리 대수 코호몰로지

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 리 대수 코호몰로지
- 2.2. 리 대수 호몰로지
3. 성질
- 3.1. 슈발레-에일렌베르크 복합체
4. 낮은 차원의 리 대수 코호몰로지
5. 예
6. 역사
참조

1. 개요

리 대수 코호몰로지는 가환환 위의 리 대수의 보편 포락 대수를 사용하여 정의되는 Ext 함자이며, 리 대수 호몰로지와 밀접한 관련이 있다. 리 대수 코호몰로지는 왼쪽 완전 함자인 불변 부분 가군 함자의 오른쪽 유도 함자와, 리 대수 호몰로지는 오른쪽 완전 함자인 쌍대 불변 몫가군 함자의 왼쪽 유도 함자와 각각 동치이다. 리 대수 코호몰로지는 연결 콤팩트 리 군의 드람 코호몰로지와 관련되며, 슈발레-에일렌베르크 복합체를 통해 계산할 수 있다. 0차, 1차, 2차 코호몰로지는 각각 불변 가군, 미분 가군의 내부 미분 가군에 대한 몫가군, 리 대수 확대의 동치류 공간과 관련된다. 클로드 슈발레와 사무엘 에일렌베르크가 1948년에 리 대수 코호몰로지 개념을 도입했다.

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리 대수 코호몰로지
개요
분야	수학, 리 대수
하위 분야	대수적 위상수학
개발자	엘리 카르탕, 클로드 슈발리, 사무엘 에일렌베르크, 장루이 코쥘
발표 시기	1929년 (카르탕), 1948년 (슈발리-에일렌베르크), 1950년 (코쥘)
상세 정보
유형	코호몰로지 이론
대상	리 대수
관련 개념	리 대수 호몰로지, 코쥘 복합체

2. 정의

가환환 $R$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 와 그 표현 $M$ 에 대해, 리 대수 코호몰로지와 호몰로지는 Ext 함자와 Tor 함자를 이용하여 정의된다.

리 대수 코호몰로지는 Ext 함자를 사용하여 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname H^n(\mathfrak g;M)=\operatorname{Ext}^n_{U\mathfrak g}(R;M)$

이는 왼쪽 완전 함자인 불변 부분 가군 함자의 오른쪽 유도 함자와 같다.

리 대수 호몰로지는 Tor 함자를 사용하여 정의되며, 오른쪽 완전 함자인 쌍대 불변 몫가군 함자의 왼쪽 유도 함자와 같다.

2. 1. 리 대수 코호몰로지

가환환

R

위의 리 대수

\mathfrak g

의 보편 포락 대수를

U\mathfrak g

라고 하고,

M

이

\mathfrak g

의 표현(즉,

U\mathfrak g

위의 가군)이라고 하자.

R

를

\mathfrak g

의 자명한 표현이라고 여기면, '''리 대수 코호몰로지'''는 다음과 같은 Ext 함자이다.

:

\operatorname H^n(\mathfrak g;M)=\operatorname{Ext}^n_{U\mathfrak g}(R;M)

즉, 왼쪽 완전 함자인 불변 부분 가군 함자

:

M\mapsto M^{\mathfrak g}=\{m\in M\colon\mathfrak gm=0\}

의 오른쪽 유도 함자이다.

마찬가지로, '''리 대수 호몰로지'''(Lie algebra homology^영어)는 다음과 같은 Tor 함자이다.

:

\operatorname H_n(\mathfrak g;M)=\operatorname{Tor}_n^{U\mathfrak g}(R;M)

즉, 오른쪽 완전 함자인 쌍대 불변 몫가군 함자

:

M\mapsto M_{\mathfrak g}=M/\mathfrak gM

의 왼쪽 유도 함자이다.

리 대수 코호몰로지에 대한 몇 가지 중요한 기본 결과에는 화이트헤드 보조 정리, 바일의 정리, 그리고 레비 분해 정리가 있다.

2. 2. 리 대수 호몰로지

리 대수 호몰로지(Lie algebra homology^영어)는 다음과 같은 Tor 함자이다.

:

\operatorname H_n(\mathfrak g;M)=\operatorname{Tor}_n^{U\mathfrak g}(R;M)

여기서

R

는 가환환이고,

\mathfrak g

는

R

위의 리 대수이며,

U\mathfrak g

는

\mathfrak g

의 보편 포락 대수,

M

은

\mathfrak g

의 표현(즉,

U\mathfrak g

위의 가군)이다.

R

는

\mathfrak g

의 자명한 표현으로 간주한다.

이는 오른쪽 완전 함자인 쌍대 불변 몫가군 함자

:

M\mapsto M_{\mathfrak g}=M/\mathfrak gM

의 왼쪽 유도 함자와 동치이다.

3. 성질

연결 콤팩트 리 군 $G$ 의 드람 코호몰로지는 그 리 대수 $\operatorname{Lie}(G)$ 의 리 대수 코호몰로지와 (등급 가환 대수로서) 일치한다.

: $\operatorname H^\bullet(G;\mathbb R)\cong\operatorname H^\bullet(\operatorname{Lie}(G);\mathbb R)$

같은 리 대수에 여러 개의 연결 리 군이 대응될 수 있는데, 이는 꼬임 부분군을 포함하지 않는 실수 계수의 드람 코호몰로지로는 구별할 수 없다. 콤팩트 단일 연결 리 군 $G$ 의 코호몰로지는 리 대수를 통해 계산할 수 있는데, 이는 $G$ 위의 미분 형식의 복합체의 드람 코호몰로지를 외대수를 이용하여 정의할 수 있기 때문이다.

3. 1. 슈발레-에일렌베르크 복합체

체

K

위의 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 복합체라는 공사슬 복합체를 통해 계산할 수 있다.

n

차 슈발레-에일렌베르크 공사슬은

K

-선형 변환

:

\hom_K\left(\bigwedge^n\mathfrak g;M\right)

이며, 그 공경계는 다음과 같이 주어진다.^[3]

:

(\delta f)(x_1,\ldots,x_{n+1})=\sum_i (-1)^{i+1}x_i\, f(x_1,\ldots,\hat x_i,\ldots,x_{n+1})+\sum_{i

여기서

\hat x_i

는 해당 항을 생략하라는 의미이다.

만약

\mathfrak g

가 콤팩트 단일 연결 리 군

G

의 리 대수인 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체는

G

위의

M

계수

G

-불변 미분 형식의 드람 복합체와 동형이다.

4. 낮은 차원의 리 대수 코호몰로지

각 차원의 코호몰로지 군은 리 대수의 특정 성질을 반영한다.

0차 코호몰로지는 리 대수의 작용에 불변인 원소들을 나타내며, 1차 코호몰로지는 미분과 내부 미분의 관계를 통해 리 대수의 구조를 반영한다. 2차 코호몰로지는 리 대수 확대에 대한 정보를 담고 있다.

더 높은 차원의 코호몰로지 군에 대해서는, 이와 같은 쉬운 직관적인 해석은 현재까지는 없는 것으로 알려져 있다. 하지만, $H^{n+1}(\mathfrak{g}; M)$ 의 원소는 리 대수 $\mathfrak{g}$ 를 "리 $n$ -대수"로 확장하는 방법과 관련되어 있다는 사실이 알려져있다.^[4]

4. 1. 0차 코호몰로지

정의에 따라, 0차 리 대수 코호몰로지는 리 대수의 작용에 대하여 불변인 가군 원소들로 구성된 부분 가군이다.

:

\operatorname H^0(\mathfrak g;M)=M^{\mathfrak g}=\{m\in M\mid \mathfrak gm=0\}

영차 코호몰로지 군은 모듈에 작용하는 리 대수의 불변량이다.

4. 2. 1차 코호몰로지

리 대수의 '''미분'''(derivation^영어)은 다음 조건을 만족시키는

R

-가군 준동형이다.

:

\delta\colon\mathfrak g\to M

:

\delta[x,y]=x\delta y-y\delta x\qquad\forall x,y\in\mathfrak g

미분들은

R

-가군을 이루며, 이를

\operatorname{Der}(\mathfrak g;M)

이라고 쓰자.

임의의 가군 원소

m\in M

에 대하여,

x\mapsto xm\;\forall x\in\mathfrak g

는 미분을 이룬다. 이렇게 나타낼 수 있는 미분을 '''내부 미분'''(inner derivation^영어)이라고 한다. 내부 미분들 역시

R

-가군을 이루며, 이를

\operatorname{IDer}(\mathfrak g;M)

이라고 쓰자.

1차 리 대수 코호몰로지는 미분 가군의 내부 미분 가군에 대한 몫가군이다.

:

\operatorname H^1(\mathfrak g;M)\cong\operatorname{Der}(\mathfrak g;M)/\operatorname{IDer}(\mathfrak g;M)

이는 내부 미분 공간을 법으로 한 미분 공간과 같다.

:

H^1(\mathfrak{g}; M) = \mathrm{Der}(\mathfrak{g}, M)/\mathrm{Ider}(\mathfrak{g}, M)

여기서 미분은 리 대수에서

M

으로의 사상

d

이며,

:

d[x,y] = x\,dy-y\,dx~

로 정의된다. 내부 미분은 어떤

a \in M

에 대해

:

dx = xa~

로 주어지는 것을 말한다.

4. 3. 2차 코호몰로지

2차 리 대수 코호몰로지 군

\operatorname H^2(\mathfrak g;M)

은 리 대수의 확대

:

0\to M\to\mathfrak h\to\mathfrak g\to0

의 동치류들의 아벨 군과 동형이다. (여기서

M

은 아벨 리 대수로 간주한다.)

이는 리 대수 확대의 동치류 공간으로, 모듈

M

에 의한 리 대수의 확대를 나타낸다.

:

0\rightarrow M\rightarrow \mathfrak{h}\rightarrow\mathfrak{g}\rightarrow 0

4. 4. 더 높은 차원의 코호몰로지

H^{n+1}(\mathfrak{g}; M)

의 모든 원소는 리 대수

\mathfrak{g}

를 차수 0에서

\mathfrak{g}

를 가지고 차수

n

에서

M

을 갖는 "리

n

-대수"로 확장하는 방법의 동치류를 제공한다.^[4] 리

n

-대수는 0에서

n

까지의 차수에서만 0이 아닌 항을 갖는 호모토피 리 대수이다.

5. 예

콤팩트 단일 연결 리 군 $G$ 는 리 대수에 의해 결정되므로, 리 대수로부터 그 코호몰로지를 계산할 수 있다. 이는 $G$ 위의 미분 형식들의 복소수의 드람 코호몰로지를 통해 이루어진다. 평균화 과정을 사용하면 이 복소수를 좌불변 미분 형식들의 복소수로 대체할 수 있다. 좌불변 형식은 항등원에서의 값에 의해 결정되므로, 좌불변 미분 형식의 공간은 적절한 미분을 갖는 리 대수의 외대수와 동일시될 수 있다.

외대수 위의 이 미분 구성은 모든 리 대수에 대해 의미가 있으므로, 모든 리 대수의 리 대수 코호몰로지를 정의하는 데 사용된다. 더 일반적으로는 모듈 내 계수를 갖는 리 대수 코호몰로지를 정의하기 위해 유사한 구성을 사용한다.

단일 연결된 ''비콤팩트'' 리 군 $G$ 의 경우, 관련 리 대수 $\mathfrak g$ 의 리 대수 코호몰로지는 $G$ 의 드람 코호몰로지를 반드시 재현하지는 않는다. 이는 모든 미분 형식의 복소수에서 좌불변 미분 형식의 복소수로의 전환이 콤팩트 군에 대해서만 의미가 있는 평균화 과정을 사용하기 때문이다.^[1]

5. 1. 아벨 리 대수

체

K

위의 아벨 리 대수

V

와 그 자명한 표현

W

를 생각하자. 이 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체의 공경계는 항상 0이다. (첫 항은 가군 작용이 들어가며, 둘째 항은 리 괄호가 들어간다.) 따라서, 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 공사슬 공간과 같다.

:

\operatorname H^\bullet(V;W)=\hom_{K\text{-Vect}}(\bigwedge^\bullet V;W)

특히,

W=K

인 경우,

:

\operatorname H^\bullet(V;K)=\bigwedge^\bullet V^*

이며,

V

가 유한 차원일 경우

:

\dim_K\operatorname H^\bullet(V;K)=\binom{\dim V}\bullet

이다.

기하학적으로,

K=\mathbb R

이고, 아벨 리 군

\operatorname U(1)^n

을 생각하자. 이는 위상수학적으로

n

차원 원환면이며, 그 드람 코호몰로지는

:

\operatorname H^\bullet_{\text{dR}}(\mathbb T^n)\cong\mathbb R^{\binom n\bullet}

이다. 즉, 리 대수 코호몰로지가 콤팩트 리 군의 드람 코호몰로지와 일치하는 것을 알 수 있다. 호지 이론에 따라, 드람 코호몰로지는 (임의의 리만 계량을 주었을 때) 조화 형식의 벡터 공간과 표준적으로 동형이다. 평탄한 리만 계량을 준 원환면 위의 조화 형식은 평행 이동에 대하여 불변이며, 이는 슈발레-에일렌베르크 공사슬과 표준적으로 대응한다.

만약

\mathfrak{g}

가 아벨 군, 즉

[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] = 0

이면, 임의의 선형 범함수

D: \mathfrak{g} \rightarrow M

은 실제로 도함수이고, 내부 도함수의 집합은 임의의

a \in M

에 대해

Dx = xa = 0

을 만족하므로 자명하다. 이 경우, 일차 코호몰로지 군은

M^{\text{dim}\mathfrak{g}}

이다.

5. 2. 코쥘 복합체

가환환

R

위의 가군

M

및 가군 준동형

\phi\in\hom_{R\text{-Mod}}(M,R)

이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

M

을

R

위의 아벨 리 대수로 여길 수 있으며, 또한

R

위에

:

m\cdot r=\phi(m)r

로 정의하여

R

를 아벨 리 대수

M

의 표현으로 생각할 수 있다. 이 경우,

R

계수의

M

의 슈발레-에일렌베르크 복합체는

(R,M,\phi)

에 대한 코쥘 공사슬 복합체와 같다. 즉, 코쥘 복합체는 아벨 리 대수의 1차원 표현의 슈발레-에일렌베르크 복합체이다.

5. 3. 2차원 비아벨 리 대수

체

K

위의 유일한 2차원 비아벨 리 대수는 다음과 같이 주어진다.

:

\mathfrak g=\operatorname{Span}\{x,y\}

:

[x,y]=x

이는 가해 리 대수이다.

K

계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.

:

\delta_1\colon C_1\to C_0

:

\delta_1\colon x,y\mapsto0

:

\delta_2\colon C_2\to C_1

:

\delta_2\colon x\wedge y\mapsto-[x,y]=-x

따라서,

K

계수의 리 대수 호몰로지는 다음과 같다.

:

\operatorname H_0=C_0\cong K

:

\operatorname H_1=C_1/\operatorname{im}\delta_2=\operatorname{Span}\{y\}\cong K

:

\operatorname H_2=\ker\delta_2=\{0\}

즉, 호몰로지 베티 수는 각각

\dim_K\operatorname H_0=1

,

\dim_K\operatorname H_1=1

,

\dim_K\operatorname H_2=0

이다.

마찬가지로, 슈발레-에일렌베르크 공사슬 복합체는 다음과 같다.

:

d_0\colon C^0\to C^1

:

d_0\colon a\mapsto (x,y\mapsto0)

:

d_1\colon C^1\to C^2

:

d_1\colon (x\mapsto a,\,y\mapsto b)\mapsto(x\wedge y\mapsto -a)

따라서, 코호몰로지의 차원도

\dim_K\operatorname H^0=1

,

\dim_K\operatorname H^1=1

,

\dim_K\operatorname H^2=0

이다.

5. 4. 3차원 직교 대수

3차원 직교군의 리 대수

\mathfrak{so}(3;\mathbb R)\cong\mathfrak{su}(2)

의 리 대수 코호몰로지를 계산해 보면 다음과 같다.

\mathfrak{so}(3)

의 기저는 다음과 같다.

:[x,y]=z

:[y,z]=x

:[z,x]=y

따라서,

\mathbb R

계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.

:

\partial_1\colon C_1\to C_0

:

\partial_1\colon x,y,z\mapsto0

:

\partial_2\colon C_2\to C_1

:

\partial_2\colon x\wedge y\mapsto -[x,y]=-z

:

\partial_2\colon y\wedge z\mapsto-[y,z]=-x

:

\partial_2\colon z\wedge x\mapsto-[z,x]=-y

:

\partial_3\colon C_3\to C_2

:

\partial_3\colon x\wedge y\wedge z\mapsto0

따라서, 이 경우

:

\dim_{\mathbb R}\operatorname H_0=1

:

\dim_{\mathbb R}\operatorname H_1=0

:

\dim_{\mathbb R}\operatorname H_2=0

:

\dim_{\mathbb R}\operatorname H_3=1

이다. 리 군

\operatorname{SU}(2)=\operatorname{Spin}(3)

은 3차원 초구

\mathbb S^3

와 위상 동형이며, 위 값들은 3차원 초구의 베티 수와 일치한다.

6. 역사

클로드 슈발레와 사무엘 에일렌베르크가 1948년에 리 대수 코호몰로지 개념을 도입하였다.^[6]

참조

_[1] 논문 Sur les invariants intégraux de certains espaces homogènes clos 1929
_[2] 논문 Homologie et cohomologie des algèbres de Lie http://www.numdam.or[...] 2019-05-03
_[3] 서적 An introduction to homological algebra Cambridge University Press 1994
_[4] 논문 Higher-dimensional algebra VI: Lie 2-algebras 2004
_[5] 서적 An introduction to homological algebra Cambridge University Press 1994
_[6] 저널 Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras

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