쿠타-주콥스키 정리

3. 순환과 쿠타 조건

양력을 발생시키는 에어포일은 캠버를 갖거나 에어포일의 현선과 에어포일로부터 멀리 떨어진 유체의 흐름 사이의 각도인 양의 받음각에서 작동하며, 날카로운 후미를 가져야 한다.

모든 실제 유체는 점성이 있으며, 이는 유체 속도가 에어포일에서 사라짐을 의미한다. 프란틀은 큰 레이놀즈 수와 작은 받음각에 대해, 얇은 에어포일 주변의 흐름이 몸체 근처의 경계층이라는 좁은 점성 영역과 외부의 비점성 흐름 영역으로 구성됨을 보였다. 쿠타-주콥스키 정리를 적용할 때, 루프는 이 경계층 외부에서 선택되어야 한다.

날카로운 후미 요구 사항은 물리적으로 에어포일의 아래쪽과 위쪽 표면을 따라 움직이는 유체가 에어포일의 후미를 돌아가는 유체 없이 부드럽게 만나는 흐름에 해당하며, 이것이 쿠타 조건으로 알려져 있다.

쿠타와 주콥스키는 큰 레이놀즈 수와 작은 받음각에서 흐름에 대한 얇은 에어포일의 압력과 양력을 계산하기 위해 쿠타 조건이 부과되면 에어포일 외부의 전체 영역에서 흐름을 비점성으로 가정할 수 있음을 보였다. 이것이 포텐셜 흐름 이론으로 알려져 있으며 실제로 매우 잘 작동한다.

3. 1. 쿠타 조건의 중요성 (한국의 관점)

4. 정리의 유도

두 가지 유도가 아래에 제시된다. 첫 번째는 물리적 직관에 기반한 휴리스틱 논증이다. 두 번째는 기본적인 벡터 해석과 복소 해석을 필요로 하는 형식적이고 기술적인 것이다.

== 발견법적 유도 (Heuristic argument) ==

시위선 $c$를 가지고 무한한 스팬을 가진 얇은 에어포일이 밀도 $\backslash rho$의 공기를 통과한다고 가정한다. 에어포일이 입사류에 대해 기울어져 에어포일의 한쪽 면에 속도 $V$의 공기 속도, 다른 쪽에 속도 $V\; +\; v$의 공기 속도를 생성한다고 할 때, 순환은 다음과 같다.

:$\backslash Gamma\; =\; Vc\; -\; (V\; +\; v)c\; =\; -v\; c.\backslash ,$

에어포일의 양쪽 면 사이의 압력 차이 $\backslash Delta\; P$는 베르누이 방정식을 적용하여 찾을 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

\frac {\rho}{2}(V)^2 + (P + \Delta P) &= \frac {\rho}{2}(V + v)^2 + P,\, \\

\frac {\rho}{2}(V)^2 + \Delta P &= \frac {\rho}{2}(V^2 + 2 V v + v^2),\, \\

\Delta P &= \rho V v \qquad \text{(무시 } \frac{\rho}{2}v^2),\ ,

\end{align}

따라서 단위 스팬당 공기에 작용하는 하향력은 다음과 같다.

:$L\text{'}\; =\; c\; \backslash Delta\; P\; =\; \backslash rho\; V\; v\; c\; =\; -\backslash rho\; V\backslash Gamma\backslash ,$

에어포일에 작용하는 상향력(양력)은 $\backslash rho\; V\backslash Gamma.\backslash ,$이다.

이 식의 미분을 평판 요소에 적용한 것이 박익형 이론의 기초가 된다.

== 엄밀한 유도 (Formal derivation) ==

복소해석학을 사용하여 쿠타-주콥스키 정리를 유도할 수 있다. 먼저, 임의의 단면을 갖는 실린더의 각 단위 길이에 작용하는 힘(단위 길이당 힘) $\backslash mathbf\{F\}$는 다음과 같이 표현된다.^[6]

:$\backslash mathbf\{F\}\; =\; -\backslash oint\_C\; p\; \backslash mathbf\{n\}\backslash ,\; ds,$

여기서 ''C''는 실린더의 경계, $p$는 정압, $\backslash mathbf\{n\}\backslash ,$는 실린더에 수직인 단위 벡터, ''ds''는 단면 경계의 호 요소이다. 법선 벡터와 수직선 사이의 각도를 $\backslash phi$라 하면, 힘의 성분은 다음과 같다.

:$F\_x\; =\; -\backslash oint\_C\; p\; \backslash sin\backslash phi\backslash ,\; ds\backslash ,,\; \backslash qquad\; F\_y\; =\; \backslash oint\_C\; p\; \backslash cos\backslash phi\backslash ,\; ds.$

2차원 공간을 복소 평면으로 간주하면, 힘은 복소수로 표현할 수 있다.

:$F\; =\; F\_x\; +\; iF\_y\; =\; -\backslash oint\_Cp(\backslash sin\backslash phi\; -\; i\backslash cos\backslash phi)\backslash ,ds\; .$

힘 $F$의 복소 켤레를 취하고 조작하면,

:$\backslash bar\{F\}\; =\; -\backslash oint\_C\; p(\backslash sin\backslash phi\; +\; i\backslash cos\backslash phi)\backslash ,ds\; =\; -i\backslash oint\_C\; p(\backslash cos\backslash phi\; -\; i\backslash sin\backslash phi)\backslash ,\; ds\; =\; -i\backslash oint\_C\; p\; e^\{-i\backslash phi\}\backslash ,ds.$

표면 세그먼트 ''ds''는 ''dz''와 관련이 있으며, 이를 적분에 대입하면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$

dz &= dx + idy = ds(\cos\phi + i\sin\phi) = ds\,e^{i\phi} \\

{} \Rightarrow d\bar{z} &= e^{-i\phi}ds.

\end{align}

:$\backslash bar\{F\}\; =\; -i\backslash oint\_C\; p\; \backslash ,\; d\backslash bar\{z\}.$

베르누이 방정식을 사용하여 압력을 제거하고, 외부 힘장이 없다고 가정하면, 압력 $p$는 속도 $v\; =\; v\_x\; +\; iv\_y$와 다음과 같이 관련된다.

:$p\; =\; p\_0\; -\; \backslash frac\{\backslash rho\; |v|^2\}\{2\}.$

따라서 힘 $F$는 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash bar\{F\}\; =\; -ip\_0\backslash oint\_C\; d\backslash bar\{z\}\; +\; i\; \backslash frac\{\backslash rho\}\{2\}\; \backslash oint\_C\; |v|^2\backslash ,\; d\backslash bar\{z\}\; =\; \backslash frac\{i\backslash rho\}\{2\}\backslash oint\_C\; |v|^2\backslash ,d\backslash bar\{z\}.$

복소 포텐셜 $w\; =\; f(z),$를 도입하면, 속도 성분은 $w\text{'}\; =\; v\_x\; -\; iv\_y\; =\; \backslash bar\{v\},$로 표현된다. 속도는 경계선 ''C''에 접선이므로, $v\; =\; \backslash pm\; |v|\; e^\{i\backslash phi\}.$이고, $v^2\; d\backslash bar\{z\}\; =\; |v|^2\; dz,$이다. 따라서 힘에 대한 표현식은 다음과 같다.

:$\backslash bar\{F\}=\backslash frac\{i\backslash rho\}\{2\}\backslash oint\_C\; w\text{'}^2\backslash ,dz,$

이는 블라시우스 정리이다.

복소 포텐셜 $w$의 도함수는 로랑 급수로 나타낼 수 있다.

:$w\text{'}(z)\; =\; a\_0\; +\; \backslash frac\{a\_1\}\{z\}\; +\; \backslash frac\{a\_2\}\{z^2\}\; +\; \backslash cdots\; .$

속도가 무한대에서 유한하게 유지되므로, $a\_0\backslash ,$는 무한대에서 복소 포텐셜의 도함수를 나타내며, $a\_0\; =\; v\_\{x\backslash infty\}\; -\; iv\_\{y\backslash infty\}\backslash ,$이다. 잔류 정리를 사용하여 $a\_1\backslash ,$을 구하면,

:$a\_1\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; i\}\; \backslash oint\_C\; w\text{'}\backslash ,\; dz.$

위 적분을 수행하면, 첫 번째 적분은 순환 $\backslash Gamma.$이고, 두 번째 적분은 0이다. 따라서,

:$a\_1\; =\; \backslash frac\{\backslash Gamma\}\{2\backslash pi\; i\}.$

급수의 제곱을 취하고, 블라시우스 정리에 대입하여 적분을 수행하면,

:$w\text{'}^2(z)\; =\; a\_0^2\; +\; \backslash frac\{a\_0\backslash Gamma\}\{\backslash pi\; i\; z\}\; +\; \backslash cdots.$

:$\backslash bar\{F\}\; =\; \backslash frac\{i\backslash rho\}\{2\}\backslash left[2\backslash pi\; i\; \backslash frac\{a\_0\backslash Gamma\}\{\backslash pi\; i\}\backslash right]\; =\; i\backslash rho\; a\_0\; \backslash Gamma\; =\; i\backslash rho\; \backslash Gamma(v\_\{x\backslash infty\}\; -\; iv\_\{y\backslash infty\})\; =\; \backslash rho\backslash Gamma\; v\_\{y\backslash infty\}\; +\; i\backslash rho\backslash Gamma\; v\_\{x\backslash infty\}\; =\; F\_x\; -\; iF\_y.$

결과적으로 쿠타-주콥스키 공식은 다음과 같다.^[6]

:$\backslash begin\{align\}$

F_x &= \rho \Gamma v_{y\infty}\,, &

F_y &= -\rho \Gamma v_{x\infty}.

\end{align}

4. 1. 발견법적 유도 (Heuristic argument)

4. 2. 엄밀한 유도 (Formal derivation)

5. 양력 계수와의 관계

쿠타-주콥스키 정리는 양력 계수($C\_L$)와 순환의 관계를 보여준다. 날개의 이동 속도와 양력의 관계식은 다음과 같다.

:$L\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\; \backslash rho\; U^2\; S\; C\_\{\backslash rm\; L\}$

• $C\_\{\backslash rm\; L\}$은 양력 계수
• ρ는 유체의 밀도
• U는 물체와 주류와의 상대 속도
• S는 물체의 날개 면적(2차원으로 생각하므로 익현 길이)
• L은 발생하는 양력(단위 스팬 길이당의 힘)

6. 복잡한 상황에서의 양력

쿠타-주콥스키 정리는 정상, 비분리 흐름에서 실제 점성 흐름에도 정확하다.^[7] 그러나 비정상 흐름, 회전 흐름, 3차원 흐름 등 복잡한 상황에서는 더 복잡한 이론이 필요하다.

• 특수한 경우

• 작은 받음각에서 충격적으로 시작된 흐름: 갑자기 에어포일을 가속하거나 받음각을 설정하여 얻는 것과 같은 충격적으로 시작된 흐름의 경우, 후연에서 지속적으로 와류 시트가 방출되며, 양력은 비정상적이거나 시간에 의존한다. 작은 받음각으로 시작하는 흐름의 경우, 와류 시트는 평면 경로를 따르며, 시간에 따른 양력 계수의 곡선은 와그너 함수로 주어진다.^[8] 이 경우 초기 양력은 쿠타-주콥스키 공식에 의해 주어진 최종 양력의 절반이다.^[9] 날개가 약 7개의 시위 길이를 이동했을 때 양력은 정상 상태 값의 90%에 도달한다.
• 큰 받음각에서 충격적으로 시작된 흐름: 받음각이 충분히 높으면 후연 와류 시트는 처음에 나선형 모양을 이루며 초기 시간에 양력은 특이점(무한대)을 가진다.^[10] 일반적으로 가정되는 단조 증가 양력 곡선에 도달하기 전에 아주 짧은 시간 동안 양력이 감소한다.
• 날카로운 앞전이 있는 날개의 큰 받음각에서 시작하는 흐름: 평판의 경우처럼 앞전도 날카로운 경우, 와류는 앞전에서도 방출되며 앞전 와류의 역할은 두 가지이다. 1) 앞전에 여전히 가까이 있을 때 양력을 증가시켜 와그너 양력 곡선을 올리고, 2) 후연으로 이동할 때 양력에 해로우며 양력 감소 방향으로 이동하는 새로운 후연 와류 나선을 유도한다. 이러한 유형의 흐름의 경우 와류 힘선(VFL) 맵^[11]을 사용하여 다양한 상황(시작 흐름보다 더 많은 상황 포함)에서 다른 와류의 영향을 이해할 수 있으며, 와류 제어를 개선하여 양력을 향상시키거나 줄이는 데 사용할 수 있다. 와류 힘선 맵은 와류 힘선이 표시되는 2차원 맵이다. 흐름 내의 임의의 지점에 있는 와류의 양력 기여는 속도, 순환 및 유선과 와류 힘선 사이의 각도의 코사인에 비례한다. 따라서 와류 힘선 맵은 주어진 와류가 양력 생산에 도움이 되는지 아니면 해로운지 명확하게 보여준다.

• 일반화된 라갈리 정리

• 3차원 점성 흐름

• '''양력선 이론'''

6. 1. 특수한 경우

• 작은 받음각에서 충격적으로 시작된 흐름: 갑자기 에어포일을 가속하거나 받음각을 설정하여 얻는 것과 같은 충격적으로 시작된 흐름의 경우, 후연에서 지속적으로 와류 시트가 방출되며, 양력은 비정상적이거나 시간에 의존한다. 작은 받음각으로 시작하는 흐름의 경우, 와류 시트는 평면 경로를 따르며, 시간에 따른 양력 계수의 곡선은 와그너 함수로 주어진다.^[8] 이 경우 초기 양력은 쿠타-주콥스키 공식에 의해 주어진 최종 양력의 절반이다.^[9] 날개가 약 7개의 시위 길이를 이동했을 때 양력은 정상 상태 값의 90%에 도달한다.
• 큰 받음각에서 충격적으로 시작된 흐름: 받음각이 충분히 높으면 후연 와류 시트는 처음에 나선형 모양을 이루며 초기 시간에 양력은 특이점(무한대)을 가진다.^[10] 일반적으로 가정되는 단조 증가 양력 곡선에 도달하기 전에 아주 짧은 시간 동안 양력이 감소한다.
• 날카로운 앞전이 있는 날개의 큰 받음각에서 시작하는 흐름: 평판의 경우처럼 앞전도 날카로운 경우, 와류는 앞전에서도 방출되며 앞전 와류의 역할은 두 가지이다. 1) 앞전에 여전히 가까이 있을 때 양력을 증가시켜 와그너 양력 곡선을 올리고, 2) 후연으로 이동할 때 양력에 해로우며 양력 감소 방향으로 이동하는 새로운 후연 와류 나선을 유도한다. 이러한 유형의 흐름의 경우 와류 힘선(VFL) 맵^[11]을 사용하여 다양한 상황(시작 흐름보다 더 많은 상황 포함)에서 다른 와류의 영향을 이해할 수 있으며, 와류 제어를 개선하여 양력을 향상시키거나 줄이는 데 사용할 수 있다. 와류 힘선 맵은 와류 힘선이 표시되는 2차원 맵이다. 흐름 내의 임의의 지점에 있는 와류의 양력 기여는 속도, 순환 및 유선과 와류 힘선 사이의 각도의 코사인에 비례한다. 따라서 와류 힘선 맵은 주어진 와류가 양력 생산에 도움이 되는지 아니면 해로운지 명확하게 보여준다.

6. 2. 일반화된 라갈리 정리

6. 3. 3차원 점성 흐름

7. 양력선 이론

쿠타-주콥스키 정리에 의해 예측되는 양력은 점성이 없는 포텐셜 흐름 이론의 틀 내에서, 흐름이 정상적이고 분리되지 않은 경우, 실제 점성 흐름에도 꽤 정확하다.^[7]

양력선 이론은 유한한 날개 길이(span)를 갖는 실제 날개에 적용되는 이론으로, 날개 끝 와류와 유도 항력을 고려한다. 날개는 유한한 스팬을 가지며, 날개의 임의 단면에서의 순환은 스팬 방향에 따라 달라진다. 이러한 변화는 와류 보존 또는 순환 보존의 켈빈 정리에 의해 후류 와류라고 하는 흐름 방향 와류의 방출로 보상된다. 이러한 흐름 방향 와류는 날개 길이와 가까운 거리에 의해 분리된 두 개의 반대 회전 강력한 나선으로 합쳐지며, 상대 습도가 높으면 그 코어가 보일 수 있다. 후류 와류를 일련의 무한히 긴 직선 와류로 취급하면 잘 알려진 양력선 이론으로 이어진다. 이 이론에 따르면, 3차원 날개는 쿠타-주콥스키 정리를 사용하는 순수 2차원 이론에 의해 예측되는 것보다 작은 양력을 생성하며, 유도 항력이 발생한다. 이는 후류 와류의 상류 효과로 인한 날개의 받음각에 대한 다운워시가 추가되기 때문이다. 이것은 날개의 유효 받음각을 줄여 주어진 받음각에서 생성되는 양을 감소시키고 이 손실된 양력을 회복하기 위해 더 높은 받음각이 필요하다. 이 새로운 더 높은 받음각에서 항력도 증가했다. 유도 항력은 효과적으로 2차원 에어포일의 양력 곡선의 기울기를 줄이고 $C\_\{L\_\backslash max\}$의 받음각을 증가시킨다(동시에 $C\_\{L\_\backslash max\}$의 값을 감소시킴).^{[9][15][16][17]}

7. 1. 유도 항력과 한국형 날개 설계

참조

_[1] 서적 Introduction to Flight McGraw-Hill
_[2] 논문 Lift and drag in two-dimensional steady viscous and compressible flow
_[3] 웹사이트 Lift on rotating cylinders http://www.grc.nasa.[...] NASA Glenn Research Center 2010-11-09
_[4] 서적 Aerodynamics Pitman
_[5] 서적 Foundations of Aerodynamics John Wiley & Sons
_[6] 서적 An Introduction to Fluid Dynamics Cambridge University Press
_[7] 서적 Fundamentals of Aerodynamics McGraw-Hill Education
_[8] 논문 Über die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Tragflügeln http://edoc.hu-berli[...]
_[9] 서적 Vortex Dynamics Cambridge University Press
_[10] 논문 The lift on an aerofoil in starting flow
_[11] 논문 Unsteady lift for the Wagner problem in the presence of additional leading trailing edge vortices
_[12] 서적 Theoretical Hydrodynamics Macmillan Education
_[13] 논문 Generalized two-dimensional Lagally theorem with free vortices and its application to fluid-body interaction problems http://ntur.lib.ntu.[...]
_[14] 논문 Generalized Kutta-Joukowski theorem for multi-vortex and multi-airfoil flow with vortex production — A general model
_[15] 논문 Theory for aerodynamic force and moment in viscous flows
_[16] 논문 On the force and moment on a body in an incompressible fluid, with application to rigid bodies and bubbles at high Reynolds numbers
_[17] 논문 Integral force acting on a body due to local flow structures
_[18] 문서 "#学び方(1986)"
_[19] 서적 An Introduction to Fluid Dynamics Cambridge University Press
_[20] 서적 Aerodynamics Pitman