콤팩트 작용소

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 바나흐 공간에서의 정의
- 2.2. 힐베르트 공간에서의 정의
3. 성질
4. 역사
5. 응용
- 5.1. 적분 방정식
참조

1. 개요

콤팩트 작용소는 바나흐 공간 사이의 유계 작용소로, 작용 시 유계 집합을 상대 콤팩트 집합으로 변환한다. 콤팩트 작용소는 힐베르트 공간에서 특잇값 분해를 가지며, 프레드홀름 양도 논법과 같은 스펙트럼 이론을 따른다. 콤팩트 작용소는 적분 방정식, 양자 역학 등 다양한 분야에 응용되며, 소볼레프 공간의 콤팩트 임베딩과 같은 개념과 관련이 있다.

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콤팩트 작용소
개요
콤팩트 연산자의 정의
유형	연속 선형 연산자
정의
대상 공간	바나흐 공간
성질	유계 연산자 연속 연산자
다른 이름	완전 연속 연산자
성질
정의역	바나흐 공간에서 다른 바나흐 공간으로의 선형 연산자
치역	상대적으로 콤팩트한 집합
폐포	콤팩트 집합
예시
유한 랭크 연산자	모든 유한 랭크 연산자는 콤팩트 연산자이다.
적분 연산자	많은 적분 연산자는 콤팩트 연산자이다.
같이 보기
관련 개념	프레드홀름 연산자 핵 연산자 힐베르트-슈미트 연산자

2. 정의

$\mathbb K$ 가 실수 $\mathbb R$ 또는 복소수 $\mathbb C$ 일 때, 두 $\mathbb K$ -바나흐 공간 $V$ 와 $W$ 사이의 선형 작용소 $T\colon V\to W$ 가 $V$ 안의 모든 유계 집합을 $W$ 안의 상대 콤팩트 집합(그 폐포가 콤팩트인 집합)으로 보내는 경우, $T$ 를 '''콤팩트 작용소'''라고 한다.^[7]^[8] 이 정의는 여러 가지 동치 조건으로 표현될 수 있다.^[3] 예를 들어, $V$ 의 단위 닫힌 공의 상이 $W$ 에서 상대 콤팩트하다는 조건, 또는 $V$ 안의 임의의 유계 수열 $(x_n)$ 에 대해 그 상 $(Tx_n)$ 이 수렴하는 부분 수열을 갖는다는 조건 등이 있다.

더 일반적으로, 두 위상 벡터 공간 사이의 선형 사상 $T: X \to Y$ 에 대해서도, $X$ 의 원점의 어떤 근방 $U$ 의 상 $T(U)$ 가 $Y$ 의 상대 콤팩트 부분 집합이 될 때 $T$ 를 콤팩트하다고 정의할 수 있다.

모든 콤팩트 작용소는 유계 작용소이며, 따라서 연속이다.

특히 힐베르트 공간에서는 콤팩트 작용소를 특이값 분해를 이용하여 구체적인 형태로 나타낼 수 있다. 콤팩트 작용소의 중요한 부분 집합으로는 트레이스 클래스 작용소와 핵 작용소가 있다.

2. 1. 바나흐 공간에서의 정의

\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}

라고 하자. 두

\mathbb K

-바나흐 공간

V

와

W

사이의

\mathbb K

-선형 작용소

T\colon V\to W

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 작용소

T

를 '''콤팩트 작용소'''라고 한다.^[7]^[8]^[3]

$V$ 속의 (단위) 닫힌 공 $\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_V(0,1))$ 의 상 $T(\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_V(0,1)))$ 이 $W$ 에서 상대 콤팩트 집합이다.
$V$ 속의 임의의 유계 집합 $B\subseteq V$ 의 상 $T(B)$ 가 $W$ 에서 상대 콤팩트 집합이다.
$V$ 속의 원점 $0 \in V$ 의 근방 $U$ 가 존재하여, 그 상 $T(U)$ 가 $W$ 의 상대 콤팩트 집합이다. (이는 위상 벡터 공간 사이의 콤팩트 작용소 정의와 유사하다.)
$V$ 속의 임의의 유계 수열 $(x_n)_{n\in \N}$ 에 대하여, 그 상으로 이루어진 수열 $(Tx_n)_{n\in\N}$ 은 $W$ 에서 수렴하는 부분 수열을 갖는다.
$V$ 속의 (단위 공 내의) 임의의 유계 수열 $(x_n)_{n\in \N}$ 에 대하여, 그 상으로 이루어진 수열 $(Tx_n)_{n\in\N}$ 은 $W$ 에서 코시 수열을 이루는 부분 수열을 갖는다.

만약

W

가 바나흐 공간이라면 (즉, 완비 노름 공간이라면), 위의 조건들은 다음 조건과도 동치이다.

$V$ 속의 임의의 유계 집합 $B\subseteq V$ 의 상 $T(B)$ 가 $W$ 에서 완전 유계 집합이다.

모든 콤팩트 작용소는 유계 작용소이며, 따라서 연속이다.

2. 2. 힐베르트 공간에서의 정의

\mathbb K

가 실수

\mathbb R

또는 복소수

\mathbb C

를 나타낸다고 하자. 두

\mathbb K

-힐베르트 공간

V

와

W

사이의

\mathbb K

-선형 변환

T\colon V\to W

에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 작용소를 '''콤팩트 작용소'''라고 한다.^[7]^[8]

'''콤팩트성 조건:''' $V$ 안의 단위 닫힌 공 $\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_V(0,1))$ 의 상 $T\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_V(0,1))$ 가 $W$ 의 상대 콤팩트 집합이다. 이는 $V$ 안의 임의의 유계 집합의 상이 $W$ 에서 완전 유계 집합(또는 상대 콤팩트 집합)이라는 조건과 동치이다. 즉, 단위 구(또는 임의의 유계 집합) 안의 임의의 수열 $(x_n)$ 에 대해, 그 상의 수열 $(Tx_n)$ 은 코시 수열을 이루는 부분 수열을 포함한다.
'''유한 계수 작용소 근사 조건:''' $T$ 는 치역이 유한 차원 공간인 $\mathbb K$ -선형 변환들(유한 계수 작용소)의 수열의 극한으로 표현될 수 있다. 즉, $T$ 는 유한 계수 작용소들의 집합 $\operatorname{FR}(V,W;\mathbb K)$ 의 폐포에 속한다. 여기서 폐포는 유계 작용소 공간 $\operatorname B(V,W;\mathbb K)$ 의 작용소 노름으로 정의된 거리 위상에서 취한 것이다.
'''특잇값 분해 조건:''' $T$ 는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.
: $T = \sum_{0 \le i < N} s_i \langle v_i, \cdot \rangle w_i$

여기서

* $N \in \{0, 1, 2, \dotsc, \infty\}$ 이다.
* $(s_i)_{0 \le i < N}$ 는 양수인 실수들의 감소하는 수열이다. 즉, $s_0 \ge s_1 \ge s_2 \ge \cdots > 0$ 이며, 만약 $N=\infty$ 이면 $\lim_{i\to\infty} s_i = 0$ 이다. 이 값들을 $T$ 의 '''특이값'''이라고 한다. 특이값은 0에서만 누적될 수 있다.
* $(v_i)_{0 \le i < N}$ 는 $V$ 안의 정규 직교 벡터열이다. 즉, 모든 $0 \le i, j < N$ 에 대해 $\langle v_i, v_j \rangle_V = \delta_{ij}$ 이다 ( $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타).
* $(w_i)_{0 \le i < N}$ 는 $W$ 안의 정규 직교 벡터열이다. 즉, 모든 $0 \le i, j < N$ 에 대해 $\langle w_i, w_j \rangle_W = \delta_{ij}$ 이다 ( $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타).

이러한 표현을

T

의 '''특잇값 분해'''라고 하며, 우변의 합(급수)은 작용소 노름에 관해 수렴한다. 만약 수열

(s_i)

가 유한한 개수만 0이 아니라면, 즉 어떤

N_0 \in \mathbb{N}

에 대해

s_i = 0

for

i \ge N_0

이라면, 합은 유한합

T = \sum_{i=0}^{N_0-1} s_i \langle v_i, \cdot \rangle w_i

이 되고

T

는 유한 계수 작용소가 된다.

콤팩트 작용소의 중요한 하위 클래스로는 트레이스 클래스 작용소(또는 핵 작용소)가 있다. 이는 특이값의 합이 유한한 경우, 즉

\operatorname{Tr}(|T|) = \sum s_i < \infty

인 작용소를 말한다. 모든 트레이스 클래스 작용소는 콤팩트 작용소이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 특이값이

s_n = 1/n

인 작용소는 콤팩트 작용소이지만 (

\lim_{n\to\infty} 1/n = 0

), 트레이스 클래스 작용소는 아니다 (

\sum_{n=1}^\infty 1/n = \infty

).

3. 성질

위상 벡터 공간 사이의 선형 사상 $T: X \to Y$ 는 '' $X$ ''의 원점의 근방 '' $U$ ''가 존재하여 $T(U)$ 가 '' $Y$ ''의 상대 콤팩트한 부분 집합인 경우 '''콤팩트'''하다고 한다.

$X,Y$ 를 노름 공간으로, $T: X \to Y$ 를 선형 연산자라고 하자. 그러면 다음 명제들은 동치이며, 콤팩트 작용소를 정의하는 데 사용될 수 있다.^[3]

'' $T$ ''는 콤팩트 연산자이다.
'' $T$ ''에 의한 '' $X$ ''의 단위 공(unit ball)의 상(image)은 '' $Y$ ''에서 상대 콤팩트하다.
'' $T$ ''에 의한 '' $X$ ''의 임의의 유계 집합의 상은 '' $Y$ ''에서 상대 콤팩트하다.
'' $X$ ''의 원점의 근방 $U$ 와 $T(U)\subseteq V$ 를 만족하는 콤팩트 부분 집합 $V\subseteq Y$ 가 존재한다.
'' $X$ ''의 임의의 유계 수열 $(x_n)_{n\in \N}$ 에 대해, 수열 $(Tx_n)_{n\in\N}$ 은 수렴하는 부분 수열을 포함한다.

만약 ''

Y

''가 바나흐 공간이라면, 위 명제들은 다음 명제와도 동치이다.

'' $T$ ''에 의한 '' $X$ ''의 임의의 유계 집합의 상은 $Y$ 에서 전 유계이다.

선형 연산자가 콤팩트하면 연속적이다. 즉, 모든 콤팩트 작용소는 유계 작용소이다. 또한, 바나흐 공간

X, Y

에 대해,

X

에서

Y

로 가는 콤팩트 작용소들의 집합

K(X,Y)

는 작용소 노름 위상 하에서 유계 작용소들의 공간

B(X,Y)

의 닫힌 부분 공간을 이룬다. 더 나아가, 콤팩트 작용소들의 집합

K(X)

는 유계 작용소들의 대수

B(X)

에서 양쪽 아이디얼을 형성한다. 이는 콤팩트 작용소와 유계 작용소의 합성은 어느 쪽에서 이루어지든 항상 콤팩트 작용소가 된다는 것을 의미한다.

콤팩트 작용소는 다음과 같은 중요한 성질들을 가진다. (

X, Y

는 바나흐 공간)

'''샤우더 정리''': 바나흐 공간 사이의 유계 선형 작용소 $T: X \to Y$ 가 콤팩트 작용소일 필요충분조건은 그것의 수반 작용소 $T^*: Y^* \to X^*$ 가 콤팩트 작용소인 것이다.
만약 $T: X \to Y$ 가 유계이고 콤팩트하면:
'' $T$ ''의 치역 $\operatorname{Im}(T)$ 의 폐포는 분리 가능 공간이다.
만약 '' $T$ ''의 치역 $\operatorname{Im}(T)$ 이 ''Y''에서 닫힌 부분 공간이라면, 그 치역은 유한 차원이다.
만약 $X$ 가 바나흐 공간이고 가역적인 유계 콤팩트 작용소 $T: X \to X$ 가 존재한다면, '' $X$ ''는 반드시 유한 차원 공간이다. 이는 무한 차원 바나흐 공간 위의 항등 작용소는 콤팩트 작용소가 될 수 없음을 시사한다.
모든 콤팩트 작용소 $T\in K(X)$ 에 대해, ${\operatorname{Id}_X} - T$ 는 지수(index)가 0인 프레드홀름 작용소이다. 특히, $\operatorname{Im}({\operatorname{Id}_X} - T)$ 는 닫힌 부분 공간이다. 이는 콤팩트 작용소의 스펙트럼 이론에서 중요한 역할을 한다.
모든 콤팩트 작용소는 엄밀히 특이 작용소이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.^[4]
'''근사 성질''': 만약 $X,Y$ 가 힐베르트 공간이라면, $X \to Y$ 의 모든 콤팩트 작용소는 유한 계수 작용소(finite-rank operator)의 극한으로 표현될 수 있다. 즉, 작용소 노름 위상에서 유한 계수 작용소로 근사할 수 있다. 그러나 이 성질은 일반적인 바나흐 공간 ''X''와 ''Y''에 대해서는 성립하지 않는다.^[3]

3. 1. 포함 관계

모든 콤팩트 작용소는 유계 작용소이다.

두

\mathbb K

-힐베르트 공간 사이의

\mathbb K

-선형 변환에 대해서는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

선형 변환 ⊇ 유계 작용소 ⊇ 콤팩트 작용소 ⊇ 힐베르트-슈미트 작용소 ⊇ 대각합류 작용소

또한, 임의의

0에 대하여, 두 \mathbb K - 힐베르트 공간 사이의 p 차 핵작용소 는 콤팩트 작용소이다. 1차 핵작용소는 대각합류 작용소이며, 2차 핵작용소는 힐베르트-슈미트 작용소이다. 따라서 핵작용소 역시 콤팩트 작용소의 부분 집합으로 볼 수 있다.

바나흐 공간

X, Y, Z, W

에 대해,

X

에서

Y

로 가는 유계 작용소 전체의 공간을

\mathrm{B}(X, Y)

, 콤팩트 작용소 전체의 공간을

\mathrm{K}(X, Y)

라고 하면 다음과 같은 성질이 성립한다.

$\mathrm{K}(X, Y)$ 는 $\mathrm{B}(X, Y)$ 의 닫힌 부분 공간이다. 즉, 콤팩트 작용소들의 열 $(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ 이 작용소 노름에 관하여 어떤 작용소 $T$ 로 수렴한다면, 그 극한 $T$ 역시 콤팩트 작용소이다.
작용소의 합성에 관하여 $\mathrm{B}(Y,Z)\circ \mathrm{K}(X,Y)\circ \mathrm{B}(W,X)\subseteq \mathrm{K}(W,Z)$ 가 성립한다. 이는 콤팩트 작용소에 유계 작용소를 (앞이나 뒤에) 합성해도 여전히 콤팩트 작용소가 된다는 의미이다. 특히, $\mathrm{K}(X)$ (즉, $\mathrm{K}(X, X)$ )는 $\mathrm{B}(X)$ (즉, $\mathrm{B}(X, X)$ )의 양쪽 아이디얼을 이룬다.

3. 2. 스펙트럼 이론

복소수 바나흐 공간

V

위의 콤팩트 작용소

T\colon V\to V

에 대해서는 매우 명확한 스펙트럼 이론이 존재한다.

T

의 스펙트럼

\sigma(T)\subseteq\mathbb C

는 다음과 같은 성질을 만족한다.

('''프레드홀름 양도 논법''' Fredholm alternative^영어) 스펙트럼의 모든 0이 아닌 원소는 고윳값이다. 즉, 임의의 $\lambda\in\sigma(T)\setminus\{0\}$ 는 $T$ 의 고윳값이다.^[9] 이러한 명칭은 임의의 0이 아닌 복소수 $\lambda\in\mathbb C\setminus\{0\}$ 에 대해, $\lambda$ 가 스펙트럼에 속하지 않거나( $\lambda \notin \sigma(T)$ ) 또는 $\lambda$ 가 고윳값이라는 두 가지 경우 중 정확히 하나만 성립한다는 이유에서 비롯되었다.
만약 $V$ 가 무한 차원 바나흐 공간이라면, 스펙트럼은 항상 0을 포함한다 ( $0\in\sigma(T)$ ).
스펙트럼 $\sigma(T)$ 는 복소평면 $\mathbb C$ 의 콤팩트 부분집합이며 가산 집합이다.
$T$ 의 고윳값들의 집합의 집적점은 (만약 존재한다면) $0\in\mathbb C$ 밖에 없다. 이는 0이 아닌 고윳값들이 0으로 수렴할 수 있음을 의미한다.
모든 $r > 0$ 에 대해, 절댓값이 $r$ 보다 큰 스펙트럼 원소들의 집합 $\{ \lambda \in \sigma(T) : | \lambda | > r \}$ 는 유한 집합이다.
만약 $\lambda \neq 0$ 이고 $\lambda \in \sigma(T)$ 이면, $\lambda$ 는 $T$ 뿐만 아니라 그것의 수반 작용소 $T^*$ 의 고윳값이기도 하다.
스펙트럼의 임의의 0이 아닌 원소 $\lambda\in\sigma(T)\setminus\{0\}$ 및 충분히 큰 양의 정수 $m\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, $\ker(\lambda-T)^m=\ker(\lambda-T)^{m+1}$ 이며, 이 핵(부분 벡터 공간)은 유한 차원이다.

이러한 콤팩트 작용소의 스펙트럼 이론은 프리제스 리스가 1918년에 정립하였다. 이는 무한 차원 바나흐 공간에서 콤팩트 작용소

K

의 스펙트럼이 0을 포함하는 유한 집합이거나, 0을 유일한 극한점으로 갖는 가산 무한 부분 집합임을 보여준다. 또한, 두 경우 모두 스펙트럼의 0이 아닌 원소는 유한한 중복도를 가진

K

의 고윳값이다.

3. 3. 완전 연속 작용소

''X''와 ''Y''를 바나흐 공간이라고 하자. 유계 선형 작용소 ''T'' : ''X'' → ''Y''는 ''X''에서의 모든 약하게 수렴하는 수열

(x_n)

에 대해, 수열

(Tx_n)

이 ''Y''에서 노름 수렴할 경우 '''완전 연속'''(completely continuous|완전 연속^영어)이라고 한다.

바나흐 공간 상의 콤팩트 작용소는 항상 완전 연속이다. 반대로, 만약 ''X''가 반사 바나흐 공간이라면, 모든 완전 연속 작용소 ''T'' : ''X'' → ''Y''는 콤팩트 작용소가 된다.

과거 문헌에서는 콤팩트 작용소를 "완전 연속"이라고 부르기도 했지만, 현대적인 정의에 따르면 이 둘은 구별되는 개념이므로 주의가 필요하다.

4. 역사

콤팩트 작용소 이론은 에리크 이바르 프레드홀름이 1903년 적분 변환 연산자에 대한 연구에서 프레드홀름 양도 논법을 도입하면서 시작되었다.^[10] 이후 프리제시 리스에 의해 콤팩트 작용소의 스펙트럼 이론이 정립되었으며, 이는 함수해석학의 발전과 함께 다양한 분야에 응용되고 있다.

5. 응용

콤팩트 작용소의 중요한 성질 중 하나는 프레드홀름 대안이다. 이는 다음과 같은 형식의 선형 방정식 해의 존재성이 유한 차원의 경우와 매우 유사하게 동작함을 보여준다.

$(\lambda K + I)u = f$

여기서 ''K''는 콤팩트 작용소, ''f''는 주어진 함수, ''u''는 구하고자 하는 미지 함수이다. 이 성질로부터 프리제스 리스(1918)가 정립한 콤팩트 작용소의 스펙트럼 이론이 도출된다. 이 이론에 따르면, 무한 차원 바나흐 공간에서 콤팩트 작용소 ''K''의 스펙트럼은 0을 포함하는 '''C'''(복소수 집합)의 유한 부분 집합이거나, 0을 유일한 극한점으로 갖는 '''C'''의 가산 무한 부분 집합이다. 또한, 두 경우 모두 스펙트럼에서 0이 아닌 원소는 유한한 중복도를 가진 ''K''의 고유값이다 (즉, 모든 복소수 λ ≠ 0에 대해 ''K'' − λ''I''는 유한 차원의 커널을 갖는다).

콤팩트 작용소의 중요한 예시 중 하나는 소볼레프 공간의 콤팩트 임베딩이다. 이는 가딩 부등식 및 락스-밀그램 정리와 함께 타원형 경계값 문제를 프레드홀름 적분 방정식으로 변환하는 데 사용될 수 있다.^[5]^[6] 변환된 방정식의 해의 존재 및 스펙트럼 성질은 콤팩트 작용소 이론으로부터 도출된다. 특히, 유계 영역에서의 타원형 경계값 문제는 무한히 많은 고립된 고유값을 갖는다는 중요한 결과를 얻을 수 있다. 이는 물리학적으로 고체가 특정 고유값에 해당하는 고립된 주파수에서만 진동할 수 있으며, 임의로 높은 진동 주파수가 항상 존재한다는 것을 의미한다.

대수적인 측면에서 보면, 바나흐 공간에서 자기 자신으로 가는 콤팩트 작용소들의 집합은 해당 공간의 모든 유계 작용소들이 이루는 대수에서 양쪽 아이디얼을 형성한다. 특히, 무한 차원의 분리 가능한 힐베르트 공간에서 콤팩트 작용소들은 최대 아이디얼을 형성하며, 이에 따른 몫 대수, 즉 칼킨 대수는 단순하다. 더 일반적으로, 콤팩트 작용소는 연산자 아이디얼을 형성하는 중요한 대수적 구조를 가진다.

5. 1. 적분 방정식

콤팩트 작용소 이론은 적분 방정식 연구에서 중요한 역할을 한다. 특정 형태의 적분 연산자가 콤팩트 작용소의 성질을 가지며, 이는 방정식의 해를 분석하는 데 유용하게 사용된다.

대표적인 예시는 다음과 같다.

고정된 연속 함수 ''g'' ∈ ''C''([0, 1]; '''R''')에 대해, 연속 함수 공간 ''C''([0, 1]; '''R''')에서 자기 자신으로 가는 선형 연산자 ''T''를 다음과 같이 정의할 수 있다.

(Tf)(x) = \int_0^x f(t)g(t) \, \mathrm{d} t.

이 연산자 ''T''는 아스콜리-아르첼라 정리에 의해 콤팩트 작용소임이 증명된다.

더 일반적인 경우로, Ω가 '''R'''^''n''의 임의의 영역이고 적분 커널 ''k'' : Ω × Ω → '''R'''이 힐베르트-슈미트 핵일 때, 제곱 적분 가능 함수 공간 ''L''²(Ω; '''R''') 상의 연산자 ''T''를 다음과 같이 정의할 수 있다.

(T f)(x) = \int_{\Omega} k(x, y) f(y) \, \mathrm{d} y.

이러한 형태의 연산자 ''T'' 역시 콤팩트 작용소이다.

콤팩트 작용소의 중요한 성질 중 하나는 프레드홀름 대안과 관련된다. 이는

(\lambda K + I)u = f

(여기서 ''K''는 콤팩트 작용소, ''f''는 주어진 함수, ''u''는 구하고자 하는 미지 함수) 형태의 선형 방정식의 해의 존재성이 유한 차원 벡터 공간의 경우와 매우 유사하게 동작한다는 것을 보여준다. 또한, 소볼레프 공간의 콤팩트 임베딩과 같은 성질은 가딩 부등식 및 락스-밀그램 정리와 결합하여 타원형 경계값 문제를 프레드홀름 적분 방정식으로 변환하는 데 사용될 수 있다.^[5]^[6] 이렇게 변환된 방정식의 해의 존재 및 스펙트럼 성질은 콤팩트 작용소 이론을 통해 효과적으로 분석될 수 있다. 예를 들어, 유계 영역에서의 타원형 경계값 문제는 무한히 많은 고립된 고유값을 가진다는 사실이 콤팩트 작용소 이론으로부터 도출된다.

참조

_[1] 문헌 1985
_[2] 문헌 1973
_[3] 서적 Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations https://www.worldcat[...] Springer 2011
_[4] 서적 A Short Course on Banach Space Theory Cambridge University Press 2005
_[5] 서적 Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations Cambridge University Press 2000
_[6] 서적 Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations Cambridge University Press 2000
_[7] 서적 Functional analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill 1991
_[8] 서적 Functional analysis Academic Press 1980
_[9] 서적 A course in functional analysis https://www.springer[...] Springer 1990
_[10] 논문 Sur une classe d’equations fonctionnelles 1903

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