티링 모형

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 상세 설명
3. 질량이 없는 경우 (Massless case)
- 3.1. 정확한 해 (Exact solution)
4. 질량이 있는 경우 (Massive Thirring model, or MTM)
- 4.1. 정확한 해 (Exact solution)
5. 보존화 (Bosonization)
참조

1. 개요

티링 모형은 하나의 디랙 페르미온을 포함하는 2차원 양자장론으로, 2차원에서 디랙 페르미온이 가질 수 있는 유일한 재규격화가능 국소 상호작용을 포함한다. 질량이 없는 경우와 질량이 있는 경우 모두 오스터발더-슈레이더 공리를 만족하며, 정확한 해를 구할 수 있다. 질량이 없는 티링 모형은 정확하게 풀리며, 질량이 있는 경우에는 베테 안자츠를 통해 질량 스펙트럼과 산란 행렬을 계산할 수 있다. 티링 모형은 사인-고든 모형과 등가성을 가지며, 보존화를 통해 페르미온과 보존 사이의 관계를 설명한다.

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티링 모형
일반 정보
이름	티링 모형
유형	양자장론
차원	1+1차원
대칭성	U(1)
관련 모형	슈윙거 모형 벨라피 모형 사인-고든 모형
수학적 세부 사항
라그랑지안 밀도	{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi -{\frac {g}{2}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi )({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi )
상호작용항	4페르미온 상호작용

2. 정의

티링 모형은 하나의 디랙 페르미온 $\psi$ 를 포함하는 2차원 양자장론이다. 이 모형은 다음과 같은 라그랑지언으로 기술된다.^[1]

: $\mathcal{L}= \overline{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi -\frac12g(\psi\gamma^\mu\psi)^2$

여기서 $\psi$ 는 장(field)이고, ''g''는 결합 상수, ''m''은 질량이며, $\gamma^\mu$ 는 $\mu = 0,1$ 에 대해 2차원 감마 행렬이다.^[1]

이는 2차원에서 디랙 페르미온이 가질 수 있는 유일한 재규격화가능 국소 상호작용이다. 티링 모형의 상관 함수는 오스터발더-슈레이더 공리를 만족하며, 따라서 이 이론은 양자장론으로서 의미를 가진다.^[1]

2. 1. 상세 설명

디랙 페르미온은 4개의 그라스만 성분을 포함하며, 이들을 이용하여 구성할 수 있는 항은 유일하다. 파울리의 배타 원리에 따라 단지 4개의 독립적인 장만이 존재하기 때문에, 모든 4차 국소 상호작용은 동등하며, 모든 더 높은 차수의 국소 상호작용은 사라진다. 미분을 포함하는 상호작용 (예:

(\bar \psi\partial\!\!\!/\psi)^2

)은 재정규화 불가능하므로 고려하지 않는다.

3. 질량이 없는 경우 (Massless case)

질량이 없는 티링 모형은 n점장 상관관계에 대한 공식이 알려져 있다는 점에서 정확하게 풀린다.

3. 1. 정확한 해 (Exact solution)

발터 티링이 소개한 후,^[1] 많은 저자들이 질량이 없는 경우에 대한 해를 구하려고 시도했지만 결과가 혼란스러웠다. 두 점 및 네 점 상관관계에 대한 정확한 공식은 마침내 K. 존슨에 의해 발견되었으며,^[2] 그 후 C. R. 하겐^[3]과 B. 클라이버^[4]는 명시적인 해를 장의 임의의 다중점 상관 함수로 확장했다.

4. 질량이 있는 경우 (Massive Thirring model, or MTM)

모델의 질량 스펙트럼과 산란 행렬은 베테 안자츠로 명시적으로 계산할 수 있다. 상관 관계에 대한 명시적인 공식은 아직 알려져 있지 않다. J. I. Cirac, P. Maraner, J. K. Pachos는 광학 격자 묘사에 질량 티링 모형을 적용했다.^[5]

4. 1. 정확한 해 (Exact solution)

1차원 공간과 1차원 시간에서 이 모형은 베테 안자츠를 사용하여 풀 수 있다. 이는 질량 스펙트럼과 산란 행렬을 정확하게 계산하는 데 도움이 된다. 산란 행렬의 계산은 알렉산더 자몰로드치코프가 이전에 발표한 결과를 재현한다. 베테 안자츠를 사용한 질량이 있는 티링 모형의 정확한 해에 대한 논문은 처음 러시아어로 출판되었다.^[6] 자외선 재규격화는 베테 안자츠 틀 내에서 수행되었다. 잘라내기 이상의 반발력으로 인해 재규격화 과정에서 분수 전하가 모형에 나타난다.

다중 입자 생성은 질량 껍질에서 상쇄된다.

정확한 해는 티링 모형과 양자 사인-고든 모형의 동등성을 다시 보여준다. 티링 모형은 S-쌍대로 사인-고든 모형과 같다. 티링 모형의 기본 페르미온은 솔리톤과 사인-고든 모형에 해당한다.

5. 보존화 (Bosonization)

S. 콜먼^[7]은 티링 모형과 사인-고든 모형 사이의 등가성을 발견했다. 후자가 순수 보존 모형이라는 사실에도 불구하고, 질량이 없는 티링 페르미온은 자유 보존과 동등하며, 질량이 있는 페르미온은 사인-고든 보존과 동등하다. 이러한 현상은 2차원에서 더욱 일반적이며, 이를 보존화라고 부른다.

참조

_[1] 논문 A Soluble Relativistic Field Theory?
_[2] 논문 Solution of the Equations for the Green's Functions of a two Dimensional Relativistic Field Theory
_[3] 논문 New Solutions of the Thirring Model
_[4] 논문 The Thirring Model
_[5] 논문 Cold atom simulation of interacting relativistic quantum field theories
_[6] 논문 Непосредственное вычисление S-матрицы в массивной модели Тирринга http://mi.mathnet.ru[...]
_[7] 논문 Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirring model

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