접층의 층 코호몰로지는 코쥘 코호몰로지의 귀납적 극한으로 계산할 수 있다.

3. 1. 낮은 차원에서의 코쥘 복합체

''R''을 가환환이라 하고, ''x''를 ''R''의 원소라고 하자. ''x''에 의한 곱셈은 ''R''-가군의 준동형사상 $M\; \backslash to\; M$을 생성한다. 이것을 사슬 복합체로 간주하여 (차수 1과 0에 배치하고 나머지는 0으로 채움) $K(x,\; M)$로 표기한다. 이 경우, 코쥘 복합체와 그 호몰로지는 다음과 같다.

:$H\_0(K(x,\; M))\; =\; M/xM,\; H\_1(K(x,M))\; =\; \backslash operatorname\{Ann\}\_M(x)\; =\; \backslash \{m\; \backslash in\; M\; ,\; xm\; =\; 0\; \backslash \},$

여기서 $\backslash operatorname\{Ann\}\_M(x)$는 ''M''에서 ''x''의 소멸자이다. 즉, 코쥘 복합체와 그 호몰로지는 ''x''에 의한 곱셈의 기본적인 속성을 나타낸다.

쌍 $(x,\; y)\; \backslash in\; R^2$에 대한 코쥘 복합체는 다음과 같다.

:$$

0 \to R \xrightarrow{\ d_2\ } R^2 \xrightarrow{\ d_1\ } R\to 0,



여기서 행렬 $d\_1$과 $d\_2$는 다음과 같다.

:$$

d_1 = \begin{bmatrix}

x\\

y

\end{bmatrix}

and

:$$

d_2 = \begin{bmatrix}

• y & x

\end{bmatrix}.



$d\_i$는 오른쪽에 적용된다. 차수 1에서의 사이클은 원소 ''x''와 ''y''에 대한 선형 관계이고, 경계는 자명한 관계이다. 따라서 첫 번째 코쥘 호몰로지 $H\_1(K\_\{\backslash bullet\}(x,\; y))$는 자명한 관계를 제외한 선형 관계를 측정한다. 더 많은 원소를 사용하면 더 높은 차원의 코쥘 호몰로지가 생성되어 이러한 관계의 더 높은 수준을 측정한다.

원소 $x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_n$이 정칙열을 형성하는 경우, 코쥘 복합체의 더 높은 호몰로지 가군은 모두 0이다.

3. 2. 코쥘 호몰로지의 성질

$s\_1,\; \backslash dots,\; s\_r$이 정규 수열을 이루는 경우, 사상 $K\_s\; \backslash to\; A/(s\_1,\; \backslash dots,\; s\_r)$는 준동형사상이다. 즉,

:$\backslash operatorname\{H\}^i(K\_s)\backslash \; =\backslash \; 0,\backslash qquad\; i\backslash ne\; 0,$

이며, 모든 ''s''에 대해 $H^0(K\_s)\; =\; A/(s\_1,\backslash dots,\; s\_r)$이다.

''R''을 가환환, ''E''를 ''R'' 위의 유한 계수 ''r''의 자유 가군이라고 하자. $\backslash bigwedge^i\; E$는 ''E''의 ''i''차 외대수로 표기한다. 그러면, 가군 준동형사상 $s\backslash colon\; E\; \backslash to\; R$이 주어졌을 때, '''''s''에 관련된 코쥘 복합체'''는 ''R''-가군의 사슬 복합체이다.

:$K\_\{\backslash bullet\}(s)\backslash colon\; 0\; \backslash to\; \backslash bigwedge^r\; E\; \backslash overset\{d\_r\}\; \backslash to\; \backslash bigwedge^\{r-1\}\; E\; \backslash to\; \backslash cdots\; \backslash to\; \backslash bigwedge^1\; E\; \backslash overset\{d\_1\}\backslash to\; R\; \backslash to\; 0$,

여기서 미분 $d\_k$는 다음과 같이 주어진다. ''E''의 임의의 $e\_i$에 대하여,

:$d\_k\; (e\_1\; \backslash wedge\; \backslash dots\; \backslash wedge\; e\_k)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^k\; (-1)^\{i+1\}\; s(e\_i)\; e\_1\; \backslash wedge\; \backslash cdots\; \backslash wedge\; \backslash widehat\{e\_i\}\; \backslash wedge\; \backslash cdots\; \backslash wedge\; e\_k$.

위첨자 $\backslash widehat\{\backslash cdot\}$는 해당 항이 생략되었음을 의미한다. $d\_k\; \backslash circ\; d\_\{k+1\}\; =\; 0$임을 보이기 위해서는, 코쥘 복합체의 자기 쌍대성을 이용한다.

참고로 $\backslash bigwedge^1\; E\; =\; E$이고 $d\_1\; =\; s$이다. 또한 $\backslash bigwedge^r\; E\; \backslash simeq\; R$인데, 이 동형사상은 자연스럽지 않다(예를 들어, 미분 기하학에서 부피 형식을 선택하는 것은 그러한 동형사상의 한 예시를 제공한다).

만약 $E\; =\; R^r$ (즉, 순서가 지정된 기저가 선택된 경우)이라면, ''R''-선형 사상 $s\backslash colon\; R^r\backslash to\; R$을 제공하는 것은 ''R''의 원소의 유한 수열 $s\_1,\; \backslash dots,\; s\_r$ (즉, 행 벡터)를 제공하는 것과 같고, 이 경우 $K\_\{\backslash bullet\}(s\_1,\; \backslash dots,\; s\_r)\; =\; K\_\{\backslash bullet\}(s).$로 설정한다.

만약 ''M''이 유한 생성 ''R''-가군이라면, 다음과 같이 설정한다:

:$K\_\{\backslash bullet\}(s,\; M)\; =\; K\_\{\backslash bullet\}(s)\; \backslash otimes\_R\; M$,

이것은 다시 유도된 미분 $(d\; \backslash otimes\; 1\_M)(v\; \backslash otimes\; m)\; =\; d(v)\; \backslash otimes\; m$을 갖는 사슬 복합체이다.

코쥘 복합체의 ''i''차 호몰로지

:$\backslash operatorname\{H\}\_i(K\_\{\backslash bullet\}(s,\; M))\; =\; \backslash operatorname\{ker\}(d\_i\; \backslash otimes\; 1\_M)/\backslash operatorname\{im\}(d\_\{i+1\}\; \backslash otimes\; 1\_M)$

는 '''''i''차 코쥘 호몰로지'''라고 불린다. 예를 들어, $E\; =\; R^r$이고 $s\; =\; [s\_1\; \backslash cdots\; s\_r]$가 ''R''의 원소를 갖는 행 벡터라면, $d\_1\; \backslash otimes\; 1\_M$은 다음과 같다.

:$s\; \backslash colon\; M^r\; \backslash to\; M,\; \backslash ,\; (m\_1,\; \backslash dots,\; m\_r)\; \backslash mapsto\; s\_1\; m\_1\; +\; \backslash dots\; +\; s\_r\; m\_r$

따라서,

:$\backslash operatorname\{H\}\_0(K\_\{\backslash bullet\}(s,\; M))\; =\; M/(s\_1,\; \backslash dots,\; s\_r)M\; =\; R/(s\_1,\; \backslash dots,\; s\_r)\; \backslash otimes\_R\; M.$

마찬가지로,

:$\backslash operatorname\{H\}\_r(K\_\{\backslash bullet\}(s,\; M))\; =\; \backslash \{\; m\; \backslash in\; M\; :\; s\_1\; m\; =\; s\_2\; m\; =\; \backslash dots\; =\; s\_r\; m\; =\; 0\; \backslash \}\; =\; \backslash operatorname\{Hom\}\_R(R/(s\_1,\; \backslash dots,\; s\_r),\; M).$

''E''를 ''R'' 위의 유한 순위 자유 가군으로 하고, $s\backslash colon\; E\backslash to\; R$를 ''R''-선형 사상으로 하고, ''t''를 ''R''의 원소로 하자. $K(s,\; t)$를 $(s,\; t)\backslash colon\; E\; \backslash oplus\; R\; \backslash to\; R$의 코쥘 복합체라고 하자.

$\backslash bigwedge^k(E\; \backslash oplus\; R)\; =\; \backslash oplus\_\{i=0\}^k\; \backslash bigwedge^\{k-i\}\; E\; \backslash otimes\; \backslash bigwedge^i\; R\; =\; \backslash bigwedge^k\; E\; \backslash oplus\; \backslash bigwedge^\{k-1\}\; E$를 사용하여,

다음과 같은 복합체의 완전열이 존재한다.

:$0\; \backslash to\; K(s)\; \backslash to\; K(s,\; t)\; \backslash to\; K(s)[-1]\; \backslash to\; 0$,

여기서 $[-1]$은 차수를 $-1$만큼 시프트하는 것을 의미하며 $d\_\{K(s)[-1]\}\; =\; -d\_\{K(s)\}$이다. ^[3] $\backslash bigwedge^k\; E\; \backslash oplus\; \backslash bigwedge^\{k-1\}\; E$에서 $(x,\; y)$에 대해,

:$d\_\{K(s,\; t)\}((x,\; y))\; =\; (d\_\{K(s)\}\; x\; +\; ty,\; d\_\{K(s)[-1]\}\; y).$

호몰로지 대수학의 언어로, 위는 $K(s,\; t)$가 $t\backslash colon\; K(s)\; \backslash to\; K(s)$의 매핑 원뿔임을 의미한다.

호몰로지의 긴 완전열을 취하면 다음과 같다.

:$\backslash cdots\; \backslash to\; \backslash operatorname\{H\}\_i(K(s))\; \backslash overset\{t\}\; \backslash to\; \backslash operatorname\{H\}\_i(K(s))\; \backslash to\; \backslash operatorname\{H\}\_i(K(s,\; t))\; \backslash to\; \backslash operatorname\{H\}\_\{i-1\}(K(s))\; \backslash overset\{t\}\backslash to\; \backslash cdots.$

여기서, 연결 준동형

:$\backslash delta:\; \backslash operatorname\{H\}\_\{i+1\}(K(s)[-1])\; =\; \backslash operatorname\{H\}\_\{i\}(K(s))\; \backslash to\; \backslash operatorname\{H\}\_\{i\}(K(s))$

는 다음과 같이 계산된다. 정의에 의해, $\backslash delta([x])\; =\; [d\_\{K(s,t)\}(y)]$ 여기서 ''y''는 ''x''로 매핑되는 $K(s,\; t)$의 원소이다. $K(s,\; t)$가 직접합이므로, 간단히 ''y''를 (0, ''x'')로 취할 수 있다. 그러면 $d\_\{K(s,\; t)\}$에 대한 앞선 공식은 $\backslash delta([x])\; =\; t[x]$를 제공한다.

위의 완전열은 다음을 증명하는 데 사용될 수 있다.

'''정리 1'''^[4] ''R''을 환으로 하고 ''M''을 그 위의 가군으로 하자. 만약 ''R''의 원소의 수열 $x\_1,\; x\_2,\; \backslash cdots,\; x\_r$이 ''M'' 위에서 정칙 수열이면,

:$\backslash operatorname\{H\}\_i(K(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_r)\; \backslash otimes\; M)\; =\; 0$

for 모든 $i\; \backslash geq\; 1$. 특히, ''M'' = ''R''일 때, 이것은

:$0\; \backslash to\; \backslash bigwedge^r\; R^r\; \backslash overset\{d\_r\}\; \backslash to\; \backslash bigwedge^\{r-1\}\; R^r\; \backslash to\; \backslash cdots\; \backslash to\; \backslash bigwedge^2\; R^r\; \backslash overset\{d\_2\}\; \backslash to\; R^r\; \backslash overset\{[x\_1\; \backslash cdots\; x\_r]\}\backslash to\; R\; \backslash to\; R/(x\_1,\; \backslash cdots,\; x\_r)\; \backslash to\; 0$

가 완전함을 의미한다. 즉, $K(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_r)$는 $R/(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_r)$의 ''R''-자유 분해이다.

''r''에 대한 귀납법으로 증명한다. 만약 ''$r=1$''이면, $\backslash operatorname\{H\}\_1(K(x\_1;M))\; =\; \backslash operatorname\{Ann\}\_M(x\_1)\; =\; 0$이다. 다음으로, 명제가 ''r'' - 1에 대해 참이라고 가정하자. 그러면, 위의 완전열을 사용하면, $\backslash operatorname\{H\}\_i(K(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_r;\; M))\; =\; 0$ for 모든 $i\; \backslash geq\; 2$임을 알 수 있다. 소멸은 또한 $i=1$에 대해서도 유효한데, 이는 $x\_r$이 $\backslash operatorname\{H\}\_0(K(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_\{r-1\};\; M))\; =\; M/(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_\{r-1\})M.$에서 영인자가 아니기 때문이다.

'''따름정리 1'''^[5] ''R'', ''M''을 위와 같이 두고, $x\_1,\; x\_2,\; \backslash cdots,\; x\_n$을 ''R''의 원소의 수열이라고 하자. 만약 환 ''S'', ''S''-정칙 수열 $y\_1,\; y\_2,\; \backslash cdots,\; y\_n$ in ''S'' 및 $y\_i$를 $x\_i$로 매핑하는 환 준동형 ''S'' → ''R''가 존재한다고 가정하자. (예를 들어, $S=\backslash Z[y\_1,\backslash cdots,y\_n]$을 취할 수 있다.) 그러면

:$\backslash operatorname\{H\}\_i(K(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n)\; \backslash otimes\_R\; M)\; =\; \backslash operatorname\{Tor\}^S\_i(S/(y\_1,\; \backslash dots,\; y\_n),\; M).$

여기서 Tor는 Tor 함자를 나타내고 ''M''은 $S\backslash to\; R$를 통해 ''S''-가군이다.

증명: ''S''와 ''S''를 ''S''-가군으로 하여 정리 적용하면, $K(y\_1,\; \backslash dots,\; y\_n)$가 $S/(y\_1,\; \backslash dots,\; y\_n)$의 ''S''-자유 분해임을 알 수 있다. 따라서, 정의에 의해, $K(y\_1,\; \backslash dots,\; y\_n)\; \backslash otimes\_S\; M$의 ''i''차 호몰로지는 위의 우변이다. 한편, ''M'' 위에 ''S''-가군 구조의 정의에 의해 $K(y\_1,\; \backslash dots,\; y\_n)\; \backslash otimes\_S\; M\; =\; K(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n)\; \backslash otimes\_R\; M$이다.

'''따름정리 2'''^[6] ''R'', ''M''을 위와 같이 두고, $x\_1,\; x\_2,\; \backslash cdots,\; x\_n$을 ''R''의 원소의 수열이라고 하자. 그러면 이상 $I=(x\_1,\; x\_2,\; \backslash cdots,\; x\_n)$과 ''M''의 소멸자가 모두

:$\backslash operatorname\{H\}\_i(K(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n)\; \backslash otimes\; M)$

를 모든 ''i''에 대해 소멸시킨다.

증명: ''S'' = ''R''[''y''₁, ..., ''y''_''n'']이라고 하자. 환 준동형 ''S'' → ''R'', ''y''_''i'' → ''x''_''i'' 및 을 통해 ''M''을 ''S''-가군으로 변환하고 ''R''을 ''S''-가군으로 변환한다. 이전 따름정리에 의해, $\backslash operatorname\{H\}\_i(K(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n)\; \backslash otimes\; M)\; =\; \backslash operatorname\{Tor\}\_i^S(R,\; M)$이고, 그러면

:$\backslash operatorname\{Ann\}\_S\backslash left(\backslash operatorname\{Tor\}\_i^S(R,\; M)\backslash right)\; \backslash supset\; \backslash operatorname\{Ann\}\_S(R)\; +\; \backslash operatorname\{Ann\}\_S(M)\; \backslash supset\; (y\_1,\; \backslash dots,\; y\_n)\; +\; \backslash operatorname\{Ann\}\_R(M)\; +\; (y\_1\; -\; x\_1,\; ...,\; y\_n\; -\; x\_n).$

국소환의 경우, 정리 1의 역이 성립한다. 더 일반적으로,

'''정리 2'''^[7] ''R''을 환으로 하고 ''M''을 ''R'' 위의 0이 아닌 유한 생성 가군으로 하자. 만약 $x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_r$이 ''R''의 제이콥슨 근기의 원소이면, 다음은 동치이다.

# 수열 $x\_1,\; \backslash dots,\; x\_r$이 ''M'' 위에서 정칙 수열이다,

# $\backslash operatorname\{H\}\_1(K(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_r)\; \backslash otimes\; M)\; =\; 0$,

# $\backslash operatorname\{H\}\_i(K(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_r)\; \backslash otimes\; M)\; =\; 0$ for 모든 ''i'' ≥ 1.

증명: 2.가 1.을 의미함을 보여야 하며, 나머지는 자명하다. ''r''에 대한 귀납법으로 논증한다. ''r'' = 1인 경우는 이미 알려져 있다. ''x''₁, ..., ''x''_''r''-1를 ''x''로 나타낸다. 고려해 보자.

:$\backslash cdots\; \backslash to\; \backslash operatorname\{H\}\_1(K(x\text{'};\; M))\; \backslash overset\{x\_r\}\; \backslash to\; \backslash operatorname\{H\}\_1(K(x\text{'};\; M))\; \backslash to\; \backslash operatorname\{H\}\_1(K(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_r;\; M))\; =\; 0\; \backslash to\; M/x\text{'}M\; \backslash overset\{x\_r\}\backslash to\; \backslash cdots.$

첫 번째 $x\_r$이 전사적이므로, $N\; =\; x\_r\; N$ 여기서 $N\; =\; \backslash operatorname\{H\}\_1(K(x\text{'};\; M))$이다. 나카야마 보조정리에 의해, $N\; =\; 0$이므로 귀납적 가설에 의해 ''x''는 정칙 수열이다. 두 번째 $x\_r$이 단사적이므로(즉, 영인자가 아니므로), $x\_1,\; \backslash dots,\; x\_r$은 정칙 수열이다. (참고: 나카야마 보조정리에 의해, 요건 $M/(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_r)M\; \backslash ne\; 0$은 자동이다.)

3. 3. 코쥘 복합체의 텐서 곱

코쥘 복합체는 텐서 곱으로 분해될 수 있다. 만약 s = (s₁, ..., s_r)이면, 다음과 같이 표현된다.^[2]

:$K\_\{s\}\backslash \; \backslash simeq\backslash \; K\_\{s\_1\}\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; K\_\{s\_r\}$

여기서 $\backslash otimes$는 ''A''-가군들의 유도 텐서 곱을 나타낸다.^[2]

일반적으로, ''C''와 ''D''가 체인 복합체이면, 이들의 텐서 곱 $C\; \backslash otimes\; D$는 다음과 같은 체인 복합체로 주어진다.

:$(C\; \backslash otimes\; D)\_n\; =\; \backslash sum\_\{i\; +\; j\; =\; n\}\; C\_i\; \backslash otimes\; D\_j$

미분은 다음과 같다. 임의의 균질 원소 ''x'', ''y''에 대해,

:$d\_\{C\; \backslash otimes\; D\}\; (x\; \backslash otimes\; y)\; =\; d\_C(x)\; \backslash otimes\; y\; +\; (-1)^$

x \otimes d_D(y)

여기서 |''x''|는 ''x''의 차수이다.

이 구조는 특히 코쥘 복합체에 적용된다. ''E''와 ''F''를 유한 순위 자유 가군이라고 하고, $s\backslash colon\; E\backslash to\; R$와 $t\backslash colon\; F\backslash to\; R$를 두 개의 ''R''-선형 사상이라고 하자. $K(s,\; t)$를 선형 사상 $(s,\; t)\backslash colon\; E\; \backslash oplus\; F\; \backslash to\; R$의 코쥘 복합체라고 하면, 복합체로서,

:$K(s,\; t)\; \backslash simeq\; K(s)\; \backslash otimes\; K(t).$

가 성립한다.

이를 보이기 위해 외대수를 사용하면, 차수 $-1$의 등급 도함수를 정의할 수 있다.

:$d\_s:\; \backslash wedge\; E\; \backslash to\; \backslash wedge\; E$

Λ''E''의 임의의 균질 원소 ''x'', ''y''에 대해,

• $d\_s(x)\; =\; s(x)$ (단, $|x|\; =\; 1$일 때)
• $d\_s(x\; \backslash wedge\; y)\; =\; d\_s(x)\; \backslash wedge\; y\; +\; (-1)^$

x \wedge d_s(y)

를 만족한다. $d\_s\; \backslash circ\; d\_s\; =\; 0$ (차수에 대한 귀납법)임을 쉽게 알 수 있으며, 균질 원소에 대한 $d\_s$의 작용은 #정의의 미분과 일치한다.

이제, $\backslash wedge(E\; \backslash oplus\; F)\; =\; \backslash wedge\; E\; \backslash otimes\; \backslash wedge\; F$를 등급 ''R''-가군으로 가진다. 또한, 처음에 언급된 텐서 곱의 정의에 의해,

:$d\_\{K(s)\; \backslash otimes\; K(t)\}(e\; \backslash otimes\; 1\; +\; 1\; \backslash otimes\; f)\; =\; d\_\{K(s)\}(e)\; \backslash otimes\; 1\; +\; 1\; \backslash otimes\; d\_\{K(t)\}(f)\; =\; s(e)\; +\; t(f)\; =\; d\_\{K(s,\; t)\}(e\; +\; f).$

$d\_\{K(s)\; \backslash otimes\; K(t)\}$와 $d\_\{K(s,\; t)\}$가 동일한 유형의 도함수이므로, 이는 $d\_\{K(s)\; \backslash otimes\; K(t)\}\; =\; d\_\{K(s,\; t)\}$임을 의미한다.

특히, 다음이 성립한다.

:$K(x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_r)\; \backslash simeq\; K(x\_1)\; \backslash otimes\; K(x\_2)\; \backslash otimes\; \backslash cdots\; \backslash otimes\; K(x\_r)$.

3. 4. 자기 쌍대성

''R''을 가환환이라 하고, ''E''를 ''R'' 위에서의 유한 계수 ''r''의 자유 가군이라고 하자. $\backslash bigwedge^i\; E$를 ''E''의 ''i''차 외대수라고 표기한다. 가군 준동형사상 $s\backslash colon\; E\; \backslash to\; R$이 주어지면, ''s''에 관련된 코쥘 복합체는 다음과 같은 ''R''-가군의 사슬 복합체이다.

:$K\_\{\backslash bullet\}(s)\backslash colon\; 0\; \backslash to\; \backslash bigwedge^r\; E\; \backslash overset\{d\_r\}\; \backslash to\; \backslash bigwedge^\{r-1\}\; E\; \backslash to\; \backslash cdots\; \backslash to\; \backslash bigwedge^1\; E\; \backslash overset\{d\_1\}\backslash to\; R\; \backslash to\; 0$

코쥘 복합체는 코체인 복합체를 사용하여 구성할 수도 있는데, 이는 사슬 복합체와 본질적으로 동일한 결과를 낳는다. 이러한 성질을 코쥘 복합체의 자기 쌍대성이라고 한다.^[1]

''R'' 고리 위에서 유한 계수 ''r''의 자유 가군 ''E''의 각 원소 ''e''는, ''e''에 의한 외대수 왼쪽 곱셈을 발생시킨다.

:$l\_e:\; \backslash wedge^k\; E\; \backslash to\; \backslash wedge^\{k+1\}\; E,\; \backslash ,\; x\; \backslash mapsto\; e\; \backslash wedge\; x.$

$e\; \backslash wedge\; e\; =\; 0$이므로, $l\_e\; \backslash circ\; l\_e\; =\; 0$이다. 즉,

:$0\; \backslash to\; R\; \backslash overset\{1\; \backslash mapsto\; e\}\backslash to\; \backslash wedge^1\; E\; \backslash overset\{l\_e\}\backslash to\; \backslash wedge^2\; E\; \backslash to\; \backslash cdots\; \backslash to\; \backslash wedge^r\; E\; \backslash to\; 0$

는 자유 가군의 코체인 복합체이다. 이 복합체는 코쥘 복합체라고도 불린다. 쌍대성을 취하면 다음과 같은 복합체가 된다.

:$0\; \backslash to\; (\backslash wedge^r\; E)^*\; \backslash to\; (\backslash wedge^\{r-1\}\; E)^*\; \backslash to\; \backslash cdots\; \backslash to\; (\backslash wedge^2\; E)^*\; \backslash to\; (\backslash wedge^1E)^*\; \backslash to\; R\; \backslash to\; 0$.

동형사상 $\backslash wedge^k\; E\; \backslash simeq\; (\backslash wedge^\{r-k\}\; E)^*\; \backslash simeq\; \backslash wedge^\{r-k\}\; (E^*)$를 사용하면, 복합체 $(\backslash wedge\; E,\; l\_e)$는 정의의 코쥘 복합체와 일치한다.^[1]

4. 예시

''M''을 다양체, 대수다양체, 스킴 등으로 하고, ''A''를 $\backslash mathcal\{O\}(M)$으로 표기되는 M 위의 함수환이라고 하자.

사상 $s\backslash colon\; A^r\; \backslash to\; A$는 ''r''개의 함수 $f\_1,...,f\_r$을 선택하는 것에 해당한다. ''r = 1''일 때, 코쥘 복합체는 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\{O\}(M)\backslash \; \backslash stackrel\{\backslash cdot\; f\}\{\backslash to\}\backslash \; \backslash mathcal\{O\}(M)$

이것의 코커널은 ''f = 0''인 영점 궤적 상의 함수환이다. 일반적으로, 코쥘 복합체는 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\{O\}(M)\backslash \; \backslash stackrel\{\backslash cdot\; (f\_1,...,f\_r)\}\{\backslash to\}\backslash \; \backslash mathcal\{O\}(M)^r\backslash \; \backslash to\backslash \; \backslash cdots\backslash \; \backslash to\backslash \; \backslash mathcal\{O\}(M)^r\backslash \; \backslash stackrel\{\backslash cdot\; (f\_1,\backslash dots,f\_r)\}\{\backslash to\}\backslash \; \backslash mathcal\{O\}(M).$

마지막 사상의 코커널은 다시 $f\_1\; =\; \backslash cdots\; =\; f\_r\; =\; 0$인 영점 궤적 상의 함수이다. 이는 $f\_i\; =\; 0$에 대한 ''r''개의 코쥘 복합체의 텐서곱이므로, 그 차원은 이항 계수로 주어진다.

대수기하학에서, 영점 궤적의 함수환은 $A/(s\_1,\backslash dots\; ,\; s\_r)$이다. ''유도'' 대수기하학에서, 함수의 ''dg'' 환은 코쥘 복합체이다. 만약 궤적 $s\_i=0$이 횡단적으로 교차한다면, 이들은 동치이다.

따라서 코쥘 복합체는 영점 궤적의 ''유도된 교차''이다.

만약 ''k''가 체이고 $X\_1,\; X\_2,\backslash dots,\; X\_d$가 변수이며, ''R''이 다항식 환 $k[X\_1,\; X\_2,\backslash dots,\; X\_d]$이면, $X\_i$에 대한 코쥘 복합체 $K\_\{\backslash bullet\}(X\_i)$는 ''k''의 구체적인 자유 ''R''-분해를 형성한다.

5. 역사

장루이 코쥘이 1950년에 리 대수 코호몰로지를 정의하기 위해 코쥘 복합체를 도입하였다.^[8] 코쥘 복합체는 처음에는 리 대수의 코호몰로지 이론을 정의하기 위해 도입되었으나, 호몰로지 대수에서 유용한 일반적인 구성으로 밝혀졌다. 이 도구의 호몰로지를 사용하면 (국소) 환의 원소 집합이 M-정칙열인지 여부를 알 수 있으며, 이를 통해 모듈 또는 아이디얼의 깊이에 대한 기본적인 사실을 증명할 수 있다. 깊이는 대수적 차원의 개념으로, 크룰 차원의 기하학적 개념과는 관련이 있지만 다르다. 더욱이, 특정 상황에서 이 복합체는 시너지의 복합체, 즉 모듈의 생성자 간의 관계, 이러한 관계 간의 관계 등을 알려준다.

6. 응용

코쥘 복합체는 바나흐 공간에서 가환하는 유계 선형 연산자 튜플의 공동 스펙트럼을 정의하는 데 필수적이다.

참조

_[1] 웹사이트 The Stacks Project http://stacks.math.c[...]
_[2] 웹사이트 The Stacks Project https://stacks.math.[...]
_[3] 문서
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 저널 Homologie et cohomologie des algèbres de Lie http://www.numdam.or[...] 1950

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