쿠쟁 문제

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 제1 쿠쟁 문제 (덧셈 문제)
- 2.2. 제2 쿠쟁 문제 (곱셈 문제)
3. 역사
참조

1. 개요

쿠쟁 문제는 복소다양체에서 유리형 함수와 관련된 두 가지 문제로, 피에르 쿠쟁에 의해 제기되었다. 제1 쿠쟁 문제는 주어진 극점을 갖는 유리형 함수의 존재에 대한 문제이며, 층 코호몰로지를 통해 표현되고, 슈타인 다양체에서는 항상 해가 존재한다. 제2 쿠쟁 문제는 주어진 영점을 갖는 정칙 함수의 존재에 대한 문제로, 바이어슈트라스 인수분해 정리의 일반화이며, 슈타인 다양체에서 2차 정수 계수 코호몰로지군이 자명군일 때 해가 존재한다.

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쿠쟁 문제
개요
분야	복소해석학
하위 분야	다변수 복소해석학
관련 항목	돌보 코호몰로지
역사적 맥락
명명 유래	피에르 쿠쟁의 이름을 따서 명명됨
중요성	다변수 복소해석학의 중요한 문제
문제 유형	덧셈 문제 (제1 쿠쟁 문제), 곱셈 문제 (제2 쿠쟁 문제)
제1 쿠쟁 문제 (덧셈 문제)
설명	주어진 극점 데이터로부터 유리 함수를 구성하는 문제.
해결 조건	단일 변수에서는 항상 해결 가능하지만, 다변수에서는 추가 조건이 필요함.
해결 가능 조건	돌보 코호몰로지 군 H1(X, O) = 0이면 해결 가능.
제2 쿠쟁 문제 (곱셈 문제)
설명	주어진 영점 데이터로부터 해석 함수를 구성하는 문제.
해결 조건	단일 변수에서는 항상 해결 가능하지만, 다변수에서는 추가 조건이 필요함.
해결 가능 조건	복소 다양체가 슈타인 다양체이면 해결 가능.
중요성
다변수 복소해석학	다변수 복소해석학에서 함수의 존재성을 증명하는 데 중요한 역할.
응용 분야	대수기하학, 복소 기하학 등.

2. 정의

복소다양체 $M$ 와 열린 덮개 $\{U_i\}$ , 그리고 각 $U_i$ 에서 정의된 유리형 함수 $f_i\colon U_i\to\hat{\mathbb C}$ 가 주어졌을 때, 쿠쟁 문제는 다음과 같이 두 가지로 정의된다.
제1 쿠쟁 문제 (덧셈 문제)는 $f_i-f_j$ 가 정의되는 영역에서 정칙 함수라는 조건을 만족할 때, 모든 $i$ 에 대해 $f-f_i$ 가 $U_i$ 에서 정칙이 되는 '''M'''상의 유리형 함수 ''f''를 찾는 문제이다. 이는 ''f''가 주어진 국소 함수 $f_i$ 와 같은 특이성을 갖도록 하는 것이다.
제2 쿠쟁 문제 (곱셈 문제)는 $f_i/f_j$ 가 정의되는 영역에서 0이 아닌 정칙 함수라는 조건을 만족할 때, 모든 $i$ 에 대해 $f/f_i$ 가 $U_i$ 에서 0이 아니고 정칙이 되는 ''M''상의 유리형 함수 ''f''를 찾는 문제이다. 이는 바이어슈트라스 정리의 다차원 일반화로 볼 수 있다.

이 두 문제는 층 코호몰로지를 이용하여 표현하고 해결할 수 있다. 예를 들어 슈타인 다양체 위에서는 제1 쿠쟁 문제가 항상 풀린다. 제2 쿠쟁 문제는 지수층 완전열을 통해 해결 가능성을 확인할 수 있다.

2. 1. 제1 쿠쟁 문제 (덧셈 문제)

모든

i,j

에 대하여,

U_i\cap U_j\ne\varnothing

이면

f_i|_{U_i\cap U_j}-f_j|_{U_i\cap U_j}

가 정칙함수라고 가정한다. 그렇다면, '''제1 쿠쟁 문제'''는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수

f\colon M\to\hat{\mathbb C}

가 존재하는지에 대한 문제이다.

모든 $i$ 에 대하여, $f|_{U_i}-f_i$ 는 정칙 함수이다.

이는 층 코호몰로지로 다음과 같이 서술할 수 있다.

\mathcal K

가

M

위의 유리형 함수의 층이며,

\mathcal O

가

M

위의 정칙 함수들의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층

\mathcal K/\mathcal O

를 정의할 수 있으며, 자연스러운 사상

:

\Gamma_M(\mathcal K)\xrightarrow\phi\Gamma_M(\mathcal K/\mathcal O)

가 존재한다. 여기서

\Gamma_M

은 대역적 단면들의 아벨 군이다.

\{f_i\}_{i\in I}

는

\mathcal K/\mathcal O

의 대역적 단면을 정의한다. 만약 위 조건을 만족시키는 유리형 함수

f

가 존재한다면, 이는

\{f_i\}_{i\in I}

가 사상

\phi

의 상에 포함된다는 것과 같다. 즉, 제1 쿠쟁 문제는 사상

\phi

가 전사 사상인지 여부를 묻는다.

층 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하면,

\Gamma_M(-)

은 0차 층 코호몰로지

H^0(M;-)

과 같으므로,

:

H^0(M;\mathcal K) \xrightarrow\phi H^0(M;\mathcal K/\mathbf{O})\to H^1(M;\mathcal O)\to\cdots

와 같은 긴 완전열이 존재한다. 따라서, 만약

H^1(M;\mathcal O)

가 자명군이라면

\phi

는 전사 사상이 되며, 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다. 특히, 카르탕 B정리에 따라서, 만약

M

이 슈타인 다양체라면 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다.

다시 말해, 제1 쿠쟁 문제는 1차원 코호몰로지 군

H^1(M,\mathcal{O})

가 0이 될 때 항상 풀 수 있다.

2. 2. 제2 쿠쟁 문제 (곱셈 문제)

모든

i,j

에 대하여,

U_i\cap U_j\ne\varnothing

이면

f_i / f_j

가

U_i \cap U_j

에서 0이 아닌 정칙함수라고 가정한다. 이때, 다음 조건을 만족하는

M

위의 유리형 함수

f

가 존재하는지 묻는 문제를 제2 쿠쟁 문제(또는 곱셈 문제)라고 한다.

모든 $i$ 에 대하여, $f/f_i$ 는 정칙함수이며 0이 아니다.

이는 주어진 영점을 갖는 하나의 변수의 정칙 함수의 존재에 대한 바이어슈트라스 정리의 다차원 일반화이다.

0이 아닌 정칙 함수층을

\mathcal O^*

, 0이 아닌 유리형 함수층을

\mathcal K^*

라고 할 때, 제2 쿠쟁 문제는 다음 몫사상이 전사 사상인지 묻는 문제와 동치이다.

:

H^0(M,\mathbf{K}^*)\xrightarrow{\phi} H^0(M,\mathbf{K}^*/\mathbf{O}^*)

층 코호몰로지의 긴 완전열을 이용하면,

:

H^0(M,\mathbf{K}^*)\xrightarrow{\phi} H^0(M,\mathbf{K}^*/\mathbf{O}^*)\to H^1(M,\mathbf{O}^*)

이므로,

H^1(M;\mathcal O^*)=0

이면 제2 쿠쟁 문제는 항상 풀린다.

지수층 완전열을 이용하면,

:

H^1(M;\mathcal O)\to H^1(M;\mathcal O^*)\to2\pi i H^2(M;\mathbb Z)\to H^2(M;\mathcal O)\to\cdots

슈타인 다양체의 경우, 카르탕 B정리에 의하여

H^1(M;\mathcal O)\cong H^2(M;\mathcal O)\cong0

이므로,

H^2(M;\mathbb Z) = 0

이면 제2 쿠쟁 문제가 풀린다는 것을 보일 수 있다.

3. 역사

피에르 쿠쟁(Pierre Cousin)이 1895년에 제시하였다.^[1]

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